平行导电平面上感应电荷的另两种求法

第９卷第１期　２　００　７年３月　辽宁师专学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌｉａｏｎｉｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ＶＯ１．９　ＮＯ．１　Ｍａｒ．２　０　０　７　

【学术研究】　

平行导电平面上感应电荷的另两种求法　

杨素怀　，王学伟　（１．锦州师专，辽宁锦州１２１０００；２．锦州市第二十一中学，辽宁锦州１２１０００）　

摘　要：在两块接地的无限大平行导电平面之间放置一个点电荷，求两平面上的感应电荷１９题，通常使用　电象法，但此法计算复杂，应用数学知识太多，用格林互易定理和极限的办法求解此类问题可大大简化计算过　程．　关键词：感应电荷；静电平衡；等势面　中图分类号：０４４１．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—５６８８（２００７｝０１—００１８—０２　在电学中，我们遇到过这样一个问题：如图１所示，两个接地的无限大平行导电平面Ａ、Ｂ之间放　置一个点电荷ｑ，点电荷ｑ与平面Ｂ相距为。，两平面之间相距为ｄ，求Ａ、Ｂ两平面上的感应电荷ｑ　和　ｇ　．要解此题，通常使用电象法，但用此法求解，会遇到在任意有限闭区间上一致收敛级数逐项可积分　问题，数学计算很复杂．本文给出另两种求解办法，即用格林互易定理和极限的办法求解，这两种办法解　题思路简单，物理概念清楚，计算简化，易于掌握．　１用格林互易定理求解　两无限大平行导电平面上感应电荷的求解问题，是静电学中的对称问题，格林互易定理就是解决这类　对称问题的方法之一，用格林互易定理求解本题，是非常简洁的．　１．１　定理内容　若　是体积Ｖ内的体电荷密度ｌＤ与等电曲面Ｓ（Ｖ的边界面）上面电荷密度ａ所产生的势，而　是　另一电荷分布ｐ　与　所产生的势，则　Ｉ　ｌＤ　ｄｒ＋Ｉ　ｄｓ＝Ｉ　ｐ＇ｃＦｄｖ＋Ｉ　ａ＇￣ｏｄｓ　（１）　此即格林互易定理．　若　中无体电荷分布，考虑到静电平衡时各导体表面为一等势面，（１）式还可变为　∑　ｅ：　∑　（２）　其中ｅ　是使导体　电势为　时所带的总电荷，ｅ　是使导体７７ｌ电势为　时的总电荷，对一切导体取和．　有关导体的静电问题，利用（１）式或（２）式求解可使步骤大为简化．　１．２　求解方法　现考虑整个体系的两种状态，分别对应于图１　和图２．一种是题意所示状态，将点电荷ｑ看作是　．　限度很小的导体极限．于是有：　＝０，　＝０，　＝Ｃ（常数）　（３）　相应的电荷为ｑ　Ａ、ｑ　ｑ，其中ｑ　Ａ、ｑ　即所要求　的感生电荷．再考虑另一种状态，在上下两导电　平行面上接上一电压为ｖ的恒压源，显然可知：　：＝　，　＝０，　号。　相应的电荷为ｑ：、ｑ　、ｑ　，其中ｑ：＝一ｑ：，　＿Ｌ　ａ—ｄ　’ｑ　ｄ　

（４）　图１　ｑ　ｊ　值代人（２）式中可得：ｑＡ　＋ｑ号。　：０，所以Ａ平面感应电荷为：　收稿日期：２ｏ０７一Ｏ１—２Ｏ　作者简介：杨素怀（１９６１一），女，辽宁锦州市人，副教授，主要从事电学教学研究．　ｑ　

图２　维普资讯 http://www.cqvip.com 杨素怀，等　平行导电平面上感应电荷的另两种求法　１９　

２用极限方法求解　ｇＡ　一ｇ。　（５）　

若两个同心导电球面半径趋于无穷大，这两个球面就转化为无限大平面，则本题就可以求解，这一解　题思路是物理学中的思维方法之一．　２．１　问题的转化　先设想有两个半径分别为Ｒ　和Ｒ　的接地同心导电球面Ａ和Ｂ，在两球　面之间离中心为Ｒ。（Ｒ　＜Ｒ。＜Ｒ　）处放置一个点电荷ｑ，如图３所示，求　出内外球面上的感应电荷ｑ　和ｑ。，之后令每个球的半径趋向无穷大，即Ｒ　一。。，Ｒ。一。。，Ｒ。一。。，并保持Ｒ。一Ｒ　＝ｄ，Ｒ　一Ｒ。＝。的值不变，则对　球面上感应电荷取极限，当半径趋于无穷大时即转化为求无限大带电平面一ｈ　的感应电荷问题．　２．２　求解方法　问题转化后可用电象法进行求解，如图３所示，点电荷ｑ在内外导电球　面上成象，而象电荷又在内外导电球面上重复成象，因此象电荷有无穷多个，　设在内球面上成的第　个象电荷为ｑ　，离中心距离为ｂ　，在外球面上成的第　个象电荷为ｑ　，离中心距离为ｂ：，则它们之间有下列关系：　Ｒ】　Ｒ　，　Ｒ　２　，　Ｒ；　ｑｌ　一　ｑ，￡）　，ｑ　一　ｑ，ｂｌ＝＝＿＿　ｇ　ｂｆ・　图３　

（８）　

一　Ｒ１　＝鲁，　Ｒ　２ｑｎ＋１　，　。＝甓　（９）　一　Ｄ　’吼＋ｌ一　ｌ　

由（９）式得．ｑ，　一　＝～　口：　ｑ　＋　——（Ｒ　＜，１）ｑ　～　＝＝０　（１０）　令ｇ　＝　”（　为待定系数），将此式代入（１０）式求出　的特征　一声（鲁）２＂－１＝０，所以　

√鲁，Ａ‘２一√　Ｒ　２　…）　一　’　一一　一　

＿１）　］　（１２）　其中　、　为待定系数，当，　：：１时，由（１２）式得ｑ　：（ｐ－ｐ＇）√鲁，代入（８）式得：　

鲁　－ｐ＇）√是　（１３）　由（９）式得当　１时ｑ　一Ｒ了１　ｑ　１，将（８）式代入得：　０　ｇ　…）　当“＝２时，由（１２）式得ｑ　：＝（　＋　）鱼Ｒ　２，４－￣Ａ．（１４）式得　（下转７０页）　一～旦　一　＝　为　荷　电　应　感　面　乎　Ｂ　有　理　

同　维普资讯 http://www.cqvip.com ７０　辽宁师专学报　２００７年第１期　

（２）水中行走．由于水的浮力，学生的身体会产生一定的漂浮与不稳现象．通过单人扶池壁行走、双人搀扶行走、多　人水中“打水仗”、“送伤员”等游戏，使学生熟悉水性，适应水的环境，消除“怕水”心理．　（３）换气．学生手拉手围成一个圆圈，深吸一口气，然后将头浸入水中憋气，直到憋不住时再吐净废气，抬起头吸气．　如此反复进行练习，熟练后可进行“水底摸宝”游戏来加强换气的练习．　（４）水中漂浮．漂浮练习是克服“怕水”心理的主要方法，贯穿于每一个教学过程中．具体方法是：双手扶池边漂浮　——水中双人漂浮——蹬池边漂浮——追物漂浮练习．每一种练习都要求学生从一数到十，然后抬头换气．经过反复练习　学生对水的感觉逐渐熟悉，从而消除“怕水”的心理．　３．２．２　转移注意　是指根据新的任务主动把注意力从一个对象转移到另一个对象，它在游泳教学中的运用具有极其重要的地位．在初学　游泳时，心理因素对学生注意力的转移起着主导作用，因为学生只有从心理上克服对水的恐惧感，才能把注意力转移到练　习游泳的动作中．例如：在熟悉水性练习时，游戏形式的练习使学生的注意力集中在胜负上，然后再转移到水性的练习上，　这可以减轻学生的恐惧心理．时间一长恐惧就会消失，从“怕水”自然过渡到“喜水”和“驾水”．但是注意力集中在一个　环节的强度不能过大，时间不能过长，否则注意力就会难以转移．　３．２．３模拟法　游泳教学中的模拟法就是脱离水环境，在陆地上进行的游泳模仿练习．由于它没有涉及浮力、平衡等问题，因此学生　不会产生恐惧，从而有利于动作技术的掌握．　３．２．４语言激励法　在教学中应多运用启发、引导、激励的教学语言，激发学生产生完成动作的渴望和勇气．教师还可以采用直观与语言　相结合的方法，如通过观察，对完成动作好的学生进行激励性讲解，通过与完成动作一般的学生进行比较激励，使学生产　生完成动作的勇气和信心，从而消除恐惧心理，很好地掌握技术动作．　总之，游泳教学中恐惧心理的存在不利于技术动作的掌握．通过不断地探讨与实践，能够寻找出相应的解决方法，同　时也能积累一定的教学经验，为更好地进行游泳教学奠定基础．　（责任编辑　刘国忠，朱成杰）　

ｑ　）　户十　解（１３）、（１５）式的联立方程得：户＝　１（１一百￣／Ｒ１　Ｒ２）ｑ，户　＝　１（１＋√警）ｑ，所以　

ｑＪ』＝扣一可￣／Ｒ１　Ｒ　２）＋（＿１）　＋　Ｒ　ｏ）］（√鲁　（１６）式就是内球面里第　个象电荷的通式，根据高斯定理可知，在内球面Ａ上的感应电荷　一　＝号　ｎ＝ｌ　警…＿１）　＋￣／Ｒ１　Ｒ２　）　（１５）　

（１６）　

Ｒ　ｏ）　＋（１＋可￣／Ｒ，Ｒ　２）　（１７）　＾√Ｒ，　＾√Ｒ，　令Ｒ。一。。，Ｒ。一。。，Ｒ　一。。，但保持Ｒ　一Ｒ。＝ｄ，Ｒ２一Ｒ。＝口不变，取此极限就得到无限大导电平面　

ｑＡ＝一ｑ・导　（１８）　同理，应用高斯定理可得Ｂ无限大导电平面上的感应电荷为：　ｑＢ＝一ｑ・　（１９）　

参考文献：　［１］阚仲元．电动力学教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社１９８５．　［２］郭硕鸿．电动力学［Ｍ］．北京：人民教育出版社１９８２．７４．　［３］梁绍荣，王雪君．电动力学基础［Ｍ］．北京．师范大学出版社１９８１．６５．　［４］谢处方，饶克谨．电磁场与电磁波［Ｍ］．北京：人民教育出版社１９８０．１６９　（责任编辑王立俊，王巍）

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