福建师范大学2020年8月《常微分方程》期末试卷A附标准答案

《常微分方程》期末试卷(16)班级 学号 姓名得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ．3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7. x y xy 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x9．0e =-'+'x y y10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．11．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 4d d d d得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．13．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xy sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．《常微分方程》期末试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．),(∞+-∞2．x x 2cos ,2sin3．必要4．充分5．n6．必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7．解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 518．解 由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 。

福师《常微分方程》期末试卷解析一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 答案：A解析：对常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。

2. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。

将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。

3. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。

将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。

4. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。

将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。

5. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。

6. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。

将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。

7. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。

将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。

8. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。

将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。

9. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。

10. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。

将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。

福师《常微分方程》期末考试资料解析考试概述- 考试科目：福师《常微分方程》- 考试形式：期末考试- 考试内容：常微分方程相关知识点- 考试时间：待定考试资料解析1. 考试范围：根据课程教学大纲和授课内容，本次期末考试将涵盖以下知识点：- 常微分方程的基本概念和分类- 一阶常微分方程的解法- 高阶常微分方程的解法- 常系数线性微分方程的解法- 变系数线性微分方程的解法- 常微分方程的应用2. 考试形式：本次考试将采用闭卷形式，学生需独立完成试卷。

3. 解题技巧：- 理解概念：掌握常微分方程的基本概念和分类，确保对不同类型方程的解法有清晰的认识。

- 熟练运用方法：熟悉一阶和高阶常微分方程的解法方法，理解常系数和变系数线性微分方程的解法原理。

- 刻意练：通过大量的题练，加深对解题思路和方法的理解，提高解题能力。

- 注意应用：了解常微分方程在实际问题中的应用，能够将数学知识应用于实际情境的解决。

4. 复建议：- 复课本：重点复课本中的相关章节和例题，确保对基本概念和解法的掌握。

- 刷题巩固：多做题，尤其是课后题和历年试卷中的题目，加强对知识点的练和理解。

- 讨论交流：与同学一起讨论和解答问题，加深对知识点的理解，同时也可以互相提供帮助和补充。

考试注意事项1. 准时参加考试：请提前安排好时间，确保按时参加考试，迟到或缺考将无法参加补考。

2. 笔试要求：请使用黑色或蓝色钢笔或签字笔答题，不得使用铅笔或红色字迹。

3. 考试纪律：请遵守考场纪律，不得交流或抄袭，否则将被视作违纪，按相关规定处理。

4. 考试成绩：考试成绩将在考试后的一周内公布，请密切关注学校官方通知。

以上为《福师常微分方程》期末考试的资料解析，希望对同学们的复和备考有所帮助。

祝愿大家考试顺利，取得好成绩！。

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

福师2020年8月《常微分方程》期末试卷A常微分方程》期末考试A卷姓名：XXX专业：数学与应用数学学号：xxxxxxxxxxx4388研究中心：XXX6、微分方程给定微分方程frac{d^2y}{dx^2}-6\frac{dy}{dx}+8y=\frac{2}{x^2+3}的通解为y=c_1e^{-t}+c_2e^{-5t}又因为$\alpha^2-6\alpha+8=0$的根为$\alpha_1=-1,\alpha_2=-5$，所以齐次的解为$x=c_1e^{-t}+c_2e^{-5t}$。

由于$\alpha=2\neq\alpha_1,\alpha_2$，所以设$x^*=be^{2t}$，代入得$b=\frac{1}{21}$，因此通解为x=c_1e^{-t}+c_2e^{-5t}+\frac{1}{21}e^{2t}二、求解下列微分方程1.$\frac{dy}{dx}=e^x-y$解：原方程可化为$dy+(y-e^x)dx=0$，这是一阶线性微分方程。

设$\mu(x)$为积分因子，则$\mu(x)ydx+\mu(x)(-e^x)dx=d(\mu(x)y)$，所以$\mu(x)=(e^{-x})'$，即$\mu(x)=e^{-x}$。

两边同乘以$\mu(x)$得$e^{-x}y+e^{-x}(-e^x)=Ce^{-x}$，即$y=C+1$。

2.$\frac{dy}{dx}+2xy=4x$解：原方程可化为$\frac{dy}{dx}=4x-2xy$，这是一阶线性微分方程。

设$\mu(x)$为积分因子，则$\mu(x)ydx+\mu(x)(-2x)dx=d(\mu(x)y)$，所以$\mu(x)=(e^{-x^2})'$，即$\mu(x)=-2xe^{-x^2}$。

两边同乘以$\mu(x)$得$-2xye^{-x^2}+4xe^{-x^2}=Ce^{-x^2}$，即$y=\frac{C}{2}+2x$。

(A)试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷;2、 考试所用时间：120分钟。

3、 考试班级：数计学院数 11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）1.方程x （y 2 1）dx y （x 2 1）dy 0所有常数解是2.方程y 4y 0的基本解组是3 .方程dy x 2 siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ___________________________ . 4•线性齐次微分方程组的解组 Y,X ）,Y 2（X ）, ,Y n （x ）为基本解组的 _______________ 条件 是它们的朗斯基行列式 W （x ） 0 .5 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间.、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6 .方程—x 3 y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）.（A ）上半平面 （B ） xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面7. 方程dy y 1（）奇解.dx（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个8. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个. （A ） n（B ） n -1（ C ） n +1（D ） n +2系院学计数考试本科考试科目常微分方程人题审师教课任号学一一名姓班试卷份数年月 日9、微分方程xlnx y y 的通解 （）B 、y c 1x l n x 1 D 、y GX In x 1c 2）.（B ）构成一个n 1维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分） “解方程dy e x y12•解方程（x 2y ）dx xdy 0A 、y c 1xln x c 2 C 、y xlnx10. n 阶线性非齐次微分方程的所有解（（A ）构成一个线性空间 C ）构成一个n 1维线性空间dy y13.解方程1dx x14•解方程e y dx (xe y 2y)dy 0d x dx15•试求 3 2x 0的奇点类型及稳定性dt2dt四、计算题（每小题10分，本题共20分）1 X16.求方程y y _e的通解217.求下列方程组的通解dxdt dy dt2x y五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分，本题共20分)18.在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(，)上的严格单调函数.19 .在方程y p(x)y q(x)y 0中，已知p(x)，q(x)在(，)上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷____ 审核 _____________、填空题（每小题3分，本题共15分）1. y 1, x 12. sin 2x, cos2x3. xoy 平面 4 .充分必要5 .开、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6. D7. C8. A 9. D 10. D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11•解分离变量得e y dy e xdx等式两端积分得通积分e y e x C12.解方程化为业1 2》 dx x令y xu ，贝Uu x-du ，代入上式，得 dx dxdu x 1 u dx 分量变量，积分，通解为u Cx 1原方程通解为y Cx 2 x13.解 对应齐次方程 d ' 的通解为dx xy Cx（2 分）令非齐次方程的特解为y C （x ）x（3 分）（3分）（6分）（2分）（4分）（5分）代入原方程，确定出// \ 1 c （X ）-X再求初等积分得C （x ） ln x C因此原方程的通解为y Cx + xl nx14 •解： 由于卫 e y —，所以原方程是全微分方程.y x取（X 0, y 。

安 庆 师 范 学 院《常微分方程》A 卷 一、判断题（8分，每题2分）1、阶常微分方程的通解包含了它的所有解。

（ ）2、函数221c x e c y +=是微分方程02=-'-''y y y 的通解。

（ ）3、阶线性齐次微分方程的个解12(),(),,()n x t x t x t 在],[b a 上线性无关的充要条件是()0,[,]W t t a b ≠∈。

（ ）4、设)(t Φ为X t A X )(='的基解矩阵，则)(t ψ为其基解矩阵存在阶常数矩阵，使C t t )()(Φ=ψ。

（ ）二、选择题（10分，每题2分）1、 微分方程24()cos y y y y ''''''+-=是（ ）。

A 三阶非线性方程 B 三阶线性方程C 四阶非线性方程D 四阶线性方程2、 下列方程中为齐次方程的是 （ ）。

A ()y xy y ϕ''=+B tany xy y x x '=+C ()y xy f y '''=+D cos cos ydx xdy = 3、阶齐次线性微分方程的所有解构成一个（ ）维线性空间。

AB 1n +C 1n -D 2n +4、Lipschitz 条件是一阶微分方程初值问题存在唯一解的（ ）条件。

A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 既不是充分也不是必要条件 5. 方程dx y dt dy x dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的奇点(0,0)的类型是 （ ）。

A 结点 B 焦点 C 中心 D 鞍点三、填空题（12分，每空2分）1、向量函数12(),(),,()n X t X t X t 是线性方程组()X A t X '=的基本解组的充要条件是：（1）；（2）。

2、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy+=存在只与有关而与无关的积 分因子的充分必要条件是。