工程力学-材料力学-第12章动量矩定理
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12动量矩定理
图12.7 钟摆
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.5】 匀质圆盘与匀质杆组成的钟摆如图12.7所示。已知圆盘质量m1， 直径d，杆的质量m2，长l，试求钟摆对悬挂轴O的转动惯量J0。
解：钟摆由匀质杆和匀质盘组成，所以有 = JO JO杆 + JO
其中
JO
=J c
+
m1
l
+
d 2
平方的乘积，即
12.7
J=z J zc + md 2
(12.7)
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
证明：如图12.5所示，设刚体总的质量为m，轴zc通过质心C，z与zc平行且 相距为d。不失一般性，可令y与yc重合，在刚体内任取一质量为mi的质点Mi,它 至zc轴和z轴的距离分别为ric和ri。刚体对于z、zc轴的转动惯量分别为
12.9
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.4】 质量为m，长为l的匀质杆如图12.6所示，求杆对yc的转动惯量。
解：由例12.1知
Jy
=
1 ml2 3
,根据平行轴定理式(12.7)有
J yc
=J y
−
md 2
=1 ml2 3
−
m
l
2
2
=1 12
ml 2
12.10
图12.6 匀质杆
在工程问题上，计算刚体的转动惯量时，常应用下面公式
12.3
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
Jz
=
mρ
2 z
(12.2)
ρ 其中m为整个刚体的质量， z 为刚体对z轴的回转半径，它具有长
理力12(动力学)-动量矩定理
§ 12-2 动量矩定理
动量矩守恒定理
d M O (mv ) M O ( F ) dt
MO (F ) 0
M x (mv ) 恒量 M y (mv ) 恒量 M (mv ) 恒量 z
M O (mv ) 恒矢量
n d LO M O (Fi ( e ) ) dt i 1 n
29
第 十二 章 动量矩定理
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
n d ( J z ) M z ( Fi ) dt i 1 n d Jz M z (Fi ) dt i 1
J z M z (Fi )
i 1
n d J z 2 M z (Fi ) dt i 1 2
θ W2
FN
例题
第十二章 动量矩定理
例 题 12-1
ω O FN W2t v M FOy
解： 取小车与鼓轮组成质点系，视小车
为质点。以顺时针为正，此质点系对O轴 的动量矩为
FOx W1
LO J m2vR
作用于质点系的外力除力偶M，重力W1 和 W2外，尚有轴承O的反力FOx和FOy ，轨道 对小车的约束力FN 。 其中W1 ，FOx ，FOy 对 O轴力矩为零。将W2 沿轨道及其垂直方向 分解为W2t和W2N， W2N与FN相抵消。
F0
r1
α
r2
LOz J O m1v1r1 m2v2 r2
考虑到 v1 = r1 ， v2 = r2 ，则得 m0g
A B
LOz ( J O m1r1 m2 r2 )
2 2
( b)
v1
外力主矩仅由重力 m1g 和 m2g 产生，有
v2 m2g m1 g
第12章 动量矩定理
M
i 1
n
o
( Fi ) 0
(e)
Lo (t ) Lo (t0 )
M
i 1
n
x
( Fi ) 0
(e)
Lx (t ) Lx (t0 )
质点系动量矩守恒举例：
O
若两猴等重 ，轮无 质量。谁爬得快？
离合器传动
图示为运送矿石的卷扬机系统。已知鼓轮的半径 例： 为R ，重量为 P mg ，绕轴 O 转动。小车和矿石总
LO l m v l m lω m l2 θ
v
只有 m g 对O点有矩
MO (F ) mgsin l
图中 角的正方向，便规定了取 矩的正方向。
根据动量矩定理列方程
d 2 ( ml ) mg sin l dt
l g sin 0
——线性化
第13章 动量矩定理
动量矩定理表达了动量矩（机械运动 的一种度量）与力矩之间的关系。
本章首先介绍动量矩定理。在引进 转动惯量的概念之后，将定理应用于研 究刚体的定轴转动，得出刚体定轴转动 的微分方程。最后，将相对质心的动量 矩定理与前述质心运动定理结合，给出 刚体的平面运动微分方程。
§13-1 动量矩定理
d( ri mi vi ) ri Fi (e) ri Fi (i) (i 1,2,, n) dt n n n d( ri mi vi ) (e) (i) ri Fi ri Fi 相加得 dt i 1 i 1 i 1
其中 ri Fi
重量为 P1 m1 g 。配重 P2 m2 g 。作用在鼓轮上的力 偶矩为 M ，鼓轮对转轴的转动惯量为 J ，轨道的倾角 为 。不计绳的质量及各处摩擦。求小车的加速度。
第12章动量矩定理汇总
第十二章动量矩定理§12—1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩质点Q的动量对于点0的矩，定义为质点对于点0的动量矩M O mv = r mvM z mv 二2 0Q AM O mv ［二M z mv动量矩的单位：kgm2/s、质点系的动量矩nL o 二為M o m i V ii』nL z八M z m i v iM O (mv)(r mv ) dtdtdr dtmv rmvdt绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角 速度的乘积n n n2L z 八 M z mM八 m i y 订i =mmyy ynJ z 八 m"2id ：§12— 2动量矩定理、质点的动量矩定理M O mv =v mv r F dt-J—M O mv 二 M O F dt质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作 用力对同一点的矩。
直角坐标投影式为d厂 一Mx(mv)= Mx(F ) dt pl 2 My(mv)=My(F ) dt plL 2M z (mv)= M z (F ) dtL z=J z ：特殊情形：当质点受有心力F的作用时，如图11-4所示，力矩M°(F)=O，则质点对固定点0的动量矩M o(mv)=恒矢量，质点的动量矩守恒。
例如行星绕着恒星转，受恒星的引力作用，引力对恒星的矩M°(F)=O，行星的动量矩M o (m v )=恒矢量，此恒矢量的方向是不变的，因此行星作平面曲线运动；此恒矢量的大小是不变的，即mvh=恒量，行星的速度v与恒星到速度矢量的距离h成反比。
(1)从而由式(1)得单摆运动微分方程为护阶0(2)解式(2) 得单摆的运动规律为9 =cp o Sin( 3n t +8)其中，3-g称为单摆的角频率，单摆的周期为例1如图所示单摆，由质量为m的小球和绳索构成。
单摆悬吊于点0,绳长摆在铅垂平面内绕点0作微振幅摆动，设摆与铅垂线的夹角为「为逆时针时正，如图所示。
第12章 动量矩定理
2
r1
z1
α2
W
所以，重物上升 的加速度为
( M i12 mgR ) R a R 2 2 J1i12 J 2 mR 2
思考题
已知均质轮O1，半径R1，质量为m1; 均质 轮O2，半径R2，质量为m2，主动力矩M， 阻力矩Mf，求α1。
M
O2 O1
Mf
α2 Lo1 J 11 J 2 2
对于n个质点，有n个这样的方程，将这些方程求和，
则
n
内力系主矩 = 0
n n d M o (mi vi ) M o ( Fi (i ) ) M o ( Fi ( e ) ) dt i 1 i 1 i 1
所以得
n d n d n Mmi voi(mi v M o ( Fi ( e ) ) dt o ( M ) ii)1 (交换求导数与求和的次序) dt i 1 i 1
Lo ml l ml l 2ml 2
从本例可以知道，系统质心的速度虽然为零，系统对O 轴的动量矩并不等于零。 计算质点系的动量矩不能简单地 用质心的动量对某固定点或固定轴取矩。
例12-2
O ω
已知均质杆m，l，ω， 则杆的动量为
p = mvc = mωl/2
杆对O轴的动量矩为
质点A的动量对固定点O的矩：
z
F
A
B
Mo(mv)= r×mv
i x mv x j y mv y k z mv z
x A'
mv
MO(mv)
o
r
B' y
(mv)xy
大小= mv· sin =2S△OAB r 方位：过O且⊥△OAB；
十二章动量矩定理
F mv
M0(F)
o
Ｑ
y
x
由牛顿第二定律
m
dv dt
F
d dt
(mv)
F
r
d dt
(mv)
r
F
d (r mv) r d(mv) dr mv
dt
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dt dt
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第十二章 动量矩定理
d (r mv) r F dt
M0(mv) m0(F)
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第十二章 动量矩定理
C
m2
IOZ M
式中
M
m1
O
IOZ
1 3
m1L2
1 2
m2
r
2
m2L2
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第十二章 动量矩定理
代入已知值得：
IOZ
1 10 0.32 3
1 40 0.152 2
40 0.32
4.35kg m2
M 20 4.6rad / s2
IOZ 4.35
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第十二章 动量矩定理
dt
M y (mv)]
my (Fe )
d [
dt
M z (mv)]
mz (Fe )
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第十二章 动量矩定理
【典型题精解】
例12-1 滑块Ａ，Ｂ质量分别为２Ｋｇ，0.5Ｋｇ，用长１
米的绳连接，在水平光滑滑竿上滑动，绳和竿的质量不计。
竿绕铅垂轴转动，轴的摩擦也不计。当 rA 0.6m 时，滑块 Ａ以速度０.４ｍ／Ｓ沿竿向外运动，竿的角速度 0.5rad / s
求此时竿的角加速度。
1m
B rB
第12章-动量矩定理
它表达为刚体质量 m 与某一长度ρ z 旳平方
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
动量矩动量矩定理
（1）动量矩 M O mv 的大小 阴影部分面积的2倍 （2）动量矩 M O mv 的方向 满足右手螺旋法则 （3）单位： kg m2 /s
M O mv
M z mv
Q
z
mv
O
r
x
Q’
mv xy
y
（4） 对点与对轴之动量矩的关系
MO mv M z mv z
§12-1
质点和质点系的动量矩
2.3* 平面运动刚体的动量矩 LO
y
m w
vi
mi C
LO ri mi vi
ri
O
vC
x
LO = rC ×mvC + LC
其中， LC
rC
JC ω
§12-1
质点和质点系的动量矩
例12-1
已知：两个鼓轮固连在一 起，其总质量是 m，对转轴
O的转动惯量为 JO ，角速
《理论力学》
第12章 动量矩定理
第十二章
动量矩定理
主要内容
1. 质点和质点系的动量矩 2. 动量矩定理 3. 刚体绕定轴转动微分方程 4. 刚体对轴的转动惯量
5. 刚体的平面运动微分方程
第十二章
动量矩定理
基本要求
（1）理解动量矩、转动惯量等概念，并 能熟练计算。
（2）熟练应用刚体定轴转动和平面运动 微分方程求解动力学问题。
有角速度 w0 。当离合器接合后，依靠摩擦使轮2启动。 已知轮1和轮2的转动惯量分别为 J1 和 J2 。求： （1）当离合器接合后，两轮共同转动的角速度 w ；
（2）若经过t 秒后两轮的转速相同，求离合器应有多大
的摩擦力矩 M f ？
第12章——动量矩定理
12.1 质点和质点系的动量矩
一、简单形状刚体的转动惯量 z
1. 均质细杆
设均质细杆长 l，质量为m，O
取微段 dx, 则
x
x
dx
l
dm mdx l
Jz
l m d x x2 1 ml2
0l
3
Jz1
l
2 l
2
m l
d
x
x2
1 12
ml 2
z1
x l C x dx
2
12.1 质点和质点系的动量矩
对点的：
LO MO(mv) ( miri )vC MO(mvC )
对轴的：
Lz M z (mvC )
12.1 质点和质点系的动量矩
4 定轴转动刚体对转动轴的动量矩
Lz M z (mivi ) miviri miri2
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得
i 1
12.2 动量矩定理
上式左端为
n
i 1
d dt
MO (mivi )
d dt
n i 1
MO (mivi )
d dt
LO
于是得
d
dt
LO
n i 1
MO (Fi(e) )
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等 于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。
12.2 动量矩定理
设作用在刚体上的外力可向质
心所在平面简化为一平面力系，由
y y'
质心运动定理和相对质心的动量矩 定理得
D
C
x'
maC F (e)
12-动量矩定理
1
动力学
第十二章 动量矩定理
第十二章 §12–1
动量矩定理
质点和质点系的动量矩
§12–2
§12–3 §12–4 §12–5 §12–6
动量矩定理
刚体绕定轴的转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体的平面运动微分方程
2
*习题课
动力学
第十二章 动量矩定理
由前一章知，当质心为固定轴上一点时，vC=0，其动量
13
动力学
第十二章 动量矩定理
3．动量矩守恒定理
如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该 点的动量矩保持不变，即
MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 同理，当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点 系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动 量矩守恒定律。 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。 14
31
动力学 2. 回转半径 定义：
第十二章 动量矩定理
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
32
动力学
第十二章 动量矩定理
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3
动力学
第十二章 动量矩定理
第十二章 §12–1
动量矩定理
质点和质点系的动量矩
§12–2
§12–3 §12–4 §12–5 §12–6
动量矩定理
刚体绕定轴的转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体的平面运动微分方程
2
*习题课
动力学
第十二章 动量矩定理
由前一章知，当质心为固定轴上一点时，vC=0，其动量
13
动力学
第十二章 动量矩定理
3．动量矩守恒定理
如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该 点的动量矩保持不变，即
MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 同理，当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点 系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动 量矩守恒定律。 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。 14
31
动力学 2. 回转半径 定义：
第十二章 动量矩定理
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
32
动力学
第十二章 动量矩定理
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3
动量矩定理12章
)2
0
z
B
D
例： 均质圆盘，其绕轴O的转动惯量为J ，可绕通
过其中心的轴无摩擦地转动，另一质量为 m2
的人由 B 点按规律 s 1 at 2 沿距 O 轴半径
为 r 的圆周运动。初始2时，圆盘与人均静止。
求圆盘的角速度与角加速度。
解： 圆盘与人一起 —— 研究对象
受力分析： M z (Fi ) 0
大小： LO mv d
方向：LO mv, LO r
LO=MO(mv)
B
mv α
指向：按右手法则确定
几何表示： LO mv d 2OAB的面积
O
rA
d
y
x
对轴的动量矩
类似于力对点之矩与力对轴之矩的关系： MO (F ) x M x (F ) yFz zFy
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 ：
§12 –1 质点和质点系的动量矩 z
一、质点的动量矩
对点的动量矩 力对点O之矩：MO (F ) r F
MO(F)
B
F α
质点的动量对点O之矩
—— 质点 的动量对O点的动量矩 LO MO (mv) r mv
—— 固定矢量
O
rA
d
x
y
—— 度量质点绕某一点转动运动强弱的运动特征量
z
LOz (JO m1r12 m2r22 )
(b)
外力主矩仅由重力 m1g 和 m2g 产生，有
m0g
A
B
v2 m2g
v1 m1g
MOz (m1r1 m2r2 )g
(c)
(b)
例题
dLOz dt
M Oz
(a)
LOz (JO m1r12 m2r22 )
第十二章 动量矩定理
e e e e MO M x i M y j M z k
e d LO MO dt
ri
α
vi
mi
LO Lx i Ly j Lz k
dL x e Mx dt dL y e My dt dL z e Mz dt
F1
x
ω
Fn
y
质点系对于定轴的动量矩定理
？
几个有意义的实际问题
航天器是 怎样实现 姿态控制 的
？
§12-1 质点和质点系的动量矩
一、质点的动量矩 二、质点系的动量矩 三、刚体的动量矩计算
一、质点的动量矩
1、质点对定点的动量矩
z M O mv
mi vi
m2
第i个质点对于点O的位矢与质 点动量叉乘，所得到的矢量称 为质点对于点O的动量矩。 即：质点的动量对于固定点O y 的矩称为质点对于点O的动量 矩。
z
zC z’
r
d
r 1
m C
y1 x x1
O
y
y’
x
y x’
J zC mi r12 mi x12 y12
C点为刚体的质心，已知 J zC , 求 J z zC
J z mi ri 2
m x
i
2
y2
J zC mi r12 mi x12 y12
2 m
ri
mi vi
mi
单位：
y
kg m ML
2
2
ω
量纲：
x
二、几种简单形状刚体的转动惯量
z
1、均质细长杆
l z l /2 l
第十二章动量矩定理
1质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。
（ ） 2刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的度量。
（ ） 3刚体对某轴的回转半径等于其质心到该轴的距离。
( )4如果作用于质点系上的所有外力对固定点O 的主矩不为零，那么，质点系的动量矩一定不守恒。
( )5如果质点系所受的力对某点（或轴）的矩恒为零，则质点系对该点（或轴）的动量矩不变。
( ) 6图中所示已知两个均质圆柱，半径均为R ，质量分别为2m 和3m ，重物的质量为1m 。
重物向下运动的速度为V ，圆柱C 在斜面上只滚不滑，圆柱O 与绳子之间无引对滑动，则系统对O 轴的动量矩为vR m R m vR m H o 12232++=ω。
( )7图中已知均质圆轮的半径为R ，质量为m ，在水平面上作纯滚动，质心速度为C v，则轮子对速度瞬心I 的动量矩为R mv H c I =。
( )1已知刚体质心C 到相互平行的z z 、'轴的距离分别为b a 、，刚体的质量为m ，对z 轴的转动惯量为z J ，则'z J 的计算公式为__________________。
A ．2)(b a m z z ++='J J ；B ．)(22b a m z z -+='J J ； Ｃ．)(22b a m z z --='J J 。
2两匀质圆盘A 、B ，质量相等，半径相同，放在光滑水平面上，分别受到F 和'F 的作用，由静止开始运动，若'F F =，则任一瞬间两圆盘的动量相比较是_____________________。
Ａ．B A p p >； Ｂ．B A p p <； Ｃ．B A p p =。
3在一重W 的车轮的轮轴上绕有软绳，绳的一端作用一水平力P ，已知车轮的半径为R ，轮轴的半径为r ，车轮及轮轴对中心O 的回转半径为ρ，以及车轮与地面间的滑动摩擦系数为f ，绳重和滚阻皆不计。
第12章 动量矩定理
§12-3 动量矩定理
例 题 5
两个鼓轮固连在一起，其总质量是 m，对水平转轴O的
转动惯量是 JO ；鼓轮的半径是 r1 和 r2 。绳端悬挂的重物 A和 B 质量分别是 m1 和 m2 ，且 m1 > m2。试求鼓轮的角 加速度(与例12－1类似）。
r1 r2
w
A
B
§12-3
动量矩定理
例 题 5
解: 1、选系统（含鼓轮，重物 A , B）为研究对象
2、运动分析 设鼓轮的角速度为w， 物 A的速度：v1= r1w 物 B的速度：v2= r2w
2
y
FO
r1 r2
w
mg
3、受力分析 重力 mg，m1g ， m2g 轴O处约束力 FO
LOz ( J O m1r1 m2 r2 )w
2
v1 A m1 g v2
y
m
w
C
平面运动＝随C平动＋绕C转动
ri
O
rC
x
LC J C ωk , 为动量偶
第12章 动量矩定理
§12-2 刚体对轴的转动惯量
§12-2 刚体对轴的转动惯量
z
2-1 定义
J z ri mi
2
ri
vi
mi
i
均质连续体：
w
O x
y
J z M r dm
2
单位：kg· m2
3、 质点系动量矩守恒定理
若
e M O ( Fi ) 0 e M z ( Fi ) 0
dL O e MO dt
则 LO 常矢 则 Lz 常量
即：当质系所受合外力对某定点（或某定轴）的 矩为零，则质系对该点（或该轴）的动量矩保持 不变 —— 质系动量矩守恒定律。
理论力学第12章 动量矩定理.
1、例如一对称的圆轮绕不动的质心转动时，无论圆轮转动的 快慢如何，无论转动状态有什么变化，它的动量恒等于零， 可见动量不能表征或度量这种运动。 2、动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运 动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影 响。
因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。
作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理
dLOz dt
MOz
O
由于动量矩和力矩分别是
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
和
MOz mgl sin
v
A
§12.2 动量矩定理
例 题 12-2
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
M Oz mgl sin
从而可得
d (ml2 d ) mgl sin
于是得 d
dt MO (mv) MO (F )
F
mv
Q
r
y
§12.2 动量矩定理
质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导
数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。
d dt
MO
(mv )
MO
(F
)
将上式投影到以矩心 O为原点的直角坐标轴上，并注意到动量
及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩，
点系对该轴的动量矩。质点系对 O点的动量矩向通过 O点的 直角坐标系的各轴投影，即质点系对过 O点的轴的动量矩：
Lx LO i mi yi zi zi yi Ly LO j mi zi xi xi zi Lz LO k mi xi yi yi xi
因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。
作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理
dLOz dt
MOz
O
由于动量矩和力矩分别是
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
和
MOz mgl sin
v
A
§12.2 动量矩定理
例 题 12-2
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
M Oz mgl sin
从而可得
d (ml2 d ) mgl sin
于是得 d
dt MO (mv) MO (F )
F
mv
Q
r
y
§12.2 动量矩定理
质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导
数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。
d dt
MO
(mv )
MO
(F
)
将上式投影到以矩心 O为原点的直角坐标轴上，并注意到动量
及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩，
点系对该轴的动量矩。质点系对 O点的动量矩向通过 O点的 直角坐标系的各轴投影，即质点系对过 O点的轴的动量矩：
Lx LO i mi yi zi zi yi Ly LO j mi zi xi xi zi Lz LO k mi xi yi yi xi
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•注意：内力不能改变质点系的动量矩。
•
例12-3 •已知：m1，r，k ，m2 ，R，
•求：弹簧被拉长s时，重物m2的加速度a2 。 •解 •选系统为研究对象,受力分析如图 •设：塔轮该瞬时的角速度为ω，则
•解得：
•
3．动量矩守恒定律
•若
，则 常矢量；
•若
，则 常量。
•
§12-3 刚体绕定轴转动的微分方程 •主动力： •约束力：
•
例12-8 •已知：l，m，θ=60°。求：1. αAB；2. FA • 解：绳子刚被剪断，杆AB作平面运
动，受力如图，根据平面运动微分 方程
• 补充运动学方 程
• 在y轴方向 投影
•
例12-9 •已知：如图r，m， m1。求：1. aA；2. FAB ；3. FS2 • 解：分别以A、B、C为研究对象
•其中： • (O为定点)
•
质点的动量矩定理
•因此 •称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩 对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。
•投影式：
•
2. 质点系的动量矩定理 •对第i个质点有 ： •对n个质点有：
• 由于
•得
•
2. 质点系的动量矩定理
•称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量 矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于 同一点之矩的矢量和。 •投影式：
•2. 选轮2为研究对象
•积分
•
§12-4 质点系相对于质心的动量矩定理 •1．对质心的动量矩 •如图，以质心C为原点，取平移坐标系Cx’y’z’。 •质点系相对质心C为的动量矩为：
•由于 •得 • 质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度计算还是
以绝对速度计算，其结果都相同。
•其中
•
质点系相对于任意定点的动量矩
2、 LZ(板)
•
3、 LZ(E)
例12-1 续
结果：
•
例12-2 钟摆简化如图所示。已知均质细杆和均质圆盘的质量都为m ，圆盘半径R，杆长3R，求摆对通过悬挂点O并垂直于图面的z 轴的转动惯量。
解： 查表得：
根据平行轴定理
•
§12-2 动量矩定理 • 1．质点的动量矩定 理 •设O为定点，有：
• 单位：kg·m2/s
•
质点系的动量矩 • 对点的动量矩 • 对轴的动量矩
•即
•
2. 刚体的动量矩
•(1) 刚体平移的动量矩 •可将全部质量集中于质心，作为一个质点来计算 。
•
2. 刚体的动量矩
•(2)刚体绕定轴转动的动量 矩
• 转动惯 量
• 单位：kg·m2
• 转动惯量是刚体转动时惯性的度量。质量是刚体 移动时惯性的度量。
•质点系对任一点O的动量矩 ：
•
质点系相对于任意定点的动量矩
••结论
•
质点系对任一点O的动量矩等于集中
于系统质心的动量 对O点的动量矩，
与质点系相对于质心动量矩的矢量和。
•
2 相对质心的动量矩定理 •即 •由于
•
质点系相对于质心的动量矩定理
•质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于 质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点 系的外力对质心的主矩。
•
3. 刚体对轴的转动惯量
• 转动惯量
•
教材P213表12－1列出了简单均质物体的转
动惯量 •1) 回转半径（惯性半径）的概
念
•或
•
3. 刚体对轴的转动惯量
•2) 平行轴定 理
• 式中：zC轴为过质心且与z轴平行的轴，d 为z 轴与zC轴之间的距离。 •即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对通过 质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积。
•提 示
•该定理在形式上与质点系相对于固 定点的动量矩定理完全一样。
•
§12-5 刚体的平面运动微分方程 • 刚体的平面运动选质心为基点，可分为随质 心的平移和相对质心的转动，则刚体平面运动微分 方程是质心运动定理和相对于质心的动量矩定理。
•或
•
刚体的平面运动微分方程 •应用时一般用投影式：
•以上各组均称为刚体平面运动微分方程。
•即： •或
•与
•或 相似
•Leabharlann 例12-5•已知：
，求 。
•解：
• 由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静 止）或虽非匀速转动，但可忽略J 时， F1 、F2才相 等。
•
例12-6
•已知：
，求：1.ω；2. Mf
•解：•1. 选系统为研究对象
• 因为系统外力对z轴的矩为零
，故系统对z轴动量矩守恒。
工程力学-材料力学-第 12章动量矩定理
2020年5月23日星期六
§12-1 质点和刚体的动量矩 •1．质点和质点系的动量矩(角动量)
•质点Q对点O的动量矩的定义
•
质点的动量对坐标轴的矩
•质点对z轴的动量矩
是质点的动量在Oxy平
面的投影(mv)xy对O点的矩。
•是代数量，从 z 轴正向看，逆时针为正，顺 时针为负。
•
例12-9 续 •其 中 •（1 ）
•根据定轴转动微分方程 •其 中 •（2 ）
•
例12-9 续 •根据平面运动微分方程
•其 中
• 整理 得
• 运动学补充方 程
•（3 ） •（4 •（5 ） ）
•
•
例12-1 杆OA由铰链O与地面连接，它对轴O的转动惯量为JO；一高 为h、质量为m1的均质矩形板沿轴x以速度v平移，并推动杆OA 绕轴O转动；一质量为m2的质点E以相对速度vr在板上运动。试 求系统运动到图示位置时对轴O（轴z）的动量矩。
•
例12-1 续 解：1 、 LZ(OA)
用点的合成运动求ω
•
例12-3 •已知：m1，r，k ，m2 ，R，
•求：弹簧被拉长s时，重物m2的加速度a2 。 •解 •选系统为研究对象,受力分析如图 •设：塔轮该瞬时的角速度为ω，则
•解得：
•
3．动量矩守恒定律
•若
，则 常矢量；
•若
，则 常量。
•
§12-3 刚体绕定轴转动的微分方程 •主动力： •约束力：
•
例12-8 •已知：l，m，θ=60°。求：1. αAB；2. FA • 解：绳子刚被剪断，杆AB作平面运
动，受力如图，根据平面运动微分 方程
• 补充运动学方 程
• 在y轴方向 投影
•
例12-9 •已知：如图r，m， m1。求：1. aA；2. FAB ；3. FS2 • 解：分别以A、B、C为研究对象
•其中： • (O为定点)
•
质点的动量矩定理
•因此 •称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩 对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。
•投影式：
•
2. 质点系的动量矩定理 •对第i个质点有 ： •对n个质点有：
• 由于
•得
•
2. 质点系的动量矩定理
•称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量 矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于 同一点之矩的矢量和。 •投影式：
•2. 选轮2为研究对象
•积分
•
§12-4 质点系相对于质心的动量矩定理 •1．对质心的动量矩 •如图，以质心C为原点，取平移坐标系Cx’y’z’。 •质点系相对质心C为的动量矩为：
•由于 •得 • 质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度计算还是
以绝对速度计算，其结果都相同。
•其中
•
质点系相对于任意定点的动量矩
2、 LZ(板)
•
3、 LZ(E)
例12-1 续
结果：
•
例12-2 钟摆简化如图所示。已知均质细杆和均质圆盘的质量都为m ，圆盘半径R，杆长3R，求摆对通过悬挂点O并垂直于图面的z 轴的转动惯量。
解： 查表得：
根据平行轴定理
•
§12-2 动量矩定理 • 1．质点的动量矩定 理 •设O为定点，有：
• 单位：kg·m2/s
•
质点系的动量矩 • 对点的动量矩 • 对轴的动量矩
•即
•
2. 刚体的动量矩
•(1) 刚体平移的动量矩 •可将全部质量集中于质心，作为一个质点来计算 。
•
2. 刚体的动量矩
•(2)刚体绕定轴转动的动量 矩
• 转动惯 量
• 单位：kg·m2
• 转动惯量是刚体转动时惯性的度量。质量是刚体 移动时惯性的度量。
•质点系对任一点O的动量矩 ：
•
质点系相对于任意定点的动量矩
••结论
•
质点系对任一点O的动量矩等于集中
于系统质心的动量 对O点的动量矩，
与质点系相对于质心动量矩的矢量和。
•
2 相对质心的动量矩定理 •即 •由于
•
质点系相对于质心的动量矩定理
•质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于 质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点 系的外力对质心的主矩。
•
3. 刚体对轴的转动惯量
• 转动惯量
•
教材P213表12－1列出了简单均质物体的转
动惯量 •1) 回转半径（惯性半径）的概
念
•或
•
3. 刚体对轴的转动惯量
•2) 平行轴定 理
• 式中：zC轴为过质心且与z轴平行的轴，d 为z 轴与zC轴之间的距离。 •即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对通过 质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积。
•提 示
•该定理在形式上与质点系相对于固 定点的动量矩定理完全一样。
•
§12-5 刚体的平面运动微分方程 • 刚体的平面运动选质心为基点，可分为随质 心的平移和相对质心的转动，则刚体平面运动微分 方程是质心运动定理和相对于质心的动量矩定理。
•或
•
刚体的平面运动微分方程 •应用时一般用投影式：
•以上各组均称为刚体平面运动微分方程。
•即： •或
•与
•或 相似
•Leabharlann 例12-5•已知：
，求 。
•解：
• 由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静 止）或虽非匀速转动，但可忽略J 时， F1 、F2才相 等。
•
例12-6
•已知：
，求：1.ω；2. Mf
•解：•1. 选系统为研究对象
• 因为系统外力对z轴的矩为零
，故系统对z轴动量矩守恒。
工程力学-材料力学-第 12章动量矩定理
2020年5月23日星期六
§12-1 质点和刚体的动量矩 •1．质点和质点系的动量矩(角动量)
•质点Q对点O的动量矩的定义
•
质点的动量对坐标轴的矩
•质点对z轴的动量矩
是质点的动量在Oxy平
面的投影(mv)xy对O点的矩。
•是代数量，从 z 轴正向看，逆时针为正，顺 时针为负。
•
例12-9 续 •其 中 •（1 ）
•根据定轴转动微分方程 •其 中 •（2 ）
•
例12-9 续 •根据平面运动微分方程
•其 中
• 整理 得
• 运动学补充方 程
•（3 ） •（4 •（5 ） ）
•
•
例12-1 杆OA由铰链O与地面连接，它对轴O的转动惯量为JO；一高 为h、质量为m1的均质矩形板沿轴x以速度v平移，并推动杆OA 绕轴O转动；一质量为m2的质点E以相对速度vr在板上运动。试 求系统运动到图示位置时对轴O（轴z）的动量矩。
•
例12-1 续 解：1 、 LZ(OA)
用点的合成运动求ω