4-4高中三角函数的恒等变换

中国教育培训领军品牌 1 环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义 讲义编号： ______________ 副校长/组长签字： 签字日期： 学 员 编 号 ： 年 级 ：高二 课 时 数 ：2 学 员 姓 名 ：连万民 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ：韩兆明

课 题 三角函数的概念、诱导公式

授课日期及时段 2014 7 18 8：00-----10：00 教 学 目 的 掌握三角级数的概念 重 难 点 三角函数的概念

【考纲说明】 1、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 2、能运用两角和与差的争先与余弦、正切公式及二倍角的正弦余弦和正切进行简单的计算。 3、高考占分17分左右。

【趣味链接】

1、sin对cos说：虽然我们相爱了，但我总是感觉不对。cos说：哪里不对呢？sin说：我总觉得我们是在三角恋。 2、正余弦图形就像正常人的心电图一样，上下波动幅度和周期都很固定。人体的特征周期也可以用三角函数的图像来表示，如下图：

【知识梳理】 一、 1.两角和、差、倍、半公式 （1） 两角和与差的三角函数公式

中国教育培训领军品牌 2

（2） 二倍角公式

（3） 半角公式 ， ，

2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）. 二、 1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.

2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如成立的条件是“是

任意角，的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上. 3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式

成立的条件.例、、等. 4． 三角公式由角的拆、凑很灵活.如、、

，等，注意到倍角的相对性. 5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等. 6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式 (1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口. (2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.

【经典例题】 中国教育培训领军品牌 3 【例1】（2010天津） 在ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则C的大小应为( ) A． B． C．或 D．或 【例2】（2011上海） 已知tan tan是方程x2+3x+4=0的两根，若，(-)，则+=（ ） A． B．或- C．-或 D．- 【例3】（2011陕西） 若，则对任意实数的取值为（ ） A. 1 B. 区间（0，1） C. D. 不能确定 【例4】（2012甘肃）△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（ ） A. B. C.或 D.

【例5】（2011河北） 已知，（），则（ ）

A、 B、 C、 D、 【例6】（2010上海）已知是第三象限的角，若等于（ ）

A. B. C. D.

【例7】（2012浙江）求值：=_______________ 【例8】（2012江苏） 【例9】（2008广东）已知函数()sin()(00π)fxAxA，，xR的最大值是1，其图像经过点π132M，． （1）求()fx的解析式； （2）已知π02，，，且3()5f，12()13f，求()f的值． 【例8】（2007湖北）已知函数2π()cos12fxx，1()1sin22gxx． （I）设0xx是函数()yfx图象的一条对称轴，求0()gx的值． 中国教育培训领军品牌 4 （II）求函数()()()hxfxgx的单调递增区间．

【课堂练习】 1.（2008山东）函数lncos()22yxx的图象是 （ ）

2.（海南、宁夏理科卷）已知函数2sin()(0)yx)在区间02，的图像如下：那么＝（ ） A．1 B．2 C．21 D． 31

3、（2008广东）已知函数2()(1cos2)sin,fxxxxR，则()fx是（ ） A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为2的奇函数 C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为2的偶函数 4.（2007四川）下面有五个命题： ①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是. ②终边在y轴上的角的集合是{a|a=Zkk,2｝. ③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ④把函数.2sin36)32sin(3的图象得到的图象向右平移xyxy ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔xy

y x 2π 1

1

O 中国教育培训领军品牌

5 其中真命题的序号是

5.（2008山东）已知函数f(x)＝)0,0)(cos()sin(3πxx为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2π （Ⅰ）求f（8π）的值； （Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

【课后作业】

1.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos22sinfxxx的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3，32 D. －2，32

2.（2007福建）已知函数()sin(0)fxx的最小正周期为，则该函数的图象（ ）

A．关于点0，对称 B．关于直线x对称 C．关于点0，对称 D．关于直线x对称 3.（2007广东）若函数21()sin()2fxxxR，则()fx是（ ） A．最小正周期为π2的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数

4.（2007海南、宁夏）函数πsin23yx在区间ππ2，的简图是（ ） 中国教育培训领军品牌

6 5.（2007浙江）若函数()2sin()fxx，xR（其中0，2）的最小正周期是，且(0)3f，则（ ） A．126， B．123， C．26， D．23， 6.（2006年天津）已知函数xbxaxfcossin)(（ a、b为常数，0a，Rx）在4x处取得最小值，则函数)43(xfy是（ ） A．偶函数且它的图象关于点)0,(对称 B．偶函数且它的图象关于点)0,23(对称 C．奇函数且它的图象关于点)0,23(对称 D．奇函数且它的图象关于点)0,(对称 7.（2008江苏卷）()cos()6fxwx的最小正周期为5，其中0w，则w 8.（广东理科卷）已知函数()(sincos)sinfxxxx，xR，则()fx的最小正周期是 ．

【作业条】 本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________ 本次课后作业：___________________________________________________________________________________ 需要家长协助：____________________________________________________________________________________ 家长意见：________________________________________________________________________________________ 中国教育培训领军品牌 7 【参考答案】

【典型例题答案】 1、A；2、D；3、A；4、A；5、C；6、A；7、3-2；8、 解：原式

9、解（1）依题意有1A，则()sin()fxx，将点1(,)32M代入得1sin()32， 而0，536，2，故()sin()cos2fxxx； （2）依题意有312cos,cos513，而,(0,)2，

2234125sin1(),sin1()551313，

3124556()cos()coscossinsin51351365f

10、解：（I）由题设知1π()[1cos(2)]26fxx． 因为0xx是函数()yfx图象的一条对称轴，所以0π26xπk， 即0 π2π6xk（kZ）． 所以0011π()1sin21sin(π)226gxxk．

当k为偶数时，01π13()1sin12644gx， 当k为奇数时，01π15()1sin12644gx．