第十二章 动量矩定理

（习题12－14） 习题 － ）
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学 例题十七
第 六 节 平 面 运 动 微 分 方 程
第十二章 动量矩定理
A：m1下降，鼓轮：r、R、m2，ρ。求A的加速度。 下降，鼓轮： 的加速度。 。 的加速度
α=a/(R+r)
S S’ a aC=aR/(R+r) m1g
CHale Waihona Puke 例题十九 如图所示，板的质量为 1，受水平力 如图所示，板的质量为m
α
F ar ′ F2 F1 FN1 ′ FN2 m1g
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C
m2g
aC FN2 F2
a F
理论力学
第十二章 动量矩定理
例题二十 均质圆柱体 和B的质量均为 ，半 均质圆柱体A和 的质量均为 的质量均为m，
（习题11－3） 习题 － ）
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理论力学
第 五 节 质 点 系 相 对 于 质 心 的 动 量 矩 定 理
第十二章 动量矩定理
二、质点系相对于质心的动量矩定理
dLO d = (rC × mvC + LC ) = ∑ r i × Fi(e) dt dt
drC dLC d (e) ′i × Fi(e) × mvC + rC × mvC + = ∑ r C × Fi + ∑ r dt dt dt
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理论力学 例题十八
第 六 节 平 面 运 动 微 分 方 程
第十二章 动量矩定理
摩擦系数： ， 轮：m，R，A：m1，摩擦系数：f，求加速度及 ， ， BC段绳的拉力。 段绳的拉力。 段绳的拉力

解：1）研究对象：取管中 截面和 截面之间的流体为研究的质点系
2）受力分析：如图所示
设流体密度为 ，流量为 ，（流体在单位时间内流过截面的体积流量，定常流动时， 是常量）在 时间内，流过截面的质量为 ，其动量改变量为
即
由
得
令
其中 为管子对流体的静约束力，由下式确定
则有
为流体流动时，管子对流体的附加动约束力。可见，当流体流速很高或管子截面积很大时，流体对管子的附加动压力很大，在管子的弯头处必须安装支座（图12.14）
（2）微运动的周期与运动规律
解：
1．研究对象：圆轮
2．分析受力：如图12.35所示
3．分析运动：轮作平面运动，轮心沿作圆周运动
4．列动力学方程，求解：
5．求
6．微运动时
由式令
解得
所以
周期
解：
1．分析运动：
2．计算
例12.9图12.21所示椭圆规尺，质量为，曲柄质量为，滑块和的质量为，设曲柄和均为均质杆，且，曲柄以转动，求：此椭圆规尺机构对转轴的动量矩。
解：
1．分析运动：规尺作平面运动
2．计算
物块速度均通过转轴，对的动量矩为，杆定轴转动，对轴的动量矩为
四． 心为定点的动量矩定理
引言：求均质轮在外力偶的作用下，绕质心轴的角加速度
刚体的平面运动微分方程
设刚体具有质量对称平面，作用在刚体上的力系可以简化为在此平面内的力系，如图12.31所示。以为基点建立平动坐标系，则刚体相对于此质心的动量矩为
刚体平面运动岁质心平动相对质心转动
随质心平动
相对质心转动
刚体平面运动微分方程：
例12.15已知：质量为半径为的均质圆轮放在倾角为的斜面上，由静止开始运动。设轮沿斜面作纯滚动。求：（1）轮心的加速度，（2）轮沿斜面不打滑的条件。

第12章 动量矩定理通过上一章的学习我们知道动量是表征物体机械运动的物理量。

但是在某些情况下，一个物体的动量不足以反映它的运动特征。

例如，开普勒在研究行星运动时发现，行星在轨道上各点的速度不同，因而动量也不同，但它的动量的大小与它到太阳中心的距离之乘积—称为行星对太阳中心的动量矩，总是保持为常量，可见，在这里，行星对太阳中心的动量矩比行星的动量更能反映行星运动的特征。

在另一些情况下，物体的动量则完全不能表征它的运动。

例如，设刚体绕着通过质心C 的z 轴转动。

因为不论刚体转动快慢如何，质心速度C v总是等于零，所以刚体的动量也总是零。

但是，刚体上各质点的动量大小与其到z 轴的距离的乘积之和—即刚体对z 轴的动量矩却不等于零。

可见，在这里，不能用动量而必须用动量矩来表征刚体的运动。

§12-1 质点动量矩定理例2.人造地球卫星本来在位于离地面600km h =的圆形轨道上，如图所示，为使其进入410km r =的另一圆形轨道，须开动火箭，使卫星在A 点的速度于很短时间内增加0.646km/s ，然后令其沿椭圆轨道自由飞行到达远地点B ，再进入新的圆形轨道。

问：（1）卫星在椭圆轨道的远地点B 处时的速度是多少？（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到达远地点B 时，应如何调整其速度？大气阻力及其它星球的影响不计。

地球半径6370km R =。

图12-5解：首先求出卫星在第一个圆形轨道上的速度，可由质点动力学方程求出。

卫星运行时只受地球引力的作用，即22()R F mg R x =+ 式中x 是卫星与地面的距离。

当卫星沿第一圆形轨道运动时，有222()()v R m mgR h R h =++ 即22()gR v R h =+ （b ）将6370km R =，600km h =，9.8m/s g =代入上式，得卫星在第一个圆形轨道上运动的速度17.553km/s v = 所以卫星在椭圆轨道上的A 点的速度为7.5530.6468.199km/s A v =+=卫星在椭圆轨道上运动时，仍然只受地球引力作用，而该引力始终指向地心O ，对地以O 的矩等于零，所以卫星对地心O 的动量矩应保持为常量。

动量矩定理12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为: x a cos t y bsin2 t 式中a 、b 和 为常量。

求质点对原点 O 的动量矩。

解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度V xdxsin t dt aV y dy 2b cos2 t 质点对点 O 的动量矩为L O M o (mV x ) M 0(mV y )mv x y mv y x m ( a sin t) bsin2 t m 2b cos2 t acos t 2mab cos 3 t 12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。

轮子轴心为A,质心为C, AC = e ；轮子半径为 R,对轴心A 的转动惯量为J A ； C 、A 、B 三点在同一铅直线上。

（1 ）当轮子只 滚不滑时，若 V A 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。

（2）当轮子又滚又滑时， 若V A 、 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。

解：（1）当轮子只滚不滑时 B 点为速度瞬心。

轮子角速度V A R质心C 的速度V CBCR e轮子的动量p mv Cmv A (方向水平向右)R对B 点动量矩L B J B2 2 2由于 J B J C m (R e) J A me m (R e) 故 L B J A me 2 m （R e ）2食 （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得 C 点速度。

V C V A V CA V A e 轮子动量 p mv C m(v A e) （方向向右） 对B 点动量矩L B mv C BC J Cm(v A 2e) (R e) (J A me) mv A (R e) (J A mRe) 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为 50 mm 无初速地沿倾角 20的轨道滚下，设 只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为 s =3m 。

试求轮子对轮心的惯性半径。

解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（ a ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 ma C mgsi n F （ 1） J C = Fr （ 2）因轮子只滚不滑，所以有 a c = r （ 3） ® 12将式（3）代入式（1）、（2）消去F 得到mr sinm?g上式对时间两次积分，并注意到 t = 0时 0, 0,则 mgrt 2 sin mgrt 2s in 2(J C mr 2) 2(m 2 mr 2) 把 r = 0.025 m 及 t = 5 s 时，s 'grt 2sin f gt 2sin-r r「s r 1grt 2sin 2( 2 r 2) r 3 m 代入上式得0.0259.8 52si n202 30.09 m 90 mm12-17 图示均质杆 AB 长为I ，放在铅直平面内，杆的一端 A 靠在光滑铅直墙上，另一端 B 放在光滑的水平地板上，并与水平面成 °角。