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第12章——动量矩定理

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动量定理和定量矩定理

动量定理和定量矩定理
解：1）研究对象：取管中 截面和 截面之间的流体为研究的质点系
2）受力分析：如图所示
设流体密度为 ，流量为 ，（流体在单位时间内流过截面的体积流量，定常流动时， 是常量）在 时间内，流过截面的质量为 ，其动量改变量为
即
由
得
令
其中 为管子对流体的静约束力，由下式确定
则有
为流体流动时，管子对流体的附加动约束力。可见，当流体流速很高或管子截面积很大时，流体对管子的附加动压力很大，在管子的弯头处必须安装支座（图12.14）
（2）微运动的周期与运动规律
解：
1．研究对象：圆轮
2．分析受力：如图12.35所示
3．分析运动：轮作平面运动，轮心沿作圆周运动
4．列动力学方程，求解：
5．求
6．微运动时
由式令
解得
所以
周期
解：
1．分析运动：
2．计算
例12.9图12.21所示椭圆规尺，质量为，曲柄质量为，滑块和的质量为，设曲柄和均为均质杆，且，曲柄以转动，求：此椭圆规尺机构对转轴的动量矩。
解：
1．分析运动：规尺作平面运动
2．计算
物块速度均通过转轴，对的动量矩为，杆定轴转动，对轴的动量矩为
四． 心为定点的动量矩定理
引言：求均质轮在外力偶的作用下，绕质心轴的角加速度
刚体的平面运动微分方程
设刚体具有质量对称平面，作用在刚体上的力系可以简化为在此平面内的力系，如图12.31所示。以为基点建立平动坐标系，则刚体相对于此质心的动量矩为
刚体平面运动岁质心平动相对质心转动
随质心平动
相对质心转动
刚体平面运动微分方程：
例12.15已知：质量为半径为的均质圆轮放在倾角为的斜面上，由静止开始运动。设轮沿斜面作纯滚动。求：（1）轮心的加速度，（2）轮沿斜面不打滑的条件。

012 第十二章 动量矩定理

012 第十二章 动量矩定理

第12章 动量矩定理通过上一章的学习我们知道动量是表征物体机械运动的物理量。

但是在某些情况下，一个物体的动量不足以反映它的运动特征。

例如，开普勒在研究行星运动时发现，行星在轨道上各点的速度不同，因而动量也不同，但它的动量的大小与它到太阳中心的距离之乘积—称为行星对太阳中心的动量矩，总是保持为常量，可见，在这里，行星对太阳中心的动量矩比行星的动量更能反映行星运动的特征。

在另一些情况下，物体的动量则完全不能表征它的运动。

例如，设刚体绕着通过质心C 的z 轴转动。

因为不论刚体转动快慢如何，质心速度C v总是等于零，所以刚体的动量也总是零。

但是，刚体上各质点的动量大小与其到z 轴的距离的乘积之和—即刚体对z 轴的动量矩却不等于零。

可见，在这里，不能用动量而必须用动量矩来表征刚体的运动。

§12-1 质点动量矩定理例2.人造地球卫星本来在位于离地面600km h =的圆形轨道上，如图所示，为使其进入410km r =的另一圆形轨道，须开动火箭，使卫星在A 点的速度于很短时间内增加0.646km/s ，然后令其沿椭圆轨道自由飞行到达远地点B ，再进入新的圆形轨道。

问：（1）卫星在椭圆轨道的远地点B 处时的速度是多少？（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到达远地点B 时，应如何调整其速度？大气阻力及其它星球的影响不计。

地球半径6370km R =。

图12-5解：首先求出卫星在第一个圆形轨道上的速度，可由质点动力学方程求出。

卫星运行时只受地球引力的作用，即22()R F mg R x =+ 式中x 是卫星与地面的距离。

当卫星沿第一圆形轨道运动时，有222()()v R m mgR h R h =++ 即22()gR v R h =+ （b ）将6370km R =，600km h =，9.8m/s g =代入上式，得卫星在第一个圆形轨道上运动的速度17.553km/s v = 所以卫星在椭圆轨道上的A 点的速度为7.5530.6468.199km/s A v =+=卫星在椭圆轨道上运动时，仍然只受地球引力作用，而该引力始终指向地心O ，对地以O 的矩等于零，所以卫星对地心O 的动量矩应保持为常量。

动量矩定理

动量矩定理

( ) 2）若 ∑ m (F ) = 0 ，则 w = cos 2t 3）若 ∑ m (F ) = cos 2t ，则 ε = cos 2t 4）在一定的时间内，当 ∑ m (F ) 一定时， I
z z z
1）若 ∑ m z F ≠ 0 ，则刚体的转动状态一定发生变化。
z
越大 , 运动状态越大。
可见，转动惯量表现刚体转动状态改变的难易程度。因此说：转动惯量是刚 体转动时惯性的度量。 转微分方程可以解决两类动力学问题：
( )
( ) ( ) ( )
由于约束力通过 Z 轴，于是有：
n d (I z w ) = ∑ m z F i dt i =1
即：
Iz
N n d 2ϕ = m F 或 I ε = mz F i i ∑ ∑ z z dt 2 i =1 I =1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( )
这就是刚体定轴转动的微分方程，即刚体对定轴的转动惯量与角速度的乘 积，等于作用于刚体的主动力 对该轴之矩的代数和。 ．．． 由以上可知：
对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这种情形称为动量矩守恒。
4
理论力学讲义
例 2：已知：圆轮半径 r,量 m ，物块重 p 。求：物块加速度。 解：取整体研究，对 O 点的动量矩为
L0 = Iw +
p vr g
外力对 O 总的矩为 ∑ m0 F 由
( ) = pr
e
d (L0 ) = ∑ m0 F 得： dt p ar = pr g
I 2 a / R = Nr2 − RT p a =T − p g I 1ia / R = M − Nr2 / i
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
未知量 a, T , Nr2 可求解：解之可得：

工程力学-材料力学-第12章动量矩定理

工程力学-材料力学-第12章动量矩定理
•注意：内力不能改变质点系的动量矩。
•
例12-3 •已知：m1，r，k ，m2 ，R，
•求：弹簧被拉长s时，重物m2的加速度a2 。 •解 •选系统为研究对象,受力分析如图 •设：塔轮该瞬时的角速度为ω，则
•解得：
•
3．动量矩守恒定律
•若
，则 常矢量；
•若
，则 常量。
•
§12-3 刚体绕定轴转动的微分方程 •主动力： •约束力：
•
例12-8 •已知：l，m，θ=60°。求：1. αAB；2. FA • 解：绳子刚被剪断，杆AB作平面运
动，受力如图，根据平面运动微分 方程
• 补充运动学方 程
• 在y轴方向 投影
•
例12-9 •已知：如图r，m， m1。求：1. aA；2. FAB ；3. FS2 • 解：分别以A、B、C为研究对象
•其中： • (O为定点)
•
质点的动量矩定理
•因此 •称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩 对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。
•投影式：
•
2. 质点系的动量矩定理 •对第i个质点有 ： •对n个质点有：
• 由于
•得
•
2. 质点系的动量矩定理
•称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量 矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于 同一点之矩的矢量和。 •投影式：
•2. 选轮2为研究对象
•积分
•
§12-4 质点系相对于质心的动量矩定理 •1．对质心的动量矩 •如图，以质心C为原点，取平移坐标系Cx’y’z’。 •质点系相对质心C为的动量矩为：
•由于 •得 • 质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度计算还是
以绝对速度计算，其结果都相同。

12动量矩定理

12动量矩定理

图12.7 钟摆
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.5】 匀质圆盘与匀质杆组成的钟摆如图12.7所示。已知圆盘质量m1， 直径d，杆的质量m2，长l，试求钟摆对悬挂轴O的转动惯量J0。
解：钟摆由匀质杆和匀质盘组成，所以有 = JO JO杆 + JO
其中
JO
=J c
+
m1
l
+
d 2
平方的乘积，即
12.7
J=z J zc + md 2
(12.7)
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
证明：如图12.5所示，设刚体总的质量为m，轴zc通过质心C，z与zc平行且 相距为d。不失一般性，可令y与yc重合，在刚体内任取一质量为mi的质点Mi,它 至zc轴和z轴的距离分别为ric和ri。刚体对于z、zc轴的转动惯量分别为
12.9
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.4】 质量为m，长为l的匀质杆如图12.6所示，求杆对yc的转动惯量。
解：由例12.1知
Jy
=
1 ml2 3
,根据平行轴定理式(12.7)有
J yc
=J y
−
md 2
=1 ml2 3
−
m
l
2
2
=1 12
ml 2
12.10
图12.6 匀质杆
在工程问题上，计算刚体的转动惯量时，常应用下面公式
12.3
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
Jz
=
mρ
2 z
(12.2)
ρ 其中m为整个刚体的质量， z 为刚体对z轴的回转半径，它具有长

第十二章 动量矩定理

第十二章 动量矩定理

Lz=Jzω
§2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
设质点质量为m， 受力F， MO(mv) 动量mv，定坐标系Oxyz ， 根据质点的动量定理 z
F
B
mv
r
o A y
MO(F)
d (mv ) F dt
等式两边同时与矢径r作矢量积， 即 x
d (mv ) r F r dt
MO(F)
?
d (mv ) r F 为求等式 r 左边项，先来看 dt d (r mv ) dr mv r d (mv ) dt dt dt v ( r d ( v mv∵O为定点！)mv ) dt MO(mv) =0
第十二章
动量矩定理
z
§1 动量矩的概念
一、质点的动量矩
F r
o
B A m
y
回顾： 力对点的矩 Mo(F)= r×F 若 r=xi+yj+zk F=Fxi+Fyj+Fzk
则 i M o (F ) x Fx
j y Fy k z Fz
MO(F)
x
大小：│Mo(F) │ =2S△OAB
方向：按右手螺旋规则定。
[Mo(mv)]z= M z(mv)
代数量
• 动量矩的量刚为 ML2T－1 （kg· 2/S） m
二、质点系的动量矩
质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同 一点O的动量矩的矢量和（即质点系动量对点O 的主矩）：
对定点
Lo M o (mi vi )
i 1
n
矢量
质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一 轴z的动量矩的代数和，即
vC
C
Lo = M o(Mvc)

理论力学 动量矩定律


MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 2）质点系动量矩守恒定理 当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对 于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩 守恒定律。 15 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
24
动力学 2. 回转半径 定义：
转动惯量
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
25
动力学
转动惯量
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
LC LC
这样刚体作平面运动时，对过质心C且垂直于平面图形的 轴的动量矩为
J C LC LC
12
动力学
质点系动量矩定理
2．质点系的动量矩定理
n个质点，由质点动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt
n d (e) Lx M x ( Fi ) dt i 1 n d Ly M y ( Fi ( e ) ) dt i 1 n d Lz M z ( Fi ( e ) ) dt i 1
14
动力学
质点系动量矩定理
3．动量矩守恒定理 1）质点动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该 点的动量矩保持不变，即

12动量矩定理wy


Lc
Jc
1 2
mR 2
1 2
mRvc
vc R
Jc
1 mR2 2
D
思考:对速度瞬心 D 的动量矩 ？
答案:
LD J D JC mR 2 或
LD LC mvC R JC mvC R
§ 12-3 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
MO(mv)=r mv
将上式两端对时间求一阶导数，得：
dt
M z (F)
——质点系动量矩定理及其守恒
◆ 对某固定点O的动量矩定理：
dLO
dt
mO F e
质点系内力不能改变质点系的动量矩， 只有外力才是系统动量矩改变的原因。
即：质点系对某固定点O 的动量矩Lo 对时间的导数，等于作用于该 质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量和（即外力系对O 点的主 矩）。
直杆OA和质量为 m 半径为 R的 均质园盘 A在 A点刚接 , 如图所 示.求系统对垂直于图面且过 O 点的轴的转动惯量。
O A
R
解:
JO = JOA + J盘
J OA
1 3
ml 2
O
J 盘 J A m (OA)2
1 mR2 m (OA)2
2
A
1 mR2 ml 2
R
2
JO
4 3
ml2
LO M BvB R M AvA R 0
B
vB vA
VA
又因为二人在同一高度上，从静止开始向上爬，
MAg
所以二人同时到达顶端。
VB MBg
——应用举例 例七 已知：水平匀质圆台重G ，半径为R ，无摩擦地绕通 过其中心的铅直轴OZ 转动。重为P 的人以不变的相对速度

第十二章：动量矩定理


周期 T = 2π J O
mga
§12-4 刚体对轴的转动惯量
n
Jz
=
∑
i −1
m
i
ri
2
单位：kg·m2
1. 简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量
∫ J z =
l 0
ρl x2dx
=
ρll3
3
由 m = ρll ，得
Jz
=
1 ml 2 3
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
与 zC 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对 于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.
证明： J zC = ∑ mi (x12 + y12 )
Jz =∑mi r2 =∑mi (x2 +y2)
= ∑ mi[x12 + ( y1 + d )2 ]
=
1 ml 2 3
则
J zC
=
Jz
−
m( l )2 2
=
ml 2 12
要求记住三个转动惯量
（1） 均质圆盘对盘心轴的
转动惯量 mR2
2
（2） 均质细直杆对一端的
转动惯量 ml 2
3
（3） 均质细直杆对中心轴
的转动惯量 ml 2
12
§12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩
∑ ∑ r
=
r LC
r LO
=
rrC
× mvrC
+
r LC
=
r M
O
(
mvrC
)
+

理论力学第12章-动量矩定理


z
M ，底圆半径为 R ，高为 h 。
r
h z dz
解：把圆锥体分成许多厚度为 d z
的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
O
y
R
x
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
圆锥体的质量
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
x
x yi
J z mi ri2
mi
xi2
yi
d
2
mi xi2 yi2 2 yid d 2
J z mi xi2 yi2 2d mi yi mi d 2
mi xi2 yi2 JzC
mid 2 Md 2
由质心坐标公式 ：
因为
yC0
mi yi M yC
速度 a 。
解：小车与鼓轮组成质点系对 O 轴的动量矩为 ：
LO J O m2 v R
作用于质点系的外力除M ，G 1 和 G 2 外，尚有轴承 O 的反力 Fo x 和 Fo y ，轨道对车的约束力FN 。其中G 1 ， FO x ，Fo y 对 O 轴力矩为零。将 G 2 分解为 Gτ和 G n ，
（12-10）
l 为任意轴上的单位矢量。
动量矩的单位是牛·米·秒 ( N ·m ·s )。
12.2.3 定轴转动刚体的动量矩 设刚体绕固定轴 z 转动，某瞬时刚体
的角速度。对于刚体内任一质点 M i ，
其质量为 m i ，转动半径为 r i ，动量 m i v i 。 于是质点 M i 对轴的动量矩为：
LO MO mv r mv （12-8）
质点系对各坐标轴动量矩
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这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定 轴转动的运动。
12.1 质点和质点系的动量矩
1 质点的动量矩
z
质点Q的动量对于点
O的矩，定义为质点对于 MO(mv) 点O的动量矩，是矢量
Mz(mv)
M O(mv)rmv
质点动量 mv 在 oxy 平
q
O
r
面 内 的 投 影 (mv)xy 对 于 点 O 的矩，定义为质点动量对于
设细圆环的质量为m，半径为R。则
Jz m ir i2 R 2 m i m R 2
3.均质圆板对于中心轴的转动惯量
设圆板的质量为m，半径为R。将圆板分为 无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm ＝ρ·2πrdr (ρ ＝m/πR2 ), 于是圆板转动惯量为
Jzr2dm 0 R r2
2rdr1m R 2 2
z
R
y
dr r R
x
12.1 质点和质点系的动量矩 二、回转半径(惯性半径)
在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义
为
z
Jz m
对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。
如果已知回转半径，则物体的转动惯量为
Jz mz2
回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一 点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离 就等于回转半径的长度。
6 刚体对轴的转动惯量
刚体对轴 z 的转动惯量定义为：刚体上所有质点的质量 与该质点到轴 z 的垂直距离的平方乘积的算术和。即
Jz miri2
对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式
Jz r2 dm
由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的 分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是: kg·m2。同 一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动 惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪 一轴的转动惯量。
12.1 质点和质点系的动量矩
例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有 一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转 轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度 为w，重物A的质量为m，并设绳与原盘 间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。 A
Or
m vv
解： LOL块L盘mvrJ m2rJ(m2rJ)
LO的转向沿逆时针方向。
Lz Mz(mvv)
质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的投影，等 于质点系对该轴的动量矩。
v [LO]z Lz
12.1 质点和质点系的动量矩
3 平动刚体的动量矩
刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个 质点计算其动量矩。
对点的：
L v O M v O ( m v v ) (m i r v i ) v v C M v O ( m v v C )
12.1 质点和质点系的动量矩
5 平面运动刚体的动量矩
平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一 固定轴的动量矩为：
L z M zm v v C J C
即：其对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动 量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动 时对该轴的动量矩之和。
12.1 质点和质点系的动量矩
B
2l
5ml2
O
l
A
B
2l
A
l
B
O
2l
12.1 质点和质点系的动量矩
例4 求对轴O的转动惯量 圆盘对过其质心轴的转动惯量：
对轴的：
Lz Mz(mvvC)
12.1 质点和质点系的动量矩
4 定轴转动刚体对转动轴的动量矩
z
L z M z ( m i v v i ) m i v i r i m i r i 2
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得
ri mivi Mi
Lz Jz
即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体 对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
12.1 质点和质点系的动量矩
一、简单形状刚体的转动惯量 z
1. 均质细杆
设均质细杆长 l，质量为m，O
取微段 dx, 则
x
x
dx
l
dm mdx l
Jz
l mdxx2 0l
1ml2 3
Jz1
2l2l m l dxx2
1ml2 12
z1
x l C x dx
2
12.1 质点和质点系的动量矩
2. 均质薄圆环对于中心轴的转动惯量
解：由 Jz JzCmd2，得
J1JzCm a2 J2JzCm b2
(1) (2)
(2)－(1)得
J2J1m(b2a2)
z1 z
z2
ab
C
12.1 质点和质点系的动量矩
例3 均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m， 求其对轴O的转动惯量。
O
l
2l
解： JOJOAJAB
A
1ml21(2m)(2l)2(2m)( 2l)2 3 12
或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。
在国际单位制中，动量矩的单位是 kg·m2/s。
12.1 质点和质点系的动量矩
2 质点系的动量矩
质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的
矢量和。
v
L O
M vO(m v v)
质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的动量矩的 代数和。
12.1 质点和质点系的动量矩 三、平行移轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通 过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积，即
Jz JzCmd2
由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量， 过质心轴的转动惯量最小。
12.1 质点和质点系的动量矩
例2 如图所示，已知均质杆的质量为m，对 z1 轴的转动惯量 为J1，求杆对z2 的转动惯量J2 。
第十二章 动量矩定理
第十二章 动量矩定理
质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程
引言
实际问题
引言
引言
均质轮受外力作用而绕 v
其质心O作定轴转动，它有
角速度和角加速度。轮的动 v
F oy
o F ox A
量：
P vm v v Cm v v O0
v
外力的矢量和为： F v R eF v oxF v oyF v0 F
x
z轴的矩，简称对于z轴的动
量矩，是代数量
A mv
Q y
A Q
12.1 质点和质点系的动量矩
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的 动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动量矩。
[M O ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm v)]zM z(m v)
方向：Mz (mvv)是代数量，它的正负可以通过右手定则判
断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指向为质点动量的 方向，大拇指指向为该动量矩的方向，若方向与坐标轴正向相 同为正、相反为负。