12-13(二)微分几何期末复习题

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0lim(()())t f t g t →⋅= 0 ．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰， {}64r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰{}3,9,5-.4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t =212t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4()df g dt dt ⋅=⎰4cos 62-．13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ．16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角.21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+．24．设(,)r r u v =为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G → 是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ． 26．平面{}r(,),,0u v u v =的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 28．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =的交角的余弦值是200222200(1)(1)a x a y ++.29．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++． 30．双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++．31．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的平均曲率为 0 ．32．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或． 33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II 或．34.λ是主曲率的充要条件是0E L F MF MG Nλλλλ--=--．35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是22d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M vE F G F u G v M u N vL MN-++==++或． 36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则n n dn k dr k =-，其中是沿方向(d)的法曲率．37．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率．39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为d ds du dsdv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 . 二、单项选择题1．已知{}(),,t t r t e t e -=，则r (0)''为（ A ）．A. {}1,0,1；B. {}1,0,1-；C. {}0,1,1；D. {}1,0,1-. 2．已知()()r t r t λ'=，λ为常数，则()r t 为（ C ）．A. ta λ；B. a λ；C. t e a λ；D. e a λ. 其中a 为常向量．3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．A ．切线与固定方向成固定角；B ．副法线与固定方向成固定角；C ．主法线与固定方向垂直；D ．副法线与固定方向垂直． 4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A ．至少有两个；B ．只有一个；C ．只有两个；D ．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A ．测地线；B ．曲率线；C ．法截线；D ．渐近线．. 6. 已知{}r(,),,x y x y xy =，求(1,2)dr 为（ D ）．A. {}d ,d ,d 2d x y x y +；B. {}d d ,d d ,0x y x y +-；C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ；D. {}d ,d ,2d d x y x y +. 7．圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =的切线与z 轴（ C ）.A. 平行；B. 垂直；C. 有固定夹角4π； D. 有固定夹角3π. 8．设平面曲线:()C r r s =，s 为自然参数，αβ,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．A. α为单位向量；B. αα⊥；C. k αβ=-；D. k βατγ=-+. 9．直线的曲率为（ B ）．A. -1；B. 0；C. 1；D. 2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（ D ）．A. ()()k s s α=；B. ()()k s s ϕ=，ϕ为()s α的旋转角；C. ()k s αβ=-⋅；D. ()|()|k s r s =.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 12．下列论述不正确的是（ D ）．A. ,αβγ,均为单位向量；B. αβ⊥；C. βγ⊥；D. αβ. 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 14．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． A. 垂直； B. 平行； C. 成3π的角； D. 成4π的角. 15．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（ C ）．A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=；B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=；C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=；D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=.16．曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ B ）．A. 2135200x y z +-+=；B. 1834410x y z +--=；C. 756180x y z +--=；D. 1853160x y z +-+=.17．球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =的第一基本形式为（ D ）．A. 2222(d sin d )R u u v +；B. 2222(d cosh d )R u u v +；C. 2222(d sinh d )R u u v +；D. 2222(d cos d )R u u v +. 18．正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =的第一基本形式为（ C ）．A. 22d d u v +；B. 22d d u v -； C 222d d u R v +； D. 222d d u R v -.19．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（ B ）．A ． 21cosh cosh v v -；B ． 21sinh sinh v v -；C ． 12cosh cosh v v -；D ． 12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．A ． 0E =；B ． 0F =；C ． 0G =；D ． 0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．A ． 0；B ． 1；C ．2；D ． 3． 23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）．A ．B ．C ．D ． 24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．A ． 直线；B ． 平面曲线；C ． 抛物线；D ． 圆柱螺线． 三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数()r r t =具有固定长度，则()()r t r t '⊥. √2. 向量函数()r r t =具有固定方向，则()()r t r t '. √3. 向量函数()r t 关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t '. ×4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线. ×5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是圆柱螺线. √6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=z -线是渐近线. √7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √ 9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． × 16. 曲面上的直线一定是测地线．√17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. √ 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. √ 24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √ 四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解 旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量． 解 由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+， {}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+，在原点，有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==， 又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯，r r r r γ'''⨯='''⨯， 所以有22666333(0,,),(,,),(,,)3αβγ==-=-. 3．圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =，①求基本向量,,αβγ； ②求曲率k 和挠率τ.解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-，{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--，又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯ {}{}{}2222sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a a ba bαβγ∴=-=--=-++②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯ 有22a k a b =+，22b a b +=τ. 4．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的切平面和法线方程． 解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，切平面方程为cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u vu vb---=-，sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=上任一点处的切平面与法线方程． 解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--， {}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-，312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=--- {}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=---∴ 球面上任意点的切平面方程为{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=， 法线方程为2(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),x a y a z a a ϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解 (){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-(){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos 10cos sin 0x a y z a t a t =a ta t------， 即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．解 参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+，{}1,0,2x r ax =，{}0,1,2y r ay =，2214x x E r r a x =⋅=+，24x y F r r a xy =⋅=，2214y y G r r a y =⋅=+，2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．8．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式． 解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+，2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．9．计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一、第二基本量． 解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}0,0,0uu r =，{}sin ,cos ,0uv r v v =-，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j k r r v v b v b v u u v u v b⨯==--，sin ,cos ,u v u v b v b v u r r n r r -⨯==⨯， 1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+， 0uu L r n =⋅=，2uv M r n b =⋅=-+，0vv N r n =⋅=．10．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．解 设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+，则{}1,0,2x r x =，{}0,1,2y r y =，{}0,0,2xx r =，{}0,0,0xy yx r r ==，{}002yy r =，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--，22,2,1||4x y x y r r x y n r r x ⨯--==⨯214x x E r r x =⋅=+， 4x y F r r xy =⋅=， 214y y G r r y =⋅=+，24xx L r n x =⋅=+， 0xy M r n =⋅=， 24yy N r n x =⋅=+，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++，2232222124422(441)GL FM EN x y HEG Fx y -+++=⋅=-++． 11. 计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =的高斯曲率. 解 直接计算知1E =，0F =，22G u a =+，0L =，M =，0N =，222222()LN M a K EG F u a -∴==--+．12. 求曲面2z xy =的渐近线.解 2z xy =，则2z p y x∂==∂，2z q xy y ∂==∂，220zr x ∂==∂，22z s y x y ∂==∂∂，222zt x y ∂==∂ 所以，L =0， M =，N =20=，化简得(2)0dy ydx xdy +=， 020dy ydx xdy =+=或 渐近线为y=C 1，x 2y =C 213. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =上的曲率线. 解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+{}{}u vu v bsin v,bcos v,u bsin v,bcos v,u r r n r r bsin v,bcos v,u--⨯===⨯- {}{}{}uu uv vv r=0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--，L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+ 或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:12v ln(u c v u)c .=+=+和14. 求马鞍面22{,,}r u v u v =-在原点处沿任意方向的法曲率. 解 {1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v ，22214,4,14==+==-=+u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰu v 2u v 2u,2v,1r r n r r 4u -⨯==⨯ uu 2L nr 4u ==uv M n r 0,== vv 2N n r 4u ==22=-Ⅱ， n k =ⅡⅠ. 15. 求抛物面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率. 解 曲面方程即22{,,()},=+r x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==x y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a ，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，NN2a k 0002a k -=-，所以两主曲率分别为 12k k 2a == .16. 求曲面22{,,}r u v u v =+在点(1,1)的主方向.解 {}u r =,u 1,02,{},v r ,v =01,22214,4,14E u F uv G v =+==+(1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1= 0,L M N ===2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M === 代入主方向方程，得()()0du dv du dv +-=,即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=.17. 求曲面23(,){,,}r u v u v u v =+上的椭圆点，双曲点和抛物点． 解 由23{,,},r u v u v =+ 得{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v 0,02,0,00,0,06, 0,L M N ===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点. 18. 求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+上的抛物点的轨迹方程． 解 由32(,){,,},r u v v u u v =+ 得{}u r =u,0,21,{}2,v r v ,=30,1{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,0,20,0,00,6,00, 20,L M N ===令320LN M .-=得u =0 或v =0所以抛物点的轨迹方程为 {}r=v ,,v 30或{}0r=,u ,u 2. 19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =自然参数表示.解 由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =得{sin ,cos ,}r a t a t b '=-， 2()r t a '=弧长(),t s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sinr s a a =20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为a a s =(),则主法线曲面为：r=a s v s ,β()+() 则,a =a=α',b ==-k βατγ'+a b =k,''-2,22b =k +τ' 所以腰曲线是222a b kr=a s s =a s s k b ββτ'''()-()()+()+ 21．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．解 因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v -曲线0u u =，由2πθ=得d 0d s θ=．由正交网的坐标曲线的测地曲率得0220g u k u a==+． 五、证明题1. 设曲线：(s),r r =证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅⑴⑵证明 ⑴由伏雷内公式，得=k =-,αβγτβ，两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅k =-.ταγ∴⋅⑵r=r==k ,ααβ， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴2. 设曲线：(s),r r = 证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττ证明 由伏雷内公式，得r==k αβ， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ323()(2)r =-kk +-k +k-k +k +k ατβττγ232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγ33432=-k k +k k +k τττ3()=k k -k ττ3. 曲线()r r s =是一般螺线，证明1:r R ds αβΓ=-⎰也是一般螺线（R 是曲线的曲率半径）． 证明 1r R ds αβ=-⎰， 两边关于s 微商，得 11ds R R ds αααβ=+-1R R R αββ=+-R α=， 1αα∴，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.4. 证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰是常数）是一般螺线．证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-，,22(),r r a t a b ϕ''''⨯=+32()()r r r a b t ϕ'''''''=-,,，322(),r r a k t a b r ϕ'''⨯'==+'()222(),r r r b t a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯,, k a bτ∴=- . 5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明 测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯(,,)k n k n αβγ==⋅sin k .θ=± (θ是主法向量β与法向量n 的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=，222n g k =k +k .∴6. 证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =的切向量与曲线的位置向量成定角．证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，该点切线的切向量为：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+，则有：2cos 22t t r r r r e θ'⋅==='4π. 由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若r '和r ''对一切t 线性相关，则曲线是直线．证明 若r '和r ''对一切t 线性相关，则存在不同时为0的(),()f t g t 使()()()()0f t r t g t r t '''+=， 则 ,()()0, t r t r t '''∀⨯= 又3()r r k t r '''⨯='，故t ∀有()0k t =.于是该曲线是直线．8． 证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．证明 由题意有{}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--，由()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯知{}cos ,sin ,0t t β=--. 另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =，而0a β⋅=，故a β⊥，即主法线与z 轴垂直．9．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆通过坐标原点．证明 由题意可得{}()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t '=-，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边， 故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程. 证明 {}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-，{}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=-，{}00,0r ,'''=(,,)0r r r ,''''''= 0τ=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-， {}(0)410,2r ,''=-密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－， 化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明 设曲线方程()r r s =，定点的向径为0R ，则0()()r s R s λα-=两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+(1())()0s s k λαλβ--= 由于,αβ线性无关，∴100k λλ⎧-⎨⎩＝＝∴ k ＝0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 ()r r t =，则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=因任一点的密切平面过定点，所以((),(),())0o r t r t r t '''-=, 即 ((),(),())0r t r t r t '''=所以 ()r r t =平行于固定平面， 所以 ()r r t =是平面曲线. 13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ，证明曲线是直线或平面曲线.证明 根据已知条件，得0.............e α⋅=①，①两边求导，得 0e α⋅=，由伏雷内公式得 0k e β⋅=，ⅰ)0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅= 又有①可知 γ‖e因e 是常向量，所以γ是常向量，于是 ||||0,τγ== 所以0τ= ，所以曲线为平面曲线.14. 设在两条挠曲线,ΓΓ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 γγ±１２＝ , 21ds ds γγ±１２＝ 由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴±= 进而12αα=± 15. 证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+ 取(),()a r s b s β==，则(),()k a s b s αβατγ''===-＋所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16. 证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+取(),()a r s b s γ==，则(),()a s b s αγτβ''===-所以, (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线r r(s),＝则曲线的主法线曲面为r r s +v s β=()() ,s r v k vk v αατγατγ++=+（-）=(1-) ()v r =s β,s v s v r r n==r r vk ⨯⨯（1-）-（1- 沿曲线（v ＝0）n=γ， 所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18. 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=沿每一条直母线只有一个切平面.证明 {cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r au bu cu u a b c u 为直纹面(0,(),()0ϕθϕθ'=）, 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明. 19. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证Γ是一平面曲线. 证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角θ0，则cos γθ0ｎ＝两边求微商，得 0γγｎ＋ｎ＝ 由于曲线Γ是曲率线，所以αｎ，进而0γｎ＝，由伏雷内公式得0τβ－ｎ＝⑴0τ＝时，Γ是一平面曲线⑵n 0β＝，即n β⊥，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=即n 是常向量，所以Γ是平面曲线.20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明 设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则{}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明 由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k*n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos （）+k s （）221in cos k θθ=222s +k 所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22. 如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明 因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±n从而(),κατγ=±-+n 又因为曲线是平面曲线，所以0,τ=进一步n κα=±.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23. 证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.证明 曲面的向量表示为 {}(,),,()(),r x y x y f x f y =+x =常数,y =常数是两族坐标曲线.{1,0,}x r f '=,{0,1,}y r g '=.{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ''''=== 因为0xy r r M r EG ⨯=⋅=-,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x =常数, y =常数构成共轭网.24．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．证明 参数表示为{}(,),,r x y x y xy =，则{}1,0,x r y =，{}0,1,y r x =，{}0,0,0xx r =，{}0,0,1xy r =，{}0,0,0yy r =，{},,1x y r r y x ⨯=--，2,,1||x yx y r r y x n r r x ⨯--==⨯+ 0xx L r n =⋅=， 2xy M r n x =⋅=+0yy N r n =⋅=， 222221100011LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++， 故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点． 25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即(d ,d )(d ,d )u v u v II I 与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的． 证明 设球面的参数表示为{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =，则{}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--，{}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-，{}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---，22cosu u E r r R v =⋅=，0u v F r r =⋅=，2v v G r r R =⋅=，2cos L Rv ==-，0M ==，N R ==-， 1(,,)(,,)L M N E F G R∴=-，故球面是全脐的． 26．证明平面是全脐的．证明 设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y =，则{}1,0,0x r =，{}0,1,0y r =，{}0,0,0xx r =，{}0,0,0xy r =，{}0,0,0yy r =， 1x x E r r =⋅=，0x y F r r =⋅=，1y y G r r =⋅=，0xx L r n =⋅=，0xy M r n =⋅=，0yy N r n =⋅=(,,)0(,,)L M N E F G ∴=，故平面是全脐的．27．证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点．证明 曲面的参数表示为{}1/3(,),,()r x y x y x y =+，则{}2/3131,0,()x r x y -=+， {}2/3130,1,()y r x y -=+， {}5/3230,0,()xx r x y -=-+，{}5/3290,0,()xy r x y -=-+， {}5/3290,0,()yy r x y -=-+， {}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+， ||x y x y r r n r r ⨯=⨯，{}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅， {}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅ 20LN M ⇒-=， ∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．28．求证正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =是极小曲面． 证明 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v a =-， {}0,0,0uu r =，{}sin ,cos ,0uv r v v =-，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a⨯==--， 22sin ,cos ,||u v u v a v a v u r r n r r a u -⨯==⨯+， 1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r a u=⋅=+， 0uu L r n =⋅=，2uv M r n a =⋅=-，0vv N r n =⋅=，21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面． 29. 圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =上的纬线是测地线． 证明由{cos ,sin ,},r a u a u v ={sin ,cos ,0}u r -a u a u =，{0,0,1}v r =，2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=-， 纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴= 所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．证明 1202k k H +==， 12k k ∴=-， 21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，120k k ==， ∴极小曲面的点都是平点； 当0K <时，极小曲面的点都是双曲点．31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线. 证明 (1) 因为曲线是测地线，所以0=g k ， 曲线又是渐近线，所以，0=n k ，而222=+n g k k k ，所以k=0，故所给曲线是直线. (2) 证法1 因曲线是测地线，所以沿此曲线有βn ，所以βdn ， 又曲线是曲率线，所以αdn dr ， 所以(k )ατγα-+，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线. 证法2 因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n n βα 而γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=， 又γτβ=-，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.。

微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪一项不是微分几何的研究对象？A. 流形B. 曲线C. 曲面D. 代数方程2. 在微分几何中，下列哪个概念是用来描述曲线的弯曲程度？A. 切线B. 曲率C. 法向量D. 微分3. 给定一个曲面上的点，其邻域内的所有点都可以通过该点的哪种向量场来到达？A. 切向量B. 法向量C. 零向量D. 任意向量4. 以下哪个是微分几何中研究曲面局部性质的重要概念？A. 拓扑B. 度量C. 群论D. 线性代数5. 在曲面上，高斯曲率的计算公式是什么？A. K = R/(2π)B. K = R^2/(2π)C. K = det(II - e^(-2u) * I)D. K = det(I - e^(-2u) * II)6. 以下哪个是微分几何中研究曲面全局性质的重要概念？A. 曲率B. 度量C. 测地线D. 向量场7. 给定一个流形，其上的每一个点都有一组局部坐标，这组坐标被称为该点的什么？A. 切向量B. 法向量C. 坐标图D. 邻域8. 在微分几何中，哪种类型的曲面可以通过一个平面曲线的旋转来生成？A. 圆柱面B. 抛物面C. 双曲面D. 椭球面9. 以下哪个是微分几何中研究曲面上最短路径的概念？A. 测地线B. 切线C. 法线D. 曲率10. 微分几何中的“黎曼几何”主要研究的是什么类型的几何结构？A. 欧几里得空间B. 黎曼流形C. 仿射空间D. 射影空间二、简答题（每题10分，共40分）11. 请简述什么是流形，并给出一个具体的例子。

12. 解释什么是度量张量，并说明它在微分几何中的作用。

13. 描述一下什么是测地线，并说明它在曲面上的性质。

14. 阐述高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）的意义及其在微分几何中的重要性。

三、解答题（每题15分，共30分）15. 给定一个曲面上的两点A和B，证明通过A点的任意一条测地线都可以延伸到B点。

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=r r r 138i j k -+rr r ．2．设f ()(sin )i j t t t =+r r r ，2g()(1)i j t t t e =++r r ，求0lim(()())t f t g t →⋅=r r 0 ．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰r ， {}64r()d =2,1,2t t -⎰r ，{}2,1,1a =r，{}1,1,0b =-r ，则4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰r r rr r {}3,9,5-.4．已知()r t a '=r r （a r 为常向量），则()r t =r ta c +r r． 5．已知()r t ta '=r r ，（a r 为常向量），则()r t =r 212t a c +r r ．6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____.7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .10. 曲线()r r t =r r 在t = 2处有3αβ=v v &，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠rr r ，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点.12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++r r r ，()(sin )(cos )g t t i t j =-r r r ，0t >，则40()d f g dt dt ⋅=⎰r r4cos 62-．13．曲线{}3()2,,t r t t t e =r在任意点的切向量为{}22,3,t t e ．14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =r在0t =点的切向量为{}0,,a a ．15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r在0t =点的切向量为{}0,,a b ．16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = .22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-r ，其中2,sin u t v t ==，则dr d t=r{}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=r，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ=r{}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+． 24．设(,)r r u v =r r 为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠r r r ，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G →r r是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．26．平面{}r(,),,0u v u v =r的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =r第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 28．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =229．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++．30．双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-r的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++．31．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的平均曲率为 0 ．32．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或． 33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II r r或．34.λ是主曲率的充要条件是0E LF MF MG Nλλλλ--=--．35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是22d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M vE F G F u G v M u N vL MN-++==++或． 36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则n n dn k dr k =-r r，其中是沿方向(d)的法曲率． 37．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面∏上的正投影曲线(C*)的曲率． 39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为d ds du dsdv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 . 二、单项选择题1．已知{}(),,t t r t e t e -=r，则r (0)''r 为（ A ）．A. {}1,0,1；B. {}1,0,1-；C. {}0,1,1；D. {}1,0,1-.2．已知()()r t r t λ'=r r ，λ为常数，则()r t r为（ C ）．A. ta λr ；B. a λr； C. t e a λr ； D. e a λr .其中a r为常向量． 3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．A ．切线与固定方向成固定角；B ．副法线与固定方向成固定角；C ．主法线与固定方向垂直；D ．副法线与固定方向垂直．4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A ．至少有两个；B ．只有一个；C ．只有两个；D ．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A ．测地线；B ．曲率线；C ．法截线；D ．渐近线．.6. 已知{}r(,),,x y x y xy =r ，求(1,2)dr r为（ D ）．A. {}d ,d ,d 2d x y x y +；B. {}d d ,d d ,0x y x y +-；C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ；D. {}d ,d ,2d d x y x y +.7．圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =r的切线与z 轴（ C ）.A. 平行；B. 垂直；C. 有固定夹角4π； D. 有固定夹角3π. 8．设平面曲线:()C r r s =r r，s 为自然参数，αβr r ,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．A. αr 为单位向量；B. αα⊥r r &；C. k αβ=-r r &；D. k βατγ=-+r r r &.9．直线的曲率为（ B ）．A. -1；B. 0；C. 1；D. 2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =r r不正确的是（ D ）．A. ()()k s s α=r &；B. ()()k s s ϕ=&，ϕ为()s αr 的旋转角；C. ()k s αβ=-⋅r &；D. ()|()|k s rs =r &. 11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件.12．下列论述不正确的是（ D ）．A. ,αβγr r r ,均为单位向量；B. αβ⊥r r ；C. βγ⊥r r ；D. αβrr P . 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 14．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． A. 垂直； B. 平行； C. 成3π的角； D. 成4π的角. 15．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（ C ）．A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=；B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=；C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=；D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=. 16．曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-r在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ B ）．A. 2135200x y z +-+=；B. 1834410x y z +--=；C. 756180x y z +--=；D. 1853160x y z +-+=.17．球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =r的第一基本形式为（ D ）．A. 2222(d sin d )R u u v +；B. 2222(d cosh d )R u u v +；C. 2222(d sinh d )R u u v +；D. 2222(d cos d )R u u v +.18．正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =r的第一基本形式为（ C ）．A. 22d d u v +；B. 22d d u v -； C 222d d u R v +； D. 222d d u R v -. 19．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（ B ）．A ． 21cosh cosh v v -；B ． 21sinh sinh v v -；C ． 12cosh cosh v v -；D ． 12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．A ． 0E =；B ． 0F =；C ． 0G =；D ． 0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．A ． 0；B ． 1；C ．2；D ． 3．23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）． A ．B ．C ．D ． 24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．A ． 直线；B ． 平面曲线；C ． 抛物线；D ． 圆柱螺线． 三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数()r r t =r r 具有固定长度，则()()r t r t '⊥r r. √2. 向量函数()r r t =r r 具有固定方向，则()()r t r t 'r rP . √3. 向量函数()r t r关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t 'r . ×4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线. ×5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是圆柱螺线. √6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=rz -线是渐近线. √ 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √ 9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． × 16. 曲面上的直线一定是测地线．√ 17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. √ 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. √24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √ 四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解 旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--r 的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-r，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰r．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．解 由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+r，{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+r，在原点，有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==r r，又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯r r r r r r r r r r r r r，r r r r γ'''⨯='''⨯r r r r r ，所以有αβγ===r r r . 3．圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r，①求基本向量,,αβγr r r； ②求曲率k 和挠率τ.解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-r ，{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--r，又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯r r r r r r r r r r r r r r r rr r}{}}sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a αβγ∴=-=--=-rr r②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='r r r 及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯r r有22a k a b =+，22b a b +=τ. 4．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的切平面和法线方程．解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r，切平面方程为cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u vu vb---=-，sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=r上任一点处的切平面与法线方程．解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--r， {}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-r ，312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=---r r r r r{}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=---∴ 球面上任意点的切平面方程为{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=， 法线方程为2(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),x a y a z a a ϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解 (){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-r (){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--r所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos 10cos sin 0x a y z a t a t =a ta t------， 即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．解 参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+r ，{}1,0,2x r ax =r ，{}0,1,2y r ay =r，2214x x E r r a x =⋅=+r r，24x y F r r a xy =⋅=r r ，2214y y G r r a y =⋅=+r r ，2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．8．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一基本形式．解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r，1u u E r r =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=r r ，22v v G r r u b =⋅=+r r，2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．9．计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一、第二基本量．解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r，{}0,0,0uu r =r ，{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v b v b v u u v u v b⨯==--r r rr r，sin ,cos ,u v u v b v b v u r r n r r -⨯==⨯r rr r r ， 1u u E r r =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+r r， 0uu L r n =⋅=r r ，uv M r n =⋅=r r ，0vv N r n =⋅=r r．10．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．解 设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+r，则{}1,0,2x r x =r ，{}0,1,2y r y =r ，{}0,0,2xx r =r ，{}0,0,0xy yx r r ==r r ，{}002yy r =r，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--r r r r r，2,2,1||x y x y r r x y n r r ⨯--==⨯r r rr r 214x x E r r x =⋅=+r r， 4x y F r r xy =⋅=r ， 214y y G r r y =⋅=+r r， xx L r n =⋅=r r ， 0xy M r n =⋅=r r， yy N r n =⋅=r r，222222222244441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++，2232222124422(441)GL FM EN x y H EG Fx y -+++=⋅=-++． 11. 计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r的高斯曲率. 解 直接计算知1E =，0F =，22G u a =+，0L=，M =，0N =，222222()LN M a K EG F u a -∴==--+． 12. 求曲面2z xy =的渐近线.解 2z xy =，则2z p y x∂==∂，2z q xy y ∂==∂，220z r x ∂==∂，22z s y x y ∂==∂∂， 222z t x y ∂==∂ 所以，L =0， M =N =20=，化简得(2)0dy ydx xdy +=， 020dy ydx xdy =+=或 渐近线为y=C 1，x 2y =C 213. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =r上的曲率线. 解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-r r2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+r r r r{}{}u vu v bsin v,bcos v,u bsin v,bcos v,u r r n r r bsin v,bcos v,u --⨯===⨯-r rr r r {}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--rr r，L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+ 或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:12v ln(u c v u)c .=+=+和14. 求马鞍面22{,,}r u v u v =-r在原点处沿任意方向的法曲率.解 {1,0,2},{0,1,2}==-r ru v r u r v ，22214,4,14==+==-=+r r rg u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰu vu v 2u,2v,1r r n r r -⨯==⨯r rr r ruu L n r ==r r g uv M n r 0,==r rg vv N n r ==r rg22=Ⅱ，n k =ⅡⅠ. 15. 求抛物面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率.解 曲面方程即22{,,()},=+rr x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==r rx y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===r r rxx xy yy r a r r a ，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，NN2a k 0002a k -=-，所以两主曲率分别为 12k k 2a == .16. 求曲面22{,,}r u v u v =+r在点(1,1)的主方向.解 {}u r =,u r 1,02,{},v r ,v r=01,2 2214,4,14E u F uv G v =+==+(1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1=0,L M N ===2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M === 代入主方向方程，得()()0du dv du dv +-=,即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=.17. 求曲面23(,){,,}r u v u v u v =+r上的椭圆点，双曲点和抛物点．解 由23{,,},r u v u v =+r 得{}u r =,u r 1,02,{}2,v r ,v r=01,3{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v r r r0,02,0,00,0,06,0,L M N ===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点.18. 求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+r上的抛物点的轨迹方程．解 由32(,){,,},r u v v u u v =+r 得{}u r =u,r 0,21,{}2,v r v ,r=30,1{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,r r r0,20,0,00,6,00,20,L M N ===令320LN M .-=得u =0 或v =0所以抛物点的轨迹方程为 {}r=v ,,v r 30或{}0r=,u ,u r2.19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =r自然参数表示.解 由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =r 得{sin ,cos ,}r a t a t b '=r-，()r t '=r弧长0(),t s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sinr s a a =r20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为a a s r r=(),则主法线曲面为：r=a s v s ,βr r r ()+()则,a =a=α'r r r &,b ==-k βατγ'+r r r r &a b =k,''-r r g 2,22b =k +τ'r所以腰曲线是222a b k r=a s s =a s s k b ββτ'''r r r r g r r r r ()-()()+()+ 21．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．解 因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v -曲线0u u =，由2πθ=得d 0d s θ=．由正交网的坐标曲线的测地曲率得0220g u k u a==+． 五、证明题1. 设曲线：(s),r r =r r 证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅r r r r r &&&&&&&&⑴⑵ 证明 ⑴由伏雷内公式，得=k =-,αβγτβr r r r &&， 两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅r r r r && k =-.ταγ∴⋅r r &&⑵r=r==k ,ααβr r r r r &&&&， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγr r r r r r r r r &&&&&&&22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴r r r r r r r r r r r &&&&&&& 2. 设曲线：(s),r r =r r 证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττr r r &&&&&&&&&&& 证明 由伏雷内公式，得r==k αβr r r &&&， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγr r r r r r r r r &&&&&&&323()(2)r =-kk +-k +k-k +k +k ατβττγr r r r &&&&&&&&&232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯r r r r r r r r r r &&&&&&&&&&&&&&&g3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγr r r r r &&&&&g33432=-k k +k k +k τττ&&&3()=k k -k ττ&& 3. 曲线Γ:()r r s =r r 是一般螺线，证明1:r R ds αβΓ=-⎰r r r也是一般螺线（R 是曲线Γ的曲率半径）．证明 1r R ds αβ=-⎰r r r，两边关于s 微商，得11ds R R ds αααβ=+-r r r r &&1R R R αββ=+-r r r &R α=r &，1αα∴r r P ，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.4. 证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰r是常数）是一般螺线．证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=r(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-r2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-r，,(r r a t ϕ''''⨯=r r 32()()r r r a b t ϕ'''''''=-r r r ,,，322(),r r ak t a b r ϕ'''⨯'==+'r rr ()222(),r r r b t a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯r r r r r ,, k abτ∴=- . 5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明 测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯r r r r r (,,)k n k n αβγ==⋅r r r r rsin k .θ=± (θ是主法向量βr 与法向量n r的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=r r，222n g k =k +k .∴6. 证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r的切向量与曲线的位置向量成定角．证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r，该点切线的切向量为：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+r，则有：2cos 2t r r r r θ'⋅==='r r r r ，故夹角为4π. 由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若r 'r 和r ''r对一切t 线性相关，则曲线是直线．证明 若r 'r 和r ''r对一切t 线性相关，则存在不同时为0的(),()f t g t 使()()()()0f t r t g t r t '''+=r r r，则,()()0, t r t r t '''∀⨯=r r r又3()r r k t r '''⨯='r r r ，故t ∀有()0k t =.于是该曲线是直线．8． 证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．证明 由题意有 {}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--r r，由()()r r r r r r r r rβ''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯r r r r r r r r r r知{}cos ,sin ,0t t β=--r . 另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =r ，而0a β⋅=r r ，故a β⊥r r，即主法线与z 轴垂直． 9．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆通过坐标原点．证明 由题意可得{}()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t '=-r，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边， 故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程.证明 {}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-r，{}34210,2r +t,t t '=-+-r ，{}410,2r ,''=-r ，{}00,0r ,'''=r (,,)0r r r ,''''''=r r r0τ=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-r ， {}(0)410,2r ,''=-r密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－， 化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明 设曲线方程()r r s =r r，定点的向径为0R v ，则0()()r s R s λα-=r r r两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+r r r r r &&&(1())()0s s k λαλβ--=r r r & 由于,αβr r 线性无关，∴100k λλ⎧-⎨⎩&＝＝∴ k ＝0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 ()r r t =r r，则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=r r r r因任一点的密切平面过定点，所以((),(),())0o r t r t r t '''-=r r r r , 即 ((),(),())0r t r t r t '''=r r r所以 ()r r t =r r 平行于固定平面， 所以 ()r r t =r r是平面曲线.13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ρ，证明曲线是直线或平面曲线.证明 根据已知条件，得0.............e α⋅=r r①，①两边求导，得 0e α⋅=r r &，由伏雷内公式得 0k e β⋅=r r ，ⅰ)0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅=r r 又有①可知 γr ‖e r因e r是常向量，所以γr 是常向量，于是 ||||0,τγ==r&所以0τ= ，所以曲线为平面曲线. 14. 设在两条挠曲线,ΓΓ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 γγ±rr１２＝ , 21ds ds γγ±gg r r １２＝由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±v v １２２＝12ββ∴±r r = 进而12αα=±r r15. 证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =r r，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+r r r 取(),()a r s b s β==r r r r，则(),()k a s b s αβατγ''===-g r r r r r r＋所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠r rr r r r r r r r r r r ＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16. 证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =r r，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+r rr取(),()a r s b s γ==r r r r ，则(),()a s b s αγτβ''===-g r r r r r所以, (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠r rr r r r ，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面. 17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线r r(s),r r ＝则曲线的主法线曲面为r r s +v s βr r r=()() ,s r v k vk v αατγατγ++r r r r r r =+（-）=(1-) ()v r =s βrr ,s v s v r r n=r r ⨯⨯r r r rr r r （1-）- 沿曲线（v ＝0）n=γr r ，所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线. 18. 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=r沿每一条直母线只有一个切平面.证明 {cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r r rr au bu cu u a b c u 为直纹面(0,(),()0ϕθϕθ'=r r r）, 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明.19. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证Γ是一平面曲线.证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角θ0，则cos γθr rg 0ｎ＝ 两边求微商，得 0γγg g r r r rg g ｎ＋ｎ＝由于曲线Γ是曲率线，所以αg r rP ｎ，进而0γg r r gｎ＝，由伏雷内公式得0τβr r g －ｎ＝ ⑴0τ＝时，Γ是一平面曲线⑵n 0βv v g ＝，即n β⊥vv ，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=v v v 即n v是常向量，所以Γ是平面曲线. 20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明 设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r，则{}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r， {}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=r r，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证明 由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k*n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos （）+k s （）221in cos k θθ=222s +k所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22. 如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明 因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±r rn从而(),κατγ=±-+r r r &n又因为曲线是平面曲线，所以0,τ= 进一步n κα=±r r &.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线. 23. 证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.证明 曲面的向量表示为 {}(,),,()(),r x y x y f x f y =+rx =常数,y =常数是两族坐标曲线.{1,0,}x r f '=r,{0,1,}y r g '=r . {0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ''''===r r r因为0xy r r M r ⨯==r r r,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x =常数, y =常数构成共轭网.24．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．证明 参数表示为{}(,),,r x y x y xy =r，则{}1,0,x r y =r ，{}0,1,y r x =r ，{}0,0,0xx r =r ，{}0,0,1xy r =r ，{}0,0,0yy r =r，{},,1x y r r y x ⨯=--r r，,,1||x y x y r r y x n r r ⨯--==⨯r r r r r 0xx L r n =⋅=rr ， xy M r n =⋅=r r，0yy N r n =⋅=r r，222221100011LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++，故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即(d ,d )(d ,d )u v u v II I 与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的． 证明 设球面的参数表示为 {}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =r，则 {}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-r ，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--r， {}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--r ，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-r r，{}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---r，22cos u u E r r R v =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=r r ，2v v G r r R =⋅=r r，2cos L R v ==-r r r，0M ==r r r，N R ==-r r r ，1(,,)(,,)L M N E F G R∴=-，故球面是全脐的． 26．证明平面是全脐的．证明 设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y =r，则 {}1,0,0x r =r ，{}0,1,0y r =r ，{}0,0,0xx r =r ，{}0,0,0xy r =r ，{}0,0,0yy r =r，1x x E r r =⋅=r r ，0x y F r r =⋅=r r ，1y y G r r =⋅=r r，0xx L r n =⋅=r r ，0xy M r n =⋅=r r ，0yy N r n =⋅=r r(,,)0(,,)L M N E F G ∴=，故平面是全脐的．27．证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点．证明 曲面的参数表示为{}1/3(,),,()r x y x y x y =+r，则{}2/3131,0,()x r x y -=+r ， {}2/3130,1,()y r x y -=+r ， {}5/3230,0,()xx r x y -=-+r ，{}5/3290,0,()xy r x y -=-+r ， {}5/3290,0,()yy r x y -=-+r ， {}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+r r ， ||x y x y r r n r r ⨯=⨯r r r r r ， {}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅r r r ，{}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅r r r ， {}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅r r r 20LN M ⇒-=，∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．28．求证正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r是极小曲面．证明 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v a =-r， {}0,0,0uu r =r ，{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a ⨯==--r r rr r，sin ,cos ,||u v u v a v a v u r r n r r -⨯==⨯r rrr r ， 1u u E r r =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=，22v v G r r a u =⋅=+r r，0uu L r n =⋅=r r ，uv M r n =⋅=r r 0vv N r n =⋅=r r，21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面．29. 圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =r上的纬线是测地线．证明 由{cos ,sin ,},r a u a u v =r{sin ,cos ,0}u r -a u a u =r ，{0,0,1}v r =r，2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=，纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴= 所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点． 证明 1202k k H +==Q ， 12k k ∴=-， 21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，120k k ==， ∴极小曲面的点都是平点； 当0K <时，极小曲面的点都是双曲点．31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线.证明 (1) 因为曲线是测地线，所以0=g k ， 曲线又是渐近线，所以，0=n k ，而222=+n g k k k ，所以k=0，故所给曲线是直线. (2) 证法1因曲线是测地线，所以沿此曲线有βr r P n ，所以βr r &P dn ，又曲线是曲率线，所以αrr r P P dn dr ，所以(k )ατγα-+r r rP ，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.证法2因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n nβαv r r v &P P 而γαβ=⨯r r r ，所以,n γα=±⨯r r r 从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=r r r r r r r r r &&&，又γτβ=-r r&，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.。

微分几何复习题及其答案微分几何是数学中研究曲线、曲面以及更一般流形的微分性质的分支。

以下是一些微分几何的复习题及其答案，供学习者参考。

题目 1：曲线的切线和法线给定空间曲线 \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \)，求曲线在点\( t_0 \) 处的切线和法线。

答案 1：曲线的切线方向由速度向量 \( r'(t) \) 给出。

在点 \( t_0 \) 处，切线的方向向量是 \( r'(t_0) \)。

法线是切线的正交补空间中的一个向量，可以通过求 \( r'(t_0) \) 的向量积来得到。

题目 2：曲线的曲率已知曲线 \( r(t) = (t^2, t^3, t^4) \)，求其在 \( t = 1 \) 时的曲率。

答案 2：首先计算速度向量 \( r'(t) = (2t, 3t^2, 4t^3) \) 和加速度向量\( r''(t) = (2, 6t, 12t^2) \)。

然后计算切线方向的单位向量\( \hat{T} = \frac{r'(t)}{\|r'(t)\|} \)。

曲率 \( \kappa \) 由下式给出：\[ \kappa = \frac{\| r'(t) \times r''(t) \|}{\|r'(t)\|^3} \]在 \( t = 1 \) 时，代入具体数值计算即可得到曲率。

题目 3：曲面的第一基本形式给定曲面 \( S \) 由方程 \( F(x, y, z) = 0 \) 定义，求 \( S \) 在点 \( P \) 上的第一基本形式。

答案 3：第一基本形式由曲面的度量张量给出，其元素为 \( E \), \( F \),和 \( G \)，定义为：\[ E = \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u},\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \right\rangle \]\[ F = \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u},\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right\rangle \]\[ G = \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v},\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right\rangle \]其中，\( \mathbf{r}(u, v) \) 是曲面 \( S \) 在参数 \( u \) 和\( v \) 下的参数化表示。

一， 填空1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 .2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)¿(0)6 s 3;3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 .4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ¡ 1, dy ¤ds = ¡kx ¤ + ¿z¤ dz ¤= ¡¿y¤ .5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率¿ (s ) 满足 .6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 .7.半径为R 的圆的曲率为_____R1______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at .9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。

10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________.11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为1± ，12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 .14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________.15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π．16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。

微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 曲线在点处的切线方程为，若，则该点处的曲率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 若函数在点处可微，则在该点处的切平面方程为（）。

A.B.C.D.答案：D3. 曲面在点处的法向量为，若，则该点处的高斯曲率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的曲率是（）。

A.B.C.D.答案：A5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数是（）。

A.B.C.D.答案：B6. 曲面在点处的主曲率分别为，则该点处的平均曲率是（）。

A.B.C.D.答案：A7. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的挠率是（）。

A.B.C.D.答案：B8. 若函数在点处的Hessian矩阵为，则在该点处的二阶偏导数是（）。

A.B.C.D.答案：D9. 曲面在点处的切平面方程为，则该点处的法向量是（）。

A.B.C.D.答案：C10. 若函数在点处的Jacobi矩阵为，则在该点处的偏导数是（）。

A.B.C.D.答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 曲线在点处的挠率定义为______。

答案：曲线在点处的挠率定义为。

2. 若函数在点处的偏导数为0，则称该点为函数的______。

答案：临界点。

3. 曲面在点处的高斯曲率定义为______。

答案：曲面在点处的高斯曲率定义为。

4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的切向量为______。

答案：曲线在点处的切向量为。

5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数为______。

答案：函数在点处的方向导数为。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知曲线的参数方程为，求曲线在点处的切线方程。

答案：首先求出曲线的导数，然后利用点斜式方程求得切线方程。

2. 已知函数在点处的梯度为，求在该点处沿向量方向的方向导数。

答案：首先求出向量的单位向量，然后利用方向导数的定义求得结果。

《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。

每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （ ）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （ ）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （ ） 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （ ）二、填空题：（每空3分，共33分）1、 已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 。

三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦du dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解 设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为33221u v C =+或33222()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地 曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E =（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分）v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C α*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证 设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=， （4分） 由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=， 因此d d 0d d n n rn r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。

微分几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个概念不是微分几何中的概念？A. 流形B. 向量场C. 拓扑空间D. 黎曼曲率答案：C2. 在微分几何中，一个流形的局部坐标系是：A. 一组线性无关的向量B. 一组线性无关的函数C. 一组局部坐标函数D. 一组局部坐标点答案：C3. 微分几何中，一个向量场在点p的切空间中的表示为：A. 一个点B. 一个函数C. 一个向量D. 一个切平面答案：C4. 黎曼曲率张量R^i_jkl在微分几何中表示：A. 一个流形的局部性质B. 一个流形的全局性质C. 一个向量场的局部性质D. 一个向量场的全局性质答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个n维流形上的切向量空间的维数是______。

答案：n2. 微分几何中，联络（connection）是定义在切空间上的一个______。

答案：线性映射3. 黎曼度量g_ij定义了一个流形上的______。

答案：长度和角度4. 一个流形的测地线是该流形上使得______取极值的曲线。

答案：弧长三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述流形的概念。

答案：流形是一个拓扑空间，每一点都有一个邻域，这些邻域与欧几里得空间中的开集同胚。

2. 什么是联络形式？答案：联络形式是定义在切空间上的一组线性映射，它们满足特定的性质，如与坐标无关，并且可以用于描述流形上的平行性。

3. 黎曼曲率张量在广义相对论中有什么物理意义？答案：黎曼曲率张量在广义相对论中描述了时空的曲率，它与引力场的强度和方向有关。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个二维流形上的度量张量g_ij，其中g_11 = 1, g_22 = 1, g_12 = g_21 = 0，计算该流形上的Christoffel符号。

答案：Christoffel符号为Γ^1_11 = 0, Γ^1_12 = 0, Γ^1_21 = 0, Γ^1_22 = 0, Γ^2_11 = 0, Γ^2_12 = 0, Γ^2_21 = 0, Γ^2_22 = 0。

一， 填空1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 .2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)¿(0)6 s 3;3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 .4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ¡ 1, dy ¤ds = ¡kx ¤ + ¿z¤ dz ¤= ¡¿y¤ .5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率¿ (s ) 满足 .6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 .7.半径为R 的圆的曲率为_____R1______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at .9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。

10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________.11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为1± ，12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 .14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________.15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π．16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。