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第12章 动量矩定理通过上一章的学习我们知道动量是表征物体机械运动的物理量。
但是在某些情况下，一个物体的动量不足以反映它的运动特征。
例如，开普勒在研究行星运动时发现，行星在轨道上各点的速度不同，因而动量也不同，但它的动量的大小与它到太阳中心的距离之乘积—称为行星对太阳中心的动量矩，总是保持为常量，可见，在这里，行星对太阳中心的动量矩比行星的动量更能反映行星运动的特征。
在另一些情况下，物体的动量则完全不能表征它的运动。
例如，设刚体绕着通过质心C 的z 轴转动。
因为不论刚体转动快慢如何，质心速度C v总是等于零，所以刚体的动量也总是零。
但是，刚体上各质点的动量大小与其到z 轴的距离的乘积之和—即刚体对z 轴的动量矩却不等于零。
可见，在这里，不能用动量而必须用动量矩来表征刚体的运动。
§12-1 质点动量矩定理例2.人造地球卫星本来在位于离地面600km h =的圆形轨道上，如图所示，为使其进入410km r =的另一圆形轨道，须开动火箭，使卫星在A 点的速度于很短时间内增加0.646km/s ，然后令其沿椭圆轨道自由飞行到达远地点B ，再进入新的圆形轨道。
问：（1）卫星在椭圆轨道的远地点B 处时的速度是多少？（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到达远地点B 时，应如何调整其速度？大气阻力及其它星球的影响不计。
地球半径6370km R =。
图12-5解：首先求出卫星在第一个圆形轨道上的速度，可由质点动力学方程求出。
卫星运行时只受地球引力的作用，即22()R F mg R x =+ 式中x 是卫星与地面的距离。
当卫星沿第一圆形轨道运动时，有222()()v R m mgR h R h =++ 即22()gR v R h =+ （b ）将6370km R =，600km h =，9.8m/s g =代入上式，得卫星在第一个圆形轨道上运动的速度17.553km/s v = 所以卫星在椭圆轨道上的A 点的速度为7.5530.6468.199km/s A v =+=卫星在椭圆轨道上运动时，仍然只受地球引力作用，而该引力始终指向地心O ，对地以O 的矩等于零，所以卫星对地心O 的动量矩应保持为常量。
第十二章动量矩定理§12—1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩质点Q的动量对于点0的矩，定义为质点对于点0的动量矩M O mv = r mvM z mv 二2 0Q AM O mv ［二M z mv动量矩的单位：kgm2/s、质点系的动量矩nL o 二為M o m i V ii』nL z八M z m i v iM O (mv)(r mv ) dtdtdr dtmv rmvdt绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角 速度的乘积n n n2L z 八 M z mM八 m i y 订i =mmyy ynJ z 八 m"2id ：§12— 2动量矩定理、质点的动量矩定理M O mv =v mv r F dt-J—M O mv 二 M O F dt质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作 用力对同一点的矩。
直角坐标投影式为d厂 一Mx(mv)= Mx(F ) dt pl 2 My(mv)=My(F ) dt plL 2M z (mv)= M z (F ) dtL z=J z ：特殊情形：当质点受有心力F的作用时，如图11-4所示，力矩M°(F)=O，则质点对固定点0的动量矩M o(mv)=恒矢量，质点的动量矩守恒。
例如行星绕着恒星转，受恒星的引力作用，引力对恒星的矩M°(F)=O，行星的动量矩M o (m v )=恒矢量，此恒矢量的方向是不变的，因此行星作平面曲线运动；此恒矢量的大小是不变的，即mvh=恒量，行星的速度v与恒星到速度矢量的距离h成反比。
(1)从而由式(1)得单摆运动微分方程为护阶0(2)解式(2) 得单摆的运动规律为9 =cp o Sin( 3n t +8)其中，3-g称为单摆的角频率，单摆的周期为例1如图所示单摆，由质量为m的小球和绳索构成。
单摆悬吊于点0,绳长摆在铅垂平面内绕点0作微振幅摆动，设摆与铅垂线的夹角为「为逆时针时正，如图所示。
