常微分方程期末复习提要(1)

大一常微分方程一知识点总结1.常微分方程的基本概念常微分方程是描述一个未知函数的导数或高阶导数与该函数本身之间的关系的方程。

2.函数的导数和微分的概念导数描述了函数在其中一点上的变化率，基本导数法则包括常数规则、幂规则、指数函数和对数函数的导数、三角函数的导数等；微分描述了函数在其中一点上的变化量。

3.一阶常微分方程一阶常微分方程是指导数的最高阶数为一的微分方程。

常见的一阶微分方程形式包括可分离变量的方程、线性方程、齐次方程、恰当方程和一阶常系数线性齐次方程等。

4.可分离变量的方程可分离变量的方程是指方程中变量可分离为两个集合的乘积形式。

通过将变量分离，再进行积分求解得到方程的解。

5.线性方程线性方程是指方程中的未知函数和其导数只出现线性的形式。

线性方程的解可以通过积分因子法或变量代换法来求解。

6.齐次方程齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的次数相同的方程。

齐次方程可以通过变量代换法将其转化为可分离变量的方程来求解。

7.恰当方程恰当方程是指方程的左右两边可以写成一些函数的全微分形式。

通过判断方程是否恰当，并找到方程的积分因子，可以求解恰当方程。

8.一阶常系数线性齐次方程一阶常系数线性齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的系数是常数的方程。

一阶常系数线性齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。

9.二阶常微分方程二阶常微分方程是指导数的最高阶数为二的微分方程。

常见的二阶微分方程形式包括线性常系数齐次方程、线性常系数非齐次方程和欧拉方程等。

10.线性常系数齐次方程线性常系数齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的齐次方程。

线性常系数齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。

11.线性常系数非齐次方程线性常系数非齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的非齐次方程。

通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，可以得到线性常系数非齐次方程的通解。

第一章 绪 论1. 常微分方程和偏微分方程在微分方程中，只含有一个自变量的方程称为常微分方程，有两个或两个以上自变量的方程称为偏微分方程。

2. 一阶与高阶微分方程在一个微分方程中，所出现的未知函数导数的最高阶数n 称为该方程的阶，当1=n 时，称为一阶微分方程；当1>n 时，称为高阶微分方程。

一阶常微分方程的一般显式形式为：),(y x f y ='。

一阶常微分方程的一般隐式形式为：0),,(='y y x F 。

n 阶显方程的一般形式为：),,,,()1()(-'=n n y y y x f y 。

n 阶隐方程的一般形式为：0),,,,()(='n y y y x F 。

其中F 及f 分别是它所依赖的变元的已知函数。

3. 线性和非线性微分方程如果微分方程 0),,,,()(='n y y y x F 的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则它称为线性微分方程，否则，为非线性微分方程。

n 阶线性微分方程的一般形式为：)()()()()1(1)(0x g y x a y x a y x a n n n =+++-其中0)(0≠x a ，)(),(,),(),(10x g x a x a x a n 均为x 的已知函数。

特别地，一阶线性微分方程的一般形式为：()()()a x y b x y g x '+=，其中()0a x ≠，(),(),()a x b x g x 均为x 的已知函数。

4. 方程的解对于微分方程0),,,,()(='n yy y x F ，若将函数)(x y ϕ=代入方程后使其有意义且两端相等，即0))(,),(),(,()(≡'x φx φx φx F n ，则称函数)(x y ϕ=为该方程的一个显式解。

若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程的隐式解。

方程显式解和隐式解统称为微分方程的解。

期末考试一、填空题（每空2 分，共16分）。

1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是8．方程440y y y '''++=的基本解组是二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x+=的积分因子是（ ）． （A ）⎰=x x p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

1.求下列方程的通解。

1sin 4-=-x e dxdyy . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dxde y y令ye z =，得x z dxdzsin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得[]xx x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝xcex x -+-)cos (sin 22.求下列方程的通解。

1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y .解：设t p dxdysin ==，则有t y sec =， 从而c tgt t tdt c tdt tgt tx +=+=+⋅=⎰⎰2sec sec sin 1，故方程的解为221)(y c x =++， 另外1±=y 也是方程的解 .3.求方程2y x dxdy+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ϕ 20121)(x xdx x x==⎰ϕ5204220121)41()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ dx x x x x dx x x x x x x⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=0710402523201400141)20121()(ϕ 8115216014400120121x x x x +++=4.求解下列常系数线性方程。

0=+'+''x x x解：对应的特征方程为：012=++λλ， .解得i i 23,23212211--=+-=λλ 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=-5.求解下列常系数线性方程。

t e x x =-'''解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013=-λ，解得231,13,21i±-==λλ， 故齐线性方程的基本解组为：i e i ee t23sin ,23cos ,2121--，因为1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，tt t t e Ate Ate Ae =-+3，所以31=A ，所以原方程的通解为2121-+=e c e c x tt te i e c i 3123sin 23cos 213++-6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：5,1--=+--=y x dtdyy x dt dx 解： ⎩⎨⎧=--=+--050!y x y x 解得⎩⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3-经变换，⎩⎨⎧+=-=33y Y x X方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dtdy Y X dt dx因为,01111≠---又01)1(11112=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。

《常微分方程》复习资料1．（变量分离方程）形如()()dyf x y dxϕ=（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()f x y ϕ分别是,x y 的连续函数． 解法：（1）分离变量，当()0y ϕ≠时，将（1.1）写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得()()dyf x dx c y ϕ=⎰⎰+（1.2），由（1.2）所确定的函数(,)y x c ϕ=就为（1.1）的解． 注：若存在0y ，使0()0y ϕ=，则0y y =也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． 2．（齐次方程）形如(dy yg dx x=的方程称为齐次方程，这里是u 的连续函数． ()g u 解法：（1）作变量代换（引入新变量）y u x =，方程化为()du g u u dx x -=，（这里由于dy dux u dx dx=+）；（2）解以上的分离变量方程；（3）变量还原．3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程()()()0dya xb x yc x dx++=在的区间上可写成()0a x ≠()()dyP x y Q x dx =+（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()P x Q x x 的连续函数．若，则（3.1）变为()0Q x =()dyP x y dx=（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Q x ≠，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． 解法：（1）解对应的齐次方程()dyP x y dx=，得对应齐次方程解()p x y ce dx ⎰=，为任意常数；c （2）常数变异法求解（将常数变为c x 的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的解，则()c x ()()p x dxy c x e ⎰=()()()()()p ⎰⎰p x dx p x dy dc x e c x x e dx dx =+dx ，代入（3.1）得()()()p x dx dc dxx Q x e -⎰=)，积分得；()p x dx c ⎰=+ ()()c x Q x e -⎰（3）故（3.1）的通解为()()(()p x dxp x dxy e Q x e dx -⎰⎰c=+⎰ ． 4．（伯努利方程）形如()()n dyP x y Q x y dx=+的方程，称为伯努利方程，这里为(),()P x Q x x 的连续函数． 解法：（1）引入变量变换，方程变为1nz y -=(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx=-+-；（2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原．5．（可解出的方程）形如y (,)dyy f x dx=(5.1)的方程，这里假设(,)f x y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（5.1）变为(,)y f x p =（5.2）； （2）将（5.2）两边对x 求导，并以dy p dx =代入，得f f pp x p x∂∂∂=+∂∂∂（5.3），这是关于变量,x p 的一阶微分方程；（3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为(,)p x c ϕ=，将它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解(,(,))y f x x c ϕ=，为任意常数；c（ii ）若求得（5.3）的通解形式为(,)x p c ψ=，则得（5.1）的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数；c （iii ）若求得（5.3）的通解形式为，则得（5.1）的参数形式的通解为(,,)0x p c Φ=(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 6．（可解出x 的方程）形如(,)dyx f y dx=(6.1)的方程，这里假设(,)f y y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（6.1）变为(,)x f y p =（6.2）； （2）将（6.2）两边对y 求导，并以1dx dy p=代入，得1f f pp y p y ∂∂∂=+∂∂∂（6.3），这是关于变量,y p 的一阶微分方程；（3）若求得（6.3）的通解形式为，则得（6.1）的参数形式的通解为(,,)0y p c Φ=(,)(,,)0x f y p y p c =⎧⎨Φ=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 7．（不显含的方程）形如y (,)0dyF x dx=的方程，这里假设(,)F x y '有连续的偏导数． 解法：（1）设dyp dx=，则方程变为； (,)0F x p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F x p =()()x t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）； （3）把()x t ϕ=，()p t ψ=代入dy ，并两边积分得pdx =()()y t t dt ψϕ'c =+⎰；（4）通解为()()()x t y t t dt ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩⎰c ．8．（不显含x 的方程）形如(,)0dyF y dx=的方程，这里假设(,)F y y '有连续的偏导数．解法：（1）设dyp dx=，则方程变为；(,)0F y p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F y p =()()y t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）；（3）把()y t ϕ=，()p t ψ=代入dy dx p =，并两边积分得()()t x dt c t ϕψ'=+⎰； （4）通解为()()()t x dt c t y t ϕψϕ'⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰． 9．（型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数()(1)(,,,,)0(1)k n n F x y y y k -=≥ y 及．(1),,k y y -' 解法：令()()k yz x =，则(1)k y z +'=，．代入原方程，得．若能求得，()()n n y z -=k ()(,(),(),,())0n k F x z x z x z x -'= ()z x将()()k yz x =()yf =连续积分次，可得通解．k , 10．（型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量()(1)(,,)n k y y y -n x ．解法：设，则()y 222,(dp dy dP d p dP y P y P P dy dx dy dy dy'''''===+ y p '=2,) ，代入原方程得到新函数的()P y (1n -阶方程，求得其解为1()(,,,)n 1P y y C C ϕ-== dy dx，原方程通解为11(,,,)n n dyx C y C C ϕ-=+⎰ ．11．（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数对(1)(,,,,)n x y y y -'Φ x 的导数，即(1)(,,,,)0n dx y y y dx-'Φ= ． 解法：类似于全微分方程可降低一阶(1)(,,,,)n x y y y C -'Φ ='，再设法求解这个方程．12．（齐次方程）特点：（k 次齐次函数）．()()(,,,,)(,,,,)n k n x ty ty ty t F x y y y '= F zdx解法：可通过变换y e =⎰将其降阶，得新未知函数．因为()z x 2()(1),(),,(,,,)zdxzdxzdxn n y ze y z z e yz z z e -⎰⎰⎰'''''==+=Φ (1)(,,,,)0n f x z z z -'，代入原方程并消去，得新函数的阶方程k z e ⎰dx ()z x (n -1)= ．13．（存在唯一性定理）考虑初值问题00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（13.1），其中(,)f x y 在矩形区域00:,R x x a y y b -≤-≤上连续，并且对满足Lipschitz 条件：即存在，使对所有(,y 0L >12(,)),x y x y R ∈常成立121(,)(,)2f x y f x y L y y -≤-，则初值问题（13.1）在区间0x x -≤h 上的解存在且唯一，这里(,)min(,h a =(,)x y R M Max f x y ∈=bM．初值问题（13.1）等价于积分方程00(,)xx y y f t y =+⎰dt ，构造Picard 逐步逼近函数列}{00001()()()(,())xn nn x x y x x y f ϕϕϕξϕ-=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰dx ξ 00x x x ≤≤+h ，n ．1,= 2,14．（包络的求法）曲线族（14.1）的包络包含在下列两方程(,,)0x y c Φ=(,,)0(,,)0c x y c x y c Φ=⎧⎨'Φ=⎩消去参数而得到的曲线之中．曲线c (,)0F x y =(,)0F x y =称为（14.1）的c -判别曲线．15．（奇解的直接计算法）方程(,,)0dyF 15.1）的奇解包含在由方程组⎨去参数x y dx =（消(,,)0(,,)0c F x y p F x y p =⎧'=⎩p 而之得到的曲线(,Φ=中，此曲线称为（15.1）的)0x y p -别曲线，这里(,F 判,)x y p 0=是,,x y p 的连续可微函数． 注：p -判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论． 16．（克莱罗方程）形如dy dy y xf dxdx ⎛⎫=+ ⎝⎭⎪（16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里． ()0f p ''≠解法：令dy p dx =，得．两边对()y xp f p =+x 求导，并以dyp dx=代入，即得()dp dp p x p f p dx dx '=++，经化简，得[()]0．dpx f p dx '+= 如果0dp dx=，则得到p c =．于是，方程（16.1）的通解为：()y cx f c =+．如果，它与等式()0x f p '+=()y xp f p =+联立，则得到方程（16.1）的以p 为参数的解：()0()x f p y xp f p '+=⎧⎨=+⎩或()0()x f c y xc f c '+==+⎧⎨⎩其中为参数．消去参数c p 便得方程的一个解． 17．（函数向量组线性相关与无关）设12(),(),,()m x t x t x t a t b ≤≤是一组定义在区间[,上的函数列向量，如果存在一组不全为0的常数，使得对所有，有恒等式]a b c 12,,m c c c 1122()()()0m m c x t c x t x t +++ =， 则称12(),(),,()m x t x t x t 在区间[,上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[,上线性无关．]a b ]a b 18．（Wronsky 行列式）设有n 个定义在a t 上的向量函数b ≤≤nn 11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()n n n n n x t x t x t x t x t x x t x t x t t x t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢===⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦ ，由这n 个向量函数所构成的行列式111212122212[(),(12()()()()()()),()()()()()n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x x t W t t x t x t x t x t ≡称为这个向量函数所构成的Wronsky 行列式．n 如果向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在a t 上线性相关，则它们的Wronsky 行列式． b ≤≤()0,t W t a b ≡≤≤19．（基解矩阵的计算公式）（1）如果矩阵具有个线性无关的特征向量，它们相应的特征值为A n 12,,,n v v v 12,,,n λλ λ（不必互不相同），那么矩阵是常系数线性微分方程组12tte λλ12(),,,],n tn v v e v λΦ=-∞<< [t e x +∞x Ax '=的一个基解矩阵； （2）矩阵的特征值、特征根出现复根时（略）； A （3）矩阵的特征根有重根时（略）．A 20．（常系数齐线性方程）考虑方程111[]0n n n n n d x d xL x a a x dt dt--=+++= （20.1），其中为常数，称（20.1）为阶常系数齐线性方程．12,,n a a a n 解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根12,,,k λλλ ；（2）计算方程（20.1）相应的解：（i ）对每一个实单根k λ，方程有解k teλ；（ii ）对每一个重实根1m >k λ，方程有个解：m 21,,,,k k k tttm e te t e te k tλλλ- λ；（iii ）对每一个重数是1的共轭复数i αβ±，方程有两个解：cos ,sin tte t e ααt ββ； （iv ）对每一个重数是的共轭复数1m >i αβ±，方程有个解：2m 11cos ,cos ,,cos ;sin ,sin ,,sin t t m t ttm te t te t t e t e t te t te tααααααββββββ-- ；（3）根据（2）中的（i ）、（ii ）、（iii ）、（iv ）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解．21．（常系数非齐次线性方程）()y py qy f x '''++=二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程，通解结构0y py qy '''++=y Y y =+．设非齐次方程特解()x y Q x e λ=代入原方程 2()(2)()()()()m Q x p Q x p q Q x P x λλλ'''+++++=（1）若λ不是特征方程的根，，可设20p q λλ++≠()()m Q x Q x =，()xm y Q x e λ=；（2）若λ是特征方程的单根，，2020p q λλ++=p λ+≠，可设()()m Q x xQ x =，()xm y xQ x e λ=； （3）若λ是特征方程的重根，，2020p q λλ++=p λ+=，可设，2()()m Q x x Q x =2()xm y x Q x e λ=． ()k x综上讨论，设y m x e Q x λ=，． 012k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是根是单根是重根。

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的 充分 条件．4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

常微分方程期末复习提要中央电大 顾静相常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。

本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．一、复习要求和重点第一章 初等积分法1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。

2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法．（1）显式变量可分离方程为：)()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分⎰⎰+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。

（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰⎰+=C x x M x M y y N y N d )()(d )()(2112求出通解。

3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为：)(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得xu u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得⎰=-uu g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ϕ=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ϕ=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法．（1）一阶线性齐次微分方程为：0)(d d =+y x p xy 通解为：⎰=-x x p C y d )(e 。

第11章 常微分方程习题课一. 内容提要1.基本概念含有一元未知函数)(x y (即待求函数)的导数或微分的方程,称为常微分方程;其中出现的)(x y 的最高阶导数的阶数称为此微分方程的阶;使微分方程在区间I 上成为恒等式的函数=y )(x ϕ称为此微分方程在I 上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;若n 阶微分方程的解中含有n 个不可合并的任意常数,则称其为此微分方程的通解;利用n 个独立的附加条件(称为定解条件)定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为一个定解问题;当定解条件是初始条件(给出)1(,,,-'n y y y Λ在同一点0x 处的值)时,称为初值问题.2.一阶微分方程),(y x f y ='的解法(1)对于可分离变量方程)()(d d y x xy ψϕ=, 先分离变量(当0)(≠y ψ时)得x x y ψy d )()(d ϕ=, 再两边积分即得通解 C x x y y +=⎰⎰d )()(d ϕψ.(2)对于齐次方程d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 作变量代换x y u =,即xu y =,可将其化为可分离变量的方程,分离变量后,积分得C x x u u f u +=-⎰⎰d )(d ,再以xy 代替u 便得到齐次方程的通解.(3)形如)(111d d c y b x a c by ax f x y ++++=的方程, ①若1,c c 均为零,则是齐次方程;②若1,c c 不全为零,则不是齐次方程,但当k b b a a ==11时,只要作变换y b x a v 11+=,即可化为可分离变量的方程111)(d d a c v c kv f b x v +++=; 当11b b a a ≠时,只要作平移变换⎩⎨⎧-=-=00y y Y x x X ,即⎩⎨⎧+=+=00y Y y x X x (其中),(00y x 是线性方程组⎩⎨⎧=++=++0 0111c y b x a c by ax 的惟一解),便可化为齐次方程)(d d 11Yb X a bY aX f X Y ++=. (4)全微分方程若方程0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 之左端是某个二元函数),(y x u u =的全微分,则称其为全微分方程,显然C y x u =),(即为通解,而原函数),(y x u 可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得. 通常用充要条件xQ y P ∂∂=∂∂来判定0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 是否为全微分方程.对于某些不是全微分方程的0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P ,可乘上一个函数),(,y x μ使之成为全微分方程0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P μμ(注意到当0),(≠y x μ时0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P μμ与原方程同解),并称),(,y x μ为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难,但有时可通过观察得到.(5)一阶线性微分方程)()(x Q y x p y =+'的通解公式当)(x Q 不恒为零时,称其为一阶线性非齐次微分方程;当)(x Q 恒为零,时,即0)(=+'y x p y 称为一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的方程,易知其通解为⎰=-x x p C Y d )(e ;由此用“常数变易法”即可得到非齐次微分方程的通解)(d e )(e d )(d )(⎰⎰+⎰=-x x Q C y x x p x x p .(6)对于Bernoulli 方程n y x Q y x p y )()(=+' (1,0≠n ),只需作变换n y z -=1,即可化为一阶线性方程)()1()()1(d d x Q n z x p n xz -=-+. 3.高阶方程的降阶解法以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:(1)对于方程)()(x f y n =,令)1(-=n y z 化为)(x f z =';在实际求解中,只要对方程连续积分n 次,即得其通解n n n n C x C x C x x f x y ++++=--⎰⎰111d )(d Λ4434421Λ次. (2)对于),(y x f y '=''(不显含y ),作变换y P '=,则P y '='',于是 化一阶方程),(P x f P =';显然对),()1()(-=n n y x f y 可作类似处理.(3)对于),(y y f y '=''(不显含x ),作变换y P '=,则y P P y d d ='',于是可化为一阶方程),(d d P y f yP P =.4.线性微分方程解的结构(1)线性齐次微分方程解的性质对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解.(2)线性齐次微分方程解的结构若n y y y ,,,21Λ是n 阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为n n y c y c y c Y +++=Λ2211.(3)线性非齐次微分方程解的结构线性非齐次微分方程的通解y ,等于其对应的齐次方程的通解Y 与其自身的一个特解*y 之和,即*+=y Y y .(4)线性非齐次微分方程的叠加原理1ο设*k y (m k ,,2,1Λ=)是方程)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y k n n n n =+'+++--Λ的解,则∑=*mk k y 1是方程∑=--=+'+++mk k n n n n x f y x p y x p y x p y11)1(1)()()()()(Λ 的解. 2ο若实变量的复值函数)(i )(x v x u +是方程=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n )()()(1)1(1)(Λ)(i )(21x f x f + 的解,则此解的实部)(x u 是方程)()()()(11)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--Λ的解;虚部)(x v 是方程)()()()(21)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--Λ的解.(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.5.常系数线性微分方程的解法(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”1ο写出01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n Λ的特征方程0111=++++--n n n n p r p r p r Λ，并求特征根；2ο根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见(2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解ο1对于x m x P x f λe )()(=,应设特解x m k x Q x y λe )(=*x m m m m k a x a x a x a x λ)e (1110++++=--Λ, 其中k 等于λ为特征根的重数(n k ≤≤0),01,,,m a a a L 是待定系数.将*y 代入原方程,可定出01,,,m a a a L ,从而求得*y .ο2对于()e [()cos sin ]x l s f x P x x P x λωω=+ (0≠ω),应设特解 ]sin )(cos )([e x x T x x R x y m m x k ωωλ+=*,其中k 等于i μλω=+为特征根的重数(20n k ≤≤),)(),(x T x R m m 是待定的},max{s l m =次多项式.将*y 代原方程,即可定出)(),(x T x R m m ,从而求得*y .或因为()e [()cos ()sin ]x l s f x P x x P x x λωω=+Re e (()i ())(cos isin )x l s Px P x x x λωω⎡⎤=-+⎣⎦ (i )Re ()e x m Q x λω+⎡⎤=⎣⎦（其中()m Q x ()i ()l s P x P x =-是max{,}m l s =次的复系数多项式）.对于方程()(1)11n n n n y p y p y p y --'++++=L (i )()e x m Q x λω+可设其特解 (i )()e k x m Y x Z x λω*+=，（()m Z x 是m 次待定复系数多项式，k 等于i μλω=+为特征根的重数），将(i )()e k x m Y x Z x λω*+=代入方程()(1)11n n n n y p y p y p y --'++++=L (i )()e x m Q x λω+中，可定出()m Z x ，于是(i )()e k x m Y x Z x λω*+=，从而原方程的特解Re y Y **=.3o 特例(i )()(1)(i )11()e ()cos ()e ()sin ()e ,()e x x l l x l n n x n n l f x P x x f x P x x Y Z x y p y p y p y P x λλλωλωωω*+-+-==='++++=L 当或时,设将其代入,求得,Re Im .Y y Y y Y *****==则原方程的一个特解或6.Euler 方程的解法(1) 形如)(1)1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++---Λ的线性变系数微分方程称为Euler 方程,是一种可化为常系数的变系数微分方程.(2) 解法只需作变换 t x e =,即x t ln =,即可将其化为常系数线性微分方程.若引入微分算子td d D =,则 y y x D =',y y x )1D(D 2-='',,Λy n y x n n )1(D )1D(D )(+--=Λ, 于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.7. 应用常微分方程解决实际问题的一般步骤(1) 在适当的坐标系下,设出未知函数)(x y y =,据已知条件写出相关的量;(2) 根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程;(3) 提出定解条件;(4) 求定解问题的解;(5) 分析解的性质，用实践检验解的正确性.二.课堂练习(除补充题外,均选自复习题12)1.填空题(1)已知2e 1x y =及2e 2x x y =是方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解,则其通解为 )(e 212x C C x +.解:因2e 1x y =,2e 2x x y =都是解,且线性无关,故)(e 212x C C x +是通解.(2)设一质量为m 的物体,在空气中由静止开始下落 .若空气阻力为v k R =,则其下落的距离s 所满足的微分方程是s g m ''=, 初始条件是 (0)0,(0)0 s s '==. 解:因为ma F =,而v k mg F -=,s v '=,s a ''=,故得方程s m s k mg ''='-,化简得g s mk ='+''s ; 在如图所示的坐标系下,初始条件为 0)0(,0)0(='=s s . (3)微分方程x x y y y e 62=+'-''的特解*y 的形式为 )e ( 2x b ax x +.解: 因为特征方程为0122=+-r r ,121==r r ,而1=λ是二重特征根,故应设x b ax x y )e (2+=*.(4)若x x x x y x y x y 522322221e e ,e ,++=+==都是线性非齐次微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解,则其通解为25212 e e x x C C x ++.解:由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可O s (0)s ()s t知,x y y Y 2121e =-=, x y y Y 5232e =-=都是对应的齐次方程的解,且线性无关,故对应的齐次方程的通解为x x C C Y C Y C Y 52212211e e +=+=;由非齐次方程解的结构得其通解252211e e x C C y Y y x x ++=+=.(5)(补充)已知)(x f 满足⎰+=x t t f t x xf 0 2d )(1)(,则221() e x f x x =.解:两边对x 求导得)()()(2x f x x f x x f ='+,整理得()1()()f x x f x x'=-, 分离变量后积分得c x x x f ln ln 2)(ln 2+-=,即22e )(x x c x f =,0≠x ; 又当1=x 时,)1e (1d e 1)1(211 0 222-+=+=⎰c t t c t f t ,即c c c -+=2121e 1e 故1=c ,所以22e 1)(x xx f =. (6)(补充)设)(x f 有连续导数,且1)0(=f .若曲线积分⎰-+L y x x f x x yf 2d ])([d )(与路径无关,则 22e 3 )(--=x x f x .解: 记2)(),(x x f Q x yf P -==.因为积分与路径无关,故有xQ y P ∂∂=∂∂,即x x f x f 2)()(-'=,亦即x x f x f 2)()(=-'.它的通解为 ]d e 2[e ]d e 2[e )(d d c x x c x x x f x x x x +=+⎰⎰=⎰⎰--x c x e 22+--=. 由1)0(=f 得3=c ,于是22e 3)(--=x x f x .2π4(),=()1(0)π,(1) πe .y x y y x x y o x x y y αα∆=∆=+∆+==(7)(补充)已知在任意点处的增量其中， 则解：由题设知，2d .d 1y y x x =+ arctan 12π4d d ln arctan ,e .1(0)ππ,(1)πe .x y xy x C y C y xy C y ==+=+===分离变量得，积分得即由得故2.选择题(1)函数221e c x c y +=(21,c c 为任意常数)是微分方程02=-'-''y y y 的(A) 通解. (B)特解.(C)不是解. (D)解,但不是通解,也不是特解.答( D )解:因为221e c x c y +=x c 2e =,经检验是解,但含有任意常数,故不是特解,又因为只含一个独立的任意常数,故也不是通解.(2)微分方程x y y 2sin 222='-'',其特解形式为=*y(A)x C x B A 4sin 4cos ++. (B)x Cx x Bx A 4sin 4cos ++.(C)x C x B Ax 4sin 4cos ++. (D)x Cx x Bx Ax 4sin 4cos ++. 答( C)解:x y y 2sin 222='-''1cos 4x =-,特解为***+=21y y y .因为022=-r r ,2,021==r r ,而0=λ是特征方程的单根,故应设Ax y =*1;而i 4i =+ωλ不是特征方程根,故应设x C x B y 4sin 4cos 2+=*,因此***+=21y y y x C x B Ax 4sin 4cos ++=.(3)微分方程x y x y y x d )45(d )2(+=-是(A)一阶线性齐次方程. (B)一阶线性非齐次方程.(C)齐次方程. (D)可分离变量方程.答( C )解:原方程可化为x yx y yx y x x y -⋅+=-+=245245d d .(4)(补充)具有特解x y -=e 1,x x y -=e 22, x y e 33=的三阶常系数线性齐次微分方程是(A)0=+'-''-'''y y y y . (B)0=-'-''+'''y y y y . (C)0=-'+''-'''y y y y . (D)0=+'-''+'''y y y y .答( B )解: 由方程的特解可知,其特征根为1,1321=-==r r r ,于是特征方程为0)1()1(2=-+r r 即0123=--+r r r ,故方程为0=-'-''+'''y y y y .(5)(补充)方程09=+''y y 通过点)1,(-π且在该点处与直线1πy x +=-相切的积分曲线为(A)x C x C y 3sin 3cos 21+=. (B)x C x y 3sin 3cos 2+=. (C)x y 3cos =. (D)x x y 3sin 313cos -=.答( D) 解:因为092=+r ,i 32,1±=r ,故通解为x C x C y 3sin 3cos 21+=.由初始条件1)(,1)(='-=ππy y 得31,121-==C C ,所以所求积分曲线为 x x y 3sin 313cos -=.(6)(补充) 方程x y y x sin 3e )4(+=-的特解应设为 (A)x B A x sin e +.(B)x C x B A x sin cos e ++.(C)x C x B Ax x sin cos e ++. (D))sin cos e (x C x B A x x ++.答(D)解:对应的齐次方程的特征方程为014=-r ,特征根为 i ,i ,1 ,14321-==-==r r r r .令)()(sin 3e )(21x f x f x x f x +=+=.对于x x f e )(1=,因1=λ是 单特征根,故设x Ax y e 1=*;对于x x f sin 3)(2=,因i i μλω=+=是单特征 根,故设)sin cos (2x C x B x y +=*；从而)sin cos e (21x C x B A x y y y x ++=+=***. (7)(06考研)函数212e e e x x x y C C x -=++满足的一个微分方程是 (A)23e x y y y x '''--=. (B) 23e x y y y '''--=. (C) 23e x y y y x '''+-=. (D) 23e x y y y '''+-=.答(D)解:因为121,2r r ==-，即特征方程为220r r +-=，故排除（A ）、 （B ）.由1λ=是特征方程的单根，知()e x f x A =，故排除（C ）. 3.求下列方程的通解(2) ()x y y x y -=ln 2d d ; 解:方程化为y yx y y x ln 22d d =+,是一阶线性方程.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C y y y x y y yyd e ln 2e d 2d 12⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=⎰C y y y y y d ln 2122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-=C y y y y 22241ln 2121221ln -+-=Cy y .(5)0d d d d 22=+-++y x yx x y y y x x ;解:原方程可化为()()0arctan d 21d 21d 22=⎪⎭⎫⎝⎛++y x y x ,故通解为C yx y x =++arctan 212122. (10) y x x y +=+'2.解:设y x u +=2,即y x u +=22,则x xu u x y2d d 2d d -=.代入原方程得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=121d d u x x u .此为齐次方程,再设xu v =,则x v x v x u d d d d +=,故方程化为v v x v x v 21d d +=+.分离变量为 x x v v v v d 112d 22-=--，两边积分得 ()()()12ln ln 1ln 3112ln 3112ln 21C x v v v v +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---.代回原变量并整理得 ()C xy x y x ++=+23332.4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)()0d 2d 223=-+y xy x x y ,11==x y;解:原方程化为()2232d d x xy y x y -=,即2322d d x yx y y x -=-.令1-=x Z ,得322d d yZ y y Z =+.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C y y Z y yyyd e 2ed 23 d 2()C y y +=ln 212,即 ()C y y x +=ln 2112,故通解为()C y x y +=ln 22.由11==x y,得1=C ,所以特解为 ()1ln 22+=y x y . (3)02sin 2=-''y y ,()20π=y ,()10='y ;解:令y P '=,则y P P y d d ='',原方程化为 y y yP P cos sin 2d d 2=,即y y P P sin d sin 2d 2=.积分得 C y P +=22sin .由()20π=y ,()10='y ,得0=C ,故y P y sin =='.解之得C x y+=2tan ln .由()20π=y ,0=C .故特解为 x y e arctan 2=.5(补充).设x y e =是微分方程x y x p y x =+')(的一个解,求此微分方程满足条件0)2(ln =y 的特解.解:将x y e =代入微分方程得)(e x p x x +x x =e ,解之得x x x p x -=-e )(,于是此微分方程为x y x x y x x =-+'-)e (,即1)1e (=-+'-y y x .其对应的齐次方程的通解为xxC Y +-=ee ,于是此微分方程的通解为xxx C y e ee +=+-.由0)2(ln =y 得21e--=C ,故特解为21e ee -+--=x xx y .6(补充).设)(:x y y L =是一条向上凸的连续曲线,其上任意一点),(y x 处的曲率为211y '+,且此曲线上点)1,0(处的切线方程为1+=x y ,求该曲线的方程.解:因为曲线向上凸,故0<''y ,于是有='+''-32)1(y y 211y '+,化简得二阶方程)1(2y y '+-=''.令y P '=,则P y '='',故方程化为)1(2P P +-='.分离变量后积分得x C P -=1arctan .由题设有1)0()0(='=y P ,于是可定出41π=C ,所以πtan()4y P x '==-,再积分得2πln cos()4y x C =-+.由1)0(=y 得2ln 2112+=C ,因此该曲线:L π1ln cos()1ln 242y x =-++. 7(补充).某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V ,流入湖泊内不含A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V .已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过Vm 0.问至少需经过多少年,湖泊中污物A 的含量降至0m 以内?(注:设湖水中A 的浓度是均匀的.)解:设2000年初(记此时0=t )开始,第t 年湖泊中污物A 的总量为m ,浓度为V m ,则在时间间隔]d ,[t t t +内,排入湖泊中污染物A 的量为t mt V V m d 6d 600=⋅,流出湖泊的水中A 的量为t m t V V m d 3d 3=⋅,因而在此间隔内湖泊中污染物A 的改变量为t m mm d )36(d 0-=,005m m t ==.分离变量解得30e 2t C m m --=,由005m m t ==得029m C -=,故)e 91(230t m m -+=.令0m m =,解得 3ln 6=t ,即至少需经过3ln 6年湖泊中污物A 的含量降至0m 以内.8.求下列Euler 方程的通解(2)x y y x y x =+'-''642.解:设tx e =,方程化为 t y t yty e 6d d 5d d 22=+-.………………….（*）0652=+-r r ⇒21=r ,32=r . t t C C y 32 21e e +=. 设t a y e =*,代入方程（*），得 ()t t a a a e 65e =+-.由此定出21=a ,故ty e 21=*.从而原方程的通解为 x x C x C y 213221++=.9.设对于半空间0>x 内任意的光滑有向封闭曲面S , 都有0d d e d d )(d d )(2=--⎰⎰y x z x z x xyf z y x xf xS， 其中()x f 在()+∞,0内具有连续的一阶导数,且()1lim 0=+→x f x ,求()x f .解:由曲面积分与曲面无关的条件0=∂∂+∂∂+∂∂zRy Q x P ,有 ()()()0e 2=--+'x x xf x f x f x ,即()()x x x f x x f 2e 111=⎪⎭⎫ ⎝⎛--'.所以 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-C x x x f x x x x x d e e 1e d 112d 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅=⎰-C x x x x x x x d e e 11e 2()C xx x +=e e 1.由()1lim 0=+→x f x ,即()1e e 1lim 0=++→C xx x x ,可求出1-=C ,故 ()()1e e 1-=x x xx f .10(补充).设函数)0)((≥x x y 二阶可导且1)0(,0)(=>'y x y .过曲线)(x y y =上任意一点),(y x P ,作该曲线的切线及Ox 轴的垂线,上述二直线与Ox 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间] ,0[x 上以)(x y y =为曲边的曲边梯形面积记为2S ,并设212S S -恒为1,求此曲线)(x y y =的方程.解:曲线)(x y y =上点),(y x P 处的切线方程为))((x X x y y Y -'=-.切线与Ox 轴的交点为)(0 ,)()(x y x y x '-.由1)0(,0)(=>'y x y ,知0)(>x y ,于是211()()()2()2()y x y x S y x x x y x y x ⎛⎫=--= ⎪''⎝⎭;而⎰=x t t y S 0 2d )( (0≥x );故由条件1221≡-S S 得1d )( 02=-'⎰x t t y y y ,由此还可得1)0(='y .将1d )( 02=-'⎰x t t y y y 两边对x 求导并整理得2)(y y y '=''.令P y =',则y P P y d d ='',于是方程化为P yP y =d d ,解之得y C P y 1==',由1)0(='y 和1)0(=y 得11=C ,于是y y =',从而x C y e 2=.再由1)0(=y 得12=C ,故所求曲线方程为x y e =.11(06考研).设函数()f u 在(0, )+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式22220zz x y ∂∂+=∂∂. （1） 验证()()0f u f u u'''+=； （2） 若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. 解: （1）由(),z f u u ==()2222223222()()()y z z x f u f u f u x x x y x y ∂∂''''==⋅+⋅∂∂++，()2222223222()()()y z z x f u f u f u y y x y x y ∂∂''''==⋅+⋅∂∂++. 因为22220z z x y ∂∂+=∂∂，所以有()0f u ''+=，即 ()()0f u f u u'''+=. （2）由（1）得11()f u C u '=+，由(1)1f '=知10C =，即1()f u u'=；于是得2()ln f u u C =+，由(1)0f =，得20C =，所以()ln f u u =.12(07考研).解初值问题2(),(1)1,(1) 1.y x y y y y ''''⎧+=⎨'==⎩解：令2,,(),y P y P P x P P '''''==+=则原方程化为即d 1.d x x P P P-=于是()11d d 111e e d d ().PPPP x C P P P C P P C P ---⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由11d (1)1,0,d x yP y C P x='=====得且即解得322221,(1)1,33y x C y C =+==又由得故3221.33y x =+12（07考研）. 设幂级数0n n n a x ∞=∑在(, )-∞+∞内收敛，其和函数()y x 满足 240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--=== （I ）证明22,1,2,;1n n a a n n +==+L（II ）求()y x 的表达式.解：（I ）对0n n n y a x ∞==∑求一、二阶导数，得1212,(1),n n n n n n y na xy n n a x ∞∞--=='''==-∑∑代入240y xy y '''--=并整理得201(1)(2)240.nnnn n nn n n n n ax na x a x ∞∞∞+===++--=∑∑∑ 于是 202240,(1)(2)2(2)0,1,2,,n n a a n n a n a n +-=⎧⎨++-+==⎩L从而有 22,1,2,.1n n a a n n +==+L（II ）因为01(0)0,(0)1,y a y a '====故 20,0,1,2;k a k ==L212121*********,0,1,2,.21!!k k k k a a a a a k k k k k k k +---=======-L L所以22212121000()e ,(, ).!!k k nk x n k n k k k x x y a x a xx x x k k ∞∞∞∞+++=========∈-∞+∞∑∑∑∑213().()()3()6,()1().f x xf x f x x y f x x x D x f x '-=-==补充设满足且由曲线与 直线及轴所围的平面图形绕轴旋转一周得到的旋 转体的体积最小,求33d d 3232.()36,1()e6e d 6d 6.xx xx f x y y x x y f x C x x x C x x Cx x ---⎰⎰'-=-⎡⎤⎡⎤==+-=-⎰⎰⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+满足的方程解可写为 其通解：()112322001265402()π()d π(6)d π(1236)d 36 π2.75V C f x x Cx x x C x Cx x xC C ==+⎰⎰=++⎰=++旋转体的体积为()2322π()π207,()0,777.()67.C V C C V C C f x x x '''=+==-=>=-=-令，得惟一驻点且故是极小值点，也是最小值点于是。

第 11 章 常微分方程习题课一 .内容提要1.基本概念含有一元未知函数 y( x) ( 即待求函数 )的导数或微分的方程 ,称 为常微分方程 ;其中出现的 y( x) 的最高阶导数的阶数称为此微分方 程的阶; 使微分方程在区间 I 上成为恒等式的函数 y( x) 称为此微分方程在 I 上的解 ;显然一个微分方程若有解 ,则必有无穷多解 ;若 n 阶微分方程的解中含有 n 个不可合并的任意常数 ,则称其为此微分方程的 通解 ;利用 n 个独立的附加条件 (称为定解条件 )定出了所有任意常数的解称为 特解 ;微分方程连同定解条件一起 ,合称为一个定解问题 ;当定解条件是初始条件(给出 y, y ,, y ( n 1) 在同一点x 0 处的值 )时 ,称为初值问题 .2.一阶微分方程 y f ( x, y) 的解法(1)对于可分离变量方程dy(x) ( y) ,dx先分离变量 (当 ( y) 0 时)得 dy(x)dx ,ψ( y)再两边积分即得通解dy (x)dx C .( y)dyf y ,x(2)对于齐次方程 dx作变量代换y,即 yxu ,可将其化为可分离变量的方程 ,分x u 离变量后 ,积分得dudx C 再以y代替 u 便得到齐次方f (u) uxx程的通解 .(3)形如dyf ( ax by c) 的方程 , dxa 1 xb 1 yc 1 ①若 c,c 1 均为零 ,则是齐次方程 ;②若 c,c 1 不全为零 ,则不是齐次方程 ,但当ab k 时 ,只要作变换 va 1xb 1 y ,即可化为可分离a 1b 1变量的方程dvb 1 f (kvc ) a 1 ;dxv c 1当 a b时,只要作平移变换Xx x 0, 即a 1b 1 Y y y 0 x X x 0 ( 其中 (x 0 , y 0 ) 是线性方程组 ax byc 0 的惟一y Y y 0 a 1 x b 1 y c 1 0解 ),便可化为齐次方程dYf ( aX bY) .dXa 1 Xb 1Y(4)全微分方程若 方 程 P(x, y)dx Q ( x, y) dy 0 之 左 端 是 某 个 二 元 函 数u u( x, y) 的全微分 ,则称其为 全微分方程 ,显然 u( x, y)C 即为通解 ,而原函数 u( x, y) 可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得.通常用充要条件 PQ 来判定 P( x, y)dx Q(x, y)dy 0 是否yx为全微分方程.对于某些不是全微分方程的P( x, y)dx Q(x, y)dy0 ,可乘上一个函数 (, x, y) 使之成为全微分方程P(x, y)dx Q (x, y)dy 0２/19(注意到当 ( x, y) 0 时 P( x, y)dx Q (x, y)dy0 与原方程同解 ),并称(, x, y) 为积分因子 ;一般说来 ,求积分因子比较困难 ,但有时可通过观察得到 .(5)一阶线性微分方程 yp(x) y Q( x) 的通解公式当 Q( x) 不恒为零时 ,称其为一阶线性非齐次微分方程 ;当 Q(x) 恒为零 ,时,即 y p( x) y0 称为一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的方程 ,易知其通解为 Y Cep ( x )dx;由此用“常数变易法”即可得到非齐次微分方程的通解y ep ( x)dx(CQ(x)e p( x)d x dx ).(6) 对于 Bernoulli 方程 yp( x) y Q (x) y n ( n 0,1 ),只需作变换z y1 n,即可化为一阶线性方程 dz (1 n) p( x)z (1 n)Q( x) .dx3.高阶方程的降阶解法以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:(1)对于方程 y (n) f ( x) ,令 z y (n 1) 化为 zf (x) ; 在实际求解中 ,只要对方程连续积分 n 次 ,即得其通解ydxf (x)dx C 1 x n1C n 1 x C n .n 次(2)对于 y f ( x, y ) (不显含 y ),作变换 P y ,则 y P ,于是化一阶方程 P f (x, P) ;显然对 y ( n)f (x, y ( n 1) ) 可作类似处理 .(3)对于 yf ( y, y ) (不显含 x ),作变换 Py ,则 yPdP,于是dy可化为一阶方程 PdPf ( y, P) .dy4.线性微分方程解的结构(1)线性齐次微分方程解的性质对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解 .(2)线性齐次微分方程解的结构若 y1 , y2 , , y n是 n 阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为Y c1 y1c2 y2c n y n.(3)线性非齐次微分方程解的结构线性非齐次微分方程的通解y ,等于其对应的齐次方程的通解Y 与其自身的一个特解 y 之和 ,即y Y y .(4)线性非齐次微分方程的叠加原理1 设 y k( k 1,2, , m )是方程y ( n ) p1 (x) y( n 1) p n 1 (x) y p n ( x) y f k ( x)m的解 ,则y k 是方程k 1y ( n) p1 ( x) y (n 1) mp n 1 (x) y p n ( x) y f k (x)k 1的解 .2 若实变量的复值函数 u( x) i v( x) 是方程y (n) p1 ( x) y (n 1) p n 1 (x) y p n ( x) y f 1 ( x) if 2 ( x)的解 ,则此解的实部u( x)是方程y ( n)p1 ( x) y( n 1)p n 1 (x) y p n (x) y f1 ( x)的解 ;虚部v(x)是方程y ( n )p1 (x) y( n 1)p n 1 (x) y p n ( x) y f 2 ( x)的解 .(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.5.常系数线性微分方程的解法(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”1 写出y(n ) p1y( n 1) p n 1 y p n y 0 的特征方程r n p1 r n 1 p n 1 r p n 0 ，并求特征根；2 根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见下表 )特征根 r 为给出通解中的单实根 1 项: Ce rxk 重实根k 项: e rx(C1 C 2 x C k x k 1 )一对单复根 2 项: e x(C1cos x C 2 sin x)r1,2 i一对 k 重复根 2 k 项 : e x[( C1 C2 x C k x k 1 ) cos xr1,2 i(D1 D 2 x D k x k 1 ) sin x](2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解1对于 f ( x) P m (x)e x,应设特解y x k Q m ( x)e x x k ( a0 x m a1 x m 1a m 1 x a m )e x,其中 k 等于为特征根的重数( 0 k n ), a0, a1,L , a m是待定系数 .将 y 代入原方程,可定出 a0, a1,L , a m,从而求得 y .2 对于 f ( x) e x [ P l ( x) cos x P s sin x] (0 ),应设特解yx k e x [ R m (x) cos x T m ( x) sin x] ,其中 k 等于i 为特征根的重数 ( 0 kn), R m ( x),T m ( x) 是2待 定 的 m max{ l , s} 次 多 项 式 . 将 y 代原方程,即可定出R m ( x),T m ( x) ,从而求得 y .或因为 f ( x) e x [ P l ( x) cos x P s (x)sin x]Re e x (P l (x) iP s ( x))(cos x isin x)Re Q m ( x)e ( i ) x（其中 Q m ( x) P l ( x) iP s ( x) 是 m max{ l , s} 次的复系数多项式） .对于方程y ( n)1 ( n 1)L p n 1y nyQ m ( x)e (i ) xp yp可设其特解Yx k Z m ( x)e (i ) x，（ Z m ( x) 是 m 次待定复系数多项式， k 等于 i 为特征根的重数），将 Yx k Z m (x)e ( i ) x代入方程y ( n )p 1 y ( n 1) Lp n 1 y p n y Q m ( x)e (i ) x中，可定出 Z m (x) ，于是 Yx k Z m ( x)e ( i ) x ，从而原方程的特解y Re Y .3o特例当 f ( x) e x P l ( x)cos x 或f (x) e x P l ( x)sin x 时,设Y Z l ( x)e ( i ) x , 将其代入y ( n) p 1 y ( n 1) Lp n 1 yp n y P l ( x)e ( i ) x ,６/19求得 Y ,则原方程的一个特解y ReY 或 y ImY .6.Euler 方程的解法(1)形如x n y (n )p1 x n 1 y( n 1)p n 1xy p n y f (x)的线性变系数微分方程称为 Euler 方程 ,是一种可化为常系数的变系数微分方程 .(2)解法只需作变换x e t,即t ln x ,即可将其化为常系数线性微分方程 .d ,则若引入微分算子 Ddtxy D y , x2 y D(D 1) y ,, x n y (n )D(D 1) (D n1) y , 于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.7.应用常微分方程解决实际问题的一般步骤(1)在适当的坐标系下 ,设出未知函数y y( x) ,据已知条件写出相关的量 ;(2)根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程 ;(3)提出定解条件 ;(4)求定解问题的解 ;(5)分析解的性质，用实践检验解的正确性 .二 .课堂练习 (除补充题外 ,均选自复习题12)1.填空题22(1)已知 y 1 e x 及 y 2xe x 是方程 y4xy( 4x 2 2) y0 的解 ,2则其通解为e x (C 1 C 2 x) .222解 : 因 y 1e x , y 2 xe x 都是解 ,且线性无关 ,故 e x (C 1 C 2 x) 是通解 .(2)设一质量为 m 的物体 ,在空气中由静止开始下落 .若空气阻力为 R kv,则其下落的距离 s所满足的微分方程是 sksg ,m 初始条件是 s(0) 0, s (0) 0 .解 : 因为 F ma 而 F mg k v v s , a s , 故得方程 O s(0), ,mg k sms ,化简得 sk sg ;s(t )m在如图所示的坐标系下 ,初始条件为 s( 0)0, s (0) 0.s(3) 微 分 方 程 y 2 y y 6xe x 的 特 解 y的形式为x 2 (axb)e x .解 : 因为特征方程为 r 2 2r 1 0 , r 1 r 21, 而 1 是二重特征根 ,故应设 yx 2 (ax b)e x .(4)若 y 1x 2 , y 2x 2e 2 x , y 3 x 2e 2xe 5x 都是线性非齐次微分 方 程 yp( x) y q( x) yf (x)的解,则其通解为C 1e 2x C 2e 5xx 2 .解:由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可知 ,Y 1y 2 y 1 e 2 x , Y 2 y 3 y 2 e 5 x 都是对应的齐次方程的解,且 线 性 无 关 ,故 对 应 的 齐次方 程 的 通 解 为Y C 1Y 1 C 2 Y 2 C 1e 2 xC 2 e 5 x ; 由非齐次方程解的结构得其通解y Y y 1C 1e 2 x C 2e 5 x x 2 .(5)(补充 )已知 f ( x) 满足 xf ( x)1x 2f (t) dt ,则 f (x)x2t 1 e 2 .x解 :两边对 x 求导得 f ( x)xf (x) x 2 f (x) ,整理得f ( x)x1f ( x) ,xx 2ln c ,即 f (x)x 2分离变量后积分得 ln f ( x)ln x ce 2, x 0 ;2xx 1时(1) 11t 2 1(e 111又当 , f2c e 2d tc 21) ,即 ce 21 ce 2ct1 ,所以 f (x)x 2故 c 1 e 2 .x(6)( 补 充 ) 设 f ( x) 有 连 续 导 数 , 且 f (0) 1.若曲线积分 Lyf (x)dx[ f ( x) x 2 ]dy 与路径无关 ,则 f ( x)3e x 2x 2 .解 : 记 P yf ( x), Qf ( x) x 2.因为积分与路径无关,故有PQ,亦即.它的通解为 yx ,即f ( x) f (x) 2xf ( x) f ( x)2xf ( x) dxdxc] e x [ 2xe xdx c]2x2 ce x .e[ 2 xe dx由 f (0) 1 得 c 3 ,于是 f (x)3e x 2x 2 .(7)( 补充 ) 已知 yy( x)在任意点 x 处的增量 yy x , 其中 =o( x)，21xπy(0) π,则 y(1) πe 4.解：由题设知，dyy .dx1 x 2分离变量得dydx ，积分得 ln y arctanx C 1,即 y Ce arctan x .y1 x 2π由 y(0) π得C π,故y(1) πe 4 .2.选择题(1)函数 yc 1e 2x c 2 ( c 1 ,c 2 为任意常数 )是微分方程 yy 2 y 0的(A) 通解 .(B) 特解 .(C) 不是解 .(D) 解,但不是通解 ,也不是特解 .答(D)解 :因为 y c 1e 2 x c 2 ce 2x ,经检验是解 ,但含有任意常数 ,故不是特解 ,又因为只含一个独立的任意常数 ,故也不是通解 .(2)微分方程 y2 y2 sin 2 2x ,其特解形式为 y(A) A B cos4x C sin 4x . (B) A Bx cos4x Cx sin 4x .(C) Ax B cos4x C sin 4x .(D) Ax Bx cos4x Cxsin 4x .答( C) 解 : y 2 y 2 sin 2 2x1 cos4x 特解为 y y 1 y2 .,因为r 22 r0 , r1 0, r22 而 0 是特征方程的单根 , 故应, 设 y 1 Ax ; 而i4i 不是特征方程根,故应设y 2B cos 4xC sin 4x ,因此 y y 1 y 2Ax B cos4 x C sin 4x .(3)微分方程 (2 x y)dy (5x 4y)dx 是(A) 一阶线性齐次方程 .(B) 一阶线性非齐次方程 .(C) 齐次方程 .(D) 可分离变量方程 .答(C)解 :原方程可化为dy5x 4 y5 4 yx . dx 2x y y2x(4)(补充 )具有特解y1 e x, y2 2xe x, y3 3e x的三阶常系数线性齐次微分方程是(A) y y y y 0 . (B) y y y y 0 .(C) y y y y 0 . (D) y y y y 0 .答(B) 解 : 由方程的特解可知 ,其特征根为r1 r2 1, r3 1 ,于是特征方程为 ( r 1)2 ( r 1) 0 即 r 3 r 2 r 1 0 ,故方程为y y y y0 .(5)( 补充 ) 方程y9 y 0 通过点 ( , 1) 且在该点处与直线y 1 xπ相切的积分曲线为(A) y C1 cos3x C2 sin3x . (B) y cos3x C2 sin 3x .(C) y cos3x. (D) y cos3x 1sin3x .3答( D)解 : 因为r2 9 0 , r1, 2 3i ,故通解为 y C 1 cos3x C2 sin3x .由初始条件 y( ) 1, y ( ) 1得C1 1,C2 1,所以所求积分曲线3为y x 1sin 3x.cos3 3(6)(补充 ) 方程 y( 4 ) y e x 3sin x 的特解应设为(A) Ae x B sin x . (B) Ae x B cos x C sin x .(C) Axe xB cos xC sin x .(D) x(Ae xB cos xC sin x) .答(D)解 :对应的齐次方程的特征方程为 r 4 1 0 ,特征根为r 1 1, r 2 1, r 3 i, r 4 i .令 f ( x)e x 3sin xf 1 (x) f 2 (x) .对于 f 1 ( x) e x ,因1 是单特征根 ,故设 y 1 Axe x ; 对于 f 2 ( x) 3sin x ,因ii 是单特征根 ,故设y 2 x(B cos x C sin x) ；从而 yy 1 y 2x( Ae xB cos xC sin x) .(7)(06 考研 )函数 y C 1e x C 2e 2x xe x 满足的一个微分方程是 (A) y y 2y 3xe x .(B) y y 2 y 3e x .(C) yy2y 3xe x .(D) yy 2 y 3e x .答(D)解 :因为 r 1 1,r 22 ，即特征方程为 r 2 r 2 0 ，故排除（ A ）、（B ）.由1是特征方程的单根，知 f (x)Ae x ，故排除（ C ） .3.求下列方程的通解(2)dyy x ; dx2 ln y解 :方程化为dx2 x2ln y 是一阶线性方程.dyy y ,1 22ln y y 2 dy Cx2 y d y2y dydy C1ey ln yey 2y1121 212.y 222 y ln y4y Cln y 2 Cy(5) xdx ydyydx xdy0 ;x2y2解 :原方程可化为 1 21 2 d arctanx,故通解为d 2 x d 2 yy1 x21 y2arctanxC .22y(10) y x x 2 y .解 :设 ux2y ,即 u2x2y ,则dy2u du2x .代入原方程得dx dxdu1 x 1 .此为齐次方程 ,再设 v u ,则 duv xdv,故方程化dx 2 ux dxdx为 v x dvv 1.分离变量为2vdv11dx ，两边积分得dx2v2v 2 v x1 ln 2v 2v 1 1ln 2v 1 1ln v 1 ln x ln C 1 .2 3 3代回原变量并整理得 x 2 3 x 3 3 xy C .y24.求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1) y 3dx 2 x 2xy 2 dy 0 , y x11 ;解 :原方程化为 y 3dx 2 xy 2x2,即dx2 x 2 x 2 .dydyyy 3令 Z x 1dZ 22,得 dy y Zy 3.221Ze yd y2 e y d ydyC 2 ln y C ,即 y 3y 21 12 ln y C 故通解为 y2x 2 ln y C .x y 2 ,由 y x 1 1 ,得 C 1 ,所以特解为 y 2 x 2 ln y 1 . (3) 2ysin 2 y 0 , y 02 , y 0 1 ;解:令 Py ,则 yPdP,原方程化为 2PdP2 sin y cos y ,即dydy2PdP 2 sin yd sin y .积分得 P 2sin 2 y C .由 y 0, y 0 1,sin y .解之得 ln tany2得 C 0 ,故 yPx C .由 y 0, C 0 .2arctan e x .22故特解为 y5(补充).设y e x是微分方程xy p(x) y x 的一个解,求此微分方程满足条件 y(ln 2)0 的特解.解 : 将y e x代入微分方程得 xe x p(x) e x x ,解之得p( x) xe x x ,于是此微分方程为 xy ( xe x x) y x ,即y (e x1) y 1 .x其对应的齐次方程的通解为Y Ce e x ,于是此微分方程的通Ce e x x e x 1解为 y . 由y(ln 2) 0得 C e 2,故特解为e x x1y e x e 2 .6(补充).设L : y y( x) 是一条向上凸的连续曲线,其上任意一点( x, y) 处的曲率为 1 ,且此曲线上点(0,1) 处的切线方程为1 y 2y x 1 ,求该曲线的方程.解 : 因为曲线向上凸 ,故y 0 ,于是有y 1 ,化简y 2 )3(1 1 y 2得二阶方程 y (1 y 2 ) .令 P y ,则 y P ,故方程化为P (1 P 2 ) .分离变量后积分得arctanP C1 x . 由题设有P(0) y (0) 1 ,于是可定出 C1 4 ,所以y P tan( 4x) ,再积分π得 y ln cos(πx) C2 . 由y(0) 1得C2 11ln 2 ,因此该曲线4 2L : y ln cos(πx) 11ln 2 .4 27(补充).某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 V ,流入湖泊内不含 A 的水量为 V ,流出湖泊的水量为 V.已知 6 6 31999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ,超过国家规定指标 .为了治理污染,从 2000 年初起 ,限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过m 0.V问至少需经过多少年 ,湖泊中污物 A 的含量降至 m 0 以内 ?(注 :设湖水中 A 的浓度是均匀的 .)解 :设 2000 年初 (记此时 t 0 )开始 ,第 t 年湖泊中污物 A 的总量为 m ,浓度为m,则在时间间隔 [t , t dt] 内,排入湖泊中污染物 A 的量为Vm 0 V dtm 0dt ,流出湖泊的水中 A 的量为 m Vdtmdt ,因而在 V6 6 V 3 3此间隔内湖泊中污染物 A 的改变量为 dm(mm)dt , m t 0 5m 0 .63m 0 t9m 0 , 故分 离 变 量 解 得 mCe 3, 由 m t 05m 0 得 C2t2mm 0(1 9e 3 ) .2令 m m 0 ,解得 t 6 ln 3 ,即至少需经过 6 ln 3 年湖泊中污物 A 的含量降至 m 0 以内 .8.求下列 Euler 方程的通解(2) x 2 y 4xy6 y x .解 :设 xt,方程化为d 2 y dy6 y edt 25r2dt5r 6 0r 1 2 , r 23 .设 y ae t ,代入方程（ * ），得 e ta1, 故 y 1e t.从而原方程的通解为 2 2e t . .（* ）y C 1e 2 t C 2e 3 t.a 5a 6ae t .由此定出y C 1 x 2C 2 x 31x .2设对于半空间 , 都有内任意的光滑有向封闭曲面xf ( x)dydz xyf ( x)dzdx e 2 x zdxdy 0 ，S其中 f x 在 0,内具有连续的一阶导数 , 且 limf x 1 , 求x 0f x .解 :由曲面积分与曲面无关的条件PQ R 0, 有xyzxf xf xxf xe2x0 , 即 f x1 1f x 1 e 2 x .xx11所以 f xe1 xdx2 x e 1 x dxC1 edxxe x 1 1 e 2x e x xdx C1 e x e x C .x x x由 lim f x 1, 即 lim 1 e x e xC 1 ,可求出 C1 ,故 x 0x 0 x f x 1 e x e x 1 .x10(补充 ).设函数 y( x)( x 0) 二阶可导且 y (x)0, y(0) 1 .过曲线yy(x) 上任意一点 P( x, y) ,作该曲线的切线及 Ox 轴的垂线 ,上述二直线与 Ox 轴所围成的三角形的面积记为S 1 ,区间 [0, x] 上以y y(x) 为曲边的曲边梯形面积记为 S 2,并设 2S 1 S 2 恒为 1,求此曲线 yy(x) 的方程 .解 :曲线 y y( x) 上点 P(x, y) 处的切线方程为 Y yy (x)( X x) . 切 线 与 Ox 轴 的 交 点 为 (xy( x), 0) . 由 y ( x)0, y(0) 1 , 知y ( x)y( x) 0 ,于是S 11y( x) xx y( x)2( x); 而 S 2y(t )dt ( x 0 ); 故由yx2y ( x)2 y (x)1得y2x条件 2S 1 S 2y(t )dt1,由此还可得 y (0)1.y将y 2x( y )2 .令 y P ,y(t )dt 1 两边对 x 求导并整理得 yyy则 yPdP, 于 是 方 程 化为 ydPP , 解之 得 y P C 1 y , 由dydyy (0) 1和 y( 0) 1得 C 1 1,于是 yy ,从而 yC 2e x .再由 y(0) 1得 C 2 1 ,故所求曲线方程为 ye x .11 .) 内具有二阶导数，且(06 考研 ) 设函数 f (u) 在 (0,zf ( x222z 2z0 .y) 满足等式2y 2x （ 1） 验证 f(u)f (u) ；u（ 2） 若 f (1) 0, f (1) 1，求函数 f (u) 的表达式 .解 : （1）由 zf (u),ux 2 y 2 ，得z f (u)x,2z f (u)x 2 f (u)y 2，x x 2y 2 x 2x 2y 2y 23x 2 2z f (u)y,2zf (u)y 2f (u)x 23.yx 2y 2 y 2x 2y 2y 2x 2 2 因为2z2z0 ，所以有 f(u)f (u) 0 ，即x 2 y 2x 2y 2f (u) f (u) 0 .u（2）由（1）得 f (u) 1C ，由f (1) 1 知 C0 ，即 f (u) 1 ；u11u于是得 f (u) ln u C 2 ，由 f (1) 0，得 C 2 0 ，所以 f (u)ln u .12(07 考研 ).解初值问题y ( x y 2 )y ,y(1)1, y (1)1.解：令 y P, 则 y P ,原方程化为 P (x P 2 ) P, 即dx1 x P. dP P1dPC1 1dPP C1 dP P(C1 P).于是 x e P Pe P dP由 P x 1 y (1) 1,得C1 0,且P x,即dyx. dx31,故 y 31 .解得 y 2 x2 C2 , 又由 y(1) 1得C2 2 x23 3 3 312（07 考研）. 设幂级数a n x n在 ( , ) 内收敛，其和n 0函数 y(x)满足y 2xy 4y 0, y(0) 0, y (0) 1.（I ）证明a n2 2 a n ,n 1,2,L ;n 1（I I ）求y( x)的表达式.解：（ I ）对yn 0a n x n求一、二阶导数，得y na n x n 1 , y n( n 1)a n x n 2 ,n 1 n 2代入 y 2xy 4 y 0并整理得( n 1)(n 2) a n 2 x n 2na n x n 4a n x n 0.n 0 n 1 n 0于是2a2 4a0 0,(n 1)(n 2)a n 2 2(n 2)a n 0, n 1,2,L ,从而有2a n 2 n 1an,n1,2,L .（ II ）因为y(0) a0 0, y (0) a1 1, 故a0, k 0,1,2L ;a2k 12 a2 k 11a 2k 11 1 a2 k 3L1 a 1 1 , k 0,1,2,L .2kkk k 1k ! k !所以ya n x na 2k 1x 2k 1x 2 k 1 ( x 2 )kx2).k 0k !xk!xe , x ( ,n 0k 0k 0补充 设 满足 xf ( x) 3 f (x) 6x 2 , 且由曲线y 与 13( ). f (x)f (x) 直线 x 1及 x 轴所围的平面图形 D 绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积最小 , 求 f (x).解：满足的方程 可写为. f (x)y3 y6x,x3 d x3dx31其通解xxyf (x) eC6xedxxC6 dxx 2Cx 3 6x 2 .旋转体的体积为V (C) π01 f 2 (x)dx π01 (Cx 3 6x 2 )2 dxπ01 (C 2 x 6 12Cx 5 36x 4 )dx π C 2 2C36 .75令 V (C) 2C 2 ，得惟一驻点 C 7, 且 V (C)2π 0, π 7 0 7 故 C 7是极小值点，也是最小值.点于是f (x)6x 2 7 x 3 .１９/19。

《常微分方程》课程复习提纲 ( 共8页 )一．计算方面----常微分方程主要可求解类型及解法要点1． 一阶方程（1） 一阶变量可分离方程：)()(y h x g dx dy = ；)(xydx dy ϕ= ；)(222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=ϕ （2） 一阶线性方程：)()(x q y x p dx dy += ；R)n , 0,1(n )()(∈≠+=n y x q y x p dxdy（3） 一阶恰当方程：)y M (0),(),(xNdy y x N dx y x M ∂∂=∂∂=+ 积分因子：))(y M)((0),(),(xN dy y x N dx y x M ∂∂=∂∂=+μμμμ 单变量积分因子：)(1x N N M dx d X Y ϕμμ≡-= ； )(1y MM N dy d YX ϕμμ≡-= 恰当方程解法：分项组合法（又称凑微分法）或者用偏积分法：)(),(),(y dx y x M y x U ϕ+=⎰yy)dx M(x,y)N(x, )(∂∂=⎰一dy y d ϕ（4） 一阶隐方程：),( , ),( )(y y f x y x f y '='=II 型解法：0),( , 0),( )(='='∏y y F y x F∏型解法：2．n 阶线性常系数方程（1） n 阶线性常系数齐次方程：),(a 0i 1111R t R x a dt dxa dt x d a dt x d n n n n n n ∈∈=++++--- 特征方程：0111=++++--n n n n a a a λλλ（2） n 阶线性常系数非齐次方程：),(a )(i 1111R t R t f x a dt dxa dt x d a dt x d n n n n n n ∈∈=++++--- 其特解的求法：a ） 常数变易法：令)()()()()(11*t x t c t x t c t x n n ++=则：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''---)(0)()()()()()(1)1()1(111t f t x t x t x t x t c t c n n n n n b) 待定系数法：t m e t p t f 0)()()(λ=I ，可待定t m k e t q t t x *0)()(λ=，其中0λ是k 重特征根 t n m e t t B t t A t f ] sin )( cos )([)( )(αββ+=∏，可待定tl l k e t t q t t p t t x *] sin )( cos )([)(αββ+=，其中0λ=i βα±是k 重特征根，l=max{m,n} c) 拉斯变换法：)()( 0)(,0)0( )()()()]([)*(*s A s F s B x s A s B s F t x L i ==+=时当3．高阶可降阶方程： 0),,,()()(=n k x xt F ，0),,,()(='n x x x F4．一阶n 维线性常系数方程组（1）．一阶n 维线性常系数齐次方程组：),(a )()()()(ij 111111R t R t x t x a a a a t x t x n nn n n n ∈∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''基解矩阵Ate t =Φ)(求法：a ） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t n n e e A λλλλ00e , 001At1则 b ） A 可相似对角化，即存在可逆阵P ，使得：1-Λ=P P A（特：A 具有n 个不等的特征根n λλ ,1） 则：1At0e1-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P e e P t t n λλ( 此种情况下()n t t tp e p e Pen λλ,,11 =∆也是方程的基解矩阵 ，但有可能是复的)c ）A 只有一个n 重特征根λ则：k n k kt EtAt t AtE A k t e ee e)(!10 λλλλ-==∑-=-d ） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t D t D s S e e D D A0e , 001At1则 其中： 的阶数为i i k i i n k ktEtt D t tD D nE D k teee ei i i I i i ,)(!10 λλλλ-==∑-=- *e ） A 不可相似对角化，也不属于上述其他类型，这时可用约当标准型法第一步, 对A E -λ作初等变换至对角阵，得约当阵J 第二步，求P 使得PJ AP =，第三步，1-=P Pe Jt Ate（2）．一阶n 维线性常系数非齐次方程组：),(a )()( )()()()(ij 1111111R t R t f t f t x t x a a a a t x t x n n nn n n n ∈∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'' 其特解的求法：常数变异法（特殊自由项可用待定系数法）令)()()()()()()(11*t C t t X t c t X t c t X n n Φ=++=则：)()()()()()()()()()(11111111t f t t f t f t x t x t x t x t c t c n nn n n n --Φ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''满足初始条件0)(0*=t X 的特解：⎰⎰--=ΦΦΦ=tt s t A Attt ds s f e e t ds s f s t t X )( 1*)( )( )()()()(⎰⎰--+=ΦΦΦ+Φ=tt s t A At At tt ds s f e C e e t ds s f s t C t t X )( 10)( )( )()()()()(通解## 练习：求解下列方程及方程组。

常微分方程复习资料一、 填空题1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 2．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 3．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．4．方程21d d y x y-=的常数解是 ．5．方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．6．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x xy)(d d ϕ=的任一非零解与x 轴相交． 7．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上 与x 轴相切．8．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y Λ在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．9．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ． 10．方程04=+''y y 的基本解组是 ．11．方程1d d +=y xy满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．12．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点． 二、单项选择题1．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 2．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 3．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性4．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ ）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 5．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．（A ）n 维 （B ）1+n 维 （C ）1-n 维 （D ）2+n 维 6. 方程2d d +-=y x xy（ ）奇解． （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个7．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ）．（A ）)()(21x x ϕϕ- （B ）)()(21x x ϕϕ+ （C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （D ）)()(21x x C ϕϕ+8．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy=初值解唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分9．方程y xy=d d 的奇解是（ ）． （A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y10. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（ ）个解．（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三11．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2 12．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解13．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f xy=的任一解的存在区间（ ）． （A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+ （C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定 三、计算题求下列方程的通解或通积分：1.y y xyln d d = 2. x y x y x y +-=2)(1d d 3. 5d d xy y xy += 4．0)d (d 222=-+y y x x xy5．3)(2y y x y '+'= 6. 21d d xxy x y += 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x9．0e =-'+'x y y 10．0)(2='+''y y y11. x y x y x y tan d d += 12. 1d d +=x y x y13. 0d d )e (2=+-y x x y x y14．1)ln (='-'y x y15．022=+'+''x y y y 16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=xty ty t x d d sin 1d d 18．求方程x y y e 21=-''的通解．19．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x ty y x tx43d d 2d d ．五、证明题1．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．2．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．3．设),(y x f 在整个xoy 平面上连续可微，且0),(0≡y x f ．求证：方程),(d d y x f xy= 的非常数解)(x y y =，当0x x →时，有0)(y x y →，那么0x 必为∞-或∞+． 4．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．5．在方程)()(d d y y f xyϕ=中，已知)(y f ，)(x ϕ'在),(∞+-∞上连续，且0)1(=±ϕ．求证：对任意0x 和10<y ，满足初值条件00)(y x y =的解)(x y 的存在区间必为),(∞+-∞．6．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切．参考答案一、填空题1．2 2．xx x e ,e 3．开 4．1±=y 5．xoy 平面 6．不能 7．不能 8．必要 9．1,1±=±=x y10．x x 2cos ,2sin 11．}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面） 12．没有二、单项选择题1.D2.B3.C4.A5.A6.A7.C8.D9.D 10.B 11.A 12.C 13.D三、计算题1．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得C x yy y+=⎰⎰d ln d 通积分为xC y e ln = 2．解 令xu y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x ux-= 分离变量，取不定积分，得C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ） 通积分为： Cx xyln arcsin = 3．解方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d 令 z y=-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得x z xz=--d d 41 通解为41e 4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C y x 4．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2即 C y y x =-3231 5．解 原方程是克莱洛方程，通解为 32C Cx y += 6．解 当0≠y 时，分离变量得x x x y y d 1d 2+= 等式两端积分得 C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为21x C y += 7．解 齐次方程的通解为xC y 3e -= 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e)(-=代入原方程，确定出 C x C x+=5e 51)( 原方程的通解为xC y 3e-=+x2e51 8．解 由于xNxy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x yx =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 9．解 令t y ='，则原方程的参数形式为⎩⎨⎧='+=ty t x te由基本关系式t t x y y td )e 1(d d +='= 积分有C t t y t +-+=)1(e 212得原方程参数形式通解⎪⎩⎪⎨⎧+-+=+=Ct t y t x tt)1(e 21e 2 10．解 原方程为恰当导数方程，可改写为 0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y +=11．解 令u x y =，则xux u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u xuxu tan d d +=+，u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C xxu u ln d tan d +=⎰⎰C x u ln ln sin ln +=即通积分为： Cx xy =sin12．解 齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为 x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为Cx y =+x x ln 13．解 积分因子为 21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d )(e C y x xy y x x =+-⎰⎰即 1e ,e C C C xyx+==+） 14．解 令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1由基本关系式y xy'=d d ，有 p p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='=p p)d 11(-=积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 1 15．解 原方程可化为0)(2='+'x y y于是 12d d C x xyy=+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= （6分） 16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 xC C y 521e += 因为0=α是特征根。

常微分方程常考知识点总结一、基本概念。

1. 常微分方程的定义。

- 含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。

例如：y' + 2y = 0，这里y = y(x)是未知函数，x是自变量，y'是y对x的一阶导数。

2. 阶数。

- 方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。

如y''+3y' - 2y = x是二阶常微分方程，因为方程中未知函数y的最高阶导数是二阶导数y''。

3. 解、通解、特解。

- 解：如果函数y = φ(x)代入常微分方程后，使方程成为恒等式，那么y=φ(x)就称为该常微分方程的解。

- 通解：如果常微分方程的解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。

例如，对于一阶常微分方程y'=y，其通解为y = Ce^x（C为任意常数）。

- 特解：在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为特解。

比如在y = Ce^x中，当C = 1时，y = e^x就是一个特解。

二、一阶常微分方程。

1. 可分离变量方程。

- 形式为g(y)dy = f(x)dx的方程称为可分离变量方程。

- 求解方法：将方程两边同时积分，即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，得到方程的通解。

例如，对于方程y'=(y)/(x)，可化为(dy)/(y)=(dx)/(x)，积分得lny=lnx+C，即y = Cx （C≠0）。

2. 齐次方程。

- 形式为y'=φ((y)/(x))的方程称为齐次方程。

- 求解方法：令u = (y)/(x)，则y = ux，y'=u + xu'，原方程化为u+xu'=φ(u)，这是一个可分离变量方程，按照可分离变量方程的方法求解。

例如，对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u=(y)/(x)，方程化为u + xu'=u+tan u，即xu'=tan u，然后分离变量求解。