薛定谔方程

§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。

报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。

几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。

薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。

一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。

一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。

2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。

3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。

将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。

定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。

在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。

薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。

薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。

含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。

不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。

波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。

而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。

薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。

量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。

薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。

薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。

海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。

[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。

理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。

在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。

类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。

用方程表达，。

其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。

所以，第个粒子的位置是。

[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。

顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。

应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。

量子力学中的薛定谔方程在量子力学中，薛定谔方程是一个重要的基本方程，被广泛应用于描述微观粒子的行为和性质。

薛定谔方程以奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）的名字命名，是量子力学的基石之一。

薛定谔方程描述了体系的波函数随时间演化的规律，通过求解该方程，可以获得粒子在空间中的波函数及其相应的能量。

薛定谔方程是一个线性偏微分方程，一般形式为：\[i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r}, t)\]其中，\[i\]表示虚数单位，\[\hbar\]为约化普朗克常数，\[\Psi(\mathbf{r}, t)\]是波函数，描述了粒子在空间中的分布情况随时间的变化。

方程右侧的\[\hat{H}\]是系统的哈密顿量（Hamiltonian），描述了体系的能量。

薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，可以用来描述各种体系，包括原子、分子、固体和微观粒子等。

通过求解薛定谔方程，可以得到体系的波函数，波函数的模的平方代表了在某一时刻粒子出现在不同位置的概率分布。

由于薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要考虑边界条件和初始条件。

对于简单的系统，如自由粒子，可以直接求解得到解析解。

但对于复杂的体系，如多电子原子或分子，一般需要采用数值方法进行求解。

量子力学的创立为描述微观世界的现象提供了全新的框架，薛定谔方程作为量子力学的基本方程，为我们理解微观粒子的行为和性质提供了强有力的工具。

通过求解薛定谔方程，我们可以预测和解释许多实验现象，如电子的能级结构、原子和分子的光谱等。

总结一下，薛定谔方程是量子力学中的基本方程，描述了体系的波函数随时间演化的规律。

通过求解薛定谔方程，我们可以获取体系的波函数及其相应的能量，从而揭示微观粒子的行为和性质。

薛定谔方程在量子力学的发展中起到了重要的作用，为我们认识和理解微观世界提供了重要的框架。

薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，它描述了微观系统在给定初始条件下的演化规律。

该方程的形式非常复杂，涉及到时间和空间的偏微分以及波函数等概念。

下面是对薛定谔方程形式解的一些说明：
1. 薛定谔方程的基本形式为：
- ihbar/tau粒*▽ψ(x, t) = Hψ(x, t)
其中，H是哈密顿量，ψ(x, t)是波函数，τ是时间演化参数。

这个方程表示，在给定初始条件下的波函数随时间的演化满足微分方程。

2. 波函数的求解依赖于具体的哈密顿量以及初始条件。

一般来说，我们可以通过分离变量等方法将波函数展开成一系列不同频率的谐波之和，从而得到波函数的解析解。

但是，对于一些复杂的哈密顿量，波函数的求解通常需要使用数值方法。

3. 薛定谔方程的解通常被称为波包，它描述了微观系统随时间的演化过程。

波包的形状和大小取决于初始条件和哈密顿量的性质。

对于一些简单的情况，例如一维无限深势阱或者谐振子等，我们可以得到一些具有实际意义的波包形状。

4. 薛定谔方程在量子力学中具有非常重要的地位，它描述了微观系统的波粒二象性以及量子叠加态等基本概念。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到微观系统的量子态，从而对量子系统进行计算和控制。

5. 除了薛定谔方程本身，还有许多其他的量子力学方程和近似方法，例如狄拉克方程、海森堡方程、路径积分等。

这些方法在量子力学中都有重要的应用，可以解决不同类型的问题和计算任务。

总之，薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，它描述了微观系统在给定初始条件下的演化过程。

通过对波函数的求解和计算，我们可以对量子系统进行深入的研究和实验控制。

薛定谔方程最简单的形式引言薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一，描述了量子系统的演化和行为。

它的最简单形式可以用来描述自由粒子的运动，本文将对薛定谔方程最简单的形式进行介绍。

薛定谔方程薛定谔方程是用来描述量子系统的演化的方程。

对于一个自由粒子，它的薛定谔方程可以写作:$$i \\hbar \\frac{\\partial \\psi}{\\partial t} = -\\frac{\\hbar^2}{2m}\\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial x^2}$$其中，i是虚数单位，$\\hbar$是约化普朗克常数，$\\psi$是波函数，m是粒子的质量，t是时间，x是粒子的位置。

波函数与概率密度波函数是薛定谔方程的解，它包含了系统的全部信息。

但是，波函数本身并不直接描述粒子的物理性质，而是通过概率密度来给出具体的可观测结果。

概率密度$|\\psi|^2$表示在空间中找到粒子的几率。

根据波函数的性质，其概率密度要满足归一化条件，即在整个空间内的积分等于1。

这意味着粒子一定存在于某个位置。

在最简单的薛定谔方程中，波函数是一个平面波，可以写为$\\psi(x,t) = Ae^{i(kx - \\omega t)}$。

其中，A是振幅，k是波数，$\\omega$是频率。

根据平面波的性质，概率密度$|\\psi|^2$是恒定不变的，并且在整个空间范围内都有非零概率。

波函数的演化薛定谔方程描述了波函数随时间的演化。

对于自由粒子，它的薛定谔方程是线性的，意味着波函数的形式在时间演化中保持不变，只是振幅发生变化。

这也说明了自由粒子的能量是守恒的。

根据薛定谔方程，波函数的时间导数与空间二阶导数之间存在简单的线性关系。

由此可得，波函数的形式在不同位置上的变化是类似的，只是相位和振幅的变化不同。

自由粒子的波函数演化可以用平面波的形式简洁地表示。

根据平面波的性质，波函数在空间中传播，形成波动。

薛定谔方程是啥薛定谔方程（Schrodinger Equation）是量子力学的基本方程之一，描述了微观粒子的行为。

它是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的，并成为量子力学的基石之一。

薛定谔方程的导出薛定谔方程的导出源自对电子行为的研究。

在量子力学中，电子被视为波粒二象性的粒子。

为了描述电子的运动状态，薛定谔引入了波函数（Wave Function）的概念，将电子的运动状态与波函数建立了联系。

假设一个电子所处的状态可以由一个波函数Ψ(x, t)来描述，其中x表示位置，t表示时间。

根据量子力学的基本原理，波函数Ψ应满足薛定谔方程。

薛定谔方程的标准形式如下：$$ i\\hbar\\frac{{\\partial}}{{\\partial t}}\\Psi(x, t) = \\left(-\\frac{{\\hbar^2}}{{2m}}\\frac{{\\partial^2}}{{\\partial x^2}} + V(x,t)\\right)\\Psi(x, t) $$其中，i代表虚数单位，ħ代表约化普朗克常数，m代表电子的质量，V(x, t)代表电子所受到的势能。

薛定谔方程的物理意义薛定谔方程描述了波函数随时间演化的行为，它是量子力学中的基本方程之一，提供了了解粒子行为和性质的框架。

薛定谔方程的左边代表了波函数随时间的变化速率，右边代表了波函数在空间中的变化情况。

薛定谔方程描述的是波函数随时间和空间的变化规律，从中可以推导出粒子的能量、位置和动量等物理量的概率分布。

这使得薛定谔方程成为预测粒子行为的重要工具。

波函数Ψ的模的平方（|Ψ|²）表示某一时刻粒子出现在空间中的概率密度分布。

根据薛定谔方程，粒子的能量和位置等性质是用波函数的特定解来描述的。

薛定谔方程的应用薛定谔方程在研究微观世界中的粒子行为方面有着重要应用。

薛定谔方程被广泛应用于量子力学中的各个领域，如原子物理学、凝聚态物理学、粒子物理学等。

薛定谔方程表达式薛定谔方程（Schrödinger equation）是一种经典的方程，用于描述粒子的波动性。

它是量子力学在研究量子系统中的基础方程式。

薛定谔方程由詹姆斯·薛定谔在1925年第一次提出，并用于量子力学建模和解决，并被用于许多不同领域，如原子物理学和材料科学。

一、定义薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来描述粒子的波动性和量子力学，也用于原子物理学和材料科学等领域建模。

它可以用来描述量子现象的基础力学行为。

它的表达式是：$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\hat{H}\psi(x,t)$$其中$\psi$是粒子的函数，$\hat{H}$是粒子的Hamilto算符，$t$表示时间，$i$表示虚数单位，$\hbar$是由物理常数Planck的常数除以2$\pi$所得的单位。

二、特点薛定谔方程具有以下特点：（1）数学严谨性：薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来准确描述粒子波动性；（2）应用广泛性：薛定谔方程不仅可以用于量子力学建立模型和解决问题，同时还可以应用到原子物理学、材料科学等领域；（3）简洁性：薛定谔方程只需要一个数学表达式，却可以描述量子力学中基本的力学行为；（4）学习方便性：薛定谔方程可以利用之前学过的代数知识去理解，不需要特别复杂的数学知识即可学习。

三、应用薛定谔方程被用于原子物理学，材料科学，电子学，化学物理，高分子物理，量子生物物理，量子信息等多个领域中。

（1）量子力学：薛定谔方程可以用来描述系统的粒子波动性和量子效应，它描述了受物理量子系统的特定粒子的波动动力；（2）原子物理：薛定谔方程用于描述原子核的结构，它能够提供一个准确的模型来表达原子核的特征；（3）材料科学：薛定谔方程可以用于描述晶体中原子分子之间的相互作用，它也可以用来识别晶体材料的特性；（4）电子学：薛定谔方程可以用来解释物理和化学特性，它还能够用于模拟终端器件，从而可以提高终端设备的效能。

薛定谔方程概率解薛定谔方程（Schrodinger Equation ）是量子力学的基本方程之一，描述了量子体系的演化和性质。

其中，薛定谔方程的概率解是指通过求解薛定谔方程，得到描述量子体系概率分布的波函数。

本文将介绍薛定谔方程的基本原理和求解方法，并探讨其在量子力学中的重要性。

1. 薛定谔方程简介薛定谔方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的，它是描述微观粒子（如电子、光子等）在量子力学中运动规律的基本方程。

薛定谔方程可以用数学形式表示为：iℏ∂∂tΨ(r,t )=H ̂Ψ(r,t ) 其中，Ψ(r,t )表示波函数，Ĥ为哈密顿算符，i 为虚数单位，ℏ为约化普朗克常数。

2. 波函数和概率解释波函数Ψ(r,t )是一个复数函数，它包含了关于粒子位置r 和时间t 的信息。

根据量子力学的概率解释，波函数的模平方|Ψ(r,t )|2表示在位置r 上找到粒子的概率密度。

薛定谔方程描述了波函数随时间的演化，通过求解薛定谔方程可以得到波函数在不同时间下的形式。

具体求解方法包括分离变量法、近似方法（如微扰理论）和数值计算等。

3. 薛定谔方程的概率解薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要满足一定边界条件。

对于简单的体系，如自由粒子、无限深势阱等，可以通过分离变量法得到精确解。

例如，在一维无限深势阱中，波函数的形式为：Ψ(x,t )=√2L sin (nπx L)e −iE n t/ℏ 其中，L 为势阱长度，n 为量子数，E n 为能级。

对于更复杂的体系，无法直接求解薛定谔方程。

此时可以采用近似方法进行求解。

常用的近似方法包括微扰理论、变分法等。

微扰理论可以将薛定谔方程分解为一个已知的简单体系和一个较小的扰动项，从而得到近似解。

此外，数值计算也是求解薛定谔方程的重要方法。

通过离散化空间和时间，并利用数值方法（如有限差分法、有限元法等），可以求解薛定谔方程并得到波函数的数值解。

4. 薛定谔方程的应用薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，它在研究微观粒子行为和描述量子体系性质中起着重要作用。

薛定谔方程名词解释薛定谔方程，又称“薛定谔等式”，是量子力学中最重要的基本方程之一。

由俄国物理学家薛定谔于1925年创立，一直是量子力学理论的基础，被称为“量子力学的常律”，也是现代量子物理学理论最重要的基础方程之一。

薛定谔方程是一个展示量子物质的发展过程的有效的数学描述式。

它是对微观客观世界的细节描述，描述客观世界的力学原理以及微观系统的运行机制，它包括了量子力学重要的基本原理，如不确定性原理，相互作用原理和简并原理等，它也是物理学家理解量子物质及其运动的基础。

薛定谔方程的最多的格式有能量与动量的关系式，二阶偏微分方程，它可以用来描述量子系统的行为，如量子对的结构以及相互作用的结果。

因此，薛定谔方程在量子物理学的研究中起着非常重要的作用。

薛定谔方程以简洁的数学模型描述了量子物质的发展历程，主要由五个特征组成：首先，量子物质属于自身不可观测的状态，即量子力学中描述的状态称为量子态；其次，量子物质在空间中的分布的发展是随机的，因此，它的行为是概率的；第三，量子物质的发展过程受到它本身和外部环境的交互影响；第四，量子物质在空间中受物理场（如实验室电场、磁场、重力场等）的影响；第五，量子物质的发展过程由多个因素构成，其结果是态对态的转化，这也是薛定谔方程最重要的特点之一。

薛定谔方程由两个重要的部分组成：等号左边是波函数，它描述了物体的状态，而等号右边代表了物体的能量，以及外部环境对物体的影响。

由此可见，薛定谔方程展示了复杂的量子系统和它们之间的相互作用，有助于我们对量子物质的本质有更深入的理解。

薛定谔方程的建立不仅为物理学研究奠定了重要的理论基础，而且在应用领域也起着至关重要的作用。

目前，薛定谔方程已经广泛应用于电子显微镜量子计算、量子通信、量子计算机等领域，其结果也可以用于激光和太赫兹技术、核聚变、太空探测等。

总之，薛定谔方程是量子物理学和量子技术研究领域中最重要的基础方程之一。

它描述了不可观测的量子物质及其相互作用的动态发展，并为我们揭示了复杂的量子系统及其相互作用的本质。