2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分。

）1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，c＝2，B＝30°，则△ABC的面积为（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用三角形面积公式求解其面积即可.【详解】由三角形面积公式得得面积.本题选择A选项.【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.2.下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项（）A. 380B. 39C. 35D. 23【答案】A【解析】【详解】因为数列{}，那么将四个选项代入,可知,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.3.直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式，则这个动点的运动区域(用阴影表示)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合所给的不等式首先确定其所表示的区域，然后结合选项确定正确选项即可.【详解】由题意可知，表示直线上方的区域，结合所给的选项，只有A选项符合题意.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式所表示的平面区域的确定，属于基础题.4.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )A. 9B. 12C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项性质即可得出．【详解】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．故选：D．【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．5.已知是等比数列，，则公比=（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.【详解】由等比数列的性质可得：，即：，解得：.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.6.若且，则下列不等式中一定成立的是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：因为，那么利用不等式的性质可知，当c等于零时，选项B，C不成立。

【校级联考】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--，且A B R ⋃=，则集合B 可以是( ) A ．{|3}x x ≥ B ．{|1}x x ≥- C ．{|3}x x <D ．{|13}x x -<<2．已知命题p ：0x ∀≥，sin x x ≥，则p ⌝为( ) A ．0x ∀<，sin x x < B ．0x ∀≥，sin x x < C ．00x ∃<，00sin x x <D ．00x ∃≥，00sin x x <3．已知a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，|a ⃗ +b ⃗ |=√3，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=( ) A ．−12B ．12C ．−32D ．324．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3627S S +=，则24(a a += ) A ．3B ．6C ．9D ．125．函数()()πf x sin ωx φ(ω0,φ)2=+><的部分图象如图所示，则φ(= )A ．π6B ．π6-C ．π3D ．π3-6．设a 、b R ∈，原命题“若21()2x a b >+，则22x a b >+”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是( ) A ．逆命题与否命题均为真命题 B ．逆命题为假命题，否命题为真命题 C ．逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D ．否命题为假命题，逆否命题为真命题7．已知命题1:p x R ∃∈，220x x --=；2:p x R ∀∈，222x x -+>，则在命题112:q p p ∧，212:()()q p p ⌝∨⌝，312:()q p p ⌝∨和412:()q p p ∧⌝中，真命题是（ ） A ．13,q qB ．24,q qC ．14,q qD ．23,q q8．下列函数中，最小周期为π且为偶函数的是( ) A ．f(x)=sin|2x| B ．f(x)=tan(x −π4) C ．f(x)=|cos2x|D ．f(x)=1−tan 2x 1+tan 2x9．在△ABC 中，D 是AB 的中点，H 是CD 的中点，若AH =λAB +μBC （x ，μ∈R），则λ+μ=（ ） A ．34B ．54C ．32D ．7410．要得到函数()cos2sin 26f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象( )A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位11．当()0,x ∈+∞时，230ax x a -+≥恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．][33,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭12．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，3asinA bsinB csinC -=，则sinA 的最大值为( )A ．13B ．23C D二、填空题13．已知向量a ⃗ =(3,−1)，b ⃗ =(2,1)，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______． 14．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 6S 3=4，则a 92a7a 8=______．15．已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()5sin cos tan 24ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___．16．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，1a 1=，2n n 2S a n -=，则101S 的值为______．三、解答题17．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a nan +1．(1)证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)证明a12+a 23+⋯+a n n+1<1．18．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2b −a)cosC =c ⋅cosA ． (1)求角C ；(2)若c =7，△ABC 的面积为10√3，求△ABC 的周长．19．已知x ，y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩．()1若z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，求m 的值； ()2求22z x y =+的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy 中，角θ满足θ3sin25=-，θ4cos 25=，()OA 0,1=-． ()1求2019πtan θ2⎛⎫-⎪⎝⎭的值；()2若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，B 是其终边上一动点，求OA OB -的最小值．21．已知数列{b n }的前n 项和为S n ，S n +b n =2，等差数列{a n }满足b 1a 2=3，b 1+a 5=7． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n+1}的前n 项和T n ． 22．设函数()cos 22sin sin .344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1求()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程；()2若()f x 在区间,12a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．参考答案1．B 【解析】 【分析】解出集合A {x |x 1=<-或x 3}>，由A B R ⋃=得出B ． 【详解】 解：A {x |x 1=<-或x 3}>，且AB R ⋃=；∴符合条件的只有B ．故选B ． 【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算 2．D 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案． 【详解】解：命题p ：x 0∀≥，x sinx ≥，则p ￢为0x 0∃≥，00x sinx <， 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全(特)称命题的否定方法是解答的关键． 3．B 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的性质可求a ⃗ ⋅b ⃗ ，代入即可求解． 【详解】解：∵a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√3， ∴3=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =12，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=2a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=12，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 4．B 【解析】分析：把已知与求值式全部用首项1a 和公差d 表示，详解：由题意361113361591827S S a d a d a d +=+++=+=，∴123a d +=， ∴2411113242(2)236a a a d a d a d a d +=+++=+=+=⨯=． 故选B ．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论． 5．A 【分析】先根据图象求周期，再求ω，代入π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭可求得πφ6=【详解】 解：由图可得T π512ω66==+， ωπ∴=，()()f x sin πx φ=+，πsin φ06⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，πφk π6-=，πφ6∴=．故选A ． 【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min,22y y y y A B -+==.(2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. 6．A 【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题． 【详解】解：原命题：“设a 、b R ∈，原命题“若21x (a b)2>+，则22x a b >+”，是假命题， ∴原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若22x a b >+，则21x (a b)2>+”，是真命题， ∴原命题的否命题是真命题．故选A ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．B 【解析】对于命题1p ，当0x =时，命题成立；1p 为真对于命题2p ，当0x =时，命题不成立.2p 为假. 所以()()212:q p p ⌝∨⌝，()412:q p p ∧⌝为真. 故选B. 8．D 【解析】 【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：∵f(x)=sin|2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除A ；由于f(x)=tan(x −π4)为非奇非偶函数，故排除B ；∵f(x)=|cos2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除C ； ∵f(x)=1−tan 2x 1+tan 2x=cos 2x−sin 2x cos 2x+sin 2x=cos2x 为偶函数，且它的最小正周期为2π2=π，故D 满足条件， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题． 9．B 【分析】用AB ，AC 表示出AE ，由平面向量基本定义可得出λ，μ的值即可得出答案． 【详解】∵D 为AB 中点，H 为CD 中点，()1111111+2224242AH AD AC AB AC AB AC AB BC AB （）⎛⎫=+=+=+=+ ⎪⎝⎭31=AB 42BC + 315,..424λμλμ∴==∴+=故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 10．D 【分析】利用三角恒等变换、函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】 解：函数()π11πf x cos2x sin 2x cos2x cos2x cos2x cos 2x 6223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故将函数()g x cos2x =的图象向右平移π6个单位，可得()f x 的图象， 故选D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题． 11．C 【解析】 【分析】对()x 0,∞∀∈+，不等式2ax 3x a 0-+≥恒成立⇔通过a 0=以及a 0>、a ＜0，利用二次函数的性质即可得出． 【详解】解：当a 0=时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：a 0>，且294a 0=-≤，解得3a 2≥， a 0<时，2ax 3x a 0-+≥不恒成立，综上3a ,2∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭． 故选C ． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．C 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理可得a ，b ，c 的关系，然后结合余弦定理，可求得222b c a cosA 2bc+-=，再利用均值不等式与同角基本关系可求sinA 的范围． 【详解】 解：3asinA bsinB csinC -=，由正弦定理可得，2223a b c -=，由余弦定理可得，()22222222b c b c a 1b c 23cosA 2bc 2bc 3bc 3++-+===⨯≥，则sinA 3=≤即最大值3， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角基本关系的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式． 13．π4 【解析】 【分析】利用向量的数量积，求解向量的夹角即可． 【详解】解：向量a ⃗ =(3,−1)，b ⃗ =(2,1)，则a ⃗ ,b ⃗ 的夹角余弦值cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ ||b ⃗ |=√10×√5=√22． ∴θ=π4．故答案为：π4． 【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力． 14．3 【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出． 【详解】解：设等比数列的公比为q ，由S 6S 3=4，可得1−q 61−q 3=1+q 3=4，解得q 3=3， ∴a 92a 7a 8=a 7q 2⋅a 8q a 7a 8=q 3=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n 项和公式的应用问题，属于基础题． 15．415- 【解析】【分析】由已知求得tan α，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值．【详解】解：由()a 2,sin α=，()b 1,cos α=，且a //b ，得2cos αsin α0-=，即tan α2=．()()π5ππsin απcos αtan αsin αsin αtan α244⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()22222212sin αtan α4sin α12153sin αcos α3tan α1-=⋅===-+-+-+． 故答案为415-． 【点睛】 本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，是基础题．16．5151【解析】【分析】利用数列的递推关系式求出数列相邻两项的和的关系，然后求解数列的和即可．【详解】解：数列{}n a 的前n 和为n S ，1a 1=，2n n 2S a n -=，2n 1n 12S a (n 1)---=-，两式相减可得n n 1a a 2n 1-+=-．()()()101123451001015049S a a a a a a a 1550451512⨯∴=+++++⋯++=+⨯+⨯=． 故答案为5151．【点睛】 本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查计算能力，属于中档题．17．（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】(1)由已知递推式，取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项公式；(2)求得a n n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，由裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．【详解】(1)证明：数列{a n }满足a 1=1，a n+1=an a n +1， 可得1a n+1=1a n +1， 即有数列{1a n }是首项为1，公差为1的等差数列， 可得1a n =n ，即a n =1n ； (2)证明：a n n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，则a 12+a 23+⋯+a n n+1=1−12+12−13+⋯+1n −1n+1 =1−1n+1<1．【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．18．（1）π3（2）20【解析】【分析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosC =sinB ，由sinB >0，可求cosC =12，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值；(2)由(1)及三角形面积公式可求ab =40，由余弦定理可求a +b 的值，即可解得△ABC 的周长．【详解】(1)∵(2b −a)cosC =c ⋅cosA ，∴由正弦定理可得：(2sinB −sinA)cosC =sinCcosA ，可得：2sinBcosC =sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)=sinB ，∵sinB >0，∴解得：cosC =12，∵C ∈(0,π)，∴C =π3， (2)由(1)及已知可得：△ABC 的面积为10√3=12ab ×√32，解得ab =40， ∵由余弦定理可得：c 2=a 2+b 2−ab ，可得：49=(a +b)2−3ab =(a +b)2−3×40，解得：a +b =13，∴△ABC 的周长a +b +c =13+7=20【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．（1）m 1=-或m 2=；（2）8z 130≤≤.【分析】利用约束条件画出可行域，()1利用目标函数的最优解求解即可； ()2利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】作出约束条件的可行域如图：由图形可知：()A 3,1，()B 7,9，()C 1,3；()1z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，若m 0>，则m 2=；若m 0<，则m 1=-，故m 1=-；所以m 1=-或m 2=．()222z x y =+的几何意义是可行域内的点与()0,0的距离的平方，由图可得：2min z 8==；2max z |OB |130==．8z 130∴≤≤．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合以及计算能力．20．（1）724-（2）725【解析】【分析】 ()1直接利用三角函数关系式的恒等变变换和诱导公式的运算求出结果；()2利用向量的线性运算和垂直的关系求出结果．【详解】()1角θ满足θ3sin 25=-，θ4cos 25=， 所以：θθ24sin θ2sin cos 2225=⋅=-．22θθ7cos θcos sin 2225=-=． 则：πsin θ2019ππcos θ72tan θtan θπ22sin θ24cos θ2⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-===- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭． ()2由于：OA OB AB -=，所以：当AB OB ⊥时，此时7AB OA sin AOB cos θ25∠===． 即：最小值为725． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，诱导公式的应用，向量的相关的运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21．（1）a n=n+1,b n=2−b n−2+b n−1；（2）T n=3−(n+3)⋅(12)n.【解析】【分析】(1)由数列的递推式：n=1时，b1=S1，n≥2时，b n=S n−S n−1，化简计算可得b n；再由等差数列的通项公式，可得首项和公差，即可得到a n；(2)由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．【详解】(1)S n+b n=2，可得n=1时，b1=S1=2−b1，可得b1=1；n≥2时，b n=S n−S n−1=2−b n−2+b n−1，即有b n=12b n−1，可得b n=(12)n−1；等差数列{a n}的公差设为d，b1a2=3，b1+a5=7，即有a1+d=3，a1+4d=6，解得a1=2，d=1，可得a n=2+n−1=n+1；(2)T n=a1b2+a2b3+⋯+a n b n+1=2⋅12+3⋅(12)2+⋯+(n+1)⋅(12)n，1 2T n=2⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯+(n+1)⋅(12)n+1，相减可得12T n=1+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−(n+1)⋅(12)n+1=1+14(1−12n−1)1−12−(n+1)⋅(12)n+1，化简可得T n=3−(n+3)⋅(12)n．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的通项公式，考查数列的错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题．22．（1）单调递减区间为π5πkπ,kπ36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z∈，对称轴方程为()kππx k Z23=+∈；（2）π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】 ()1利用恒等变换公式将()f x 化为πsin 2x 6⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果； ()2利用正弦函数的图象可得实数a 的取值范围．【详解】()()()()11f x cos2x sin2x sinx cosx sinx cosx 22=++-+1πcos2x cos2x sin 2x 26⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令ππ3π2k π2x 2k π262+≤-≤+，则π5πk πx k π36+≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 由()ππ2x k πk Z 62-=+∈得()k ππx k Z 23=+∈． ()f x ∴图象的对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈． ()π2x ,a 12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2x ,2a 636⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦ 结合正弦函数图象可知：ππ4π2a 263≤-≤，解得π3πa 34≤≤， 实数a 的取值范围是π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】 函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质(1) max min =+y A B y A B =-，.(2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）命题“∀x∈R，x2-x≤0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.“0＜x＜”是“0＜sinx＜”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件等差数列{an}的前三项依次为x，1-x，3x，则a2019的值为（）A. 672B. 673C. 674D. 675对于下列四个条件：①an=kn+b（k，b为常数，n∈N*）；②an+2-an=d（d为常数，n∈N*）；③an+2-2an+1+an=0（n∈N*）；④{an}的前n项和（n∈N*）．能确定数列{an}是等差数列的条件的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4已知数列{an}的通项公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜M”，则M的值等于（）A. B. 1 C. D. 2如图，在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB=6，CD=4，，则异面直线AB，CD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.在平面直角坐标系xOy中，设P是双曲线上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记∠PAB=α，∠PBA=β，则tanαtanβ的值为（）A. B. C. D.已知数列{an}是等比数列，Sn表示其前n项和．若a3=2，S4=3S2，则a5的值为（）A. B. 2 C. 4 D. 2或4已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=8，S7=49；数列{bn}满足，则bn取最大值时n的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1，过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，当∠AOB=90°时，k的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若命题“∃n∈N*，n2-nt+6≤0”是真命题，则实数t的取值范围是______．在正项等比数列{an}中，已知++，则的值为______．若数列{an}满足：a1=0，a2=1，a3=3，{an+1-an}为等差数列，则an=______．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2=3F2B，AB=BF1，则椭圆C的标准方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知p：在平面直角坐标系xOy中，方程表示双曲线；q：实数m满足不等式m2-（2a+2）m+a2+2a≤0．（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．在数列{an}中，，（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：为定值．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PBC⊥底面ABCD，PB=PC=BC=2，AB=1．（1）求二面角P-AD-B的大小；（2）求点B到平面PAD的距离．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上．（1）若，点P的坐标为，求椭圆E的方程；（2）若点P横坐标为，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，过点P （0，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求证：为定值；（2）求△AOB面积的最大值．设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn=an2+n，且an＜an+1．（1）求a1，a2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若对任意n∈N*，θ∈R，不等式≤λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值．2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）命题“∀x∈R，x2-x≤0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.“0＜x＜”是“0＜sinx＜”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件等差数列{an}的前三项依次为x，1-x，3x，则a2019的值为（）A. 672B. 673C. 674D. 675对于下列四个条件：①an=kn+b（k，b为常数，n∈N*）；②an+2-an=d（d为常数，n∈N*）；③an+2-2an+1+an=0（n∈N*）；④{an}的前n项和（n∈N*）．能确定数列{an}是等差数列的条件的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4已知数列{an}的通项公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜M”，则M的值等于（）A. B. 1 C. D. 2如图，在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB=6，CD=4，，则异面直线AB，CD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.在平面直角坐标系xOy中，设P是双曲线上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记∠PAB=α，∠PBA=β，则tanαtanβ的值为（）A. B. C. D.已知数列{an}是等比数列，Sn表示其前n项和．若a3=2，S4=3S2，则a5的值为（）A. B. 2 C. 4 D. 2或4已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=8，S7=49；数列{bn}满足，则bn取最大值时n的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1，过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，当∠AOB=90°时，k的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若命题“∃n∈N*，n2-nt+6≤0”是真命题，则实数t的取值范围是______．在正项等比数列{an}中，已知++，则的值为______．若数列{an}满足：a1=0，a2=1，a3=3，{an+1-an}为等差数列，则an=______．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2=3F2B，AB=BF1，则椭圆C的标准方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知p：在平面直角坐标系xOy中，方程表示双曲线；q：实数m满足不等式m2-（2a+2）m+a2+2a≤0．（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．在数列{an}中，，（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：为定值．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PBC⊥底面ABCD，PB=PC=BC=2，AB=1．（1）求二面角P-AD-B的大小；（2）求点B到平面PAD的距离．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆E上．（1）若，点P的坐标为，求椭圆E的方程；（2）若点P横坐标为，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，过点P（0，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求证：为定值；（2）求△AOB面积的最大值．设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn=an2+n，且an＜an+1．（1）求a1，a2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若对任意n∈N*，θ∈R，不等式≤λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值．。

2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．. 1.若直线(1)10x a y +-+=与直线220ax y ++=垂直，则实数a 的值为 ▲ .2．方程22153x y k k +=-- 表示双曲线，则k 的范围是 ▲ ． 3．已知圆22(2)1x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e = ▲ ．4．过点()3,3的直线l 与圆()4222=+-y x 交于A 、B 两点，且32=AB ，则直线l 的方程是 ▲ ．5．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，则该圆锥体的体积是 ▲ ． 6．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm,2cm ，高为3cm ，则该圆台的母线长为 ▲ cm ． 7．设b a ，为两条直线, βα，为两个平面,给出下列命题:①若,,a b a b αα⊥⊥//则 ②若,,a b a b αα////则// ③若,,a b b a αα⊥⊥则// ④若,,a a αβαβ⊥⊥则// 其中真命题是 ▲ .（写出所有真命题的序号）8. 已知命题： ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂αm ，在“ ”处补上一个条件使其构成真命题（其中ml ,是直线，α是平面），这个条件是 ▲ .9．一个长方体各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为 ▲ .10．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ .11．抛物线22(0)y px p =>上的点(4,)M y 到焦点F 的距离为5，O 为坐标原点，则OFM∆的面积为 ▲ ．12．过椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影为右焦点F ,若1132k <<，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ▲ ．13．若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ▲ ．14．已知椭圆22134x y +=的上焦点为F ，直线10x y ++=和10x y +-=与椭圆相交于点A ，B ，C ，D ，则AF BF CF DF +++= ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分14分）如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是BC 和l ∥m l ∥α11B C 的中点．（1）求证：11A D ∥平面1AB D ； （2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O B BC ∠=，求三棱锥 1B ABC -的体积．16．（本题满分14分） 如图，F 是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的右焦点，直线l ：x ＝4是椭圆C 的右准线，F 到直线l 的距离等于3． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上动点，PM ⊥l ，垂足为M ．是否存在点P ，使得△FPM 为等腰 三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．（本题满分14分）如图，已知椭圆2212516x y +=的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．l ∥m18．（本题满分16分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==．（1）求证：1//C E 平面ADF ； （2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ？19．（本题满分16分）已知椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,5)A ，(8,3)B --，C 、D 在该椭圆上，直线CD 过原点O ，且在线段AB 的右下侧．（1）求椭圆G 的方程；（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．20．（本题满分16分）已知圆M 的圆心在直线260x y --=上，且过点(1,2)、(4,1)-．（第19 题） 11题）（1）求圆M 的方程；（2）设P 为圆M 上任一点，过点P 向圆O ：221x y +=引切线，切点为Q ．试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说 明理由．高二数学期中试卷答案一、填空题1．32; 2．),5()3,(+∞⋃-∞; 3． 13;4．3=y 或0334=--y x ; 5． 6．10; 7． ④; 8． α⊄l ; 9．;10、2231x y -=; 11． 2; 12．12(,)23;13、4 ; 14．8；二、解答题：15. （本题满分14分）（1）证明：连结1DD ， 在三棱锥111ABC A B C -中，1,D D 分别是11,BC B C 的中点， 1111//,B D BD B D BD ∴=，∴四边形11BB D D 为平行四边形，1111//,BB DD BB DD ∴= 1111//,AA BB AA BB =1111//,AA DD AA DD ∴=∴四边形11AA D D 为平行四边形，11//A D AD ∴，11A D ⊄面1AB D ，AD ⊂ 面1AB D ，11//A D ∴面1AB D 。