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爱因斯坦薛定谔方程
爱因斯坦-薛定谔方程（Einstein-Schrödinger equation）是一个量子力学中的方程，将爱因斯坦的相对论和薛定谔方程结合在一起，描述了物质和场相互作用的行为。
这个方程是在广义相对论和量子力学之间的理论框架下提出的。
具体而言，爱因斯坦-薛定谔方程描述了物质在引力场中的行为，以及粒子与电磁场的相互作用。
它是一个偏微分方程，通常被写成：iħ∂ψ/∂t = (c^2√(p^2c^2 + m^2c^4) + eφ)ψ。
其中，ψ是波函数，描述了量子态的演化；t是时间；ħ是约化普朗克常数；c是光速；p是动量算符；m是粒子的静质量；e是元电荷；φ是电磁场势。
爱因斯坦-薛定谔方程是一个非常复杂的方程，它描述了物质在引力场和电磁场中的量子行为。
这个方程在理论物理的研究中扮演着重要的角色，帮助我们理解微观世界的行为。
但是，由于其复杂性，解析解很难找到，通常需要使用数值方法进行求解。
量子力学薛定谔方程引言量子力学是描述微观粒子行为的物理理论，而薛定谔方程是量子力学的核心方程之一。
薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，它描述了微观粒子的波动性质和运动规律。
本文将详细介绍量子力学薛定谔方程的背景、推导过程以及其在解释微观世界中粒子行为方面的重要性。
背景在20世纪初，科学家们发现了一些无法用经典物理学解释的现象，比如黑体辐射、光电效应和原子光谱等。
这些现象表明，在微观尺度下，经典物理学的规律不再适用。
为了解释这些现象，物理学家们开始寻找一种新的理论来描述微观世界。
波粒二象性根据实验结果和理论分析，科学家们得出了一个重要结论：微观粒子既具有粒子性又具有波动性。
这就是所谓的波粒二象性。
根据这一概念，物理学家们开始研究如何用波动方程来描述微观粒子的行为。
薛定谔方程的推导薛定谔方程的推导基于波动方程和量子力学的基本假设。
首先，我们假设微观粒子的运动状态可以用一个波函数来描述。
这个波函数是一个复数函数，它包含了关于粒子位置和动量等信息。
然后，根据经典波动理论，我们可以得到微观粒子的波动方程。
接下来，通过引入哈密顿算符和能量守恒原理，我们得到了薛定谔方程。
薛定谔方程的一般形式为：ĤΨ=iℏ∂Ψ∂t其中，Ĥ是哈密顿算符，Ψ是波函数，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数。
薛定谔方程的意义薛定谔方程在解释微观世界中粒子行为方面起着重要作用。
首先，通过求解薛定谔方程，我们可以得到微观粒子的能级和能量分布情况。
这对于研究原子、分子以及固体材料的性质具有重要意义。
其次，薛定谔方程还可以描述微观粒子的运动轨迹和概率分布。
根据波函数的模平方，我们可以计算出粒子在不同位置的概率密度。
这为我们理解粒子在空间中的行为提供了依据。
此外，薛定谔方程还可以用于描述微观粒子之间的相互作用和碰撞过程。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到相互作用势能和散射截面等重要物理量。
薛定谔方程的应用薛定谔方程在量子力学研究领域有着广泛的应用。
薛定谔方程在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为；(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为。
(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
类似地，方程 (2) 变为。
历史背景与发展爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。
他建议光子的能量与频率成正比。
在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。
1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。
电子也有这种性质。
电子是一种波动，是电子波。
电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。
1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。
然后，测量反射的强度，侦测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。
戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。
薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。
于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。
哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。
奥地利物理学家薛定谔简介薛定谔是奥地利著名的物理学家，薛定谔这样一个巨人，他的一生有太多的东西值得我们记得，下面是店铺为你搜集物理学家薛定谔的简介，希望对你有帮助!物理学家薛定谔的简介薛定谔出生于奥地利一个手工业者家庭，父亲是一位商人，家庭环境也比较优裕。
是奥地利著名物理学家。
他从小热爱读书，爱好广泛。
是一个聪明爱学习的孩子，他喜欢探索未知，善于观察。
曾经在多所大学任教。
最后因为生病于1961年离开了世界，他的一生传奇而伟大。
薛定谔最大的成就是在物理上，他在批判哥本哈根诠释中，提出了著名的假想实验薛定谔的猫。
这只猫的出现瞬间在学术界炸开了锅，改变了人们的传统思维。
他的另一个伟大成就便是薛定谔方程的提出。
这个方程被称为是量子力学的基础方程。
这两个成就影响了整个学术界的发展。
有着划时代的重大意义。
薛定谔的一生还有一部旷世巨作《生命是什么》，这本著作的出现推动了整个分子生物学的发展。
他试图让物理学和生物学得到统一。
薛定谔的情感也是很精彩的。
不过他的情感态度却不怎么受世人的认同。
他可谓是一个风流的学者，他的情感也是疯狂而炙热的。
他的一生只有安妮玛丽一位妻子，并且白头走到了最后。
可他还有许多女朋友，最令我们惊叹的是他让情妇和安妮共处一室。
什么是薛定谔把妹法什么是薛定谔把妹法呢?它的灵感源于他的一个伟大假说薛定谔的猫。
在实验中他把猫关在密闭的箱子里。
里面有食物和毒药。
毒药又和原子装置连在一起。
原子衰变便会触发机关，猫也会死。
可猫也有可能活着。
只有打开密室观看，才能知道结果。
人们在这个实验的基础上。
提出了薛定谔把妹法。
即每天拿出硬币来抛掷，让硬币的结果决定是否给喜欢的妹子送早餐，这个概率是随机的。
妹子每天打开抽屉看到早餐的概率也是随机的。
也让事件变得有神秘感。
而妹子也会对是否有早餐感到好奇，近而对送早餐的人物感兴趣。
这个带着神秘感的人也会让妹子爱上他。
薛定谔把妹法就是利用一种不确的因素，来让事件变得不确定，从而产生神秘感。
薛定谔方程在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为；(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为。
(2)假若，系统有个粒子，则波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
类似地，方程 (2) 变为。
历史背景与发展爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。
他建议光子的能量与频率成正比。
在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。
1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。
电子也有这种性质。
电子是一种波动，是电子波。
电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。
1927年，克林顿·戴维和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。
然后，测量反射的强度，侦测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。
戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。
薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。
于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。
哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。
这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。
哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。
可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。
这也是薛定谔所成就的。
他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。
借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。
薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。
但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。
薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库仑位势的量子行为。
薛定谔计算出这方程的定态波函数。
可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。
虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。
因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。
1926年，正式发表于物理学界[2]。
从此，给予了量子力学一个新的发展平台。
薛定谔方程漂亮地解释了的行为，但并没有解释的意义。
薛定谔曾尝试解释代表电荷的密度，但却失败了。
1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解释了的物理意义[3]。
可是，薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。
就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。
在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信，薛定谔清楚地表明了这看法。
含时薛定谔方程导引启发式导引含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设：假设(1) 一个粒子的总能量可以经典地表达为动能与势能的和：；其中，是动量，是质量。
特别注意，能量与动量也出现于以下两个关系方程。
(2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量与对应的电磁波的频率成正比：其中，是普朗克常数，是角频率。
(3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数来表达。
粒子的动量与伴随的波函数的波长有关：；其中，是波数。
用矢量表达，。
波函数以复值平面波来表达波函数1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示：。
他想到，因此。
并且相同地由于，因此得到。
再由经典力学的公式，一个粒子的总能为，质量为，在势能处移动：。
薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程：。
薛定谔的导引思考一个粒子，运动于一个保守的位势。
我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程；其中，是哈密顿主函数。
由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分：；其中，不相依于时间的函数是哈密顿特征函数，是能量。
将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到；哈密顿主函数随时间的全导数是。
思考哈密顿主函数的一个常数的等值曲面。
这常数的等值曲面在空间移动的方程为。
所以，在设定等值曲面的正负面后，朝着法线方向移动的速度是。
这速度是相速度，而不是粒子的移动速度：。
我们可以想像为一个相位曲面。
既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与成比例的波函数：；其中，是常数，是相依于位置的系数函数。
将哈密顿主函数的公式代入波函数，成为。
注意到的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论；其中，是约化普朗克常数，是角频率。
设定，粒子的波函数变为；其中，。
的波动方程为。
将波函数代入波动方程，经过一番运算，得到。
注意到。
稍加编排，可以导引出薛定谔方程：。
特性线性方程态叠加原理薛定谔方程是一个线性方程。
满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。
假若与是某薛定谔方程的解。
设定，其中，与是任何常数。
则也是一个解。
证明根据不含时薛定谔方程 (1) ，，。
线性组合这两个方程的解，。
所以，也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。
类似地，我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。
实值的本征态不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。
但在这状况，线性关系有稍微不同的意义。
假若两个波函数与都是某不含时薛定谔方程的，能量为的解答，则这两个不同的波函数解答为简并的。
任何线性组合也是能量为的解答。
对于任何位势，都有一个明显的简并：假若波函数是某薛定谔方程的解答，则其共轭函数也是这薛定谔方程的解答。
所以，的实值部分或虚值部分，都分别是解答。
我们只需要专注实值的波函数解答。
这限制并不会影响到整个不含时问题。
转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向移动。
给予某含时薛定谔方程的解答。
其替代波函数是另外一个解答：。
这解答是复共轭对称性的延伸。
称复共轭对称性为时间反转。
幺正性在量子力学里，对于任何事件，所有可能产生的结果的概率总和等于 1 ，称这特性为幺正性。
薛定谔方程能够自动地维持幺正性。
用波函数表达，。
(3)为了满足这特性，必须将波函数归一化。
假若，某一个薛定谔方程的波函数尚未归一化。
由于薛定谔方程为线性方程，与任何常数的乘积还是这个薛定谔方程的波函数。
设定；其中，是归一常数，使得。
这样，新波函数还是这个薛定谔方程的解答，而且，已经被归一化了。
在这里，特别注意到方程 (3) 的波函数相依于时间，而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。
在某个时间的归一化，并不保证随着时间的演化，波函数仍旧保持归一化。
薛定谔方程有一个特性：它可以自动地保持波函数的归一化。
这样，量子系统永远地满足幺正性。
所以，薛定谔方程能够自动地维持幺正性。
证明总概率随时间的微分表达为。
(4) 思考含时薛定谔方程，。
其复共轭是。
所以，代入方程 (4) ，在无穷远的极限，符合物理实际的波函数必须等于 0 。
所以，。
薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。
完备基底能量本征函数形成了一个完备基底。
任何一个波函数可以表达为离散的能量本征函数的线性组合，或连续的能量本征函数的积分。
这就是数学的谱定理 (spectral theorem) 。
在一个有限态空间，这表明了厄米算符的本征函数的完备性。
相对论性薛定谔方程薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑围。
对于伽利略变换，薛定谔方程是个不变式；可是对于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变。
为了要包含相对论效应，必须将薛定谔方程做极大的改变。
试想能量质量关系式，；其中，是光速，是静止质量。
直接地用这关系式来推广薛定谔方程：。
或者，稍加编排，；其中，，是达朗贝尔算符。
这方程，称为克莱因-高登方程，是洛伦兹不变式。
但是，它是一个时间的二阶方程。
所以，不能成为波函数的方程。
并且，这方程的解答拥有正频率和负频率。
一个平面波函数解答遵守；其中，是角频率，可以是正值或负值。
对量子力学来说，正负角频率或正负能量，是一个很严峻的问题，因为无法从底端限制能量的最低值。
虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍旧能够正确地计算出相对论性的，自旋为零的粒子的波函数。
保罗·狄拉克发明的狄拉克方程，是时间的一阶微分方程，一个专门描述自旋-½粒子量子态的波函数方程：，其中，是自旋-½粒子的质量，与分别是空间和时间的坐标。
狄拉克方程方程仍旧存在负能量的解答。
为了要除去这麻烦的瑕疵，必须用到多粒子图案，把波动方程当作一个量子场的方程，而不是一个波函数的方程。
因为，相对论与单粒子图案互不相容。
一个相对论性粒子不能被局限于一个小区域，除非粒子的数量变为无穷多。
假若，一个粒子被局限于一个长度为的一维盒子里，根据不确定性原理，动量的不确定性。
假若，因为粒子的动量足够的大，质量可以被忽略，则能量的不确定性大约为。
当盒子的长度等于康普顿波长时，能量的不确定性等于粒子的质能。
当盒子的长度小于康普顿波长时，我们无法确定盒子只有一个粒子。
因为，能量的不确定性，足够从真空制造更多的粒子。
我们用来测量盒子粒子位置的机制，也可以从真空制造更多的粒子。
解析方法自由粒子主条目：自由粒子当位势为 0 时，薛定谔方程为。
解答是一个平面波：，其中，是波矢，是角频率。
代入薛定谔方程，这两个变量必须遵守以下关系：。
由于粒子存在的概率必须等于 1 ，波函数必须先归一化，然后才能够表达出正确的物理意义。
对于一般的自由粒子而言，这不是一个问题。
因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。
在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。
自由粒子的波函数可以表示为一个波包的函数。
：；其中，积分的区域是所有的 -空间。
为了简化计算，只思考一维空间，；其中，因子是由傅里叶变换的常规而设定，振幅是线性叠加的系数函数。
