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动量矩定理蜻蜓、飞机和直升机儿时的我很爱雨后捉蜻蜓。
夏天一场大雨过后，街道上和低洼处到处是水坑。
许多蜻蜓在水面上下飞舞，并不时用尾巴尖端表演“蜻蜓点水”的特技。
我们就用长竿端部的网兜捕捉蜻蜓，捉到后用细线拴住它的腰部，看它在我的掌握之中乱飞，快乐异常。
长大后对蜻蜓的兴趣转为对飞机的热爱，考大学选了飞机设计专业。
飞机（为了与直升机区别，可称其为“平飞飞机”，这里是按它们的飞行状态来区分的）的机翼与蜻蜓的翅膀极为相似，可是它在天空只能不停地往前飞行，不能停止。
蜻蜓就有这个本事。
直升机克服了平飞飞机（下文中仍简称为飞机）不能在空中悬停的缺点，它依靠旋转的翅膀（正确术语为旋翼）能在空中悬停，并可将重物吊起或降下，所以它在反潜、救灾、反恐、反海盗任务中有独特的优势。
直升机的先祖，至少可追朔到中国明代就出现的竹蜻蜓，直到如今仍是许多孩童的好玩具。
现代人又把它叫做“飞螺旋”和“中国陀螺”。
它用旋转叶片产生升力，使竹蜻蜓飞起来。
直升机和飞机的主要区别在于它们产生升力的机理不同。
飞机靠机身两侧的形似蜻蜓翅膀（见图1）的平直机翼提供升力，前进的动力是由机头的螺旋桨或尾部喷管（即尾喷管）的喷气来提供；而直升机则是借助旋转的机翼（旋翼）产生升力。
直升机的旋翼和飞机的螺旋桨都是用旋转的叶片推动空气产生作用力的。
飞机的螺旋桨基本不提供升力，只起克服空气阻力使飞机前进的作用；而直升机的旋翼，主要提供升力；在需要前进时，倾斜旋转轴，从而造成水平分力，使直升机前进。
一般而言，直升机旋翼叶片的尺寸（长宽和面积）要比飞机螺旋桨叶片大得多。
直升机旋翼的种类为了讨论直升机的动力学问题，先对直升机的类别进行简介。
按照旋翼的数目与配置以及叶片数目来区分，直升机有如下几种：01单旋翼直升机顾名思义，单旋翼直升机就是它只有一个旋翼。
一般它必须带一个尾桨负责抵消旋翼产生的反转矩。
例如，欧洲直升机公司制造的EC-135直升机。
图2就是一个带尾桨的单旋翼直升机图片。
动量矩定理
动量矩定理是动力学普遍定理之一，它给出质点系的动量与质点系受机械作用的冲量之间的关系。
动量定理有微分形式和积分形式两种。
1）积分形式
设质点系中任一质点的质量为mi，受外力的合力和内力的合力作用，加速度为，沿曲线轨迹运动到Q点时的速度为（见图）。
根据牛顿第二定律，有：
将式（1）向轨迹的切线方向投影，得式
因
，
代入式（2）可得：。
上式可以改写为：
式中为质点i的动能；和分别为质点i上外力和内力的元功。
对于整个质点系则应为：
式中为质点系的总动能。
对式（4）进行积分，可得：
式中T1，为质点系在过程开始时的动能；T2为质点系在过程结束时的动能。
式（5）是以积分形式表示的质点系的动能定理，它表明:质点系的总
动能在某个力学过程中的改变量，等于质点系所受的诸外力和诸内力在此过程中所做功的总和。
2）微分形式
将式（4）两边除以dt，得：
式中为外力的功率；为内力的功率。
式（6）是以微分形式表示的质点系的动能定理，它表明；质点系的总动能随时间的变化率等于质点系所受诸外力和诸内力在单位时间内所作功的总和。
质点是质点系的一个特殊情况，故动能定理也适用于质点。
但是，对于质点和刚体，诸内力所做功的总和等于零，因为前者根本不受内力作用，而后者的内力则成对出现，其大小相等，方向相反，作用在同一直线上，且刚体上任两点的距离保持不变，故其内力作功总和等于零。
动量矩定理的三个公式动量矩定理是物理学中的重要概念，它有三个关键公式。
这三个公式在解决许多物理问题时，那可是相当有用的。
咱们先来聊聊第一个公式：对某定点 O，质点的动量矩 L 等于质点对该点的位置矢量 r 与质点的动量 p 的矢量积，即 L = r × p 。
这个公式看似有点复杂，其实你仔细琢磨琢磨，也不难理解。
比如说，你想象一下，有个小球在光滑的平面上滚动。
这个小球的速度很快，质量也不小。
那它的动量就比较大。
如果这个小球距离某个固定的点比较远，那它相对于这个点的动量矩就会更大。
再来说说第二个公式：质点所受的合力 F 对某定点 O 的力矩 M 等于质点对该点 O 的动量矩随时间的变化率，即 M = dL/dt 。
这个公式能帮助我们理解物体在受到外力作用时，它的转动状态是怎么变化的。
就像我们骑自行车的时候，我们蹬脚踏板的力就相当于一个外力。
这个力产生的力矩会让自行车的轮子转动起来，并且改变轮子的转动速度和方向。
最后是第三个公式：质点系对某定点 O 的动量矩 L 等于质点系中各质点对该点动量矩的矢量和，即L = ∑（ri × pi）。
这三个公式在实际应用中可是大显身手。
记得有一次，我在学校的物理实验室里，看到同学们在做一个关于转动惯量的实验。
实验台上有一个可以绕着中心轴旋转的圆盘，圆盘上有不同位置的小孔，可以通过改变小孔的位置来改变圆盘的质量分布。
同学们在圆盘上施加一个恒定的力矩，然后观察圆盘的转动情况。
他们通过测量圆盘的角速度和角加速度，来验证动量矩定理的公式。
当时有个同学怎么都弄不明白为什么改变圆盘的质量分布会影响它的转动状态。
我就用动量矩定理的公式给他解释。
我说，你看啊，质量分布变了，相当于质点的位置变了，那对中心点的动量矩也就跟着变了。
合力矩不变的情况下，动量矩的变化率就不一样了，所以转动状态就不同啦。
这同学听了之后，恍然大悟，那种因为搞懂一个难题而露出的兴奋表情，我到现在都还记得。
