一维含时薛定谔方程的MATLAB有限差分矩阵分解算法

⼀维定态薛定谔⽅程求解的两种⽅法（matlab）量⼦⼒学中，薛定谔⽅程是核⼼。

薛定谔的猫描述了态的概念，但实际研究中，要想细致地研究⼀个原⼦，分⼦，甚⾄⼀块物质，都需要从薛定谔⽅程的求解开始。

下⾯将会以我的⼀次作业的题⽬为例，向⼤家展⽰整个求解过程。

薛定谔⽅程的完整形式为：以上⽅程有对时间的微分，还有对空间的微分。

⽽对于定态的薛定谔⽅程，我们只需考虑某⼀时刻的波函数，所以直接可将能量算符替代为E（⼀个常数）。

(1)分段势能法对于空间的梯度，如果只是⼀维情况的话，可以直接将梯度算符改为微分。

所以⼀维定态薛定谔⽅程就显得很简单：就是⼀个简单的⼆阶微分⽅程。

此⽅程的解想必⼀眼就可以看出来。

就是这个解是假设U(x)与x⽆关，是⼀个常数才得出这个⾃由波的解。

类似与微积分中的⽅法，对于⼀个任意势场函数，我们可以假设在某⼀个极⼩的dt范围内，势函数是不变的，因此可以将任意⼀个势函数⽤有限个⼀定宽度的恒定势场来代替。

如下图所⽰：其中的各个⼩段的波函数就可以表⽰为这样就会有2N个⽅程，然后利⽤内部的n-1个边界条件（界⾯处波函数连续，波函数的倒数连续），和两端的衔接（假设⼊射为1，则A1=1, B1=r；且最终透射端没有反射波，AN=t, BN=0. ），就可以写出2N个线性⽆关的⽅程，从⽽可以将系数都求解出来。

注意，这种情况下，我们⽆从得知基态的能量值，以及能量的分⽴的特性。

但是从这种⾓度出发，我们可以很容易计算出波在这样的势函数中传输特性，可以计算出⼊射端的反射系数R，以及不同能量所对应的⼊射波的透射系数T。

下⾯将以⼀个例⼦应⽤上述关系。

根据上图中所⽰的势函数求解薛定谔⽅程，得到透射系数和反射系数随温度的变化关系为(2)差分法现在我们从另外⼀个⾓度出发，⼀维定态薛定谔⽅程如下在这⾥，我们要求的是，可以将分为N份，采⽤数值计算⽅法，将微分⽅程变成差分⽅程。

参考相应书籍可知可以化为对于上述波函数也可以转化为类似的形式，所以可以由矩阵T的特征值对应能量，特征向量对应于波函数在每⼀个节点的解。

Fpg一维扩散方程の有限差分法——计算物理实验作业七 陈万物理学 2013 级 题目：编程求解一维扩散方程の解uD 2u 2 (0 x a 0 ,0 t t max ) tx u(x,t) |t 0 e x ua 1ub 1 nc 1(x 0)a 2ub 2 uc 2( x a 0 )n取 a 1 1,b 1 1, c 1 0, a 2 1, b 21, c 2 0, a 0 1.0,t max 。

输出 t=1,2,...,10 时辰の x 和 u(x), 并与解析解 u=exp(x+0.1t)作比较。

主程序：% 一维扩散方程の有限差分法 clear,clc;%定义初始常量a1 = 1; b1 = 1; c1 = 0; a2 = 1;b2 =-1; c2 = 0;a0 = 1.0; t_max = 10; D = 0.1; h = 0.1; tao = 0.1;%调用扩散方程子函数求解u = diffuse_equation(a0,t_max,h,tao,D,a1,b1,c1,a2,b2,c2);子程序 1：function output = diffuse_equation(a0,t_max,h,tao,D,a1,b1,c1,a2,b2,c2)% 一维扩散方程の有限差分法，采用隐式六点差分格式 (Crank-Nicolson)% a0: x の最大值% t:_max: t の最大值% h: 空间步长% tao: 时间步长% D ：扩散系数% a1,b1,c1是（ x=0）界线条件の系数； a2,b2,c2是（ x=a0）界线条件の系数x = 0:h:a0;n = length(x);t = 0:tao:t_max;k = length(t);P = tao * D/h^2;P1=1/P+1;P2 = 1/P- 1;u = zeros(k,n);%初始条件u(1,:) = exp(x);%求 A 矩阵の对角元素dd = zeros(1,n);d(1,1) = b1*P1+h*a1;d(2:(n-1),1) = 2*P1;d(n,1) = b2*P1+h*a2;%求 A 矩阵の对角元素下边一行元素ee= -ones(1,n-1);e(1,n-1) = -b2;%求 A 矩阵の对角元素上边一行元素ff= -ones(1,n-1);f(1,1) = -b1;R = zeros(k,n);%求 R%追赶法求解for i = 2:kR(i,1) = (b1*P2-h*a1)*u(i -1,1)+b1*u(i -1,2)+2*h*c1;for j = 2:n-1R(i,j) = u(i -1,j-1)+2*P2*u(i -1,j)+u(i -1,j+1);endR(i,n) = b2*u(i -1,n-1)+( b2*P2-h*a2)*u(i -1,n)+2*h*c2;M = chase(e,d,f,R(i,:));u(i,:) = M';plot(x,u(i,:)); axis([0 a0 0 t_max]); pause(0.1)endoutput = u;%绘图比较解析解和有限差分解[X,T] = meshgrid(x,t);Z = exp(X+0.1*T);surf(X,T,Z),xlabel( 'x'),ylabel('t'),zlabel('u'),title( '解析解 '); figuresurf(X,T,u),xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('u'),title( '有限差分解 ');子程序 2：function M = chase(a,b,c,f)%追赶法求解三对角矩阵方程， Ax=f%a 是对角线下边一行の元素%b 是对角线元素%c 是对角线上边一行の元素%M 是求得の结果，以列向量形式保存n = length(b);beta = ones(1,n-1);y = ones(1,n);M = ones(n,1);for i = (n-1):(-1):1a(i+1) = a(i);end%将 a 矩阵和 n 对应beta(1) = c(1)/b(1);for i = 2:(n-1)beta(i) = c(i)/( b(i) -a(i)*beta(i -1) );endy(1) = f(1)/b(1);for i = 2:ny(i) = (f(i) -a(i)*y(i -1))/(b(i) - a(i)*beta(i-1));endM(n) = y(n);for i = (n-1):(-1):1M(i) = y(i) -beta(i)*M(i+1);endend结果：比较解析两图，结果令人满意。

matlab有限差分法一、前言Matlab是一种广泛应用于科学计算和工程领域的计算机软件，它具有简单易学、功能强大、易于编程等优点。

有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值解法，它将微分方程转化为差分方程，通过对差分方程进行离散化求解，得到微分方程的数值解。

本文将介绍如何使用Matlab实现有限差分法。

二、有限差分法基础1. 有限差分法原理有限差分法是一种通过将微分方程转化为离散形式来求解微分方程的数值方法。

其基本思想是将求解区域进行网格划分，然后在每个网格点上进行逼近。

假设要求解一个二阶常微分方程：$$y''(x)=f(x,y(x),y'(x))$$则可以将其转化为离散形式：$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=f(x_i,y_i,y'_i)$$其中$h$为网格步长，$y_i$表示在$x_i$处的函数值。

2. 一维情况下的有限差分法对于一维情况下的常微分方程：$$\frac{d^2 y}{dx^2}=f(x,y,y')$$可以使用中心差分法进行离散化：$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=f(x_i,y_i,y'_i)$$这个方程可以写成矩阵形式：$$A\vec{y}=\vec{b}$$其中$A$为系数矩阵，$\vec{y}$为函数值向量，$\vec{b}$为右端项向量。

三、Matlab实现有限差分法1. 一维情况下的有限差分法假设要求解的方程为：$$\frac{d^2 y}{dx^2}=-\sin(x)$$首先需要确定求解区域和网格步长。

在本例中，我们将求解区域设为$[0,2\pi]$，网格步长$h=0.01$。

则可以通过以下代码生成网格：```matlabx = 0:0.01:2*pi;```接下来需要构造系数矩阵和右端项向量。

根据上面的公式，系数矩阵应该是一个三对角矩阵，可以通过以下代码生成：```matlabn = length(x)-2;A = spdiags([-ones(n,1), 2*ones(n,1), -ones(n,1)], [-1 0 1], n, n); ```其中`spdiags`函数用于生成一个稀疏矩阵。

matlab数值薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子的行为的基本方程。

在数值计算中，我们可以使用数值方法来求解薛定谔方程。

下面我将从多个角度来回答关于在MATLAB中数值求解薛定谔方程的问题。

1. 数值方法的选择：在MATLAB中，我们可以采用多种数值方法来求解薛定谔方程，其中常用的方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

选择合适的数值方法取决于问题的特点和计算资源的可用性。

2. 离散化：在数值计算中，我们需要将薛定谔方程离散化为有限个点上的代数方程。

通常，我们会将空间离散化为网格，并在每个网格点上计算波函数的值。

时间离散化则是通过迭代的方式逐步求解时间演化。

3. 有限差分法：有限差分法是一种常见的数值方法，它将导数近似为有限差分。

在薛定谔方程中，我们可以将二阶导数近似为中心差分，然后使用差分方程来求解离散化的薛定谔方程。

4. 有限元法：有限元法是一种广泛应用于偏微分方程求解的数值方法。

在薛定谔方程中，我们可以使用有限元法将波函数表示为一组基函数的线性组合，并通过求解线性方程组来确定系数。

5. 谱方法：谱方法是一种基于函数展开的数值方法，它使用一组特定的基函数来表示波函数。

在薛定谔方程中，我们可以使用傅里叶级数或其他正交多项式作为基函数，并通过求解线性方程组来确定系数。

6. 边界条件：在数值求解薛定谔方程时，我们需要指定合适的边界条件。

常见的边界条件包括固定边界条件和周期性边界条件，具体取决于问题的物理背景。

7. 算法实现：在MATLAB中，我们可以使用内置的数值计算函数和工具箱来实现数值求解薛定谔方程。

例如，可以使用MATLAB的PDE Toolbox来求解偏微分方程，或者使用MATLAB的FFT函数来进行傅里叶变换。

总结起来，数值求解薛定谔方程是一个复杂而重要的问题，需要根据具体情况选择合适的数值方法并进行适当的离散化和边界条件处理。

MATLAB提供了丰富的数值计算工具和函数，可以帮助我们实现数值求解薛定谔方程的算法。

14—6 矩阵分解的Matlab 命令2(1)矩阵的LU 分解(2)矩阵的QR 分解(3 )矩阵的Cholesky 分解(4) 矩阵的奇异值分解(5)矩阵的特征值分解(6) 矩阵的Schur 分解(7) 矩阵的Jordan 标准型分解3(1)矩阵的LU 分解在Matlab 中用函数lu 来实现矩阵的LU 分解，其命令格式为：[L, U]=lu(X)说明：U 矩阵为上三角矩阵，满足X=L*U.4[L,U,P]=lu(X)说明：返回的P 矩阵是置换矩阵，矩阵U 是上三角矩阵，矩阵L 满秩矩阵，满足L*U=P*X.5例4.1>>a=[1,2,4;2,-1,5;-1,10,4];>> [b,c,p]=lu(a)运行结果:b =1.0000 0 0-0.5000 1.0000 00.5000 0.2632 1.00006c =2.0000 -1.0000 5.00000 9.5000 6.50000 0 -0.2105p =0 1 00 0 11 0 07(2)矩阵的QR 分解在Matlab 中，矩阵的QR 分解可由函数qr 来实现，其常用的调用格式如下：①[B,C]=qr(A)说明：返回的C 矩阵为上三角矩阵，矩阵B 为满秩矩阵。

[Q,R,E]=qr(A)说明：返回的矩阵E 是置换矩阵，矩阵R 是上三角矩阵，矩阵Q 是满秩矩阵，上述矩阵满足关系A*E=Q*R.8例4.2>> a=[1,2,4;2,-1,5;-1,10,4];>> [b,c,e]=qr(a)运行结果:b =-0.1952 -0.5068 -0.83970.0976 -0.8619 0.4976-0.9759 0.0152 0.21779c =-10.2470 -4.1964 0.97590 -6.2762 -2.24580 0 -0.0622e =0 0 11 0 00 1 010(3 )矩阵的Cholesky 分解在Matlab 中用函数chol 对矩阵进行Cholesky 分解，函数chol 的调用格式为：1.R=chol(X)说明：矩阵X 必须是正定矩阵，否则会返回错误信息，返回的矩阵R 是上三角矩阵。

一维薛定谔方程求解
薛定谔方程是研究量子力学的基本方程之一，用于描述微观粒子（如电子、原子、分子等）在时间和空间中的运动和状态。

在一维情况下，薛定谔方程可以写为：
iψ(x,t)/t = -^2/2m ^2ψ(x,t)/x^2 + V(x)ψ(x,t) 其中，ψ(x,t)是波函数，描述了粒子在时空中的状态；m是粒子的质量；V(x)是势能函数，描述了粒子在不同位置的势能。

这个方程可以通过一些数值方法来求解，例如有限差分法、谱方法等。

其中，有限差分法是一种简单易懂的数值求解方法，它将微分方程转化为差分方程，通过在空间和时间上进行离散化，用有限差分代替微分，从而得到数值解。

在求解一维薛定谔方程时，我们可以采用中心差分法或向前/向后差分法来进行空间和时间上的离散化，并利用迭代法或解析法来求解差分方程。

另外，谱方法也是一种常用的数值求解方法，它将波函数表示为一组基函数的线性组合，通过对基函数的选择和系数的计算，得到波函数的数值解。

在求解一维薛定谔方程时，我们可以选择正交多项式作为基函数，例如拉盖尔多项式、切比雪夫多项式等，利用计算机进行系数的计算，从而得到波函数的数值解。

总之，在求解一维薛定谔方程时，我们可以利用有限差分法或谱方法进行数值求解，得到粒子在时空中的波函数和状态。

这些数值解可以用来研究微观粒子的运动和相互作用，对于理解和设计材料、药物、电子器件等具有重要的理论和实际意义。

有限差分 MATLAB简介有限差分方法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程或者常微分方程的数值近似解。

MATLAB是一个功能强大的数值计算软件，可以很方便地实现有限差分方法。

本文将介绍有限差分方法在MATLAB中的应用。

首先，我们将简要介绍有限差分方法的原理和基本思想。

然后，我们将通过一个具体的例子来演示如何使用MATLAB进行有限差分计算。

最后，我们将总结本文内容，并提供一些相关资源供读者进一步深入学习。

有限差分方法原理有限差分方法是一种基于离散化思想的数值计算方法。

它通过将求解区域划分为网格点，并利用离散点上函数值之间的差商逼近导数来近似求解微分方程。

对于一维问题，我们可以将求解区域划分为等距离的网格点，记作x0, x1,x2, …, xn。

每个网格点上函数值记作u0, u1, u2, …, un。

我们希望通过已知边界条件和微分方程来求解其他未知函数值。

有限差分法的基本思想是使用差商逼近导数。

例如，对于一阶导数，我们可以使用前向差分、后向差分或者中心差分来逼近。

其中，前向差分定义为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h后向差分定义为：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h中心差分定义为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / (2h)类似地，我们可以使用更高阶的有限差分来逼近更高阶的导数。

对于二维问题，我们可以将求解区域划分为二维网格点，并在每个网格点上计算函数值。

然后，我们可以使用类似的方法来逼近偏导数。

MATLAB实现在MATLAB中，我们可以很方便地使用矩阵运算和向量化操作来实现有限差分方法。

首先，我们需要定义求解区域和网格点。

假设我们要求解一个一维问题，在区间[0, 1]上进行离散化。

我们可以通过指定网格点个数n和步长h来确定网格点坐标：n = 100; % 网格点个数h = 1/n; % 步长x = linspace(0, 1, n+1); % 网格点坐标接下来，我们需要定义边界条件和微分方程。

MATLAB矩阵分解算法大全1.LU分解：LU分解是一种常见的矩阵分解方法，用于解线性方程组和计算矩阵的行列式。

MATLAB中可以使用`lu`函数来进行LU分解。

以下是一个示例：```matlabA=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];[L, U, P] = lu(A);```其中，`L`和`U`是分解后的下三角矩阵和上三角矩阵，`P`是置换矩阵。

2.QR分解：QR分解是一种用于解线性方程和计算特征值和特征向量的矩阵分解方法。

MATLAB中可以使用`qr`函数进行QR分解。

以下是一个示例：```matlabA=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];[Q, R] = qr(A);```其中，`Q`是正交矩阵，`R`是上三角矩阵。

3. Cholesky分解：Cholesky分解是一种用于解正定对称矩阵线性方程组的方法。

MATLAB中可以使用`chol`函数进行Cholesky分解。

以下是一个示例：```matlabA=[4,2,2;2,5,4;2,4,6];R = chol(A);```其中，`R`是上三角矩阵。

4.奇异值分解（SVD）：SVD是一种常用的矩阵分解方法，用于计算矩阵的奇异值和奇异向量。

MATLAB中可以使用`svd`函数进行奇异值分解。

以下是一个示例：```matlabA=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];[U, S, V] = svd(A);```其中，`U`和`V`是正交矩阵，`S`是对角矩阵，对角线上的元素是矩阵的奇异值。

5.特征值分解：特征值分解是一种用于计算矩阵的特征值和特征向量的方法。

MATLAB中可以使用`eig`函数进行特征值分解。

以下是一个示例：```matlabA=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];[V, D] = eig(A);```其中，`V`是特征向量的矩阵，`D`是对角矩阵，对角线上的元素是矩阵的特征值。

上述是几种常见的矩阵分解算法及其在MATLAB中的实现方法。

matlab数值薛定谔方程摘要：I.引言- 介绍薛定谔方程- 介绍matlab 数值求解方法II.薛定谔方程的数值求解方法- 有限差分法- 有限元法- 谱方法III.matlab 数值求解薛定谔方程的步骤- 准备薛定谔方程的数值模型- 选择数值求解方法- 编写matlab 代码- 运行代码，分析结果IV.结果与讨论- 结果展示- 结果分析- 结果验证V.结论- 总结matlab 数值求解薛定谔方程的方法- 展望未来的研究方向正文：I.引言薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，用于描述一个微观粒子在给定势能场中的运动状态。

然而，由于薛定谔方程本身是一个偏微分方程，它的求解在大多数情况下是非常困难的。

matlab 作为一种强大的科学计算软件，可以用于数值求解薛定谔方程。

本文将介绍薛定谔方程的数值求解方法，以及如何使用matlab 进行数值求解。

II.薛定谔方程的数值求解方法薛定谔方程的数值求解方法主要有以下几种：1.有限差分法：将薛定谔方程的解表示为离散的点，通过差分代替微分，将方程转化为一个线性代数方程组，从而求解薛定谔方程。

2.有限元法：将薛定谔方程的解表示为有限个基函数的线性组合，通过插值或逼近基函数，将方程转化为一个线性代数方程组，从而求解薛定谔方程。

3.谱方法：通过在一组基函数上将薛定谔方程进行投影，将方程转化为一个线性代数方程组，从而求解薛定谔方程。

III.matlab 数值求解薛定谔方程的步骤使用matlab 进行数值求解薛定谔方程的步骤如下：1.准备薛定谔方程的数值模型：首先需要根据实际问题建立薛定谔方程的数值模型，包括势能场、边界条件等。

2.选择数值求解方法：根据问题的特点和求解需求，选择合适的数值求解方法，如有限差分法、有限元法或谱方法。

3.编写matlab 代码：根据所选方法，编写matlab 代码，实现薛定谔方程的数值求解。

4.运行代码，分析结果：运行编写的matlab 代码，得到薛定谔方程的数值解。

定态薛定谔方程的MATLAB求解(一)利用矩阵法对定态薛定谔方程的MATLAB求解摘要：本文首先对薛定谔方程的提出及发展做了一个简单介绍。

然后，以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例，详细介绍了矩阵法求解薛定谔方程的过程及公式推导。

最后，通过MATLAB编程仿真实现了求解结果。

关键词：定态薛定谔方程求解矩阵法MATLAB仿真薛定谔方程简介1.1背景资料薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

其仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。

当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。

薛定谔方程建立于1926年。

它是一个非相对论的波动方程。

它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。

设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V （r，t）中运动的薛定谔方程为在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。

由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。

当势函数V不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。

定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。

量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。

薛定谔方程揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，被广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

有限差分方法求解一维薛定谔方程０引言我们在求解薛定谔方程时，如果势阱V（z）是图1中的情况，我们很难得薛定谔方程的解析解。

为了便于求解能量本征值和波函数，可以把薛定谔方程写成矩阵方程的形式。

如果想求解空间变化势阱V（z）中的束缚态或者准束缚态这个方法非常有用。

图1限制电子的势阱和电子的波函数１求解方案我们可以先考虑标量薛定谔方程或者经常用来描述导带电子的单带方程。

假设要求的本征函数被限制在如图1所示的宽度为L的区域。

我们把这个区域均分成相距为Δx的l个小区间，任意一个点的位置为x■。

波函数可以写成下面的形式：Ψ=■a■ψ■（１）这里ψ■是x■点为中心的简单函数，在Δx间隔内是归一化的，在Δx间隔外为零。

这样就可以把微分方程写成一般的差分方程：-■■＋ＶΨ（ｘ■）＝ＥΨ（ｘ■）（２）这里假设a■=a■=0，即波函数局域在空间区域L内。

可以把上面的方程写成矩阵形式：Ａ（ｘ■）Ｂ０…００ＢＡ（ｘ■）…０００Ａ（ｘ■）…００┇┇000… ＢＡ（ｘ■）a■ψ■a■ψ■a■ψ■a■ψ■=0（３）方程（３）是一个l×l阶的矩阵方程，其中A（ｘ■）＝■＋Ｖ（ｘ■）－Ｅ，Ｂ＝－■（４）我们可以编写程序求解方程（３），得到本征值E■和本征矢量ψ■。

２应用举例假如粒子处于图2中的抛物线势阱中，其中阱层宽度为40■，垒层厚度为30■，粒子的有效质量为0.3m■（m■为自由电子的质量）。

图2限制电子的势阱和电子的三个束缚能级。

势阱的势能函数可以写为（单位：meV）：V（ｘ）＝８０００≤ｘ＜３０■２（ｘ－５０）■30≤ｘ＜７０■８００７０＜ｘ≤１００■（５）我们利用有限差分数值计算方法求出（下转第102页）（上接第100页）图2抛物线势阱中的束缚能级和波函数。

三个束缚能级如图2所示，能量分别为158.9667，472.70552，748.24668（meV）。

图3电子的三个束缚波函数三个束缚能级对应的波函数如图3所示，可以看出三个波函数分别有0、1、2个节点。

matlab有限差分法有限差分法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程的近似解。

它的基本思想是在定义的网格上近似偏微分方程中的导数，然后将偏微分方程转化为代数方程组，通过求解代数方程组得到近似解。

因此，有限差分法是一种离散化方法。

在有限差分法中，我们需要定义一个网格来离散化要求解的空间，例如我们可以将一个矩形区域分成相等小的正方形网格。

我们还需要定义一个时间网格，用来离散化所求解的时间区间，例如将整个时间区间分成相等的小时间段。

通过将空间和时间分别进行离散化，我们就得到了有限差分法的两个主要元素：网格和时间步长。

在有限差分法中，我们需要用数值来近似地表示空间函数和时间函数。

离散化后的空间和时间函数在网格点处的取值称为网格点数值。

通过近似表示空间和时间函数，我们将物理问题转化为了一个大量的代数问题。

有限差分法的主要思想是使用中心差分公式来计算导数值。

中心差分公式是指：将导数近似为相邻两个网格点之间的差，然后取其平均值，即可得到一个数值。

对于一个二维的偏微分方程，我们可以使用五点差分公式（即中心差分公式的扩展）来计算数值解。

五点差分公式是指：在一个网格点上，使用该点周围四个相邻网格点的取值来计算该点导数值。

通过对每一个网格点应用五点差分公式，我们可以构造出一个代数方程组，通过求解该方程组，我们可以得到偏微分方程的数值解。

有限差分法有很多优点，例如易于实现、计算速度快、稳定性好、适用于不规则区域和边界等。

但有限差分法也有一些缺点，例如精度受限、局限性大、实现复杂等。

总之，有限差分法是求解偏微分方程的重要数值方法，它在科学和工程计算中得到了广泛的应用。

通过对其原理和实现细节的深入学习，我们可以更好地理解它的优点和局限性，从而更加适用于不同实际问题的数值计算。

MATLAB数值薛定谔方程介绍薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子行为的基本方程之一。

它描述了粒子的波函数随时间的演化。

在实际研究中，常常需要通过数值方法来求解薛定谔方程，特别是对于复杂的体系或无法通过解析方法求解的情况。

MATLAB作为一种强大的数值计算工具，提供了丰富的函数和工具箱，可以帮助我们求解薛定谔方程。

本文将介绍如何使用MATLAB进行数值求解，并给出一些示例代码和注意事项。

数值方法求解薛定谔方程通常需要使用数值方法，其中最常用的方法之一是有限差分法。

有限差分法将波函数离散化为网格点上的数值，通过近似微分来代替薛定谔方程中的导数项，从而转化为一个矩阵方程。

具体来说，我们可以将一维薛定谔方程表示为：iℏ∂Ψ(x,t)∂t=−ℏ22m∂2Ψ(x,t)∂x2+V(x)Ψ(x,t)其中，Ψ(x,t)是波函数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数。

为了使用有限差分法求解，我们将空间坐标x离散化为网格点x i，时间t离散化为时间步长Δt，波函数Ψ(x,t)在网格点上的值用Ψi n表示，其中i表示网格点的索引，n表示时间步的索引。

将导数项用中心差分近似表示，我们可以得到：iℏΨi n+1−Ψi nΔt=−ℏ22mΨi+1n−2Ψi n+Ψi−1nΔx2+V i nΨi n其中，Δx是空间步长，V i n表示势能函数在网格点x i上的值。

通过这个差分方程，我们可以逐步更新波函数的值，从而得到波函数随时间的演化。

MATLAB代码示例下面是一个简单的MATLAB代码示例，演示如何使用有限差分法求解一维薛定谔方程。

% 定义参数hbar = 1; % 约化普朗克常数m = 1; % 粒子质量L = 10; % 空间范围N = 1000; % 网格点数dx = L/N; % 空间步长dt = 0.01; % 时间步长% 初始化波函数x = linspace(-L/2, L/2, N); % 空间坐标psi = exp(-x.^2); % 初始波函数% 求解薛定谔方程for n = 1:1000% 计算势能函数V = 0.5*x.^2;% 更新波函数psi = psi - 1i*dt*(hbar/(2*m))*(circshift(psi,-1,2)-2*psi+circshift(psi,1, 2))/(dx^2) - 1i*dt*V.*psi;% 绘制波函数随时间的演化plot(x, abs(psi).^2);xlim([-L/2, L/2]);ylim([0, 1]);xlabel('x');ylabel('|\psi|^2');title(['Time step ', num2str(n)]);drawnow;end在这个示例中，我们假设粒子质量m=1，空间范围L=10，网格点数N=1000。

有限差分matlab有限差分方法是一种常用的数值计算技术，用于求解偏微分方程。

在本文中，我们将介绍有限差分方法在Matlab中的实现步骤。

有限差分方法的基本思想是将求解区域离散化为有限个网格点，并使用差分近似代替微分运算，从而将原问题转化为代数方程组的求解。

在Matlab 中，我们可以通过以下步骤来实现有限差分方法。

第一步：初始化求解区域和边界条件首先，我们需要确定求解区域的大小和边界条件。

在Matlab中，我们可以使用矩阵来表示求解区域，其中每个元素代表一个网格点。

例如，如果求解区域的大小为NxM，我们可以创建一个大小为NxM的矩阵来表示求解区域。

同时，我们还需要确定边界条件。

边界条件可以分为三类：Dirichlet边界条件，Neumann边界条件和混合边界条件。

对于Dirichlet边界条件，我们可以将边界网格点的值直接设置为给定的边界值。

对于Neumann边界条件，我们可以使用差分近似来计算边界网格点的值。

对于混合边界条件，我们需要根据具体情况来确定如何处理。

第二步：离散化方程接下来，我们需要将求解的偏微分方程离散化。

具体来说，我们需要使用差分近似来替代微分运算。

有限差分方法主要有两种形式：前向差分和中心差分。

在前向差分中，我们使用当前时刻的值来代替时间导数的近似值。

在中心差分中，我们使用当前时刻和上一个时刻的值来代替时间导数的近似值。

在Matlab中，我们可以使用矩阵运算来同时对整个求解区域进行离散化。

具体来说，我们可以使用矩阵乘法和矩阵加法来表示离散化的方程。

例如，对于一个二维的偏微分方程，我们可以使用矩阵乘法来表示空间导数近似的部分，然后使用矩阵加法来表示时间导数近似的部分。

第三步：构建代数方程组离散化后的偏微分方程可以被表示为一个代数方程组。

通常，我们可以使用线性代数的方法来求解这个方程组。

在Matlab中，我们可以使用矩阵和向量的运算来表示代数方程组。

具体来说，我们可以使用矩阵乘法和向量的加法来表示代数方程组的求解过程。

Matlab有限差分法简介有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值分析方法，用于求解微分方程。

在工科和科学领域中，微分方程广泛应用于描述物理现象和自然现象，有限差分法提供了一种有效的数值求解方法。

有限差分法原理有限差分法的核心思想是将微分方程中的导数近似为差分，将微分方程转化为由未知函数值构成的代数方程组。

通过解这个代数方程组，可以得到数值解。

一维有限差分法一维有限差分法是最简单的有限差分法形式。

一维有限差分法的基本原理是将一维偏微分方程离散化，将函数替换为离散的节点值，并将导数近似为差分。

然后通过求解代数方程组获得离散节点的函数值。

显式方法在一维有限差分法中，显式方法是最直接的一种方法。

在显式方法中，离散方程可以直接由差分形式得到。

然后通过迭代计算每个节点的函数值，直到收敛为止。

隐式方法与显式方法相比，隐式方法更为稳定，但计算量更大。

在隐式方法中，离散方程的解决需利用矩阵方法，通过求解线性代数方程组得到离散节点的函数值。

二维有限差分法当涉及到二维（或更高维）的偏微分方程时，可以使用二维有限差分法来求解。

二维有限差分法的原理与一维类似，不同之处在于需要将导数近似为二维差分。

分离变量法对于一些特殊的二维偏微分方程，可以利用分离变量法将其转化为一维问题。

然后可以使用一维有限差分法求解。

非分离变量法对于一些复杂的二维偏微分方程，无法通过分离变量法将其简化为一维问题。

这种情况下，可以使用非分离变量法，直接对二维方程进行离散化和求解。

Matlab在有限差分法中的应用Matlab是一种常用的科学计算软件，广泛用于工科和科学领域。

Matlab提供了丰富的数值计算工具箱和函数，可以方便地进行有限差分法的实现和求解。

举例例如，使用Matlab可以通过编写一维离散方程的迭代循环，实现一维有限差分法的求解。

可以根据特定的偏微分方程和边界条件，构建离散方程，然后利用Matlab的求解器求解方程组。

matlab 有限差分法公式Matlab 有限差分法公式有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，广泛应用于科学和工程领域中的偏微分方程求解问题。

Matlab是一种强大的数值计算软件，提供了丰富的工具和函数，用于实现有限差分法求解各种偏微分方程。

有限差分法的基本思想是将连续的函数空间离散化为有限的点集，然后利用差分近似来逼近微分方程的导数。

最常用的差分近似形式是中心差分公式，它通过计算函数在某一点及其周围点的差分来近似函数的导数。

中心差分公式的一般形式如下：\[f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}\]其中，\(f'(x)\)表示函数\(f\)在点\(x\)处的导数，\(h\)为步长。

通过适当选择步长，可以提高差分近似的精度。

对于二阶导数的求解，可以使用如下的中心差分公式：\[f''(x) \approx \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}\]有限差分法的核心是将微分方程转化为差分方程，然后利用差分方程的离散解来逼近微分方程的解。

对于一维的偏微分方程，可以将空间离散化为一系列的点，时间离散化为一系列的时间步长，然后利用差分公式逐步迭代求解。

对于二维或三维的偏微分方程，可以将空间离散化为网格，然后利用差分公式在网格上逐步迭代求解。

在Matlab中，可以使用矩阵运算和向量化操作来高效地实现有限差分法。

通过构建差分矩阵和右端项向量，可以将差分方程转化为线性代数方程组，然后利用Matlab提供的线性代数函数来求解方程组。

Matlab还提供了一些专门用于求解偏微分方程的工具箱，如Partial Differential Equation Toolbox，可以进一步简化求解过程。

有限差分法在科学和工程领域中有着广泛的应用。

它可以用于求解热传导方程、扩散方程、波动方程等各种偏微分方程。

(1)LU 分解法程序：function x=solvebyLU(A,b)% 该函数利用LU分解法求线性方程组Ax=b的解flag=isexist(A,b); %调用第一小节中的isexist函数判断方程组解的情况if flag==0disp('该方程组无解！');x=[];return;elser=rank(A);[m,n]=size(A);[L,U,P]=lu(A);y(1)=b(1);if m>1for i=2:my(i)=b(i)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1)';endendy=y'; % 解Ux=y得原方程组的一个特解x0(r)=y(r)/U(r,r);if r>1for i=r-1:-1:1x0(i)=(y(i)-U(i,i+1:r)*x0(i+1:r)')/U(i,i);endendx0=x0';if flag==1 %若方程组有唯一解x=x0;return;else %若方程组有无穷多解format rat;Z=null(A,'r'); %求出对应齐次方程组的基础解系[mZ,nZ]=size(Z);x0(r+1:n)=0;for i=1:nZt=sym(char([107 48+i]));k(i)=t; %取k=[k1,k2...,];endx=x0;for i=1:nZx=x+k(i)*Z(:,i); %将方程组的通解表示为特解加对应齐次通解形式endendend(2)矩阵的QR分解法（c语言）：void QR(double a[N][N],double q[N][N],double r1[N][N],int n) /*QR分解*/ {int i,j,k,r,m;double temp,sum,dr,cr,hr;double ur[N],pr[N],wr[N];double q1[N][N],emp[N][N];for(i=1;i<n+1;i++)//将a放入temp中for(j=1;j<n+1;j++){emp[i][j]=a[i][j];};for(i=1;i<n+1;i++)//定义单位矩阵for(j=1;j<n+1;j++){if(i==j)q[i][j]=1;else q[i][j]=0;};for(r=1;r<n;r++){temp=0;for(k=r+1;k<n+1;k++)temp+=fabs(a[k][r]);if(temp>=ZERO){sum=0;for(k=r;k<n+1;k++)sum+=a[k][r]*a[k][r];dr=sqrt(sum);if(a[r][r]>ZERO)m=-1;else m=1;cr=m*dr;hr=cr*(cr-a[r][r]);for(i=1;i<n+1;i++)//定义ur{if(i<r)ur[i]=0;if(i==r)ur[i]=a[r][r]-cr;if(i>r)ur[i]=a[i][r];};for(i=1;i<n+1;i++)//定义wr{for(j=1;j<n+1;j++)sum+=q[i][j]*ur[j];wr[i]=sum;};for(i=1;i<n+1;i++)//定义qrfor(j=1;j<n+1;j++){q1[i][j]=q[i][j]-wr[i]*ur[j]/hr;};for(i=1;i<n+1;i++)//定义qr+1for(j=1;j<n+1;j++){q[i][j]=q1[i][j];};for(i=1;i<n+1;i++)//定义pr{sum=0;for(j=1;j<n+1;j++)sum+=a[j][i]*ur[j];pr[i]=sum/hr;};for(i=1;i<n+1;i++)for(j=1;j<n+1;j++){a[i][j]=a[i][j]-ur[i]*pr[j];};};};for(i=1;i<n+1;i++)for(j=1;j<n+1;j++){if(fabs(a[i][j])<ZERO)a[i][j]=0;};for(i=1;i<n+1;i++)for(j=1;j<n+1;j++){r1[i][j]=a[i][j];};for(i=1;i<n+1;i++)//将a取出for(j=1;j<n+1;j++){a[i][j]=emp[i][j];}(3)对称正定矩阵的Cholesky分解:function [X]=m_chol(A,b)[N,N]=size(A);X=zeros(N,1);Y=zeros(N,1);for i=1:NA(i,i)=sqrt(A(i,i)-A(i,1:i-1)*A(i,1:i-1)');if A(i,i)==0'A is singular. no unique solution'break;end;for j=i+1:NA(j,i)=(A(j,i)-A(j,1:i-1)*A(i,1:i-1)')/A(i,i);endendAb%前代法for j=1:NY(j)=(b(j)-A(j,1:j-1)*Y(1:j-1))/A(j,j);endY;A=A'for k=N:-1:1X(k)=(Y(k)-A(k,k+1:N)*X(k+1:N))/A(k,k);end。