高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法

法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。

在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。

一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。

设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。

2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。

常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。

对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。

例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。

而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。

二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。

例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。

2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。

曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。

例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。

3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。

而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。

切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。

4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。

对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。

5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。

对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。

空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释1.引言1.1 概述空间立体几何是数学中的一个重要分支，它研究三维空间中的几何结构和性质。

在空间立体几何中，线和面是两个基本的几何元素，线面交点坐标的求解是一个常见且重要的问题。

本文主要介绍了两种方法来求解线面交点的坐标：坐标法和向量法。

通过这两种方法，可以方便地求解线面交点的坐标，进而解决一些实际问题。

通过本文的学习，读者将能够掌握空间立体几何中线面交点坐标的求解方法，为进一步深入学习和应用空间几何提供了基础。

同时，本文还将探讨线面交点坐标的应用和展望，展示其在现实生活中的重要性和价值。

1.2 文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三部分。

引言部分将从概述、文章结构和目的三个方面介绍本文的主要内容和研究背景。

正文部分将分为三个小节，首先是关于空间立体几何概念的介绍，接着是详细讨论如何利用坐标法求解线面交点坐标的方法，最后则是向量法求解线面交点坐标的具体过程。

结论部分将总结本文的主要观点和研究成果，探讨该方法的应用前景，并进行最终的结语。

1.3 目的:本文旨在介绍如何利用空间立体几何中的坐标法和向量法来求解线面交点坐标的方法。

通过深入讨论这两种方法的原理和步骤，我们希望读者能够更加深入地理解空间几何中的相关概念，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。

通过掌握线面交点坐标求解的技巧，读者能够提升空间几何解题的效率和准确性，同时也能够为进一步学习和研究提供一定的参考和指导。

希望本文能够为读者提供一定的启发和帮助，让大家在空间几何学习中取得更好的成绩和收获。

2.正文2.1 空间立体几何概念空间立体几何是几何学中研究三维空间中图形与几何体的一门学科，是平面几何的延伸和拓展。

在空间立体几何中，我们不再局限于研究平面上的图形，而是考虑到三维空间中的物体和结构。

在空间立体几何中，我们研究的主要对象包括点、线、面和体。

点是空间中的一个位置，用于确定空间中的一个具体位置；线是由无数个点按照一定规律连成的直线段；面是由无数个点和线按照一定规律组成的平面图形；而体则是由无数个面组成的一个三维实体。

高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。

平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。

由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。

方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。

0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。

其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。

方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。

通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。

:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:c a M =cb ad db-=；2、适合右手定则。

） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ， 试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，求平面AEF 的一个法向量n 。

法向量的妙用现行高中数学教科书第二册（下B ）第九章提到了法向量的定义：如果向量⊥平面α，那么向量叫做平面α的法向量。

但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：一、求点到平面的距离设A 是平面α外一点，AB 是α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量在方向上的正射影长就是点A 到平面α的距离h ， 所以|||cos<，||n ※例1：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，求点A 1到平面DBEF 的距离。

解：如图建立空间直角坐标系，＝（1，1，0） ，＝（0，21，1）， 1DA ＝（1，0，1）设平面DBEF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则有：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+021z y y x 令x ＝1, y=－1, z=21, 取＝（1，－1，21），则A 1到平面DBEF 的距离||1n =1 注：此题A 1在平面DBEF 的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（※）式求解，关键是求出平面DBEF 的法向量。

这里根据线面垂直的判定定理，设＝（x ，y ，z ），通过建立方程组求出一组特解。

二、求异面直线间的距离假设异面直线a 、b ，平移直线a 至a*且交b 于点A ，那么直线a*和b 确定平面α，且直线a ∥α，设n 是平面α的法向量，那么n ⊥a ，n ⊥b 。

所以异面直线a 和b 的距离可以转化为求直线a 上任一点到平面α的距离，方法同例1。

例2：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求直线DA 1和AC 间的距离。

解：如图建立空间直角坐标系，则AC ＝（－1，1，0），1DA ＝（1，0，1） 连接A 1C 1，则A 1C 1∥AC,设平面A 1C 1D 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）,由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001DA n AC n 可解得n ＝（1，1，－1），又1AA ＝（0，0，1） 所以点A 到平面A 1C 1D 的距离为||1n =33，即直线DA 1和AC 间的距离为33。

法向量的算法与举例摘要高中数学中的向量作为沟通代数与几何的桥梁，大大简化了几何问题的运算量。

然而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规的方法去解决往往比较繁杂，而运用向量能使过程得到大大的简化。

[1]用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点。

[2]在立体几何中常用法向量来解决距离问题，夹角问题，于是求法向量又是一个新问题。

如果能够掌握平面法向量的快速求法，那么在解决立体几何问题中一定会有事半功倍之效。

关键词：法向量；矩阵；行列式；速算一、法向量的定义如果向量平面，那么向量叫做平面的法向量。

由定义可知，法向量并不是唯一的，以致只要是与平面互相垂直的向量都可以作为平面的法向量。

二、法向量的算法1、待定系数法求法向量与举例在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量 [或，或 ]，在平面内任找两个不共线的向量。

由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到 .具体步骤如下：①联立方程②消元求解③得出结论举例：如果，那么与的法向量为?解：设，因为，，则，，得，①-②得，，取，，（注意：给其中一个字母取一个不为零的值）。

例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，S A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，S A ＝AB＝2，∠BAD＝60°，E是PA的中点．(1)求证：直线S C∥平面BDE；证明设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，AB＝2，底面ABCD为菱形，s所以BO＝1，AO＝CO＝，AC⊥BD.如图，以O为坐标原点，以OB，OC所在直线分别为x轴，y 轴，过点O且平行于S A的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则S(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，E(0，－，1)．(1)设平面BDE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，因为BE＝(－1，－，1)，BD＝(－2,0,0)，由得令z1＝，得y1＝1，所以n1＝(0,1，)．又＝(0,2，－2)，所以·n1＝0＋2－2＝0，即⊥n1，又，所以S C∥平面BDE.例 2 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.解：（1）略( 2)建系如右图，设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵DF＝(1，－1,1)，DM＝，DC＝(1,0,0)，由n1·DF＝n1·DM＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.1.行列式法求法向量与举例向量＝(x，y，z )，＝(x，y，z )是平面内的两个不共线向量，则向量＝(y z－y z，－(x z－x z )，x y－x y )是平面的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则＝(，－， ) ，这更便于记忆和计算.（注：1、行列式:；2、纵坐标前边要加一个负号）.具体步骤：①竖着列出平面内的两个不共线向量②算出法向量的三个坐标（要算横坐标，就把已知两个向量的横坐标那一列遮起来用纵坐标和竖坐标求，其它坐标相同的求法）③得到平面的法向量。

[例1] 若直线1l 与2l 的方向向量分别为)4,4,2(-=a 与)6,9,6(-=b ，则两条直线的位置关系是_________.垂直[巩固1] 已知直线l 的一个方向向量为)2,1,1(--=a ，平面α的一个法向量为)4,2,2(--=b ，则直线l 与平面α的位置关系是____________.垂直[巩固2]两个不重合平面的法向量分别为)1,0,1(1-=v 与)2,0,2(2-=v ，则这两个平面的位置关系是___________.平行[巩固3]已知直线l 的方向向量是e ，平面α，β的法向量分别是1n 与2n ，若a =βα ，且1n e ⊥，2n e ⊥，则l 与a 的关系是_______.平行或重合[例2] 已知平面α，β的法向量分别是（-2，3，m ），（4，λ，0），若α∥β，则λ+m 的值_________.-6[巩固1] 已知平面α的法向量是（2，3，-1），平面β的法向量是（4，λ，-2），若α//β，则λ的值为_______.6[巩固2] 若平面α，β的法向量分别是（-1，2，4），（x ，-1，-2）并且α⊥β，则x 的值为_________.-10[例3] 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： （1）FC 1∥平面ADE ； （2）平面ADE ∥平面B 1C 1F ．精典例题透析[巩固]在边长是2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，A 1C 的中点．应用空间向量方法求解下列问题． （1）求EF 的长（2）证明：EF ∥平面AA 1D 1D ； （3）证明：EF ⊥平面A 1CD.1．求异面直线所成角设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝><21,cos m m .（]2,0(πθ∈）[例]已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝CC 1，D 为B 1C 1的中点，求异面直线BD 和A 1C 所成角的余弦值．如图所示，以C 为原点，直线CA 、CB 、CC 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 设CA ＝CB ＝CC 1＝2，则A 1(2,0,2)，C (0,0,0)，B (0,2,0)，D (0,1,2)， ∴BD →＝(0，－1,2)，A 1C →＝(－2,0，－2)，知识模块3空间向量的应用∴cos 〈BD →，A 1C →〉＝BD →·A 1C →|BD →||A 1C →|＝－105.∴异面直线BD 与A 1C 所成角的余弦值为105.[巩固]如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求异面直线BA 1和AC 所成的角．解 ∵BA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝AB →＋BC →，∴BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(AB →＋BC →) ＝BA →·AB →＋BA →·BC →＋BB 1→·AB →＋BB 1→·BC →. ∵AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴BA →·BC →＝0，BB 1→·AB →＝0， BB 1→·BC →＝0，BA →·AB →＝－a 2， ∴BA 1→·AC →＝－a 2. 又BA 1→·AC →＝|BA 1→|·|AC →|·cos 〈BA 1→，AC →〉，∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ×2a＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.∴异面直线BA 1与AC 所成的角为60°.2．求线面所成角设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝><n m ,cos .（]2,0[πθ∈）[例]如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点．若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值．设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图．则M (1,0,2)，N (0,1,0)，可得MN →＝(－1,1，－2)． 又DA →＝(0,0,2)为平面DCEF 的法向量，可得cos 〈MN →，DA →〉＝MN →·DA →|MN →||DA →|＝－63.所以MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为|cos 〈MN →，DA →〉|＝63.[巩固]如图所示，在几何体ABCDE 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，BE 和CD 都垂直于平面ABC ，且nmαlnmαlBE ＝AB ＝2，CD ＝1，点F 是AE 的中点．求AB 与平面BDF 所成角的正弦值． 解 以点B 为原点，BA 、BC 、BE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,1)，E (0,0,2)，F (1,0,1)． ∴BD →＝(0,2,1)，DF →＝(1，－2,0)． 设平面BDF 的一个法向量为 n ＝(2，a ，b )，∵n ⊥DF →，n ⊥BD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0，n ·BD →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧(2，a ，b )·(1，－2，0)＝0，(2，a ，b )·(0，2，1)＝0. 解得a ＝1，b ＝－2.∴n ＝(2,1，－2)． 设AB 与平面BDF 所成的角为θ，则法向量n 与BA →的夹角为π2－θ，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝BA →·n |BA →||n |＝(2，0，0)·(2，1，－2)2×3＝23，即sin θ＝23，故AB 与平面BDF 所成角的正弦值为23.3．求二面角（],0[πθ∈）如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝><CD AB ,．如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝><21,cos n n 或><-21,cos n n ．[例]如图，ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝BC ＝BA ＝1，AD ＝12，求面SCD 与面SBA 所成角的余弦值大小．建系如图，则A (0,0,0)， D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)， B (0，1,0)，S (0,0,1)， ∴AS →＝(0,0,1)，SC →＝(1,1，－1)，SD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1，AB →＝(0,1,0)，AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0. ∴AD →·AS →＝0，AD →·AB →＝0. ∴AD →是面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ·SC →＝0且n ·SD →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，12x －z ＝0.令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1.∴n ＝(2，－1,1)．∴cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2×126×12＝63.故面SCD 与面SBA 所成的二面角的余弦值为63.[巩固]如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．（1）证明：SO ⊥平面ABC ；（2）求二面角A —SC —B 的余弦值．(1)证明 由题设AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA .连接OA ，△ABC 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC .又△SBC 为等腰三角形，故SO ⊥BC ，且SO ＝22SA .从而OA 2＋SO 2＝SA 2，所以△SOA 为直角三角形，SO ⊥AO . 又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .(2)解 以O 为坐标原点，射线OB 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz ，如右图． 设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)， A (0,1,0)，S (0,0,1)．SC 的中点M ⎝⎛⎭⎫－12，0，12， MO →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－12，MA →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－12， SC →＝(－1,0，－1)， ∴MO →·SC →＝0，MA →·SC →＝0.故MO ⊥SC ，MA ⊥SC ，〈MO →，MA →〉等于二面角A —SC —B 的平面角．cos 〈MO →，MA →〉＝MO →·MA →|MO →||MA →|＝33，所以二面角A —SC —B 的余弦值为33.4．异面直线间距离的求法与两条异面直线均垂直、相交的直线叫两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有一条. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫两条异面直线的距离.设l 1，l 2是两条异面直线，n 是l 1，l 2的公垂线段AB 的方向向量，又C 、D 分别是l 1，l 2上的任意两点，则nn DC AB ⋅=[例]正四面体ABCD ，棱长均为a 求异面直线AD 、BC 的距离。