计算方法分段线性_三次样条插值

计算方法分段线性_三次样条插值分段线性和三次样条插值是两种常用的插值方法，在数值分析和插值问题中广泛使用。

1.分段线性插值分段线性插值是一种简单直观的插值方法，将插值区间划分为若干个子区间，在每个子区间上用线性函数进行插值。

假设给定的插值节点有n+1 个，节点为 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，并且满足 x0 <x1 < ... < xn。

则对于任意 xx 使得 x 在 [xi, xi+1] 之间，可以通过线性插值得到其函数值 yy，即：yy = yi + (xx - xi) * (yi+1 - yi) / (xi+1 - xi)分段线性插值方法简单易懂，适用于一些较简单的插值问题。

但是由于插值函数在节点之间是线性的，可能不能准确地反映出数据的特征，因此不适用于一些需要高精度的插值问题。

三次样条插值是一种更复杂、更精确的插值方法，将插值区间划分为若干个子区间，在每个子区间上用三次多项式进行插值。

三次样条插值方法的基本思想是找到一组三次多项式，满足在每个子区间内插值点的函数值和一阶导数值相等，并且两个相邻多项式在节点处的二阶导数值也相等。

具体的求解步骤如下：(1) 假设有 n+1 个插值节点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，构造 n 个三次多项式，即每个多项式在 [xi, xi+1] 之间插值。

(2) 对每个子区间内的多项式进行插值，设第 i 个子区间的多项式为 Si(x) = ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)^2 + di(x-xi)^3、将插值节点的函数值和一阶导数值代入多项式中，可以得到 n 个线性方程，利用这 n 个线性方程可以求解出 n 个子区间的系数。

(3)由于n个子区间的多项式必须在节点处一阶导数值相等，因此再设立n-1个方程，利用这些方程可以求解出n-1个子区间的二阶导数值。

(4)将求解得到的系数和二阶导数值代入每个子区间的多项式中，得到完整的三次样条插值函数。

几种常用的插值方法数学系信息与计算科学1班平指导老师：唐振先摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。

本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。

关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。

引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。

用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite和spine插值和分段线性插值。

一．任意阶多项式插值：1.用单项式基本插值公式进行多项式插值：多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A1+A2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X0,X1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n个点（X,Y）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n个未知系数Ai写出n个方程,这n个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。

虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。

另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。

2.拉格朗日基本插值公式进行插值：先构造一组插值函数L i （x ）=011011()()()()()()()()i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，…n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()ni i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。

插值算法学习视频：⽼师讲得很详细，很受⽤！！！作⽤数模⽐赛中，常常需要根据已知的函数点进⾏数据、模型的处理和分析，⽽有时候现有的数据是极少的，不⾜以⽀撑分析的进⾏，这时就需要使⽤⼀些数学的⽅法，“模拟产⽣”⼀些新的但⼜⽐较靠谱的值来满⾜需求，这就是插值的作⽤，另⼀个不常见的作⽤就是短期预测。

⼀维插值问题定义⽅法分类本⽂重点介绍数学建模常⽤的两种⽅法：三次样条插值和分段三次埃尔⽶特插值插值多项式原理拉格朗⽇插值法⽅法主要有拉格朗⽇插值法，具体不介绍，它会出现龙波现象（在两端处波动极⼤,产⽣明显的震荡）。

但觉得可以出⼀个ACM题。

分段线性插值插值多项式次数⾼精度未必显著提⾼插值多项式次数越⾼摄⼊误差可能显著增⼤如何提⾼插值精度呢采⽤分段低次插值是⼀种办法概念⽜顿插值法评价与拉格朗⽇插值法相⽐，⽜顿插 值法的计算过程具有继承性。

（⽜顿插值法每次插值只和前n项 的值有关，这样每次只要在原来 的函数上添加新的项，就能够产 ⽣新的函数） 但是⽜顿插值也存在龙格现象的 问题。

致命缺点上⾯讲的两种插值仅仅要求插值多项式在插值节点处与被插函数有相等的函数值，⽽这种插值多项式却不能全⾯反映被插值函数的性态。

然⽽在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在所有节点处有相同的函数值，它也需要在⼀个或全部节点上插值多项式与被插函数有相同的低阶甚⾄⾼阶的导数值。

对于这些情况，拉格朗⽇插值和⽜顿插值都不能满⾜埃尔⽶特(Hermite)插值概念保持播值曲线在节点处有切线（光滑），使插值函数和被插函数的密和程度更好。

不但要求在节点上的函数值相等，⽽且还要求对应的导数值也相等,甚⾄要求 ⾼阶导数也相等，满⾜这种要求的插值多项式就是埃尔⽶特插值多项式。

缺点与改进直接使⽤Hermite插值得到的多项式次数较⾼，也存在着龙格现象， 因此在实际应⽤中，往往使⽤分段三次Hermite插值多项式(PCHIP)。

Matlab有内置的函数（实现过程已经帮我们封装好了，会调⽤就⾏了）： p = pchip(x,y,new_x)x是已知的样本点的横坐标;y是已知的样本点的纵坐标;new_x是要插⼊处对应的横坐标三次样条插值Matlab有内置的函数： p = spline(x,y,new_x)x是已知的样本点的横坐标;y是已知的样本点的纵坐标;new_x是要插⼊处对应的横坐标代码% 分段三次埃尔⽶特插值x = -pi:pi; y = sin(x);new_x = -pi:0.1:pi;p = pchip(x,y,new_x);figure(1); % 在同⼀个脚本⽂件⾥⾯，要想画多个图，需要给每个图编号，否则只会显⽰最后⼀个图哦~plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')% plot函数⽤法:% plot(x1,y1,x2,y2)% 线⽅式： - 实线 :点线 -. 虚点线 - - 波折线% 点⽅式： . 圆点 +加号 * 星号 x x形 o ⼩圆% 颜⾊： y黄； r红； g绿； b蓝； w⽩； k⿊； m紫； c青% 三次样条插值和分段三次埃尔⽶特插值的对⽐x = -pi:pi;y = sin(x);new_x = -pi:0.1:pi;p1 = pchip(x,y,new_x); %分段三次埃尔⽶特插值p2 = spline(x,y,new_x); %三次样条插值figure(2);plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'b-')legend('样本点','三次埃尔⽶特插值','三次样条插值','Location','SouthEast') %标注显⽰在东南⽅向% 说明：% LEGEND(string1,string2,string3, …)% 分别将字符串1、字符串2、字符串3……标注到图中，每个字符串对应的图标为画图时的图标。

【插值】插值⽅法原理详解插值问题详解注明出处：1.我在具体的应⽤（如数学建模竞赛）中，常常需要根据已知的函数点进⾏数据、模型的处理和分析，⽽通常情况下现有的数据是极少的，不⾜以⽀撑分析的进⾏，这时就需要使⽤⼀些数学的⽅法，“模拟产⽣”⼀些新的但⼜⽐较靠谱的值来满⾜需求。

⼀般来说，我可以去调⽤MATLAB或者Python的⼀些库函数来实现，这个功能就是“插值”。

然⽽这有个⾮常让我苦恼的问题，我可以从⼿册上知道这个函数实现“三次多项式插值”，那个函数实现“样条插值”.......但究竟在什么情况下使⽤何种插值⽅法呢？若不对插值⽅法做深⼊的学习，这个疑团恐难以解开。

于是，在这个原因驱动之下，我决定对常见、常⽤的插值⽅法⽐较深⼊的学习⼀下。

我希望读者也是基于这个原因来读这篇⽂章，希望我的总结能对你有所帮助。

2. 插值简单讲，插值就是根据已知数据点（条件），来预测未知数据点值得⽅法。

具体来说，假如你有n个已知条件，就可以求⼀个n-1次的插值函数P（x），使得P（x）接近未知原函数f（x），并由插值函数预测出你需要的未知点值。

⽽⼜n个条件求n-1次P（x）的过程，实际上就是求n元⼀次线性⽅程组。

代数插值代数插值就是多项式插值，即所求插值函数为多项式函数：显然，系数a0.....an为所求。

如果已知n+1个条件，需要n+1个⽅程组如下：这时，便可以⽤待定系数求解。

⼀、泰勒插值⾸先需要回顾泰勒多项式：因⽽，泰勒插值的条件就是已知0-n阶的导数：余项：满⾜n阶可导这个条件实在是太苛刻，导致实际上泰勒插值并不常⽤，下⾯介绍拉格朗⽇插值与⽜顿插值，这两种⽅法在本质上是相同的。

⼆、拉格朗⽇插值上⾯引论中提到，⼀般来说多项式插值就是求n-1个线性⽅程的解，拉格朗⽇插值即是基于此思想。

拉格朗⽇创造性的避开的⽅程组求解的复杂性，引⼊“基函数”这⼀概念，使得快速⼿⼯求解成为可能。

DEF：求作<=n 次多项式 p n（x），使满⾜条件p n（x i）= y i，i = 0，1，…，n.这就是所谓拉格朗⽇（ Lagrange）插值先以⼀次（线性）为例，介绍基函数⽅法求解，再推⼴到任意次多项式：已知x0,x1;y0,y1，求P（x）= a0 + a1x，使得P(x)过这两点。

数值分析中常用的插值方法在数值计算中，许多问题都可以用插值方法来近似求解，比如曲线拟合、函数逼近和图像重建等。

插值方法是指在已知数据点的情况下，通过一些数值计算技巧，在每个数据点处构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。

在数据点之间计算函数值时，就可以使用这个多项式函数进行估算。

接下来，我们就来详细介绍一些常见的插值方法。

一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一个经典的插值方法，它的思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数进行逼近。

具体来讲，拉格朗日插值法会首先构造一个基函数，该函数满足只在其对应的数据点处等于1，其余的数据点处等于0。

然后，根据基函数和数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。

最终得到的多项式函数就是插值函数。

优点：简单易懂，使用较为广泛。

缺点：多项式次数较高时造成的误差会较大，且在数据点密集的区域可以出现龙格现象，使得插值函数在某些区间内呈现大幅度振荡。

二、牛顿插值法牛顿插值法是一种递推式的插值方法，它通过利用已知的数据点和前面已经计算出来的差商，得到一个逐步逼近的插值函数。

具体来讲，牛顿插值法会先将已知的数据点连成一条曲线，然后逐个向这条曲线添加新的数据点，每次添加一个新的数据点后，将差商计算出来并加入到之前的差商序列中，最终得到一个多项式函数，它在每个数据点处都能通过数据点。

牛顿插值法的优缺点与拉格朗日插值法相似，但是由于牛顿插值法是递推式的，可以方便的添加新的数据点，因此在数据点多变的情况下，牛顿插值法具有很大的优势。

三、分段插值法分段插值法是一种将插值区间划分为多个子区间的插值方法，在每个子区间内使用插值方法进行插值，然后将所有子区间内的插值函数拼接起来，得到最终的插值函数。

分段插值法主要分为两种：线性分段插值和三次样条插值。

1.线性分段插值线性分段插值的思路很简单，即在每个数据点处构造两条直线，在数据点之间的区间内使用一条直线作为插值函数。

分段线性插值法求插值摘要本文根据题目的要求,利用分段线性插值法对采样点和样本值进行插值计算。

为了更好的评断模型的优化性，我们同时采用了最近点插值，3次多项式插值和3次样条插值法来处理同样的问题，作为分段线性插值方法的参考模型。

根据插值函数计算区间内任意取样点的函数值。

最后再利用所得函数值画出相应的函数图象，并与原函数g(x)的图象进行对比。

通过对本题四个问题的解答，并观察对比函数图象我们得到了如下两个重要的结论：（1）在同一取样点，利用不同的插值方法可能会得到不同的函数值，所得函数值与原函数的标准函数值的误差大小决定了该插值方法的“好坏”。

而最优化的插值方法往往依赖于被插值函数。

本题中，在函数式g(x)对应X,Y的条件下，可以根据对比函数图象明显看出：分段线性插值方法和3次多项式插值方法优于3次样条插值和最近点插值。

（2）在插值计算中，取样点的多少往往会影响所得插值函数优化程度。

一般情况下，取样点越多所得插值函数越优化，对应的函数值与标准函数值越接近。

通过对本题四个问题相应对比函数图象的观察，我们也明显看出：在区间[-6 6]内，当取样点为21，41时，分段线性插值法进行插值计算得到的函数图象基本上与原函数g(x)吻合。

AbstractIn this article ,we use piecewise linear interpolation to compute the sampling point and sample value according to the request of question. In order to judge the model's quality in a better way, we use nearest interpolation, cubic interpolation and spline interpolation regarded as the model reference of piecewise linear interpolation to deal the question in the same way at the same time. Then draw the function picture by function value of any sampling point in the interval of interpolating function. Finally, we make a comparison between the original function g(x) image and the interpolating function image.At the base of analysing the final result and comparing the constrastive image . We can summarize two items of important conclusion as follows:(1)At the same sampling point , different interpolating method canobtain different function value. Usually , the optimizationalgorithm depends on the size of error between the objectfunction value .(2) When processing interpolating compute , the number of thesampling point will make an effect on the quality of a model.Commonly, the more multitudinous the sampling points wereused ,the more precise the interpolation model will be .目录一．问题的重述 (1)二．问题的分析 (1)三．问题的假设 (1)四．分段线性插值原理 (2)五．问题的求解 (2)六．插值方法的优劣性分析 (5)附录 (6)一．问题的重述已知211)(xx g +=,66≤≤-x 用分段线性插值法求插值，绘出插值结果图形，并观察插值误差。

实验一拉格朗日插值、分段线性插值、三次样条插值的比较一、问题提出选择函数y=exp(-x2) (-2≤x≤2),在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。

二、要求通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。

适当增加n，在作比较，由此作初步分析。

三、问题的解答为统一起见，认为题目中的节点指的是中间节点，插值时还要考虑两端点的函数值，故原题目中有 n+2 个插值节点。

以下给出题目所需的 MATLAB 函数，其中参数 count_knot 表示题目中的n ，count_dot 表示题目中的m 。

function result=campare3inter(count_knot,count_dot)%count_knot 中间节点的个数%count_dot 拟合的函数值的个数clfknot=linspace(-2,2,count_knot+2);x=-2:0.01:2;y=exp(-x.^2);y0=exp(-knot.^2);plot(x,y,knot,y0,'ro');%,hold on;x_new=linspace(-2,2,count_dot);y_real=exp(-x_new.^2);%Lagrange 插值y_lagrange=lagrange(knot,y0,x_new);plot(x_new,y_lagrange,'k');hold on;%分段线性插值y_line=zeros(1,length(x_new))count_1=1;for j=1:count_dotfor i=1:count_knot+1if((x_new(j)>=knot(i))&((x_new(j)<=knot(i+1))))%直线的点斜式方程y_line(count_1)=((y0(i)-y0(i+1))/(knot(i)-knot(i+1)))*(x_new(j)-knot(i))+y0(i);count_1=count_1+1;break;end endendplot(x_new,y_line,'b');hold on;%三次样条插值 y_temp=[0 y0 0];pp=csape(knot,y_temp,'second');[breaks,coefs,npolys,ncoefs,dim]=unmkpp(pp);count=1;for j=1:count_dotfor i=1:count_knot+1if((x_new(j)>=knot(i))&((x_new(j)<=knot(i+1))))y_spline(count)=polyval(coefs(i,:),x_new(j)-knot(i));count=count+1;break;end endendplot(x_new,y_spline,'g');%输出原函数值和三种插值函数值的比较结果result=[y_real' y_lagrange' y_line' y_spline']图形输出（n=5,m=50）10.90.80.70.60.50.40.30.20.1-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2绿色：节点和exp(-x2)。

数值分析常用的插值方法数值分析中常用的插值方法有线性插值、拉格朗日插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值等。

下面将对这些插值方法进行详细介绍。

一、线性插值（linear interpolation）线性插值是最简单的插值方法之一、假设已知函数在两个点上的函数值，通过这两个点之间的直线来估计中间点的函数值。

线性插值公式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)和f(x1)是已知的两个点上的函数值，x0和x1是已知的两个点的横坐标。

二、拉格朗日插值（Lagrange interpolation）拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。

它通过多个已知点的函数值构造一个多项式，并利用这个多项式来估计其他点的函数值。

拉格朗日插值多项式的一般形式为：f(x) = Σ[f(xi) * Li(x)] (i=0,1,2,...,n)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(xi)是已知的多个点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。

拉格朗日基函数的表达式为：Li(x) = Π[(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j，i,j=0,1,2,...,n)三、分段线性插值（piecewise linear interpolation）分段线性插值是一种逐段线性近似函数的方法。

通过将整个插值区间分成多个小段，在每个小段上使用线性插值来估计函数的值。

分段线性插值的过程分为两步：首先确定要插值的点所在的小段，在小段上进行线性插值来估计函数值。

四、Newton插值（Newton interpolation）Newton插值也是一种基于多项式的插值方法。

利用差商的概念来构造插值多项式。

Newton插值多项式的一般形式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f[x0,x1]+(x-x0)*(x-x1)*f[x0,x1,x2]+...其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)是已知的一个点的函数值，f[xi,xi+1,...,xi+k]是k阶差商。

17世界后牛顿,拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式.在近代,插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础,许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。

三种插值方法的比较：拉格朗日插值、分段线性插值与三次样条插值三种插值法在处理问题时的比较。

插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1个实点 0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…，f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1个离散数据对｛（i x ，i y ）｝i n ＝0．要估算f(x)在其它点ｘ处的函数值，最常见的一种办法就是插值，即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y (i x )＝f (i x )，i=0，1，…，n ．并以y (x)作为f (x)的近似值．其中y (x)称为插值函数，f (x)称为被插函数．[1,2,3] 选用不同类型的插值函数，逼近的效果不同，下面给出拉格朗日多项式插值、 分段线性插值及三次样条插值在处理问题时的应用比较分析．多项式插值是最常见的一种函数插值．在一般插值问题中，由插值条件可以唯一确定一个次数不超过ｎ的插值多项式满足上述条件．从几何上看可以理解为：已知平面上n+1个不同点，要寻找一条次数不超过ｎ的多项式曲线通过这些点．插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日(Lagrange)插值多项式，另一个是牛顿(Newton)插值多项式．且 Ｌａｇｒａｎｇｅ插值公式恒等于Ｎｅｗｔｏｎ插值公式．分段线性插值与三次样条插值可以避免高次插值可能出现的大幅度波动现象(龙格现象)，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差．为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法———三次样条插值成为比较理想的工具。