常微分方程期中考试试卷(2015)

《常微分方程》考试参考答案（A卷）《常微分方程》考试参考答案（A 卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=2、解：先求30dx x dt+=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为：533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解：令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。

常微分方程试题库试卷库-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1常微分方程试题库试卷库常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。

有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx -+= ５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=- ２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++ y y z =+３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰=４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠５、11110n n nn n nn d y d dyx a a a y dx dx dx ---++++=６、()()t t C ψφ=７、零 稳定中心二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyy y y e e y μ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=0 2()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n = 12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!it i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!in t ii te A E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭４、解：方程可化为3284dy y dx x dy ydx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=令dy p dx =则有3284p y x yp +=（*） （*）两边对y 求导：322322(4)(8)4dpy p y p y p y pdy -+-=即32(4)(2)0dp p y yp dy --=由20dp y p dy -=得12p cy =即2()p y c =将y 代入（*）2224c p x c =+即方程的 含参数形式的通解为：22224()c px c p y c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p 为参数又由3240p y -=得123(4)p y =代入（*）得：3427y x =也是方程的解 ５、解：00210022520041072511830002()4220()4400202204400160xx x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰ 三、 证明题由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解：10200''1020011110200()1,()0,,()0()0,()1,,()0()0,()0,,()1n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---=========考虑1020010010[(),(),,()]101n w x t x t x t ==≠从而()(1,2,)i x t i n =是线性无关的。

北 京 交 通 大 学2013-2014学年第一学期《常微分方程》期中考试试卷考试方式：闭卷 任课教师：曹鸿钧 学院 专业 班级学号 姓名请注意：本卷共四大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、 填空题（每小题1分，共10分）1、下列微分方程中（1）;46y x dx dy -=（2）;12)(222xy dx dy dxy d -= （3）;03)(32=-+y dx dy x dx dy （4）;0sin 3622=-+-x xy dx dy dx y d x （5）;02cos =++x y dx dy（6）.0)sin(22=-+x e dxy d y 每个方程的阶数分别是 ，其中，线性方程有（写出方程的标号） ，而是非线性方程的有（写出方程的标号） .2、一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为x 6，则曲线方程为 .3、对于贝努利方程n y x q y x p dxdy)()(=+，则可通过变量变换 将其化为一阶线性方程，从而可以求解.4、一阶微分方程0),(),(=+dy y x N y x M 为恰当微分方程的充要条件为 .5、方程3123y dx dy =在区域________________________中满足解的存在唯一性定理.6、方程212-=y dx dy 通过点)0,0(的饱和区间为 . 7、方程22y x dxdy+=定义在矩形域11,11:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 ．8、方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 具有形为)(y x +μ的积分因子的充要条件是 .二、选择题：（每小题1分，共6分） 1、方程y x dxdy-=24为 A 、一阶齐次线性方程 B 、一阶非齐次非线性方程 C 、一阶齐次非线性方程 D 、一阶非齐次线性方程2、方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解的存在唯一定理条件的区域是 ．（A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面3、方程323y dxdy=过点(0, 0)有 . A 、无数个解 B 、只有一个解 C 、只有两个解 D 、只有三个解 4、方程0)(2=-+dy x y x ydx 的一个积分因子为 .A 、x 1B 、21xC 、x lnD 、x x ln5．设函数)(),(21x y x y 是微分方程0)(=+'y x p y 的两个不同特解，则该方程的通解为 ．(A)2211y C y C y += (B) 21Cy y y += (C) )(211y y C y y ++= (D) )(12y y C y -=6、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的 条件． A 、充分 B 、必要 C 、充分必要 D 、不确定三、计算题（本大题包含8个小题，共75分） 1、求解方程xy dxdy2=的通解，并求满足初值条件1,0==y x 的特解.（9分）2、求方程2526)(22xy xy x y dx dy +-=的通解.（9分）3．求方程0)d (d 222=-+y y x x xy 的通解.（9分）4、求方程2y x dxdy-=通过点（1,0）的第二次近似解.（10分）5、求方程x y dxdysin +=的通解.（9分）6、设函数)(t ϕ于),(+∞-∞上连续，)0('ϕ存在且满足关系式)()()(s t s t ϕϕϕ=+，试求此函数)(t ϕ.（10分）7、求方程2''2)2()1(y y y -=-的解.（9分）8、已知里卡蒂微分方程xx xe yeyey 22'12-=-+-的一个特解为x e y =_，求此方程的特解（提示：取变换-+=y z y ）（10分）.四、证明：（9分）（1）、一阶非齐次线性微分方程)()(x Q y x P dxdy+=的任两解之差必为对应的齐次线性微分方程y x P dxdy)(=的解（3分）； （2）、若)(x y y =是齐次线性微分方程y x P dxdy)(=的非零解，而)(x y y -=是非齐次线性微分方程)()(x Q y x P dxdy+=的解，则非齐次线性微分方程)()(x Q y x P dxdy+=的通解可表为)()(x y x cy y -+=，其中，c 为任意常数（3分）.。

常微分方程练习试卷一、填空题。

1. 方程23210d xx dt+=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个.4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程222()0d x dx x dt dt+= 。

4．用比较系数法解方程..5．求方程 sin y y x '=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt 10.若三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; (iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -= .2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=答案一.填空题。

第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。

( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。

( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。

( O )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。

( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。

(O )6．y y sin ='是一阶线性微分方程。

( X )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。

( O )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。

( O )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。

( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。

②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。

③x yy dx dyx ln ⋅=是齐次方程。

④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。

⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。

2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。

3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。

4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。

5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。

6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。

)()()(2cos 31cos 31sin 21)(**t x t x t x tt t t t x c +=∴-+=通解 五. 证明题（5分）证明:性无关解，下面只要证明其线是对应齐次方程的两个、是非齐方程的解，、、)()()()()()()(3231321t x t x t x t x t x t x t x --∴ 是齐次方程的基解线性无关，、，，线性无关，、、即：令∴--∴=+==⇒=+-+=-+-)()()()(000)()()(0)()()()(0)]()([)]()([323121213213212211322311t x t x t x t x k k k k t x t x t x t x k k t x k t x k t x t x k t x t x k)()]()([)]()([)(1322311t x t x t x c t x t x c t x +-+-=非齐次方程的通解：六. 应用题（任选1题, 10分）1．设运动员从跳落到开伞前为自由落体运动, 开伞后在空气中下落时受到的空气阻力与速度平方成正比（比例系数为k ）。

一运动员从高空跳下T 秒后才打开降落伞。

试建立微分方程, 求开伞后, 该运动员在下降过程中速度与时间关系, 并求出极限速度。

解:kmgt v aeae k mg v a gT kmggT kmgc gT v c t m kg v kmgvkmgv gTv m k g dt dvt t v t t mkg t m kg =⇒+-=⇒∆-+=⇒=+=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∞→)(lim 11ln ln)0(2ln)0()(22112由第二定律得：秒时的速度，根据牛顿表示运动员开伞用第 4 页2. 在一个电阻R 、电感L 、电容C 和电源E 串联而成的闭合回路中, 已知E=100sin60t(V)R=2欧姆, L=0.1（H ）, C=1/260（F ）。

常微分方程试卷1一、填空题（每题3分，共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 5．方程21d d y xy-=的常数解是 ． 二、单项选择题（每题3分，共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）．（A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ ）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每题６分，共30分） 求下列方程的通解或通积分：11.y y x yln d d = 12. x yx y x y +-=2)(1d d13. 5d d xy y xy+=14．0)d (d 222=-+y y x x xy 15．32y y x y '+'=四、计算题（每题10分，共20分） 16．求方程255x y y -='-''的通解． 17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每题10分，共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程试卷1答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分） 1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开5．1±=y二、单项选择题（每题3分，共15分） 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 三、计算题（每题６分，共30分）11．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分）通积分为x C y e ln = （6分）12．解 令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u xux-= （3分）分离变量，取不定积分，得 C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ）通积分为： Cx xyln arcsin= （6分）13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d 令 z y =-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41（3分） 通解为41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x （6分）14．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． （2分）取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2（4分）即C y y x =-3231 （6分）15．解 原方程是克莱洛方程，通解为32C Cx y += （6分）四、计算题（每题10分，共20分）16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为x C C y 521e += （4分）因为0=α是特征根。

优秀学习资料 欢迎下载常微分方程期中测试试卷(1)一、填空(dy)ndy y 2 x 21 微分方程 dx dx的阶数是 ____________2若M ( x, y)和N ( x, y)在矩形区域 R 内是 (x, y)的连续函数 , 且有连续的一阶偏导数 , 则方 程 M ( x, y) dx N ( x, y)dy0 有 只 与 y有 关 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程 .dyf ( x, y)4 如果f ( x, y)___________________________________________ , 则 dx存在唯一的解 y(x) , 定义于区间 x x 0h 上 , 连续且满足初始条件 y 0( x 0 ) , 其中h_______________________ .5 对 于 任 意 的( x, y 1 ) ,( x, y 2)R (R 为某一矩形区域), 若存在常数N(N0) 使______________________ , 则称f (x, y)在 R 上关于 y满足利普希兹条件 .dy x 2 y 22 x2, 2 y2上 , 则经过点(0,0) 的解6 方程 dx定义在矩形区域 R :的存在区间是 ___________________7 若 x i (t )(i 1,2,.....n) 是齐次线性方程的n 个解 , w(t )为其伏朗斯基行列式 , 则w(t )满足一阶线性方程 ___________________________________8若 x i (t)(i1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组,x(t)为非齐次线性方程的一个特解 , 则非齐次线性方程的所有解可表为_________________________9 若( x)为毕卡逼近序列 n (x)的极限，则有 (x) n ( x)__________________10 _________________________________________称为黎卡提方程， 若它有一个特解y(x) ，则经过变换___________________，可化为伯努利方程．二求下列方程的解dyy１dx x y 3dy xy 2２求方程dx经过( 0,0)的第三次近似解dyy21的解的存在区间３讨论方程 dx， y(1)(dy)2y 21 04 求方程 dx的奇解(cos x1)dx (1x)dy5y yy 26y ' y 2 2 y sin x cosx sin 2 x 7( 2xy 23y 3 )dx (7 3xy 2 ) dy 0三 证明题1 试证 : 若已知黎卡提方程的一个特解, 则可用初等积分法求它的通解2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明: 一阶线性方程 P( x) , Q( x) 在 ,上连续时 , 其解存在唯一参考答案一 填空题 1 1dyQ( x)P(x) ydx, 当234 56M N1()()( y)yx Mdy g ( y)形如dxx 的方程在 R 上连续且关于y满足利普希兹条件f ( x, y 1 ) f (x, y 2 ) N y 1y 21 1 x44h min( a, b)m7w ' a 1 (t )w 0n8xc i x ixi 1nMLh n 19(n 1)!dyp( x) y 2 q( x) y r ( x)y z y10 形如 dx的方程二 求下列方程的解dxxy 3x 211 dyy3y x eydyxcy1解：dyyy( y 2 eydy c)，则所以2另外 y 0也是方程的解2解：0 ( x)x2( x) dx1x 2 1 ( x)x2x12( x) dx 1 x 2 1 x 5 2 ( x)x220x22( x) dx1x 21x 51 x 111x 83 (x)x2204400160dydx3解： y21x c两边积分y1y所以方程的通解为x c过 y(1) 1 的解为y12故x通过点(1,1)的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 ２，所以解的存在区间为(,2)4 解 : 利用 p判别曲线得p 2y 2 1 02 p 0消去 p 得 y21 即 y1所以方程的通解为ysin( x c) , 所以 y1是方程的奇解My 2N y2MN5 解 :y = ,x =,y =x, 所以方程是恰当方程 .u cos x1x yv 1 x得usin xx( y)y y y2yu xy2'( y)( y)ln yy所以sin xx ln y cy故原方程的解为6解 :y ' y 2 2 ysin x cosx sin 2 x 故方程为黎卡提方程 . 它的一个特解为ysin x , 令 yzsin x ,dz z 2z1 则方程可化为 dx,x cy sin x1ysin x1x c ,xc即故7解 : 两边同除以 y 2得2xdx 3ydx7 dy 3xdy 0y 2dx2d3xyd7y优秀学习资料欢迎下载x 23xy7c y 0也是方程的解所以y, 另外三证明题1证明 : 设黎卡提方程的一个特解为y y令yz y ,dy dz d y dy p( x) y2q( x) y r ( x)dx dx dx又dxdz p( x)( z y) 2q( x)( z y)r ( x) d y dx dxd y2q( x) y r ( x)dzp( x) z2 2 p( x) yp( x) y得 dx由假设dx此方程是一个 n2的伯努利方程,可用初等积分法求解2证明 :令 R :x,,y RP( x) ,Q( x) 在,上连续, 则f ( x, y)P(x) y Q( x)显然在 R 上连续,因为 P( x)为,上的连续函数 ,故 P(x) 在,上也连续且存在最大植,记为L即 P( x)L ,x,y1, y2R f ( x, y1 ) f ( x, y2 )P(x) y1P( x) y2=P(x) y1因此一阶线性方程当P( x) ,Q ( x) 在,上连续时 , 其解存在唯一q( x) zy2L y1y2常微分方程期中测试卷(2)1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)dydy4322x 2x sin yd y2 d yd y 0y x（1） dx（ 2） dx（3） dx 4dx 3 dx 2dr3d 2r（4） x xx x t（ 5） ( ds)1 ds 2（ 6） x2dy y 2dx 02、填空题 (8%)dyx tan y（1）．方程dx的所有常数解是 ___________.（ 2）．若 y=y 1( x ) ， y=y 2( x ) 是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ________________.（ 3 ） . 若 方 程 M ( x, y )d x + N ( x, y )d y = 0 是 全 微 分 方 程 ， 同 它 的 通 积 分 是________________. （4） . 设 M ( x 0, y 0) 是可微曲线 的截距分别是 _________________.3、单选题 (14%)y = y ( x ) 上的任意一点，过该点的切线在 x轴和 y 轴上（1）．方程y ln ydx( x ln y)dy是（） .(A) 可分离变量方程 （ B ）线性方程 (C) 全微分方程（ D ）贝努利方程dyy (0y)（ 2）．方程 dx，过点（ 0， 0）有（） .(A) 一个解（ B ）两个解(C) 无数个解 22 （ D ）三个解（ 3）．方程 (1)d( 1)d=0 的所有常数解是（ ） .y － yxx+y x －(A) y =± 1, x =±1,(B) y =± 1(C) x =± 1(D)y =1, x =1（ 4）．若函数 y ( x ) 满足方程xyy y 2 ln x，且在 x =1 时， y =1, 则在 x = e 时y =().11(A)e(B)2(C)2(D) e（ 5）． n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．（ A ） n 维（ B ）n1维（ C ）n1维（ D ）n2 维dyxy 2（ 6） . 方程 dx（）奇解．（ A ）有三个（ B ）无（ C ）有一个（ D ） 有两个dy23y3（ 7）．方程 dx 过点 (0, 0) （）．（ A ）有无数个解（B ）只有三个解（C ）只有解y（ D ）只有两个解4. 计算题 (40%)求下列方程的通解或通积分：dy xy（ 1） . dx 1 x 2dy 3ye 2 x（2）. dx（3） .(x 3xy 2 )dx (x 2 y y 3 )dy 0dy y ( y ) 2（4）.dxxx（5） . y (x ln y ) 15. 计算题 (10%)求方程y5 y sin 5x 的通解．6．证明题（ 16%）设f ( x, y) 在整个xoy平面上连续可微，且f ( x, y 0 ) 0 ．求证：方程dy f (x, y)dx的非常数解yy( x) ，当 xx0 时，有y(x)y0 ，那么x0 必为或．参考答案： 1．辨别题（ 1）一阶，非线性 （ 2）一阶，非线性 （3）四阶，线性 （ 4）三阶，非线性 （ 5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性2．填空题（ 1）．yk , k 0, 1, 2,（2）．C 1[ y 1( x)y 2 ( x)] y 1 (x) xM (x, y) dxy N ( x 0 , y) dyx 0y0 ,y 0 x 0 y（ 3）． x 0 y 0（ 4）．y3．单选题（ 1）．B （2）．C（3）．A （4）．B （5）. A （6）.B 7.A4. 计算题（ 1）．解 当y 0时，分离变量得dy xdxy1 x2 等式两端积分得ln y1ln(1 x 2 ) ln C2即通解为y C 1 x 2（ 2）．解 齐次方程的通解为y Ce 3x令非齐次方程的特解为y C (x)e 3 xC (x)1e 5 x C代入原方程，确定出5原方程的通解为yCe 3x 1e 2 x+ 5M 2xyN（3）．解yx，所以原方程是全微分方程．由于取 ( x 0 , y 0 )( 0, 0)，原方程的通积分为x xy 2)dxyC 10 (x3y 3dy即x 4 2 x 2 y 2 y 4 C令yxuy ux du（4）. ，则dx ，代入原方程，得ux duu u 2x duu 2dx，dx当u时，分离变量，再积分，得du dxCu2x1 ln x Cu1uln xC，yxln xC即：5. 计算题令yp，则原方程的参数形式为x 1 ln ppypdy y由基本关系式dx，有dy y dxp (1 1)dp1 p2p (1p )dp积分得y p ln p C得原方程参数形式通解为x1 ln ppy p ln pC5．计算题解方程的特征根为 1， 25齐次方程的通解为 yC 1 C 2e 5 x因为i5i不是特征根。