第3章刚体的定轴转动2011

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大学物理第3章刚体的定轴转动

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【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
【解】建立坐标系，分割质量元
J x2dm

l2 l 2
x2Байду номын сангаас
ml dx
1 ml 2 12
x o x dx
【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，求转动惯量 J。
【解】J x2dm
L
L
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【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。
【解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。
M
J
R2dm R2
M
dm
MR2
0
0
【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 O轴转动，求质点系的转动惯量J。
刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。
1.角坐标
OP与极轴之间的夹角称为角坐标（或角位置）
角坐标为标量，但可有正负。
o
P

x
在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： =(t)，称为转动方程。
3
2.角位移
角坐标的增量称为刚体的角位移
i
i
i
得 LJ

v i m i ri
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由刚体定轴转动定律
得到
MJ J
d dt
d( J ) dt

dL dt
M dL 定轴转动刚体角动量定理微分形式 dt
t
L
Mdt d
t0
L0
LLL0

3.刚体的定轴转动

a a n a
2 3 2

2
6.16 10
3

2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2：一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都是常量。求它的角加速度。解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为： at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
（1）定轴转动的角量描述
角位置： (t )
角位移： (t ) (t 0 ) 角速度：
d dt d
dt d
2
角加速度：

dt
2
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明：在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用代数量表示。通常规定：当刚体作逆时针转动时，这些角量均取正值；反之，取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动：
O点的运动：沿着直线向前移动圆盘上其他点的运动：除向前移动外，还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。－－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为：
Ek

1 2
m i vi
2
1 2

m i ri
2
2

1 2
J
2
二、力矩的功和功率
1.力矩的功

第三章刚体的转动.

定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。
由定义式求转动惯量的方法步骤：
1）在刚体上选取一个质元dm；
2）计算dm到转轴的距离r.
3) 求出积分:
I dI r 2 dm
R
x O x
R sin
d
dm dx
O

R
dm 2rdr
§3－3 力矩转动定律
力矩
1、力对固定点的力矩 1）定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即
F
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
F
F
F 0 , M
i
i
0
（4）明确有心力对其力心的力矩恒为零因为有心力对其力心的力臂为零，所以有心力对其力心的力矩恒为零。
练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力mg和合力F对
o' 点、o 点、oo'
轴的力矩

L
r
mv
L
mv 是相对量： r
与参照系的选择有关，与参考点的选择有关
2、质点对轴的角动量 ☆ 假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为r，则质点对z 轴的角动量为，方向沿 z 轴，可 L z r mv 正、可负
练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m，
（2）明确质点系内力矩的矢量和恒为零。
由于内力总是成对出现，作用力和反作用力等大、反向、在同一直线上，所以对任何参考点内力矩的矢量和恒为零。
（3）明确质点系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩。
作用于系统的合外力为零时，合外力矩不一定为零；系统的合外力矩为零时，其合外力也不一定为零。