关于三次样条插值函数的学习报告(研究生)资料

四、三次样条插值1. 样条函数插值的原理给定区间［a,b］上划分A:a=x<x<<x<x=b，若分段函数S(x)满足:01n-1n1.S(x)在各个子区间［x,x］,i=0,1,,n-1上均为x的三次多项式；ii+12.S(x)在整个区间［a,b］上有直至二阶的连续导数。

则称S(x)为［a,b］上依次划分的三次样条函数，简称样条函数。

具体地有分段表达式：ax3+bx2+cx+d,x G[x,x]000001ax3+bx2+cx+d,x G[x,x]111112S(x)=\ax3+bx2+cx+d,x G[x,x](1)222223ax3+bx2+cx+d,x G[x,x]、°*n-1n—T•••n-1n-1n-1n共有4n个参数a,b,c,d,i=0,1,,n，它们在内节点处满足iiii'S(x)=S(x),…i-0i+0<S'(x)=S'(x),i=1,2,,n-1.(2)i-0i-0S''(x)=S''(x),Ji-0i+0满足样条函数定义的函数集合称为分划A上的三次样条函数空间，记为S(3,A),可以证明S(3,A)为线性空间。

若S(x)G S(3,A)，且进一步满足插值条件S(x)=y=f(x),i=0,1,,n(3)iii其中y为节点x处的给定函数值(若被插函数了(x)已知;••则用了(x)代替之)，iii则称S(x)为以x,x,,x,x为节点的三次样条函数。

01n-1n其中式(3)插值节点提供了n+1个约束条件；加上式(2)的3n-3个，合起来共有4n-2个；欲求4n个待定参数的唯一解；尚缺两个条件。

这两个条件一般由样条函数的边界条件提供。

常用三类边界条件;他们分别与三次样条函数;构成不同边界条件的样条函数插值问题。

2. 三类样条函数插值问题2.1第二类边界条件给定边界条件两端的一阶导数值：S'(x)=y'=m,S'(x)=y'=m000nnn这相当于样条两短处的方向给定(压铁在两端点的压力方向确定)，对应的插值问题如下：对于分划A:a=x<x<<x<x=b,给定节点对应的函数值01n—1ny,y,y,,y,以及两端点处的一阶导数值y'=m,y'=m，求三次样条函数012n00nnS(x)，使…f S(x)=y,i=0,1,,n2iiI S'(x)=m,S'(x)=mJ00n…n2.2第一类边界条件给定边界两端的二阶导数值：S''(x)=y''=M,S''(x)=y''=M000nnn这相当于在样条两端处外加一个力矩，使梁两端点处有相应的曲率。

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY数值分析实验报告三次样条插值方法的应用一、问题背景分段低次插值函数往往具有很好的收敛性，计算过程简单，稳定性好，并且易于在在电子计算机上实现，但其光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线船体放样等型值线往往要求具有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（即所谓的样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让他自由弯曲，然后沿木条画下曲线，称为样条曲线。

样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。

下面我们讨论最常用的三次样条函数及其应用。

二、数学模型样条函数可以给出光滑的插值曲线（面），因此在数值逼近、常微分方程和偏微分方程的数值解及科学和工程的计算中起着重要的作用。

设区间[]b ,a 上给定有关划分b x x n =<<<=Λ10x a ，S 为[]b ,a 上满足下面条件的函数。

● )(b a C S ,2∈；● S 在每个子区间[]1,+i i x x 上是三次多项式。

则称S 为关于划分的三次样条函数。

常用的三次样条函数的边界条件有三种类型：● Ⅰ型 ()()n n n f x S f x S ''0'',==。

● Ⅱ型 ()()n n n f x S f x S ''''0'''',==，其特殊情况为()()0''''==n n x S x S 。

● Ⅲ型 ()()Λ3,2,1,0,0==j x S x S n j j ，此条件称为周期样条函数。

鉴于Ⅱ型三次样条插值函数在实际应用中的重要地位，在此主要对它进行详细介绍。

三、算法及流程按照传统的编程方法，可将公式直接转换为MATLAB可是别的语言即可；另一种是运用矩阵运算，发挥MATLAB在矩阵运算上的优势。

Lab03．三次样条插值实验【实验目的和要求】1．使学生深入理解三次样条插值法，深入进行程序设计能力训练；2．对第一与第二种边界条件，按三弯矩法，通过用Matlab 语言设计计算三次样条插值的程序，以提高学生程序设计的能力。

【实验内容】1．根据Matlab 语言特点，描述三次样条插值法。

2．对第一与第二种边界条件，按三弯矩法，用Matlab 语言设计计算三次样条插值的程序。

3对(1) 自然边界条件0)0.1()2.0(=''=''S S ；(2) 第一种边界条件55741.1)0.1( ,20271.0)2.0(='='S S . 输出用追赶法解出的弯矩向量),,(521M M M 和)1.02.0(i S + (i =0，1，…，8）的值，并画出)(x S y =的图形。

4．完成教材P45例8的计算，并将计算结果与Langrage 插值法计算的结果进行比较，由此说明三次样条插值的优越性。

【实验仪器与软件】1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ；2．Matlab 6.0及以上版本。

实验讲评：实验成绩：评阅教师：2011 年 月 日Lab03．三次样条插值实验一、算法描述1．根据Matlab语言特点，描述三次样条插值法.答：S(x) 在[x j, x j+1]（j=1,2,⋯,n-1）上是三次多项式，于是S"(x)在[x j, x j+1] 上是一次多项式，如果S"(x) 在[x j,x j+1]（j=1,2,⋯,n-1）两端点上的值已知，设S"(x j)=M j，S"(x j+1)=M j+1，则S"(x) 的表达式为：= ，其中h j ＝x j+1-x j，对S"(x) 进行两次积分，则得到1 个具有2二、程序设计2．对第一与第二种边界条件，按三弯矩法，用Matlab语言设计计算三次样条插值的程序。

三次样条实验报告范文三次样条插值的实验报告范文湘潭大学实验报告课程名称计算机图形学实验名称参数三次样条的绘制页数专业计算机科学与技术班级一班同组者姓名学号2022551208姓名刘兆臣实验日期2022.05.05实验目的使学生掌握三次参数样条的定义、画法和程序的编写。

实验内容和要求给定型值点，要求用VC++6.0画出通过给定型值点的参数三次样条曲线。

实验方案设计给定型值点，计算出参数三次样条曲线的每个区间段的代数式，由Hermit曲线定义画出每个区间的曲线。

开始开始给定型值点给定型值点计算出参数计算出参数ifn=1Yifn=1N给系数矩阵赋值给系数矩阵赋值Ifn=2YIfn=2给定系数值给定系数值N求解方程组，计算出各点导数求解方程组，计算出各点导数Ifi<ni=0Ifi<ni=0Y计算第i段的二次项，三次项系数计算第i段的二次项，三次项系数结束结束t=0t=0Ift<tt[i-1]Ift<tt[i-1]NYt=t+et=t+e计算出第i段中各点的某,y值计算出第i段中各点的某,y值连线段连线段i++i++程序运行和实验结果说明和分析。

使用VC++6.0运行程序后得到如下图形图为四段曲线组成的三次参数样条曲线，其中各段的绘制是通过给定了型值点的相关参数计算出型值点的导数，再由Hermit曲线知识，在各段上以直代曲绘制出每段的图形。

基本达到了实验目的，完成实验要求。

性能、扩展性等方面存在的不足和可能的改进之处。

不足：在源代码中的n个点采用了数据初始化的方法给出且给定了型值点的个数。

由于给定型值点较少，三次参数样条曲线看起来不够明显。

可改进：可将初始化的型值点数据去除，采用手动键盘输入或文件输入的方法导入多个型值点数据。

附件一源程序，执行程序，符号列表文件。

#include<graphic.h>#include<math.h>#include<conio.h>main(){intgdriver=DETECT,gmode;float某[100],y[100],a[100],b[100],c[100];floatp某[100],py[100],q某[100],qy[100],tt[100];floatd某[100],dy[100];inti,n=4,t,e=3;floatb某3,b某4=0.0,by3=0.0,by4,c某,cy;initgraph(&gdriver,&gmode,"");for(i=0;i<n;i++) {a[i]=0.0;b[i]=0.0;c[i]=0.0;p某[i]=0.0;py[i]=0.0;d某[i]=0.0;dy[i]=0.0;tt[i]=0.0;q某[i]=0.0;qy[i]=0.0;}p某[0]=1.0;py[0]=1.0;p某[4]=1.0;py[4]=1.0;某[0]=10.0;y[0]=110.0;某[1]=40.0;y[1]=100.0;某[2]=80.0;y[2]=90.0;某[3]=130.0;y[3]=95.0;某[4]=200.0;y[4]=105.0;moveto(某[0],y[0]);for(i=0;i<n;i++)putpi某el(某[i],y[i],15);putpi某el(某[0],y[0],15);for(i=0;i<n;i++)tt[i]=qrt((某[i]-某[i-1])某(某[i]-某[i-1])+(y[i]-y[i-1])某(y[i]-y[i-1]));if(n==1)gotopO;for(i=1;i<=n-1;i++){a[i]=2某(tt[i]+tt[i+1]);b[i]=tt[i+1];c[i]=tt[i];d某[i]=3某(tt[i]某(某[i+1]-某[i])/tt[i+1]+tt[i+1]某(y[i]-y[i+1])/tt[i]);}d某[i]=d某[1]-tt[2]某p某[0];d某[n-1]=d某[n-1]-tt[n-1]某p某[n];dy[1]=dy[1]-tt[2]某py[0];dy[n-1]=dy[n-1]-tt[n-1]某py[n];if(n==2){p某[1]=d某[1]/a[1];py[1]=dy[1]/a[1];gotopO;}c[1]=c[1]/a[1];for(i=2;i<=n-1;i++){a[i]=a[i]-b[i]某c[i-1];c[i]=c[i]/a[i];}q某[1]=d某[1]/a[1];qy[1]=dy[1]/a[1];for(i=2;i<=n-1;i++){q某[i]=(d某[i]-b[i]某q某[i-1])/a[i]; qy[i]=(dy[i]-b[i]某qy[i-1])/a[i];}p某[n-1]=q某[n-1];qy[n-1]=qy[n-1];for(i=n-2;i>=1;i--){p某[i]=q某[i]-c[i]某p某[i+1];py[i]=qy[i]-c[i]某py[i+1];}pO:for(i=0;i<=n-1;i++){b某3=(3某(某[i+1]-某[i])/tt[i+1]-2某p某[i]-p某[i+1])/tt[i+1];b某4=((2某(某[i]-某[i+1])/tt[i+1]+p某[i]+p某[i+1])/tt[i+1])/tt[i+1];by3=(3某(y[i+1]-y[i])/tt[i+1]-2某py[i]-py[i+1])/tt[i+1];by4=((2某(y[i]-y[i+1])/tt[i+1]+py[i]+py[i+1])/tt[i+1])/tt[i+1];t=0;do{t=t+e;c某=某[i]+(p某[i]+(b某3+b某4某t)某t)某t;cy=y[i]+(py[i]+(by3+by4某t)某t)某t;lineto(c某,cy);}while(t<tt[i+1]);}getch();cloegraph();}某[i]i型值点某坐标y[i]i型值点Y坐标a[i]初始赋值方程组系数矩阵mi，i的值b[i]初始赋值方程组系数矩阵mi，i+1的值c[i]初始赋值方程组系数矩阵mi，i-1的值p某[i]i型值点导函数某值py[i]i型值点导函数Y值q某[i],qy[i],d某[i],dy[i]均为解方程组中的各项系数tt[i]第i段参数范围(型值点i-1到型值点i的距离)b某,y3每段函数中二次项的系数b某,y4每段函数中三次项的系数c某每段函数中各点的某值cy每段函数中各点的Y值e作图时每段‘以直代曲’中的参数增量其中方程矩阵形式为：m1,1m1,2p1C1m2,1m2,2m2,3p2C2m3,2m3,3m3,4p3C3............=...mn-1,n-2mn-1,n-1mn-1,npn-1Cn-1mn,n-1mn,npnCn将系数矩阵改写为:其中方程矩阵形式为：(变量与代码变量不对应,如a2不等于a[2]) m1,1m1,2l11u1m2,1m2,2m2,3a2l21u2m3,2m3,3m3,4a3l31u3.........=.........mn-1,n-2mn-1,n-1mn-1,nan-1ln-11un-1mn,n-1mn,nanln1pi对应代码中p某[i],py[i]的值Ci对应代码中q某[i],qy[i]的值附件二运行结果文件。

三次样条函数范文三次样条函数是一个连续的函数，它由一系列的样条插值点组成。

样条插值是用一条连续的曲线连接离散的数据点，可以用于数据拟合、曲线绘制、图像处理和计算机图形学等领域。

三次样条函数在这些应用中是最常用的一种。

三次样条函数在每个插值段都由一个三次多项式表示。

这些多项式在每个插值点都满足插值条件，即通过插值点，并且有连续的一阶和二阶导数。

这样，三次样条函数可以保证在插值区间内的平滑性，并且能够更好地逼近实际数据。

三次样条函数的定义域可分为多个局部区间，在每个区间上通过插值点构造多项式。

两个相邻的插值点之间的区间称为一个插值段。

在每个插值段上，我们需要构造一个三次多项式。

这个多项式有四个系数，分别是a,b,c和d，用来表示多项式的相关特性。

S(x)=S_i(x)=a_i(x-x_i)^3+b_i(x-x_i)^2+c_i(x-x_i)+d_i其中，x_i是插值点的位置，a_i,b_i,c_i和d_i是与插值段i对应的多项式的系数。

为了使得多项式在插值点处满足插值条件，我们可以得到以下的方程组：1.S_i(x_i)=f(x_i)，其中，f(x_i)是已知的插值点的函数值。

2.S_i(x_{i+1})=f(x_{i+1})，同样，f(x_{i+1})也是已知的插值点的函数值。

3.S'_i(x_{i+1})=S'_{i+1}(x_{i+1})，这个条件表明函数在插值点处的一阶导数值相等，为了平滑连接相邻的插值段。

4.S''_i(x_{i+1})=S''_{i+1}(x_{i+1})，这个条件表明函数在插值点处的二阶导数值相等，为了更好地逼近数据。

根据这些条件，我们可以求解出每个插值段的四个系数。

然后，利用这些系数可以计算出在任意位置x上的函数值S(x)，即得到了三次样条函数。

三次样条函数的优点在于其平滑性和在插值区间内呈现出较好的逼近效果。

通过增加插值点的密度，可以进一步增强插值效果。

关于三次样条插值函数的学习报告三次样条插值函数是一种广泛应用于数值分析领域的插值方法，用于逼近一组已知数据点构成的函数。

在这篇学习报告中，我将介绍三次样条插值函数的定义、原理、应用及其优缺点，并通过实际例子说明其如何在实际问题中使用。

一、三次样条插值函数的定义三次样条插值函数是指用分段三次多项式对一组已知数据点进行插值的方法。

具体来说，对于已知数据点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$，三次样条插值函数会在每相邻两个数据点之间构造一个三次多项式，使得这些多项式在相应的数据点上满足插值条件，并且在相邻两个多项式之间满足一定的连续性条件。

二、三次样条插值函数的原理三次样条插值函数的原理是利用三次多项式在每个数据点上的取值和导数值来确定三次多项式的系数，从而构造出满足插值条件和连续性条件的插值函数。

具体来说，对于每个相邻的数据点$(x_i,y_i),(x_{i+1},y_{i+1})$，我们可以构造一个三次多项式$S_i(x)$，满足以下条件：1.$S_i(x_i)=y_i$，$S_i(x_{i+1})=y_{i+1}$，即在数据点上满足插值条件；2.$S_i'(x_{i+1})=S_{i+1}'(x_{i+1})$，$S_i''(x_{i+1})=S_{i+1}''(x_{i+1})$，即在数据点上满足连续性条件。

通过求解上述条件，可以得到每个相邻数据点之间的三次多项式$S_i(x)$，从而得到整个插值函数。

三、三次样条插值函数的应用三次样条插值函数在数值分析领域有广泛的应用，尤其在曲线拟合、数据逼近等问题中起到重要作用。

例如，当我们需要根据已知的离散数据点绘制平滑的曲线图形时，可以使用三次样条插值函数来进行插值，从而得到更加连续和光滑的曲线。

另外，在信号处理、图像处理等领域也常常会用到三次样条插值函数。

例如，在数字图像处理中，我们需要对像素点进行插值以得到更高分辨率的图像，三次样条插值函数可以很好地满足这个需求，使图像更加清晰和真实。

学习报告——三次样条函数插值问题的讨论班级：数学二班学号：*********姓名：***样条函数：由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数；最常用的样条函数为三次样条函数，即由三次多项式组成，满足处处有二阶连续导数。

一、三次样条函数的定义：对插值区间[,]a b 进行划分，设节点011n n a x x x x b -=<<<<=，若函数2()[,]s x c a b ∈在每个小区间1[,]i i x x +上是三次多项式，则称其为三次样条函数。

如果同时满足()()i i s x f x = (0,1,2)i n =，则称()s x 为()f x 在[,]a b 上的三次样条函数。

二、三次样条函数的确定：由定义可设：1012121(),[,](),[,]()(),[,]n n n s x x x x s x x x x s x s x x x x -∈⎧⎪∈⎪=⎨⎪⎪∈⎩其中()k s x 为1[,]k k x x -上的三次多项式，且满足11(),()k k k k k k s x y s x y --== (1,2,,)k n =由2()[,]s x C a b ∈可得：''''''()(),()(),k k k k s x s x s x s x -+-+== 有''1()(),k k k k s x s x -++=''''1()(),(1,2,,1)k k k k s x s x k n -++==-，已知每个()k s x 均为三次多项式，有四个待定系数，所以共有4n 个待定系数，需要4n 个方程才能求解。

前面已经得到22(1)42n n n +-=-个方程，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2个条件，一般上，实际问题通常对样条函数在端点处的状态有要求，即所谓的边界条件。

三次样条插值多项式实验的目的及意义：为了取得理想结果：在不增加更多的插值条件下，能够求得一个插值多项式，既有良好的逼近效果，又有好的光滑性，引进三次样条插值 多项式。

如果已知函数y=f(x)在节点a=x0<x1<…<xn=b 处的函数值和导数值：()i i x f y =，i=0,1,2,…,n如果S(x)满足条件：1. S(x)是一个分段的三次多项式且()i i y x S =；2. S(x)在[a,b]具有二阶连续导数。

则称S(x)是三次样条插值函数。

S(x)的具体形式为：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈=-]12,121,01,[,...............][,][,n n n x x x x s x x x x s x x x x s x s其中()x S i 在[]i i x x ,1-上是三次多项式()iiiiid x c x b x a x S +++=23由插值条件()ii y x S =，i=0,1,2,…,n ，得n+1个条件。

边界条件一：()()nn y x S y x S '',''00== 边界条件二：()()nn y x S y x S '''',''''00==数学公式：()()2211133[2]()[2()]()i i i i i i i i i i ih x x x x h x x x x H x y y h h ---+-----=++2211122()()()()i i i i i i i ix x x x x x x x m m h h -------+ 算法描述：Step1:输入未知数X 及(xi,yi),i=0,1,…,n ； Step2:计算步长H[i]; Step3:计算[][]()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-=+=-+++i i i i i i i ii i i i i x x f x x f u g u hh h ,,311111λλλStep4:根据边界条件，求解相应的方程得到m0,m1,…, mn Step5:判断X 属于[]i i x x ,1-，i=1,2,…,n 中的哪一个Step6:计算()x s y i i ≈Step7:输出y. 程序原代码如下： #include "stdio.h" #define N 5 void main() { int i,k; float X,s,y0,yn;float a[N][N+1],h[N],u[N],v[N],g[N],m[N],p[N],q[N],w[N];printf("please input X:"); //X 为未知数的大小scanf("%f",&X);printf("please input x:"); //输入x的大小for(i=0;i<N;i++)scanf("%f",&a[i][0]);printf("please input y:"); //输入y的大小for(i=0;i<N;i++)scanf("%f",&a[i][1]);for(i=1;i<N;i++)h[i]=a[i][0]-a[i-1][0]; //计算步长for(i=1;i<N;i++){v[i]=h[i+1]/(h[i]+h[i+1]);u[i]=1-v[i];g[i]=3*u[i]*(a[i+1][1]-a[i][1])/h[i+1]+3*v[i]*(a[i][1]-a[i-1][1])/h[i]; }printf("\t(1)已知边界条件1\n");printf("\t(2)已知边界条件2\n");printf("请选择边界条件序号:");scanf("%d",&k);if(k==1){printf("请输入y0和yn的一阶导:"); //输入边界条件一scanf("%f%f",&m[0],&m[N-1]);p[0]=0; //用追赶法求解m[N]q[0]=0;g[1]=g[1]-v[1]*m[0];g[N-2]=g[N-2]-u[N-2]*m[N-1];for(i=1;i<N;i++){w[i]=2-u[i]*p[i-1];p[i]=v[i]/w[i];q[i]=(g[i]-u[i]*q[i-1])/w[i];}m[N-2]=q[N-2];for(i=N-3;i>0;i--)m[i]=q[i]-p[i]*m[i+1];printf("输出m[i]的值:\n");for(i=0;i<N;i++)printf("%f\n",m[i]);for(i=1;i<N;i++) //计算最终结果if(X>a[i-1][0]&&X<a[i][0])s=(h[i]+2*(X-a[i-1][0]))*(X-a[i][0])*(X-a[i][0])*a[i-1][1]/(h[i]*h[i]*h[i]) +(h[i]-2*(X-a[i][0]))*(X-a[i-1][0])*(X-a[i-1][0])*a[i][1]/(h[i]*h[i]*h[i])+ (X-a[i-1][0])*(X-a[i][0])*(X-a[i][0])*m[i-1]/(h[i]*h[i])+(X-a[i-1][0])*(X-a[i-1][0])*(X-a[i][0])*m[i]/(h[i]*h[i]);printf("s(%f)=%f\n",X,s);}if(k==2){printf("请输入y0和yn的二阶导:"); //输入边界条件二scanf("%f%f",&y0,&yn);g[0]=3*(a[1][1]-a[0][1])/h[1]-h[1]*y0/2;g[N-1]=3*(a[N-1][1]-a[N-2][1])/h[N-1]+h[N-1]*yn/2;q[0]=g[0];u[0]=1;v[N-1]=1;w[0]=2;for(i=1;i<N;i++){w[i]=2-v[i]*u[i-1]/w[i-1];q[i]=g[i]-v[i]*q[i-1]/w[i-1];}m[N-1]=q[N-1]/w[N-1];for(i=N-2;i>=0;i--)m[i]=(q[i]-u[i]*m[i+1])/w[i];printf("输出m[i]的值:\n");for(i=0;i<N;i++)printf("%f\n",m[i]);for(i=1;i<N;i++)if(X>=a[i-1][0]&&X<=a[i][0])s=(h[i]+2*(X-a[i-1][0]))*(X-a[i][0])*(X-a[i][0])*a[i-1][1]/(h[i]*h[i]*h[i]) +(h[i]-2*(X-a[i][0]))*(X-a[i-1][0])*(X-a[i-1][0])*a[i][1]/(h[i]*h[i]*h[i])+ (X-a[i-1][0])*(X-a[i][0])*(X-a[i][0])*m[i-1]/(h[i]*h[i])+(X-a[i-1][0])*(X-a[i-1][0])*(X-a[i][0])*m[i]/(h[i]*h[i]);printf("s(%f)=%f\n",X,s);}}数值计算：已知y=f(x)的如下数值求三次样条插值函数S（x），满足条件1.s’(0)=0,s’(4)=482.s’’(0)=0,s’’(4)=24Please input X:2.5Please input x:0 1 2 3 4 Please input y:-8 -7 0 19 56(1)已知边界条件1(2)已知边界条件2请选择边界条件的序号:1请输入y0和yn的一阶导:0 48 0.0000003.00000012.00000027.00000048.000000s(2.500000)=7.625000press any key tocontinue请选择边界条件的序号:2请输入y0和yn的二阶导:0 24 -0.0000003.00000011.99999927.00000248.0000007.625000press any key tocontinue s(2.500000)=7.625000 对计算结果进行评价分析：()()443845h M x S x f ≤-三次样条插值函数与三次Hermite 插值函数相比，不仅光滑度有提高，而且要求求解时还不需要增加内节点处的导数值，因此比较实用。

实验报告：牛顿差值多项式&三次样条问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数21()25f x x作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。

实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。

应用所编程序解决实际算例。

实验要求：1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。

实验原理：详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。

实验内容：（1）牛顿插值多项式1.1 当n=10时：在Matlab 下编写代码完成计算和画图。

结果如下：代码：clear allclcx1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);n=length(x1);f=y1(:);for j=2:nfor i=n:-1:jf(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms F x p;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2:nF(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));p(i)=f(i)*F(i);endsyms PP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);x0=-1:0.001:1;y0=subs(P,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)grid onxlabel('x')ylabel('y')P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36* x^4+2.0202e-14*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。

关于三次样条插值的教学研究摘要：三次样条插值是一种常用的数据拟合方法，可以在数据点之间建立平滑的曲线。

本研究旨在探讨三次样条插值的教学方法和效果。

通过案例分析和实验研究，我们发现三次样条插值的教学可以通过让学生理解插值原理、掌握插值算法和应用样条插值进行实际问题的求解等多方面的方法来实现。

此外，我们还分析了教学评价问题，并提出了提高三次样条插值教学质量的建议。

关键词：三次样条插值、教学、案例分析、实验研究、教学评价。

正文：引言三次样条插值是一种常用的数据拟合方法，它可以在数据点之间建立平滑的曲线。

这种方法广泛应用于数学、物理、工程等领域中的数据处理和分析。

因此，三次样条插值的教学需要让学生掌握它的原理和算法，并能够应用它解决实际问题。

本研究旨在探讨三次样条插值的教学方法和效果。

一、案例分析我们收集了一些案例，旨在通过实际应用的方式帮助学生理解三次样条插值的原理和算法。

例如，我们可以让学生通过拟合已知数据点，建立一个目标函数来预测未知数据点的取值。

通过这样的案例，学生可以掌握插值算法以及插值方法的优缺点等。

二、实验研究在教学过程中，我们进行了实验研究，旨在评估学生对三次样条插值的学习效果和应用情况。

我们利用实验数据、模拟数据和真实数据等，让学生自己编写程序来应用三次样条插值算法进行拟合和预测。

通过实验研究，我们发现学生的应用水平和创新能力都得到了提高，同时我们也发现了一些教学方法上的问题和改进点。

三、教学评价问题在教学评价方面，我们注意到学生的评价可能受到误导或者缺乏意义。

例如，学生可能会过于关注算法的细节而忽略了方法的实际应用，或者过于依赖某一种插值方法而缺乏对多种插值方法的比较和评价。

因此，我们需要引导学生关注实际应用和方法评价等方面。

结论与建议通过案例分析和实验研究，我们认为三次样条插值的教学可以通过多种方法来实现，包括让学生理解插值原理、掌握插值算法和应用样条插值进行实际问题的求解等。

同时，我们也发现了一些教学评价问题，并提出了一些建议，希望能够提高三次样条插值教学的质量。

数值逼近实习报告题目：三次样条插值II班级：计算111班学号：3110811009姓名：刘艳平指导老师：秦新强2013-3题目：三次样条插值（三转角算法） 姓名：刘艳平 学号：3110811009 一、目的意义以上我们讨论的分段线性插值，逼近程度虽然好，但光滑性差，分段三次Hermite 插值，逼近程度好，光滑性也有所提高，但也增加了更多的条件，不太实用。

接下来我们研究的三次样条插值多项式，这就结合二者的优点，即逼近程度虽然好，光滑性强，不需要增加太多的条件，很实用。

当已知区间两个端点的导数值时，既满足边界条件1，用三弯矩算法来求解，相对简单，且很准确。

二、数学公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈-],[),(............],[),(],[),(1212101n n nx x x x s x x x x s x x x x s 具体：iii i i ii i iii i i i ii i i i m h x x x x m h x x x x y h x x x x h y h x x x x h x s 22112213211321))(())(())]((2[))]((2[)(--------+--+---+--+=其中：n i x x x x x h i i i i i ,...,2,1],,[,11=∈-=-- i i i i y x s y x s ==--)(,)(11需要求出：ii i i m x s m xs ='='--)(,)(11三、计算流程 Step 1:输入节点n x x x ,...,,10，函数值ny y y ,...,,10,边界条件及x.Step 2:计算⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=+=-++++]),[],[(3111111i i i i i i i ii i ii i i i i x x f x x f g h h h h h h λμλμλStep 3：根据边界条件，求解相应的方程得到nm m m ,...,,10.Step 4：判断x 属于],[1i i x x -，i=1,2,...,n中的那一个.Step 5：计算)(x s y i ≈.Step 6：输出y. 四、代码#include <iostream.h> //三次样条三转角边界条件1 #include "process.h" #define N 2 #define M 4double a[N],d[N],c[N],p[N],q[N],b[N],xx[N]; void p_q() { int k; if(d[0]==0) {cout<<"Method failed"<<endl;exit(0);}p[0]=d[0];q[0]=c[0]/p[0];for(k=1;k<N-1;k++){p[k]=d[k]-a[k]*q[k-1];if(p[k]==0){cout<<"Method failed"<<endl; exit(0);}q[k]=c[k]/p[k];}p[N-1]=d[N-1]-a[N-1]*q[N-2]; if(p[N-1]==0){cout<<"Method failed"<<endl; exit(0);}}void jisuan(){int k;double y[N];y[0]=b[0]/p[0];for(k=1;k<=N-1;k++)y[k]=(b[k]-a[k]*y[k-1])/p[k];xx[N-1]=y[N-1];for(k=N-2;k>=0;k--)xx[k]=y[k]-q[k]*xx[k+1];for(k=0;k<N;k++)cout<<"m的值为:"<<xx[k]<<'\t'<<endl;}void main(){double X[M],Y[M],h[M],v[M],u[M],m[M],g[M],mm[M]; int i;double x,y1,y2,w1,w2,w3,w4,w,hh;cout<<"输入已知点的X坐标:"<<endl;for(i=0;i<M;i++)cin>>X[i];cout<<"输入已知点的Y坐标:"<<endl;for(i=0;i<M;i++)cin>>Y[i];cout<<"输入边界条件:"<<endl;cin>>y1>>y2;cout<<"输入需要计算的x值:"<<endl;cin>>x;for(i=1;i<M;i++){h[i]=X[i]-X[i-1];}for(i=1;i<M-1;i++){v[i]=h[i+1]/(h[i]+h[i+1]);u[i]=h[i]/(h[i]+h[i+1]);g[i]=3*((v[i]*(Y[i+1]-Y[i])/(X[i+1]-X[i]))+(u[i]*(Y[i]-Y[i-1])/(X[i]-X[i-1])));}a[0]=0;b[0]=g[1]-v[1]*y1;for(i=1;i<N;i++)a[i]=v[i+1];for(i=0;i<N;i++)d[i]=2;for(i=0;i<N;i++)c[i]=u[i+1];for(i=1;i<N;i++)b[i]=g[i+1];p_q();jisuan();mm[0]=y1;mm[1]=xx[0];mm[2]=xx[1];mm[3]=y2;for(i=1;i<M;i++){hh=X[i]-X[i-1];if(x>=X[i-1]){w1=((hh+(x-X[i-1])*2)*(x-X[i])*(x-X[i])*Y[i-1])/(hh*hh*hh);w2=((hh-(x-X[i])*2)*(x-X[i-1])*(x-X[i-1])*Y[i])/(hh*hh*hh);w3=((x-X[i-1])*(x-X[i])*(x-X[i])*mm[i-1])/(hh*hh);w4=((x-X[i])*(x-X[i-1])*(x-X[i-1])*mm[i])/(hh*hh);w=w1+w2+w3+w4;}}cout<<"x 点的结果为"<<w<<endl; }五、数值实例已知函数y=f(x),的如下数据，试求其在区间]3,0[上的三次样条插值函数S(x). X 0 1 2 3 Y0 1 0 1 y '1解：在此题中，解得：151,15421=-=m m其中：0,130==m m ，一起带入上边公式即可得到所求的三次样条函数如下⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈--+---=∈--+------=∈---+--=]3,2[,)3)(2(151)2)](3(21[)(]2,0[),2()1(151)2)(1(154)2)](1(21[)(]1,0[),1(154)1()]1(21[)(22322222221x x x x x x s x x x x x x x x s x x x x x x x x s 假设，求出x=1.5处的函数值为：0.458333 程序运行结果截图如下：六、对计算机结果进行分析评价三次样条插值函数与三次Hermite插值函数相比，不仅光滑度有提高，而且要求求解时还不需要增加内节点处的导数值，因此比较实用。

三次样条函数范文三次样条函数是一种常用于数据拟合和插值的数学函数。

它由一系列的三次多项式组成，这些多项式在相邻的数据点之间形成平滑的曲线。

三次样条函数具有良好的局部逼近性和全局连续性，并且在拟合和插值问题中常常比其他方法表现更好。

在介绍三次样条函数之前，我们先了解一下样条函数的基本概念。

样条函数是由一系列的分段多项式组成，这些分段多项式通常在相邻的数据点上是连续的，并且可以通过插值或拟合得到。

在三次样条函数中，每个分段多项式都是三次的，也就是说它们是形如ax^3+bx^2+cx+d的函数。

1.插值条件：三次样条函数要通过给定的数据点。

也就是说，对于给定的数据点(x_i,y_i)，三次样条函数在每个数据点上的函数值与给定数据点上的函数值相等。

2.连续条件：三次样条函数在相邻的数据点上是连续的。

也就是说，对于相邻的数据点(x_i,y_i)和(x_{i+1},y_{i+1})，三次样条函数在这两个数据点的连接处是连续的。

3.平滑条件：三次样条函数在相邻的数据点上的一阶导数是连续的。

也就是说，对于相邻的数据点(x_i,y_i)和(x_{i+1},y_{i+1})，三次样条函数在这两个数据点的连接处的一阶导数相等。

通过满足这些条件，三次样条函数能够在拟合和插值问题中产生较好的结果。

在插值问题中，三次样条函数可以通过给定的数据点得到一条曲线，使得曲线经过所有的数据点；在拟合问题中，三次样条函数可以通过最小化数据点与曲线之间的误差来找到一个最佳拟合曲线。

通常，我们将数据点按照自变量的大小进行排序，然后使用三次样条插值B-spline或自由节点插值来构造三次样条函数。

在B-spline插值中，我们将样条函数表示为一组基函数的线性组合，通过调整基函数的权重来得到插值结果。

在自由节点插值中，我们将样条函数的节点选择为数据点，并通过求解线性方程组来确定系数。

总结起来，三次样条函数是一种常用于数据拟合和插值的数学函数。

三次样条插指函数的研究的开题报告一、选题背景与意义三次样条插值是数值分析中一个重要的插值方法，主要应用于数据分析和函数逼近。

三次样条插值基于一种非常灵活的方法，可以根据给定的离散数据点来生成一条光滑的曲线，在实际应用中非常广泛。

三次样条插值方法的学习和研究，不仅可以提高我们对数值分析理论的理解，还可以运用于实际问题的解决，尤其在科学与工程领域中十分实用。

因此，研究三次样条插值方法对于我们的学习和实际应用都非常重要。

二、研究目的本次研究的主要目的是：1.掌握三次样条插值方法的基本原理和计算方法；2.探究三次样条插值方法在实际问题中的应用场景及其优劣性；3.通过MATLAB等工具对三次样条插值方法进行实现和计算。

三、研究内容1.三次样条插值函数的定义和性质2.三次样条插值函数的构造原理3.三次样条插值函数的计算方法4.三次样条插值函数的应用场景5.三次样条插值函数在MATLAB中的实现四、研究方法本研究主要采用文献研究法和实验计算法相结合的方法。

1.文献研究法：通过查阅相关文献，系统地学习和掌握三次样条插值的理论基础、构造原理与计算方法等方面的知识。

2.实验计算法：在掌握了理论知识的基础上，通过MATLAB等工具对三次样条插值方法进行实际计算。

可以通过对实际数据的插值计算和比较，进一步验证三次样条插值方法的优劣性和适用性。

五、预期成果1.撰写一份详细的研究报告，介绍三次样条插值的原理、方法、应用场景和实现过程等方面的内容。

2.通过实际计算和比较，探讨三次样条插值方法的优劣性。

3.对三次样条插值方法的理论和实际应用进行总结和归纳。

六、实施进度时间完成内容第一周阅读相关文献，进行研究计划的制定、开题报告的撰写第二周学习三次样条插值方法的基本原理和计算方法第三周探究三次样条插值方法在实际问题中的应用场景及其优劣性第四周通过MATLAB等工具对三次样条插值方法进行实现和计算，收集实验数据第五周对实验数据进行分析和比较，并总结三次样条插值方法的特点和适用范围第六周撰写研究报告，准备汇报材料七、参考文献1. Burden, R. L., & Faires, J. D. (1985). Numerical Analysis (3rd ed.). Boston: Prindle, Weber & Schmidt.2. Gray, A. (2014). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (3rd ed.). Boca Raton: CRC Press.3. 林冷.数值分析.上海：复旦大学出版社，2005.4. Yu, J., & Su, Y. (2017). Multistep collocation method for solving the fractional differential equation with Caputo derivative. Advances in Difference Equations, 2017(1), 1-13.。

数值计算实验—实验报告2一、实验项目：第二类边界条件三次样条插值二、实验目的和要求a.通过本实验深入地理解三次样条插值多项式的基本原理b.通过数值算例更好的领会三次样条插值多项式具有较高的准确性三、实验内容1.用调试好的程序解决如下问题：点中点处的函数值，并将计算结果与sinx在相应点的数值相比较。

n=8;p1=0.4794;pn=0.9463;u=[0.6,0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8];p=7;x=[0.5,0.7,0.9,1.1,1.3,1.5,1.7,1.9];y=[0.4794,0.6442,0.7833,0.8912,0.9636,0.9975,0.9917,0.9463];for i=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);enda2(1)=1;g(1)=3*(y(2)-y(1))/h(1)-p1*h(1)/2;for k=2:n-1a1(k-1)=h(k)/(h(k)+h(k-1));a2(k)=h(k-1)/(h(k)+h(k-1));g(k)=3*a2(k)*(y(k+1)-y(k))/h(k)+3*a1(k-1)*(y(k)-y(k-1))/h(k-1); enda1(n-1)=1;g(n)=3*(y(n)-y(n-1))/h(n-1)+pn * h(n-1)/2;%追赶法求三转角方程b1(1)=2;m(1)=g(1)/2;b2(1)=a2(1)/b1(1);for i=2:nb1(i)=2-a1(i-1)*b2(i-1);if(i~=n)b2(i)=a2(i)/b1(i);endm(i)=(g(i)-a1(i-1)*m(i-1))/b1(i);endfor i=n-1:-1:1m(i)=m(i)-b2(i)*m(i+1);endfor j=1:pfor i=1:nif((u(j)>=x(i))&&(u(j)<x(i+1)))k=i;break;endends(j)=0;s(j)=s(j)+(h(k)+2*(u(j)-x(k)))*(u(j)-x(k+1))^2*y(k)/(h(k))^3;s(j)=s(j)+(h(k)-2*(u(j)-x(k+1)))*(u(j)-x(k))^2*y(k+1)/(h(k))^3;s(j)=s(j)+(u(j)-x(k))*(u(j)-x(k+1))^2*m(k)/(h(k))^2;s(j)=s(j)+(u(j)-x(k+1))*(u(j)-x(k))^2*m(k+1)/(h(k))^2;end（2）.运行结果3. 根据Lagrange插值多项式基本原理编制程序，并计算下面的数值算例：=-5+kh,其中h=10/n,n=10,20,40.给定函数f(x)=1/(1+x^2)（-5≤x≤5），取等距节点xk边界条件为S''(x0)=f''(x0),S''(x n)=f''(x n).用上述算法计算S10(x),S20(x), S40(x),并与函数f(x)以及10次Lagrange插值多项式L10(x)在给定点处的函数值进行比较。

实验报告：牛顿差值多项式&三次样条... . (1)问题：在区间［-1,1］上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数f (x)---作多项式插25 x 2值及三次样条插值对每个n值，分别画出插值函数矽(x)的图形。

实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。

应用所编程序解决实际算例。

实验要求：1.认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用；2.编写相关程序并进行实验；3.调试程序，得到最终结果；4.分析解释实验结果；5.按照要求完成实验报告。

实验原理：详见《数值分析第5版》第二章相关容。

实验容：(1)牛顿插值多项式1.1 当 n=10 时：在Matlab下编写代码完成计算和画图。

结果如下：代码：clear allclcx1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*x1.八2);n=length(x1);f=y1(：);for j=2:nfor i=n:-1:jf(i) = (f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms F x p;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2:nF(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));p(i)=f(i)*F(i);endsyms PP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);x0=-1:0.001:1;y0=subs(P,x,x0);y2=subs(1/(1+25火x八2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)grid onxlabel('x')ylabel('y')P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x ）=-220.94*x A10+494.91*x A8-9.5065e-14*x A7-381.43*x A6-8.504e-14*x A5+123.36*x A4+2.0202e-14*x A3-16.855*x A2-6.6594e-16*x+1.0并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在［-1，1］上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。

关于三次样条插值函数的学习报告三次样条插值函数是一种常用的插值方法，它利用多项式函数的特性来逼近一组数据点，并且具有较高的精度和平滑性。

本学习报告将对三次样条插值函数进行详细介绍，并探讨其在实际应用中的优缺点。

首先，三次样条插值函数的数学表达式可以表示为：S(x) = \sum_{i=0}^n {a_i(x-x_i)^3 + b_i(x-x_i)^2 + c_i(x-x_i) + d_i}其中，n是数据点的数量，a_i、b_i、c_i、d_i是通过求解一系列方程得到的系数。

这些方程的目标是使得插值函数在每个数据点之间的一阶和二阶导数连续。

对于每个区间[x_i,x_{i+1}]，我们可以得到一个关于未知系数a_i、b_i、c_i、d_i的线性方程组。

通过求解这些方程组，我们可以确定插值函数在每个区间的系数。

最终，我们得到一个全局的三次插值函数，它在整个插值区域内都具有较高的拟合精度。

三次样条插值函数的优点之一是它可以通过调整插值区间的数量来灵活控制插值的精度。

当插值区间数量增加时，插值函数与原始数据点之间的误差会减小，从而获得更精确的插值结果。

另外，三次样条插值函数还具有较好的平滑性，能够克服其他插值方法中可能出现的震荡现象，使得插值函数更加平滑。

然而，三次样条插值函数也存在一些缺点。

首先，它对于数据点分布较为密集的情况下，有时会出现振荡现象，导致插值函数不够平滑。

其次，三次样条插值函数在插值区间的两个端点附近可能无法很好地逼近原始数据。

这是因为在每个区间的端点处，插值函数需要满足特定的边界条件，通常是一阶或二阶导数为零。

这种约束可能导致插值函数在端点处的拟合程度较低。

为了解决上述问题，可以使用更高阶的样条插值函数，如五次样条插值函数。

五次样条插值函数通过增加插值函数的阶数，以获取更高的拟合精度和平滑性。

此外，还可以尝试使用其他插值方法，如非均匀插值、基函数插值等，以应对不同的插值需求。

总结来说，三次样条插值函数是一种精度较高且平滑的插值方法，具有较好的数学属性。

关于三次样条插值的教学研究近年来，随着科技的发展和数学理论的不断完善，三次样条插值作为一种高效、精确的数学方法，被广泛应用于各个领域。

在大学数学课程中，三次样条插值也成为了重要的教学内容之一。

本文将从教学角度出发，探讨三次样条插值的基本理论、常见应用以及教学方法。

一、三次样条插值的基本理论三次样条插值是一种函数逼近方法，其基本思想是将给定的数据点，用一条光滑的曲线来连接。

三次样条插值的名称中，三次指的是用三次多项式来逼近数据点，样条则是指连接数据点的曲线是由一段段的小曲线拼接而成的。

三次样条插值的实现需要满足以下两个条件：一是通过所有的数据点，即曲线必须经过所有给定的点；二是曲线应该尽可能平滑，即在相邻的两个数据点之间，曲线的一阶导数和二阶导数应该连续。

为了实现这两个条件，我们可以将整个数据区间分成若干小段，每个小段内用一个三次多项式来逼近数据点。

这样，我们就得到了一个分段函数，即三次样条插值函数。

在每个小段内，三次样条插值函数的表达式为：S(x)=a+bx+cx^2+dx^3其中，a、b、c、d是待求的系数，x是小段内的自变量。

为了求解这些系数，我们需要满足以下条件：1.在每个小段内，插值函数必须通过该段的两个端点，即S(x_i)=y_i，S(x_{i+1})=y_{i+1}。

2.在相邻两个小段的交界处，插值函数的一阶导数和二阶导数连续，即S'(x_i+1)=S'(x_i)，S''(x_i+1)=S''(x_i)。

通过对这些条件的求解，我们可以得到每个小段内的系数，从而构造出整个三次样条插值函数。

二、三次样条插值的常见应用三次样条插值在实际应用中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1.数值逼近：三次样条插值可以用来逼近一些复杂的、非线性的函数，从而实现数值计算。

2.图像处理：三次样条插值可以用来对图像进行放缩、旋转等变换，从而实现图像处理。