《线性代数》第二章 矩阵(1)

2
2
4
26
(八) 设四阶方阵 A (,1,2,3), B ( ,1,2,3) 其中1,2,3, , 均为四维列向量，若 A 2, B 1 则 A B 及 A B 的值分别 为[ ]
b3
b1a1 b1a2 b1a3
AB (a1b1 a2b2 a3b3)
BA b2a1 b3a1
b2a2 b3a2
b2a3 b3a3
1 0 0
单位阵
En
0
1
0
或记 In
0 0 1
6
运算律： (1) (AB)C A(BC) (2) A(B C) AB AC (B C)A BA CA (3) (AB) (A)B A(B) (4) EA AE A
22
分块矩阵的乘法
7 2 1 0
0 0
例：A 8 9
6 5
1 0
1 0
B 0
0
1 1
4 3
0
0
1
2
分块对角矩阵
求 AB
A1
A
A2
其中A1, A2,, Ak
均为方阵，有 A A1 A2 Ak
Ak
A11
当 A1, A2,, Ak
均可逆，则A可逆，且
A1
A21
(B) 若 A BC 则AT BTCT
(C) 若 A BC 则 A B C (D) 若A B C 则 A B C
(四) 设方阵 A 满足 A2 A 7E 0 ，则 (A 3E)1 [ ]
(A) A 3E (B) A 2E (C) A 7E
(D) A E
25
(五)
设
Th：设A为n阶方阵，则A可逆的充要条件为 A 0

y1 x1,
y2 x2,
yn xn
对应
1 0 0
0
1 0
0
0 1
单位阵
我们把这样的线性变换称之为恒等变换。
矩阵的基本运算
一、矩阵的相等
同型矩阵：两个矩阵行数和列数都相等
矩阵相等：设两个矩阵 Amn 和 Bmn是同型矩阵， 且对应元素相等，即 aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称矩阵A和B相等，记做 A B。
例如：
x 0
1 y
48
3 0
1 2
z 4
可得
x 3 y 2 z 8
判断正误：零矩阵相等。 （ ）
二、矩阵的线性运算
⒈ 矩阵的加法
设有两个同型矩阵 A aij mn , B bij mn ,那末矩阵A
与B的和记作A B，规定为
A B (aij bij )mn
y Bz
则 z 到 x 变换为
x Ay A(Bz) ( AB)z
求出AB即可。
四、方阵的幂
设A为n阶方阵，则规k 定A的k次方为 Ak A A A
可以看出：只有方阵才有幂运算。
规定：
A0 E
A1 A
Ak1 Ak A
(k 1,2,)
运算规律： Ak Al Akl
( Ak )l Akl
k，l为任意正整数
注意：当 AB BA时，某些关于数字幂运算的规律 不再成立，例如
( AB)k Ak Bk
( AB)k (AB)(AB)( AB) ( AB AB)( AB)( AB) k ( A2B2 )( AB)( AB)
所以
( AB)k Ak Bk
⒉ 线性变换

于乘法中的数1． 课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB； （2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则

第一节
矩 阵 的 概 念及 运 算
主要内容
矩阵的定义 几种常用的特殊矩阵 矩阵的应用举例 矩阵的基本运算
一、矩阵的定义
引例 线性方程组的矩阵
定义 由 m × n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1, 2,… , n)
排成的 m 行 n 列的数表，叫做一个 m × n 矩阵 列的数表，
为数 k 与矩阵 A 的数量乘积 简称数乘, 记为 kA. 数量乘积, 简称数乘, kA.
注意
2. 运算规律
设 A, B 为同类型矩阵, k, l 为常数，则 为同类型矩阵 为常数， (1) 1A = A; (2) k(lA) = (kl) A; (3) k(A + B) = kA + kB; (4) (k + l)A = kA + lA. 矩阵相加与数乘矩阵合起来， 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的 线性运算. 线性运算
一般情形
定义 设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n , (a (b
C = (cij)m×n , 其中 (c
cij = 轾1 ai 犏 臌
ai 2 L
轾j b1 犏 aip 犏 j = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj b2 犏 犏 M 犏 犏 b pj 犏 臌
1 O 1
n
.
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地 在初等代数中的作用相似. 位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似. EA = AE = A . 如
(6)
数量矩阵
主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数 主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数 量矩阵. 量矩阵 例如 n 阶数量矩阵