自考04184线性代数(经管类)讲解第二章矩阵

第二章矩阵2.1矩阵的概念定义2.1.1由m×n个数a ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表用大小括号表示称为一个m行n列矩阵。

矩阵的含义是：这m×n个数排成一个矩形阵列。

其中a ij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i称为行标，j称为列标。

第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。

通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。

有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为A=（a ij）m×n或（a ij）m×n或A m×n当m=n时，称A=（a ij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。

n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。

只有一阶方阵才是一个数。

一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。

n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，a nn，称为此方阵的对角元。

在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。

用O m×n或者O（大写字）表示。

特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，a n）为n维行向量。

它是1×n矩阵。

当n=1时，称为m维列向量。

它是m×1矩阵。

向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。

例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。

几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵形如或简写为（那不是A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵，例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。

2.数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元n阶数量矩阵素都相同时，称它为数量矩阵。

有如下形式：或。

（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的）特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵。

n阶单位矩阵记为E n或I n，即或在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。

n阶数量矩阵常用aE n或aI n表示。

其含义见2.2节中的数乘矩阵运算。

3.n阶上三角矩阵与n阶下三角矩阵的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

对角矩阵必须是方阵。

一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。

4.零矩阵（可以是方阵也可以不是方阵）2.2矩阵运算本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。

只有在对矩阵定义了一些有理论意义和实际意义的运算后，才能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。

2.2.1矩阵的相等（同）设A=（a ij）m×n，B=（b ij）k×l，若m=k，n=l且a ij=b ij，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。

由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两个矩阵中处于相同位置（i，j）上的一对数都必须对应相等。

特别，A=（a ij）m×n=O a ij=0，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n。

注意行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如因为两个矩阵中（1，2）位置上的元素分别为0和2。

但是却有行列式等式（因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样）2.2.2矩阵的加、减法定义2.2.2设A=（a ij）m×n和B=（b ij）m×n，是两个m×n矩阵。

由A与B的对应元素相加所得到的一个m×n矩阵，称为A与B的和，记为A+B，即A+B=（a ij+ b ij）m×n。

即若则当两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵。

只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。

例如注意：（1）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别例如（阶数相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其它的不变。

）（2）阶数大于1的方阵与数不能相加。

（阶数大于1它就是一个表，不是一个数了）若A=（a ij）为n阶方阵，n>1，a 为一个数，则A+a无意义！但是n阶方阵A=（a ij）m×n与数量矩阵aE n可以相加：（把数转化为数量矩阵aE n就可以想加了）矩阵的加法满足下列运算律：设A，B，C都是m×n矩阵，O是m×n零矩阵，则（1）交换律A+B=B+A.（乘法没有交换律）（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）. （3）A+O=O+A=A.（4）消去律A+C=B+C A=B.2.2.3数乘运算（矩阵与数不能相加，但是可能想乘）定义2.2.3对于任意一个矩阵A=（a ij）和任意一个数k，规定k与A的乘积为m×nkA=（ka ij）m×n.（矩阵里的第个原数都乘以数K）即若则由定义2.2.3可知，数k与矩阵A的乘积只是A中的所有元素都要乘以k，而数k 与行列式D n的乘积只是用k乘D n中某一行的所有元素，或者用k乘D n中某一列的所有元素，这两种数乘运算是截然不同的。

根据数乘矩阵运算的定义可以知道，数量矩阵aE n就是数a与单位矩阵E n的乘积。

数乘运算律（1）结合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l 为任意实数。

（2）分配律k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l为任意实数。

例1已知求2A-3B。

解例2已知且A+2X=B，求X。

解：（注意是乘以矩阵里的每个元素）2.2.4乘法运算设矩阵A=（a ij）m×k，B=（b ij）k×n，令C=（c ij）是由下面的m×n个元素m×nc ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a ik b kj（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）构成的m行n列矩阵，称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB。

由此定义可以知道，两个矩阵A=（a ij）和B=（b ij）可以相乘当且仅当A的列数与B的行数相等。

当C=AB时，C的行数=A的行数，C的列数=B的列数。

C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。

例3若且，AB=C，求矩阵C中第二行第一列中的元素C21解：C21等于左矩阵A中的第二行元素与右矩阵B中第一列元素对应乘积之和∴C21=2×1+ 1×3+ 0×0=5例4设矩阵求AB解：=这里矩阵A是3×3矩阵，而B是3×2矩阵，由于B的列数与A的行数不相等，所以BA没有意义。

例5求（1）A3E3（2）E3A3解：（1）（2）由本例可见A3E3=E3A3=A3，并且可以推广有它与代数中的1·a=a·1=a比较可见单位矩阵E n在乘法中起单位的作用。

例6设矩阵求AB和BA解：现在，我们对矩阵乘法与数的乘法作一比较。

数的乘法有交换律，矩阵乘法没有普遍交换律。

（差别）例7设求（1）AB（2）AC解（1）（2）可见AB=AC众所周知，两个数的乘积是可交换的：ab=ba，因而才有熟知的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，a2-b2=（a+b）（a-b），（ab）k=a k b k.两个非零数的乘积不可能为零。

因此，当ab=0时，必有a=0或b=0。

当ab=ac 成立时，只要a≠0，就可把a消去得到b=c。

（这条只满足数，不满足矩阵）由矩阵乘法及上述例6、例7可知：（1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：E n A=AE n=A（2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：（aE n）A=A（aE n）.（3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律，即一般AB≠BA。

（4）当AB=O时，一般不能推出A=O或B=O。

这说明矩阵乘法不满足消去律。

（5）当AB=AC时，一般不能推出B=C。

（消去律）若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B可交换。

此时，A与B必为同阶方阵。

矩阵乘法不满足消去律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去。

在下一节中我们将会看到，被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式的同侧消去。

例8设矩阵，求出所有与A可交换的矩阵。

（即AB=BA）解因为与A可交换的矩阵必为二阶矩阵，所以可设为与A可交换的矩阵，则由AX=XA，可推出x12=0，x11=x22，且x11，x21可取任意值，即得。

（对角线必须一样）例9解矩阵方程，X为二阶矩阵。

解设。

由题设条件可得矩阵等式：由矩阵相等的定义得（列出两组方程式）解这两个方程组可得x11=1，x21=-1，x12=1，x22=0。

所以。

乘法运算律（1）矩阵乘法结合律（AB）C=A（BC）。

（不改变顺序）（2）矩阵乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC。

（3）两种乘法的结合律k（AB）=（kA）B=A（kB），k为任意实数。

（4）E m A m×n=A m×n，A m×n E n=A m×n（其中E m，E n分别为m阶和n阶单位矩阵）。

矩阵乘法的结合律要用定义直接验证（证略），其他三条运算律的正确性是显然的。

方阵的方幂设A为n阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，所以可以不加括号而有完全确定的意义。

我们A的幂（或称方幂）为定义由定义可知，n阶方阵的方幂满足下述规则：A k A l=A k+l，（A k）l=A kl，k，l为任意正整数。

例10用数学归纳法证明以下矩阵等式：（1）（2）。

证（1）当n=1时，矩阵等式显然成立。

假设当n=k时，矩阵等式成立，即知道，当n=k+1时，矩阵等式也成立。

所以对任意正整数n，此矩阵等式成立。

（2）当n=1时，矩阵等式显然成立。

假设当n=k时，矩阵等式成立，即则知道，当n=k+1时，矩阵等式也成立。

所以对任意正整数n，此矩阵等式都成立。

例11设n阶方阵A和B满足，证明：。

证：由可推出B=2A-E n。

再由B2=（2A-E n）（2A-E n）=4A2-4A+E n证得因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于n 阶方阵A和B，有以下重要结论：（1）（A+B）2=（A+B）（A+B）=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2 AB=BA。

（2）（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2=A2-B2 AB=BA。

（3）当AB=BA时必有（AB）k=A k B k.（只有两者两等时成立）例如AB=BA时，（AB）2=（AB）（AB）=ABAB=A（BA）B=AABB=（AA）（BB）=A2B2但AB≠BA时，则上面结果不成立。

例13设，，则有因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论：例如时（两个不等于零的方阵相乘或是一个数平方也可能等于零）（2）由A2=O不能推出A=O。