常微分复习试卷048

常微分方程期末考试试卷

学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______

一． 填空题 （30分）

1．)()(xQyxPdxdy 称为一阶线性方程，它有积分因子 dxxPe)( ，其通解为 _________ 。

2．函数),(yxf称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果

_______ 。

3． 若)(x为毕卡逼近序列)(xn的极限，则有)()(xxn ______ 。

4．方程22yxdxdy定义在矩形域22,22:yxR上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。

5．函数组ttteee2,,的伏朗斯基行列式为 _______ 。

6．若),,2,1)((nitxi为齐线性方程的一个基本解组，)(tx为非齐线性方

程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。

7．若)(t是xtAx)('的基解矩阵，则向量函数)(t= _______是)()('tfxtAx的满足初始条件0)(0t的解；向量函数)(t= _____

是)()('tfxtAx的满足初始条件)(0t的解。

8．若矩阵A具有n个线性无关的特征向量nvvv,,,21，它们对应的特征值分别为n,,21，那么矩阵)(t= ______ 是常系数线性方程组Axx'的一个基解矩阵。

9．满足 _______ 的点),(**yx，称为驻定方程组。

二． 计算题 （60分）

10．求方程0)1(24322dyyxdxyx的通解。 11．求方程0xedxdydxdy的通解。

12．求初值问题0)1(22yyxdxdy 1,11:yxR的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。

常微分试题及答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1. 下列关于微分方程的描述，错误的是（ ）。

A. 微分方程是含有未知函数及其导数的方程

B. 微分方程的解是未知函数

C. 微分方程的通解是包含任意常数的解

D. 微分方程的特解是满足初始条件的解

答案：B

2. 一阶线性微分方程的一般形式是（ ）。

A. \( y' + p(x)y = q(x) \)

B. \( y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \)

C. \( y'' + p(x)y = q(x) \)

D. \( y' + p(x)y' = q(x) \)

答案：A

3. 微分方程 \( y'' - y' - 2y = 0 \) 的特征方程是（ ）。

A. \( r^2 - r - 2 = 0 \)

B. \( r^2 - r + 2 = 0 \)

C. \( r^2 + r - 2 = 0 \)

D. \( r^2 + r + 2 = 0 \)

答案：A

4. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是（ ）。 A. \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \)

B. \( y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x) \)

C. \( y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x) \)

D. \( y = C_1 \cosh(4x) + C_2 \sinh(4x) \)

答案：A

二、填空题（每题5分，共20分）

1. 微分方程 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1 \)

________ + \( C_2 \) ________。

答案：\( e^{2x} \) \( e^{-2x} \)

2. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1 \) ________

常微分方程练习试卷

一、 填空题。

1. 方程 x3 d 2 x 1 0 是 阶 （线性、非线性）微分方程 .

dt 2

2. x dy f ( xy) 经变换 _______ ，可以化为变量分离方程 .

方程

y dx

3. 微分方程 d 3 y y2 x 0 满足条件 y(0) 1, y (0) 2 的解有 个 .

dx3

4. 设常系数方程

5. 朗斯基行列式

y y y ex 的一个特解 y* (x) e2 x ex xex ，则此方程的系数 ， ， .

W (t ) 0 是函数组 x1(t ), x2 (t ), , xn (t ) 在 a x b 上线性相关的

条件 .

6. 方程 xydx (2x2 3y2 20)dy 0 的只与 y 有关的积分因子为 .

7. 已知 X A(t) X 的基解矩阵为 (t ) 的，则 A(t) .

8. 方程组 x ' 2 0 x 的基解矩阵为 ．

0 5

9. 可用变换 将伯努利方程 化为线性方程 .

10 . 是满足方程 y 2 y 5 y y 1 和初始条件 的唯一解 .

11. 方程 的待定特解可取 的形式 :

12. 三阶常系数齐线性方程 y 2 y y 0的特征根是

二、 计算题

1. 求平面上过原点的曲线方程 , 该曲线上任一点处的切线与切点和点 (1,0) 的连线相互垂直 .

dy x y 1

2．求解方程

x y .

dx 3

3. 求解方程 x d 2 x ( dx )2 0 。

dt 2 dt

4 ．用比较系数法解方程 . .

5 ．求方程 y y sin x 的通解 .

6 ．验证微分方程 (cos xsin x xy2 )dx y(1 x2 )dy 0 是恰当方程，并求出它的通解 .

常微分方程练习题及答案(复习题) 常微分方程练习试卷

一、

23210dxxdt

()xdyfxyydx_______

3230dyyxdx(0)1,(0)2yy

xyyye*2()xxxyxeexe

()0Wt12(),(),,()nxtxtxtLaxb

22(2320)0xydxxydyy

()XAtX()t()At

20'05xx

251yyyy

20yyy

二、

13dyxydxxy

222()0dxdxxdtdt

sinyyx 22(cossin)(1)0xxxydxyxdy

3124A11XAdtdX)(tXAdtdX)0(x

2213dyxydx(1,0)

xAx(),t12(0),

(),()tt()XAtXC()()ttC

),()(0xxx

],[,,])([)(0200xxdyyxyxx

)}({xn],[)(x],[],[)()(xx

)(tAXdtdX)(0t)(exp)(0ttAt

uxy11(()1)dudxufux3,2,1 2114A32()480dydyxyydxdx3y1()()tt25 00tAtteee

13dyxydxxy

10,30xyxy1,2xy1,2,xy

.ddz2(1)1zdzdz21arctanln(1)ln||2zzC

222arctanln(1)(2)1yxyCx