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薛定谔方程的基本解读薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，描述了微观粒子的行为。
它由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出，是量子力学的重要里程碑。
本文将对薛定谔方程进行基本解读，介绍其数学形式、物理意义以及应用领域。
薛定谔方程的数学形式是一个偏微分方程，通常用Ψ表示波函数，可以写成如下形式：iħ∂Ψ/∂t = -ħ^2/2m∇^2Ψ + VΨ其中，i为虚数单位，ħ为约化普朗克常数，t为时间，m为粒子的质量，∇^2为拉普拉斯算子，V为势能。
这个方程描述了波函数Ψ随时间演化的规律。
薛定谔方程的物理意义在于，它描述了微观粒子的波粒二象性。
根据波粒二象性理论，微观粒子既可以表现出粒子的特性，如位置和动量，又可以表现出波的特性，如干涉和衍射。
波函数Ψ描述了粒子的状态，它的模平方|Ψ|^2表示了在某个位置找到粒子的概率。
薛定谔方程的解可以分为定态解和非定态解。
定态解对应于粒子的能量本征态，可以用一个复数函数表示。
非定态解则描述了粒子的时间演化，需要用到波包的概念。
波包是一种局域化的波函数，可以看作是许多不同频率的波叠加而成。
它在空间上具有有限的范围，可以用高斯函数表示。
波包的形状和演化受到薛定谔方程的影响，可以通过数值计算得到。
薛定谔方程的应用领域非常广泛。
在原子物理中，薛定谔方程被用来解释原子的能级结构和光谱现象。
在凝聚态物理中，薛定谔方程被用来研究晶体中的电子行为，如导电性和磁性。
在量子力学的基础研究中，薛定谔方程是研究量子纠缠和量子计算的基础。
除了基础研究，薛定谔方程还有许多实际应用。
在材料科学中，薛定谔方程可以用来模拟材料的电子结构和性质，为新材料的设计和开发提供理论指导。
在化学领域，薛定谔方程被用来研究分子的结构和反应动力学。
在生物物理学中，薛定谔方程被用来研究生物大分子的结构和功能。
总之，薛定谔方程是量子力学的基础方程，描述了微观粒子的波粒二象性。
它的数学形式简洁而优美，物理意义深远。
薛定谔方程在各个领域都有重要的应用，为我们深入理解微观世界提供了强大的工具。
第一章+薛定谔方程,一维定态问题
薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一。
它描述了粒子在势场中的运动状态。
在一维定态问题中，我们将研究势场为常数的情况。
薛定谔方程的一般形式为：
$$ ihbarfrac{partial}{partial t}Psi(x,t) = hat{H}Psi(x,t) $$
其中，$Psi(x,t)$ 是波函数，$hat{H}$ 是哈密顿算符，$hbar$ 是普朗克常数除以$2pi$。
对于一维定态问题，我们假设势场 $V(x)$ 是常数。
此时，哈密顿算符可以写成：
$$ hat{H} = -frac{hbar^2}{2m}frac{partial^2}{partial x^2} + V(x) $$
其中，$m$ 是粒子质量。
根据定态解的定义，波函数可以表示为：
$$ Psi(x,t) = psi(x)e^{-iEt/hbar} $$
其中，$E$ 是能量。
将波函数代入薛定谔方程中，得到：
$$ -frac{hbar^2}{2m}frac{d^2psi}{dx^2} + V(x)psi = Epsi $$ 这是一维定态问题的薛定谔方程。
解决这个方程，可以得到粒子的能量和波函数，从而描述粒子在势场中的运动状态。
- 1 -。
定态薛定谔方程
一、定态Schrödinger 方程
22(,)[()](,)2i r t V r r t t m
ψψ∂=-∇+∂ (1) 在一般情况下，从初始状态ψ(r,0)求 ψ(r,t)是不容易的。
以下，我们考虑一个很重要的特殊情形——假设势场V 不显含时间 t （在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时薛定谔方程（1）可以用分离变量数法求其特解。
()V r 与t 无关时，可以分离变量
令(,)()()r t r f t ψψ=
代入(1)式
22()1[()]()()()2i df t V r r f t dt r m
ψψ=-∇+E = 其中E 是即不依赖于t ，也不依赖于r 的常量，这样
()()df t i
Ef t dt
= (2) 22[()]()()2V r r E r ψψμ-∇+= (3) ——定态薛定谔方程
由(2)解得 Et i ce t f -=)( 其中c 为任意常数。
把常数c 放到()E r ψ里面去，则
(,)()i Et E r t r e ψψ-= (4)
这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是ω=Ε/ħ按照德布罗意关系E=h ν=ħω，E 就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。
由此可见，当体系处于（4）式所描写状态时，能量具有确定值E ，所以这种状态称为定态，波函数ψ(r,t)称为定态波函数。
定态有两个含义：1、(,)()i Et E r t r e
ψψ-=；2、E 具有确定值；（判断是否为定态的依
据）
空间波函数()E r ψ可由方程
22[()]()()2E E V r r E r m ψψ-∇+=
和具体问题()E r ψ应满足的边界条件得出。
方程(3)称为定态Schrödinger 方程，()E r ψ也可
称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψE (r,0)的定态波函数。
二、Hamilton 算符和能量本征值方程
1、Hamilton 算符
()()d i
f t Ef t dt
= (2) 22[()]()()2E E V r r E r ψψμ
-∇+= (3)
/(2)(),(1)iEt E r e ψ-⨯⨯
(,)(,)i r t E r t t
ψψ∂=∂ 2
2[()](,)(,)2V r r t E r t ψψμ-∇+=
再由Schrödinger 方程： 22(,)[()](,)2i r t V r r t t m
ψψ∂=-∇+∂ 也可看出，作用于任一波函数ψ上的二算符
i t ∂∂, 22ˆ()2V r H m -∇+= 作用于体系任意一个波函数效果是相当的。
这两个算符都称为能量算符。
与经典力学相同， Ĥ称为Hamilton 量，亦称Hamilton 算符。
2、能量本征值方程
将 2
2[()](,)(,)2V r r t E r t ψψμ-
∇+=
改写成 ˆ(,)(,)H
r t E r t ψψ= 三、求解定态问题的步骤
从数学上讲，对于任何E 值，不含时的薛定谔方程（3）都有解，但并非对于一切E 值所得出的解ψ(r)都满足物理上的要求。
这要求有的是根据波函数的统计解释而提出的，有的是根据具体的物理情况而提出的，例如束缚态边条件，周期性边条件，散射态边条件等。
在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些E 值所对应的解才是物理上可以接受的。
这些E 值称为体系的能量本征值，而相应的解ψE (r)称为能量本征函数，不含时薛定谔方程（3）实际上就是在势场V （r ）中粒子的能量本征方程。
1、列出定态Schrödinger 方程
2
2[()]()()2V r r E r m ψψ-∇+=
2、根据波函数三个标准条件（单值、连续、有限）求解能量E 的本征值问题，得： 本征值： E 1，E 2，…，E n ，…
本征函数： ψ1，ψ2，…，ψn ，…
3、写出定态波函数即得到对应第n 个本征值E n 的定态波函数
(,)()n n i E t n E r t r e ψψ-=
4、通过归一化确定归一化系数C n 返回 2()1n n C r d ψτ∞-∞=⎰
四、定态的性质 1、粒子在空间几率密度以及几率流密度与时间无关；
2、任何不显含t 的力学量平均值与t 无关；
3、任何不显含t 的力学量的测值几率分布也不随时间变化。
如果对于同一E 值，存在几个线性无关的函数，满足同一定态方程，这种情况称为简并，其中线性无关函数的个数则称为对应能级的简并度。
五、定态解的正交性
属于不同能量的定态解彼此正交。
若E n ≠E m ，则有
0*=⎰r d n m
ψψ 即Ψm 与Ψn 正交。
当En=Em 时，如果能级不简并，Ψm 与Ψn 实为同一函数，故积分不为零，适当选取常数可使其归一化。
如果能级简并，简并度为f ，则我们总可以从这f 个线性无关的简并波函数中重新组合出f 个函数，使其互相正交并归一化。
于是定态解的全体满足以下正交归一化条件
mn n m n r d r r δψψψψ=≡⎰ )()(,*m ）（
六、含时薛定谔方程的一般解
定态是系统的稳定状态。
注意，即使系统的哈密顿算符不显含时间，系统并非必须于定态。
系统处于什么状态与初始情况有关。
所以，一般情况下，我们尚需讨论在任意给定的初始条件下，系统将如何运动。
薛定谔方程为一齐次线性微分方程，其通解可表示为诸特解的线性叠加
)(]ex p[),(t ,r r t E i C t r C n n n n n n n
ψ-==∑∑ψψ）（
2012年10月22日于河北工业大学北五202。
