平面向量的数量积课件

6．2.4 向量的数量积 导学案及课时讲义

第1课时 向量数量积的定义及性质

知识点一 向量夹角的概念

1.已知|a|＝|b|＝3，且a与b的夹角为80°，则a＋b与a－b的夹角是________．

2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，|AB→|＝3，|CB→|＝1，则AC→与CB→的夹角θ＝________.

知识点二 平面向量数量积的定义

3.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于( )

A.12 B.32 C．1＋32 D．2

4．已知A，B是圆心为C，半径为5的圆上两点，且AB＝5，则AC→·CB→等于( )

A．－52 B.52 C．2 D.532

知识点三 投影向量

5.已知等边三角形ABC的边长为2，则向量AB→在向量CA→方向上的投影向量为(

)

A．－12CA→ B.12CA→

C．2AC→ D．2CA→

6．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，记向量a在向量b方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )

A．4 B．3 C．2 D．1

7．已知|a|＝4，e为单位向量，a与e的夹角为2π3，则e在a方向上的投影向量的模为________．

知识点四 平面向量数量积的性质

8.给出以下结论：

①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.

其中正确结论的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

9．若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的值不可能是( )

A．0 B.12 C．2 D．3

10．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足AP→＝2PM→，求PA→·(PB→＋PC→)的值．

知识点五

平面向量数量积的应用

11.已知a·b＝－122，|a|＝4，a与b的夹角为135°，则|b|＝( )



ab1.8平面向量的基本概念与线性运算（优质课）教案

教学目标：

1掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.

2平面向量数量积的应用.

教学过程：

一、平面向量数量积的物理背景及定义：

以物理学中的做功为背景引入

问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？

力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角

1、两个非零向量夹角的概念：

已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角

说明：

（1）当θ＝０时，a与b同向；

（2）当θ＝π时，a与b反向；

（3）当θ＝2时，a与b垂直，记a⊥b；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180

2、平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0

3、两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 C ①ea =

ae =|a|cos

②ab ab = 0

③

aa = |a|2或||aaa

④cos =||||abab

⑤|ab| ≤ |a||b|

4、向量数量积满足的运算率：

①abba；

②()abcacbc；

③()()()ababab

二、向量数量积的坐标运算

1、已知两个向量),(11yxa，),(22yxb,则ba2121yyxx.

2、设),(yxa，则||a.

3、平面内两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为

),(11yx、),(22yx，那么||a.

4、向量垂直的判定 两个非零向量),(11yxa，),(22yxb，则ba02121yyxx .

§5.3 平面向量的数量积

考情考向分析 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.

1.向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].

2.平面向量的数量积

定义：设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b.

3.平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.

(4)cos θ＝a·b|a||b|.

(5)|a·b|≤|a||b|.

4.平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

5.平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21 x22＋y22 .

知识拓展

1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；

第三节 平面向量的数量积及其应用

［考纲传真］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量

投影的关系3掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表

示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 .5.会用向量方法解决某些简

单的平面几何问题 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

双基自主测评I基础知识环能力全面巩固 ■

(对应学生用书第61页)

［基础知识填充］

1. 向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量 a和b，如图 4-3-1 ,作0A= a, 0B= b，则/ AOB=

0 (0 °w 0 < 180° )叫作a与b的夹角.

0 b B

图 4-3-1

(2)当0 = 0°时，a与b共线同向.

当0 = 180°时，a与b共线反向.

当0 =90°时，a与b互相垂直. '—

2•平面向量的数量积

(1) 定义：已知两个非零向量 a和b,它们的夹角为 0，则数量| a|| b| • cos 0叫做a

与b的数量积(或内积).规定：零向量与任一向量的数量积为 0.

(2) 几何意义：数量积 a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积

Jk 曜

或b的长度| b|与a在b方向上射影| a|cos 0的乘积.

3. 平面向量数量积的运算律

(1) 交换律：a • b= b • a；

(2) 数乘结合律：(入a) • b=入(a • b) = a •(入b)；

(3) 分配律：a •( b+ c) = a • b+ a • C.

4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量 a= (x1, y" , b= (x2, y2) , 0=〈 a, b>.

结论 几何表示 坐标表小 2

模 | a| =\a • a | a| =px2 + y2

数量积 a • b= a • b= X1X2+ y1y2 2