3-1 质点和质点系的动量定理

t2
F1＋F2 dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
t1
作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质 点动量之和的增量，即系统动量的增量。
2、多个质点的情况
t2 t2 n n n Fi外 dt＋ Fi内 dt m i v i m i v i 0 i 1 i 1 t1 i 1 t1 i 1 n
3-4 动能定理
一、功与功率
1、功
•恒力的功 力对质点所作的功等于该力在位移 方向上的分量与位移大小的乘积
F m
F

S
m
说明 •功是标量，没有方向，只有大小，但有正负 p/2，功W为正值，力对物体作正功； p /2，功W=0， 力对物体不作功； p /2，功W为负值，力对物体作负功，或 物体克服该力作功。 •单位：焦耳(J) 1J=1N· m
i i i
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F Fi 0
则系统的总动量守恒，即
讨论
ex dp ex i F , F 0, P C dt
p pi
保持不变 .
i
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系 统内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相 对于同一惯性参考系 .
W＝F S dW＝F dS
•变力的功 分成许多微小的位移元，在每一个 位移元内，力所作的功为
Z
dr
b
F
dW F dr F cos dr
总功
a O
Y
W
•合力的功
B
A
B X F dr F cosdr

三、质点系的冲量定理
赵 承 均
显然： 显然：
F ( e) dt = dp
外力元冲量为： 外力元冲量为： 积分得到： 积分得到：
dI ( e ) = F ( e) dt
( e)
∆I
= ∫ F ( ) dt = p − po
t e t0
即：合外力的冲量等于质点系动量的增量。 合外力的冲量等于质点系动量的增量。
解： 以人为研究对象，可分为两个运动过程， 以人为研究对象，可分为两个运动过程，
1.自由下落过程 到达地面时的速率为： 1.自由下落过程—到达地面时的速率为： 自由下落过程 到达地面时的速率为
赵 承 均
v = 2 gh
2.与地面接触碰撞过程，受力分析， 2.与地面接触碰撞过程，受力分析，规定 与地面接触碰撞过程 向上为坐标正向。 向上为坐标正向。
9N ⋅ s
赵 承 均
−9N ⋅ s 10N ⋅ s −10N ⋅ s
−0.02 ⋅ ( 50 − 500 ) = 9N ⋅ s
（ C） （ D）
[A]
第一篇
力学
3.质量为 的小球， 与固定的竖直壁作弹性碰撞， 例3.质量为 m 的小球，以水平速度 v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设 指向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量变化为： 指向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量变化为：
重 大 数 理 学 院
（A）mv （ B） 0 （C）2mv （D）-2mv
赵 承 均
m ( −v − v ) = −2mv
[D]
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
4.体重相同的甲乙两人 分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端， 体重相同的甲乙两人， 例4.体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端， 当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍， 当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达 顶点情况是 （A）甲先到达。 甲先到达。 （B）乙先到达。 乙先到达。 （C）同时到达。 同时到达。 （D）谁先到达不能确定。 谁先到达不能确定。

v m v1
O
11
3-1冲量与动量定理
碰撞：力作用时间极为短暂 碰撞： 如：打桩，撞击，人从车上跳下，子弹打入墙壁 打桩，撞击，人从车上跳下， 冲力：作用时间很短，量值很大，变化很快。 冲力：作用时间很短，量值很大，变化很快。 v 在 ∆ p 一定时 v ∆mv 越小， ∆t 越小，则 F 越大 v v m v1 mv2
x
α α
v m v1
O
v mv2
y
10
3-1冲量与动量定理
由动量定理得： 解 由动量定理得：
Fx∆t = mv2x − mv1x x α α = mv cosα − (−mv cosα) v mv2 = 2mvcosα Fy∆t = mv2y − mv1y y = mvsin α − mvsin α = 0 2mvcosα F = Fx = =14.1 N ∆t F' = −F 轴正向相同． 方向与 Ox 轴正向相同．
t1 i =1 i =1 i =1
3-2动量守恒定律
∫
t2 n
t1
n n v v v ∑ Fi dt = ∑ m i v i − ∑ m i v i 0 i =1 i =1 i =1
t2
∫
作用于系统的合外力的冲量等于系统 作用于系统的合外力的冲量等于系统 合外力的冲量等于 总动量的增量 的增量——质点系动量定理 总动量的增量 质点系动量定理
I x = ∫ Fx d t = ∫ 10t d t = 5t
0 t 0 t
2
I y = ∫ Fy dt = ∫ 2(2 − t )dt = 4t − t
I z = ∫ Fz dt = ∫ 3t dt = t
2 0 0
2

cos d
R

2、求半径为 R 、顶角为 2 的均匀扇形薄板的质
心？
习题3-8
3、求质量均匀分布的半球体的质心？
解：

建立坐标系
计算 C z
dz z
由对称性可知，质心在 z 轴上 根据质心定义式 zC
设球体的体密度为
zdm dm
dm ( R 2 z 2 )dz

v10 v1 v2 v20 v10 v20 v2 v1
碰前相互接近的速度 = 碰后相互离开的速度
m1 m2 时 v1 v20 , v2 v10 m1 m2 2m1 v v , v v10 v20 0 时 1 10 2 m1 m2 m1 m2
根据质点动量定理：
t I Fdt p p0 mv mv0 0 mv0
根据平均冲力定义： F I mv0 t t m(v0 ) mv0 F t t
根据质点动能定理： mgh 1 mv 2 0
F
h
mg
m 2 gh F 3.1105 N t
2
v0 2 gh
方向向上
§ 3-2 质点系动量定理和质心运动定理
一、质点系动量定理
1、两个质点构成的质点系

研究对象 受力分析 内力：
F2
f12
2
f 21
F1
1
外力：

运动特点
t0 :
t:
分别对 应用质点动量定理
i
动量守恒定律
当外力矢量和为零时，质点系的总动量保持不变。
说明
分量守恒