当前位置：文档之家 › 样条插值函数及应用

样条插值函数及应用

  • 格式：doc
  • 大小：488.32 KB
  • 文档页数：17

2 样条插值函数及应用 3 摘要

样条函数具有广泛的应用，是现代函数论的一个十分活跃的分支，是计算方法的主要基础和工具之一，由于生产和科学技术向前发展的推动以及电子计算机广泛应用的需要，人们便更多地应用这个工具，也更深刻的认识了它的本质。

在实际问题中所遇到许多函数往往很复杂，有些甚至是很难找到解析表达式的。根据函数已有的数据来计算函数在一些新的点处的函数值，就是插值法所需要解决的问题。

插值法是数值逼近的重要方法之一，它是根据给定的自变量值和函数值,求取未知函数的近似值。早在一千多年前,我国科学家就在研究历法时就用到了线性插值和二次插值。而在实际问题中,有许多插值函数的曲线要求具有较高的光滑性,在整个曲线中,曲线不但不能有拐点,而且曲率也不能有突变。因此，对于插值函数必须二次连续可微且不变号 ,这就需要用到三次样条插值。

关键词 三次样条函数；插值法 4 目 录

引 言 .................................................. 1

第一章 三次样条插值 .................................... 2

1.1 样条插值函数简介 .................................. 2

1.2 三次样条函数应用 .................................. 3

第二章 AMCM91A 估计水塔水流量 .......................... 5

2.1 理论分析及计算 ....................................

6

2.2运用MATLAB软件计算 ............................... 9

参考文献 ............................................... 14 1 引 言

样条函数具有广泛的应用，是现代函数论的一个十分活跃的分支，是计算方法的主要基础和工具之一，由于生产和科学技术向前发展的推动以及电子计算机广泛应用的需要，人们便更多地应用这个工具，也更深刻的认识了它的本质。上世纪四十年代，在研究数据处理的问题中引出了样条函数，例如，在1946年Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数，直到五十年代，还多应用于统计数据的处理方面，从六十年代起，在航空、造船、汽车等行业中，开始大量采用样条函数。

在我国，从六十年代末开始，从船体数学放样到飞机外形设计，逐渐出现了一个使用样，逐渐出现了一个使用样条函数的热潮，并推广到数据处理的许多问题中。

在实际生活中有许多计算问题对插值函数的光滑性有较高的要求，例如飞机机翼外形、发动机进、排气口都要求有连续的二阶导数，用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度，而且当节点逐渐加密时其函数值整体上能很好地逼近被插函数，相应的导数值也收敛于被插函数的导数值，不会发生“龙格现象”。

现在国内外学者对这方面的研究也越来越重视，根据我们的需要来解决不同的问题，而且函数的形式也在不断地改进，长期以来很多学者致力于样条插值的研究，对三次样条的研究已相当成熟。 2 第一章 三次样条插值

1.1 样条插值函数简介

在实际问题中所遇到许多函数)(xf往往很复杂，有些甚至是很难找到解析表达式的。有时通过实验或者数值计算所得到的也只是一些离散的点nixi...2,10，上的函数值，即nixfii...2,1,0),(y。

根据函数)(xf已有的数据来计算函数)(xf在一些新的点x处的函数值，就是插值法所需要解决的问题。

插值法的基本思想就是，首先根据已有的函数值来构造一个简单的函数)(yx作为)(xf的近似表达式，然后用)(yx来计算新的点上的函数值作为)(xf的近似值。通常可以选多项式函数作为近似函数)(yx，因为多项式具有各阶导数，求值也比见方便。常用的有Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值和样条插值。线性插值在分段点上仅连续而不可导，三次埃尔米特插值有连续的一阶导数，这样的光滑程度常不能满足物理问题的需要，样条函数可以同时解决这两个问题,使插值函数既是低阶分段函数,又是光滑的函数，并且只需在区间端点提供某些导数信息。

三次样条函数定义：

设在区间b,a上取1n个节点bxxxxan...210，函数)(yxf在各个节点处的函数值为,,...,1,0),(yinixfi若)(Sx满足：

(1) ;,...1,0,y)(Snixii

(2) 在区间b,a上，)(Sx具有连续的二阶导数；

(3) 在区间）（1,...,1,0x,x1niii上,)(Sx是x三次的多项式；

则称)(Sx是函数)(yxf在区间b,a上的三次样条插值函数。

由以上定义可以看出，虽然每个子区间上的多项式可以各不相同，但在相邻子区间的连接处却是光滑的。因此，样条插值也称为分段光滑插值。

从定义知要求出)(Sx，在每一个小区间）（1,...,1,0x,x1niii上确定4个待定系数，共有n个小区间，故应有4n个参数。

根据)(Sx在b,a上二阶导数连续，在节点1-...2,1nixi出满足连续性条件 3 )0()0(SiixSx

)0()0(S''iixSx

)0()0(S''''iixSx

共有3n-3个条件，再加上)(Sx满足插值条件;,...1,0,y)(Snixii共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定)(Sx。

通常可在区间端点上各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给定，通常有以下三种：

（1）已知端点的一阶导数值，即

'''00')(S,)(Snnfxfx

（2）俩端点的二阶导数已知，即

''''''00'')(S,)(Snnfxfx

其特殊情况，0)(S)(S''0''nxx称为自然边界条件。

（3）当)(xf是以0xxn为周期的函数时，则要求)(Sx也是周期函数。这时边界条件应满足

)0()0(SiixSx

)0()0(S''iixSx

)0()0(S''''iixSx

而此时nyy0。这样确定的样条函数)(Sx，称为周期函数。

1.2 三次样条函数应用

作函数)2sin()73(42xexxyx在1,0取间隔为0.1的点图，用插值进行实验。

使用MATLAB软件

程序代码如下：

%产生原始数据

x=0:0.1:1;

y=(x.^2-3*x+7).*exp(-4*x).*sin(2*x);

4 %作图

subplot(1,2,1);

plot(x,y,x,y,'ro')

%待求插值点

xx=0:0.02:1;

yy=interp1(x,y,xx,'spline');

%作图

subplot(1,2,2)

plot(x,y,'ro',xx,yy,'b')

运行截图

图1.1 运行结果 5 第二章 AMCM91A 估计水塔水流量

美国某洲的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天总的用水量,但许多社区并没有测量水流入或流出当地水塔的水量的设备,他们只能代之以每小时测量水塔中的水位,精度在0.5%以内,更为重要的是,无论什么时候,只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时,水泵就启动向水塔重新充水至某一最高水位H,但也无法得到水泵的供水量的测量数据。因此，在水泵工作时，人们容易建立水塔中的水位与水泵工作时的用水量之间的关系。水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约两小时。

表1 白某小镇某天的水塔水位

时间 0 3316 6635 10619 13937 17921 21240 25223 28543

水位 3175 3110 3054 2994 2947 2892 2850 2797 2752

时间 32284 35935 39332 39435 43318 46636 49953 53936 57254

水位 2697 水泵

工作 水泵

工作 3550 3445 3350 3260 3167 3087

时间 60574 64554 68535 71854 75021 79154 82649 85968 89953

水位 3012 2927 2842 2767 2697 水泵

工作 水泵

工作 3475 3397

时间 93270

水位 3340

单位：时间/秒；水位/0.01英尺

试估计在任何时刻，甚至包括水泵正在工作期间内，水从水塔流出的流量)(tf，并估计一天的总用水量，表1中给出了某个真实小镇某一天的真实数据。

表1中给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻，以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水塔中水位的测量值，例如，3316秒后，水塔中的水位达到31.10英尺。水塔是一个垂直圆形柱体，高为40英尺，直径57英尺，通常当水塔的水位降至27.00英尺时水泵开始向水塔充水，而当水塔的水位升至35.50英尺时水泵停止工作。 6 2.1 理论分析及计算

1. 水塔充水时间的确定

(1) 第一次充水时间的确定

当时间t=32284秒时，水位26.97英尺,约低于最低水位27英尺，因此可作为第一次开始充水时刻。

当t=39435秒时，水塔水位35.5英尺，恰为最高水位，因此可作为第一次充水的结束时刻。充水时间为dt=(39435-32284)/3600=1.9864小时，也接近充水时间2小时。

(2) 第二次充水时间的确定

当时间t=75021秒时，水位26.97英尺,约低于最低水位27英尺，因此可作为第二次开始充水时刻。

当t=82649秒时，水泵在工作，但充水时间达到dt=(8264-7502)/3600=2.1189小时；但下一时刻t=85968时，水塔水位34.75英尺，低于最高水位35.50 英尺。

因此可将t=82649秒作为第二次充水的结束时刻,且该时刻水位为最大充水高度35.50 英尺。

2.计算各时刻塔内水的体积

单位转换为1英尺=0.3048米, 1升=1/3.785411加仑

体积计算公式为4/.2hdv

表2 不同时刻水体积表

其中(1)表示第一段开始，(2) 表示第二段开始，(3) 表示第三段开始；

单位：时间(小时)，水流量：加仑/小时； 时间 水体积 时间 水体积 时间 水体积

0 (1) 606125 8.9678 514872 19.0375 542554

0.9211 593716 10.9542 (2) 677715 19.9594 528236

1.8431 583026 12.0328 657670 20.8392 514872

2.9497 571571 12.9544 639534 22.9581 (3) 677715

3.8714 562599 13.8758 622352 23.8800 663397

4.9781 552099 14.9822 604598 24.9869 648506

合集下载

python三次样条插值函数

python三次样条插值函数

python三次样条插值函数

一、什么是插值函数

插值函数是一种数学方法，用于通过给定数据点之间的间隔来估计未知数据点的值。在Python中，我们可以使用三次样条插值函数来进行这样的估计。

二、三次样条插值

三次样条插值是一种数值分析方法，用于在给定数据点之间构造一个平滑的多项式函数。这个函数被称为样条函数，由许多小的多项式片段组成。在每个数据点之间，这些多项式片段满足一定的条件，使得整个函数是连续且光滑的。

2.1 样条函数的性质

三次样条插值函数具有以下性质： - 在每个数据点处，函数值等于给定的数据点的函数值。 - 在每个数据点处，函数的一阶导数值等于给定数据点的一阶导数值。

- 在每个数据点处，函数的二阶导数值等于给定数据点的二阶导数值。 - 在数据点之间，函数是一个三次多项式。

2.2 插值函数的构造

要构造三次样条插值函数，我们需要以下步骤： 1. 首先，给定一些数据点，这些数据点包含要插值的函数的值。 2. 然后，计算每个数据点之间的插值多项式的系数。 3. 接下来，定义一个样条函数，它由这些插值多项式组成。 4. 最后，使用这个样条函数来估计未知数据点的值。

三、三次样条插值函数的Python实现

在Python中，我们可以使用SciPy库中的interp1d函数来实现三次样条插值。interp1d函数接受一维数组作为输入，并返回一个能够进行插值的函数对象。

3.1 安装SciPy库

要使用interp1d函数，首先需要安装SciPy库。可以使用以下命令来安装SciPy： pip install scipy

3.2 使用interp1d函数进行插值

以下是使用interp1d函数进行三次样条插值的示例代码：

import numpy as np

from scipy.interpolate import interp1d

# 定义一些数据点

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

样条插值函数 matlab

样条插值函数 matlab

样条插值函数 matlab

样条插值函数是一种广泛应用于数值计算中的插值技术。它的主要功能是使用已经给定的数据点来构建一个连续且平滑的函数，该函数可以通过插值来预测在给定数据点之间的值。在 MATLAB 中，我们可以使用 spline() 函数来实现样条插值函数的操作。

样条插值函数的主要思想是在给定的数据点上构建一组多项式，以实现对在数据点之间位置的函数的插值。这些多项式通常在相邻数据点之间的区间上定义，并满足一系列的平滑条件。在实践中，可以使用不同的插值多项式来构建样条插值函数，例如线性样条，二次样条或三次样条。

为了使用 MATLAB 中的 spline() 函数进行样条插值的操作，我们需要先确定要插值的数据点以及在这些数据点上的值。通常我们会使用一维数组来存储这些数据点的值，例如：

x = [0 0.5 1 1.5 2];

接下来，我们需要为这些数据点上的值生成一个一维数组，例如：

y = [0 0.4794 0.8415 0.9975 0.9093];

为了使用 spline() 函数进行样条插值，我们需要将这些数据点作为输入参数传递给该函数，例如：

yy = spline(x,y);

这将返回一个样条插值函数，可以使用该函数来计算在数据点之间位置的函数值。例如，要计算在 0.25 处的函数值，我们可以使用以下代码：

val = ppval(yy,0.25);

上述代码将返回插值函数在 0.25 处的函数值。我们还可以使用 plot()

函数来可视化样条插值函数的结果，例如：

plot(x,y,'o',0:0.01:2,ppval(yy,0:0.01:2));

该代码将绘制原始数据点以及样条插值函数在给定范围内的函数值。

样条插值函数是一种强大的数值计算技术，可以用于许多科学和工程应用。在 MATLAB 中，我们可以使用 spline() 函数轻松实现样条插值函数的操作并可视化结果。

几种常用的插值方法

几种常用的插值方法

几种常用的插值方法

常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。

1.线性插值：

线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：

y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)

其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。

2.多项式插值：

多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。

- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：

y = Σ(yk * lk(x))

其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：

lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)

- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为： y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))

其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：

finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j)

3.样条插值：

样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。

-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。

-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。三次样条插值具有良好的平滑性和精度。

DEM重采样中双三次样条曲线插值方法的应用

DEM重采样中双三次样条曲线插值方法的应用

DEM重采样中双三次样条曲线插值⽅法的应⽤

DEM重采样(Resample)可⽣成与原始格⽹不同空间分辨率的格⽹DEM，产⽣的结果运⽤在匹配遥感图象分辨率以⽣成三维地形场景，及建⽴细节层次模型（LOD）等⽅⾯。在重采样的过程中，插值计算的⽅法有最近邻域、距离反转加权、双线性、B样条曲线和双三次样条曲线（Bicubic Spline Interpolation）等。本⽂详细介绍最后⼀种⽅法。

1) 在⽤户设置新的分辨率（即基础单元格⽹⼤⼩发⽣变化）后，插值⽣成的结果格⽹与原始格⽹保持不变的是，最⼩和最⼤XYZ轴数值，⽽单元⼤⼩变化导致格⽹的⾏数与列数重新计算。

2) 对结果格⽹初始化后，逐⾏列进⾏每个单元的循环，仅仅差每个单元位置处的Z轴数值，此时以位置为参数（在两个格⽹之间是保持不变的），寻找原始格⽹此处的Z轴数值，此刻可在原始格⽹此位置的邻域运⽤各种插值算法确定这个未知数值。

3) 接下来的⼯作，⾸先找到最接近此位置的单元格，然后确定此单元格邻域4X4的范围内16个元素的Z轴数值，以此位置与单元格的距离差和16个邻域数值为参数，采⽤双三次样条曲线插值⽅法计算未知数值。

double CGV3dDEMGrid::GetValAtPosBiCubicSpline(double dx, double dy, double z_xy[4][4])

{

double a0, a2, a3, b1, b2, b3, c[4];

for(int i=0; i<4; i++)

{

a0 = z_xy[0][i] - z_xy[1][i];

a2 = z_xy[2][i] - z_xy[1][i];

a3 = z_xy[3][i] - z_xy[1][i];

b1 = -a0 / 3.0 + a2 - a3 / 6.0; //求解系数

b2 = a0 / 2.0 + a2 / 2.0;

b3 = -a0 / 6.0 - a2 / 2.0 + a3 / 6.0;