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薛定谔方程薛定谔方程推导薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。
是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
目录薛定谔方程在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。
简介量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。
薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。
当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
.薛定谔提出的量子力学基本方程。
建立于 1926年。
它是一个非相对论的波动方程。
它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。
设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。
在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。
由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。
§含时间的薛定谔方程一 Schr ödinger 方程的建立量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程---Schr ödinger 方程，是量子力学的一个基本假设。
薛定谔方程不是从基本原理导出来的，它的正确性是靠由它所推出的结果及预言的正确性来证实的。
考虑质量为m , 具有确定动量p的自由粒子： 由根据de Broglie 关系和Einstein 关系 ∴ 22pp E mω== h p n k λ==（2k n πλ= ） 得到它对应于一个相应的de Broglie ’s 波(平面单色波):()(,)e x p p pi r t A p r E t ψ⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦由这波函数可得 ()(,)e x p(,)p pp pi i r t iA p rE t E r t t t ψψ∂∂⎧⎫⎡⎤=⋅-=⎨⎬⎢⎥∂∂⎣⎦⎩⎭(,)(,)ppi r t E r t tψψ∂⇒=∂但从另一方面()()(,)ppi p r E t ip r E t pi r t i Ae pAeψ⋅-⋅--∇=-∇=222()()22(,)(,)222p pi p r E t i p r E t p ppp r t AeAeE r t m mmψψ⋅-⋅---∇=∇==2(,)(,)2p pp i r t r t t mψψ∂⇒=∂这方程不仅对有确定动量的自由粒子的波函数成立，对最普遍的自由粒子的波函数也成立。
在一般情况下, 用一个波包来描述自由粒子的运动状态, 即多个单色波的线性叠加 ()()3321(,)()exp 2p r t p i p r E t d p ψϕπ⎡⎤=⋅-⎣⎦⎰()()()()332332(,)()exp 21()exp 2p p p i i r t p i p r E t d pttp E i p r E t d p ψϕπϕπ∂∂⎡⎤=⋅-⎣⎦∂∂⎡⎤=⋅-⎣⎦⎰⎰此外()()()()222233223321(,)()exp 2221()exp 22p pr t p i p r E t d pmmp p i p r E t d p mψϕπϕπ--⎡⎤∇=⋅∇⋅-⎣⎦⎡⎤=⋅⋅-⎣⎦⎰⎰而自由粒子的能量-动量关系: 2/2pE p m = , 所以22(,)(,)2i r t r tt mψψ∂-=∇∂ 可见这一微分方程是自由粒子的波函数所满足的方程, 它决定了自由粒子的运动状态随时间演化过程。
薛定谔方程的推导过程
《薛定谔方程的推导过程》
薛定谔方程是一个重要的量子力学方程，它是由德国物理学家薛定谔于1925年提出的。
它可以用来描述物质的量子性质，并且推导出物质的能量状态。
首先，薛定谔方程的推导过程是基于原子模型，即原子由电子、质子和中子组成，而电子又是由电子云组成的。
这个模型认为，电子在原子内部以某种规律运动，并且电子的运动受到原子内部的电场和磁场的影响。
其次，薛定谔方程的推导过程是基于量子力学的原理，即电子的运动是有限的，而且它的能量只能处于一定的能量状态。
这意味着，电子在原子内部的运动受到原子内部的电场和磁场的限制，因此，电子的能量也只能处于一定的能量状态。
最后，薛定谔方程的推导过程是基于量子力学的假设，即电子在原子内部的运动受到原子内部的电场和磁场的影响，而这些电场和磁场可以用一个偏微分方程来描述，这就是薛定谔方程。
薛定谔方程是基于原子模型、量子力学和偏微分方程推导出来的，它可以用来描述物质的量子性质，并且推导出物质的能量状态。
薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。
本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。
一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。
该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。
Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。
薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。
通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。
二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。
但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。
1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。
例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。
对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。
然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。
因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。
2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。
变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。
微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。
3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。
这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。
数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。
但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。
总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。
通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。
薛定谔方程薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年[1]描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
目录[隐藏], 1 含时薛定谔方程, 2 不含时薛定谔方程, 3 历史背景与发展, 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引, 4.1.1 假设, 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引, 5 特性o 5.1 线性方程, 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性, 5.3.1 证明o 5.4 完备基底, 6 相对论性薛定谔方程, 7 解析方法, 8 实例o 8.1 自由粒子o 8.2 一维谐振子o 8.3 球对称位势, 8.3.1 角部分解答, 8.3.2 径向部分解答, 9 参阅, 10 参考文献, 11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为;(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程是一个重要的理论模型，它使物理学家们能够更进一步地了解和解释量子力学中的现象。
它于1926年被提出，由荷兰物理学家薛定谔提出。
薛定谔方程描述了量子力学中描述双原子共振和双原子退相干特性时所需的方程，从而解释普朗克定律中自由粒子的行为。
薛定谔方程是一个基于能量的矩阵方程，它是由薛定谔推导出来的。
它的公式是：
HΨ = EΨ
其中，H是原子的能级矩阵，Ψ是量子态的矢量，E是能量的标量。
薛定谔方程有三个重要的功能：
首先，它可以用来描述量子力学中的双原子共振，它可以用来解释双原子间的能量级和轨道混合情况，从而解释量子力学中双原子结构的概念。
其次，它可以用来解释双原子退相干特性。
双原子退相干指的是，在两个原子相互作用时，他们的总能量会减少，这一特性由薛定谔方程可以解释。
最后，薛定谔方程还可以应用于电子结构性质的计算，用来计算杂化理论中的电子结构性质。
薛定谔方程对于量子力学的研究有重要意义，它为物理学家们提供了量子力学中最基本的模型，使他们能够更深入地了解和研究相关
现象。
薛定谔方程也为建立一个现实世界中可行的量子力学模型打下了基础，从而为量子力学的研究提供了一条新的发展道路。
总之，薛定谔方程是一个重要的理论模型，它可以用来描述量子力学中的双原子共振和双原子退相干特性，并且可以用来计算杂化理论中的电子结构性质。
它的出现，是量子力学研究的一个重大突破，也为量子力学的未来发展提供了指引。
§4.3 薛定谔方程在这一节，我们讨论态随时间变化的规律问题。
大家知道，在经典力学中，当质点的初始状态为已知时，由其运动方程就可以知道以后任一时刻的运动状态。
在量子力学中的情况也是这样的，即当粒子在初始时刻的态为已知时，在以后任一时刻的态也要由一个相应的方程来决定。
所不同的是：在经典力学中，质点的状态用质点的坐标和速度描写，质点的运动方程就是我们所熟知的牛顿运动方程。
而在量子力学中，微观粒子的状态则用波函数来描写，决定粒子状态变化的方程不再是牛顿运动方程，而是下面我们要建立的薛定谔方程。
从物理上，这个方程式必须满足下述条件：一、在非相对论条件下，薛定谔方程应该满足的条件1、在粒子的速度v c 时，质量为m 的粒子的总能量为：22pE U m =+2、方程是线性的由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描述波函数随时间变化的方程应该是线性方程。
即如果1ψ和2ψ是方程的解，那么它们的线性迭加1122c c ψ+ψ也是方程的解。
3、方程的系数仅含有质量、电荷等内禀量，不应含有和个别粒子运动状态特定性质有关的量，如动量、能量等。
4. 方程应当是波函数 (,)r t ψ对时间的一阶微分方程因为我们所要建立的是波函数(,)r t ψ随时间变化的运动方程，而波函数完全描述态，因此方程必须波函数 ),(t rψ对时间的一阶微分方程。
也就是说方程必然包含(,)r t t ∂ψ∂，但方程不包含22(,)r t t ∂ψ∂ ，否则需要利用两个初始条件(,0)r ψ和0(,)|t r t t=∂ψ∂ 才能确定),(t r ψ，这就意味着体系的初始状态不能由波函数(,0)r ψ完全描述，违反了波函数完全描述态体系运动状态的基本假设。
二、自由粒子波函数所满足的微分方程下面，就以自由粒子为例，来建立满足上述条件的运动方程。
自由粒子的波函数就是德布罗意平面波函数()()·,i p r Et r t Ae -ψ=（1）它应是我们所要建立的微分方程的解。
我们试由解来建立方程，为此 将上式两边对时间t 求一次偏导，得：()·i p r Et i iEAe E t -∂ψ=-=-ψ∂或 i E t∂ψ=ψ∂（2） 因为上式还包含状态参量—能量E ，故不是我们所要求的方程。
将（1）式两边对x 求二次偏导，得到：()()()·x y z x y z i p r Et ixp yp zp Et ixp yp zp Et x x Ae x x Ae x i p Ae ip -++-++-⎡⎤∂ψ∂=⎢⎥∂∂⎣⎦⎡⎤∂=⎢⎥∂⎣⎦==ψ22222x x p i p x ∂ψ⎛⎫=ψ=-ψ ⎪∂⎝⎭同理： 2222y p y ∂ψ=-ψ∂2222z p z ∂ψ=-ψ∂上三式相加得： 22222222p x y z ⎛⎫∂∂∂++ψ=-ψ ⎪∂∂∂⎝⎭ （3）令 2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂≡∇ ——Laplace 算符则（3）式简化为：222p ∇ψ=-ψ（4）对自由粒子： 2222K p E E p mE m==⇒= （5）将（5）代入（4）得：222E μ-∇ψ=ψ （6）比较（2）、（6）两式得：222i t μ∂ψ=-∇ψ∂ （7）显然它满足前面所述条件。
这就是非相对论条件下自由粒子应满足的微分方程。
三、力场中波函数所满足的微分方程设力场可以用势能为()U r来表示，粒子的能量是动能和势能之和()22p E U r μ=+ （8）假定在力场()U r中（2）式和（4）式仍然成立，则有()22p i E U r t μ∂ψ=ψ=ψ+ψ∂将（4）式代入上式得：()222i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂ （9） 这个方程就是薛定谔方程。
它描述粒子的状态随时间的变化规律。
大家注意（2）式和（4）式是针对自由粒子而得到的，我们把它推广到力场中的粒子，这纯粹是设想。
换句话说，我们并没有从逻辑上推导薛定谔方程。
在这里，薛定谔方程是作为一种基本假设而被接受的。
其正确性有已被非相对论量子力学在各方面的实验所证实。
淡然，所谓“正确性”是相对的，它只在粒子的运动速度远小于光速的情况下成立。
在以后的讨论中将以薛定谔方程作为基本微分方程。
为了将(9)式写的更简洁些，我们引入一个算符 H， ()222H U r m=-∇+ （10） 于是（9)式就可以写为i H t∂ψ=ψ∂我们称 H为能量算符或不含时间的哈密顿算符。
薛定谔 薛定谔(S c h r o d i n g ,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(D i r a c ,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖四、定态波函数下面我们讨论一下定态情况：若势能),(t r U不显含时间t ，则薛定谔方程可用分离变量法求解，此时可令 ： )()(),(t f r t rψ=ψ。
（1）将上式代入薛定谔方程 ),()](2[),(22t r r V t r t i ψ+∇-=ψ∂∂μ中得：())()(]2[)()(22r t f r U r t t f i ψμψ+∇-=∂∂用)()(),(t f r t rϕψ=遍除等式两边，可得()221[]2i f U r f t ψψψμ∂=-∇+∂ 由于上式的左边只与t 有关，而其右边只与r有关，故只有当其两边都等于同一个常数时，上式才能被满足。
设这个常数为E ，则有：dfi Ef dt =（2） ()()H r E r ψψ= 定态薛定谔方程 （3）方程（1）的解为：/)(iEt Ce t f -= （4）C 为任意常数，将（4）代入（1）式，并将C 吸收入()r ψ中去，得到薛定谔方程的特解：Etier t r -=ψ)(),(ψ （5） 按照德布罗意关系，E 就是体系处于这个波函数所描写的状态时的能量。
由此可见，体系处于上述波函数所描述的状态时，能量具有确定值，这种状态称为定态。
具有这种形式的波函数称为定态波函数。
它所描写的状态称为定态。
处于定态时 定态的特点：1）粒子的几率密度与时间无关∵ 222)()(),(r e r t r Etiψ==ψ-ψ2）能量具有确定的值将定态波函数Etie r t r -=ψ)(),(ψ对时间取偏微分，得到i E t∂ψ=ψ∂ ，将此式与我们前面讲薛定谔方程时得到的一个方程i E t∂ψ=ψ∂（此方程中E 是能量）对比知，作为常数引进的E 是处于定态的粒子的能量。
换句话说，处于定态的粒子具有确定的能量值。
五、哈密顿算符的本征方程以()rψ乘方程（2）两边，Et i e -乘方程（3）两边，可以看出定态波函数)()(),(t f r t rψ=ψ满足下列两方程i E t∂ψ=ψ∂（6） ()22[]2U r H E μ-∇+ψ=ψ=ψ（7）所以这种算符又称为哈密顿算符，通常以H表示，这样（6）式可写为：ψψE H =（10） 在数学上，若算符 L作用于函数Φ得到的是一个常数λ与Φ的乘积（ LλΦ=Φ)，则称λ是算符 L 的本征值而Φ是相应的本征函数。
一般地我们把 满足方程 ()()H r E r ψψ= 的n E 称为能量算符H 的本征值，相应的n ψ称为本征函数。
一般的说算符H 有多个本征值和本征函数，故我们在n E 和n ψ注以脚标，以n E 和n ψ表示第n 个本征值和第n 个本征函数。
结合某一具体问题的边界条件，求解定态薛定谔方程，给出所有可能的n E 和n ψ，则薛定谔方程的一般解可写为一般解，可以写成这些定态波函数的线性迭加：tE in nn n er C t r -∑=ψ)(),(ψ n C 为常数。
六 几率流密度本节我们将进一步讨论粒子在一定区域内出现的几率将怎样随时间变化。
设描述粒子状态的波函数是),(t rψ，并且波函数是归一化的，则根据波函数的统计解释，在t 时刻、在r点周围单位体积内粒子出现的几率是 2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω?下面我们看几率密度随时间的变化率。
此式对t 求偏微商，可得 （1） 则：ψψψψωtt t ∂*∂+∂∂*=∂∂ （2）由薛定谔方程 ()22[]2i U r t m∂ψ=-∇+ψ∂可得()212i U r t m i ∂ψ=∇ψ+ψ∂（3） 及 ()212i U r t m i ***∂ψ=-∇ψ-ψ∂（4） （3）、（4）代入（2）式有：()22**2i t mω∂=ψ∇ψ-ψ∇ψ∂()·**2i μ=∇ψ∇ψ-ψ∇ψ （5） 令： ][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J （6） 则（5）式可写成：0·=∇+∂∂J t ω（7） 这方程具有连续性方程的形式为了说明（7）式和矢量J的意义，下面考察（7）式对空间任意的一个体积V 的积分：ττωτωd J d td t v v v ⎰⎰⎰∇-=∂∂=∂∂ ·由高斯定理：⎰⎰=∇svs d A d A ··τ 可得到： ds J s d J d t sn v ⎰⎰⎰-=-=∂∂ ·τϖ（8） 面积分是对包围体积V 的封闭面S 进行的，（8）式左边表示单位时间内体积V 中几率的增加，右边是矢量J在体积V 的边界S 上法向分量的面积分，因而很自然的可以把J 解释为几率流密度矢量。
J的法向分量表示单位时间内流过S 面上单位体积的几率。
（8）式也说明单位时间内体积V 中增加的几率，等于从体积V 的边界S 上而流进V 内的几率。
