三次样条插值作业题

问题
分段低次插值
在处理实际问题时，总是希望将所得到的数据点用得越多越好。

最简单的方法是用直线将函数值点直接连接。

分段低次插值
基本思想：用分段低次多项式来代替单个多项式。

具体作法：(1) 把整个插值区间分割成多个小区间；
(2) 在每个小区间上作低次插值多项式；
(3) 将所有插值多项式拼接整一个多项式。

优点：公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性…
缺点：节点处的导数不连续，失去原函数的光滑性。

三次样条函数
样条函数
由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数。

最常用的样条函数为三次样条函数，即由三次多项式组成，满足处处有二阶连续导数。

定义设节点a =x 0< x 1 < …< x n -1 < x n =b ，若函数
在每个小区间[x i , x i +1 ]上是三次多项式，则称其为三次样条函数。

如果同时满足s (x i ) = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，则称s (x ) 为f (x ) 在[a , b ]上的三次样条函数。

],[)(2b a C x s ∈
利用线性插值公式，即可得的表达式：
求导得：
即：
：第一类边界条件（缺省边界条件）。

文章标题：深度解析Matlab三次样条插值1. 前言在数学和工程领域中，插值是一种常见的数值分析技术，它可以用来估计不连续数据点之间的值。

而三次样条插值作为一种常用的插值方法，在Matlab中有着广泛的应用。

本文将从简单到复杂，由浅入深地解析Matlab中的三次样条插值方法，以便读者更深入地理解这一技术。

2. 三次样条插值概述三次样条插值是一种利用分段三次多项式对数据点进行插值的方法。

在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。

该函数需要输入数据点的x和y坐标，然后可以根据需要进行插值操作。

3. 三次样条插值的基本原理在进行三次样条插值时，首先需要对数据点进行分段处理，然后在每个分段上构造出一个三次多项式函数。

这些多项式函数需要满足一定的插值条件，如在数据点处函数值相等、一阶导数相等等。

通过这些条件，可以得到一个关于数据点的插值函数。

4. Matlab中的三次样条插值实现在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。

通过传入数据点的x和y坐标，可以得到一个关于x的插值函数。

spline函数也支持在已知插值函数上进行插值点的求值，这为用户提供了极大的灵活性。

5. 三次样条插值的适用范围和局限性虽然三次样条插值在许多情况下都能够得到较好的插值效果，但也存在一些局限性。

在数据点分布不均匀或有较大噪音的情况下，三次样条插值可能会出现较大的误差。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。

6. 个人观点和总结通过对Matlab中三次样条插值的深度解析，我深刻地理解了这一插值方法的原理和实现方式。

在实际工程应用中，我会根据数据点的情况选择合适的插值方法，以确保得到准确且可靠的结果。

我也意识到插值方法的局限性，这为我在实际工作中的决策提供了重要的参考。

通过以上深度解析，相信读者已经对Matlab中的三次样条插值有了更加全面、深刻和灵活的理解。

在实际应用中，希望读者能够根据具体情况选择合适的插值方法，以提高工作效率和准确性。

例1 设)(x f 为定义在[0,3]上的函数，有下列函数值表：且2.0)('0=x f ，1)('3-=x f ，试求区间[0,3]上满足上述条件的三次样条插值函数)(x s本算法求解出的三次样条插值函数将写成三弯矩方程的形式：)()6()()6()(6)(6)(211123131j j jj j j jj j j j jj j jj x x h h M y x x h h M y x x h M x x h M x s --+--+-+-=+++++其中，方程中的系数jj h M 6，jj h M 61+，jj j j h h M y )6(2-，jjj j h h M y )6(211++-将由Matlab代码中的变量Coefs_1、Coefs_2、Coefs_3以及Coefs_4的值求出。

以下为Matlab 代码：%============================= % 本段代码解决作业题的例1 %============================= clear all clc% 自变量x 与因变量y ，两个边界条件的取值 IndVar = [0, 1, 2, 3]; DepVar = [0, 0.5, 2, 1.5];LeftBoun = 0.2;RightBoun = -1;% 区间长度向量，其各元素为自变量各段的长度h = zeros(1, length(IndVar) - 1);for i = 1 : length(IndVar) - 1h(i) = IndVar(i + 1) - IndVar(i);end% 为向量μ赋值mu = zeros(1, length(h));for i = 1 : length(mu) - 1mu(i) = h(i) / (h(i) + h(i + 1));endmu(i + 1) = 1;% 为向量λ赋值lambda = zeros(1, length(h));lambda(1) = 1;for i = 2 : length(lambda)lambda(i) = h(i) / (h(i - 1) + h(i)); end% 为向量d赋值d = zeros(1, length(h) + 1);d(1) = 6 * ( (DepVar(2) - DepVar(1) ) / ( IndVar(2) - IndVar(1) ) - LeftBoun) / h(1); for i = 2 : length(h)a = ( DepVar(i) - DepVar(i - 1) ) / ( IndVar(i) - IndVar(i - 1) );b = ( DepVar(i + 1) - DepVar(i) ) / ( IndVar(i + 1) - IndVar(i) );c = (b - a) / ( IndVar(i + 1) - IndVar(i - 1) );d(i) = 6 * c;endd(i + 1) = 6 *( RightBoun - ( DepVar(i + 1) - DepVar(i) ) / ( IndVar(i + 1) - IndVar(i) ) ) / h(i);% 为矩阵A赋值% 将主对角线上的元素全部置为2A = zeros( length(d), length(d) );for i = 1 : length(d)A(i, i) = 2;end% 将向量λ的各元素赋给主对角线右侧第一条对角线for i = 1 : length(d) - 1A(i, i + 1) = lambda(i);end% 将向量d的各元素赋给主对角线左侧第一条对角线for i = 1 : length(d) - 1A(i + 1, i) = mu(i);end% 求解向量MM =A \ d';% 求解每一段曲线的函数表达式for i = 1 : length(h)Coefs_1 = M(i) / (6 * h(i));Part_1 = conv( Coefs_1, ...conv( [-1, IndVar(i + 1)], ...conv( [-1, IndVar(i + 1)], [-1, IndVar(i + 1)] ) ) ); S_1 = polyval (Part_1, [IndVar(i) : 0.01 : IndVar(i + 1)]);Coefs_2 = M(i + 1)/(6 * h(i));Part_2 = conv( Coefs_2, ...conv( [1, -IndVar(i)], ...conv( [1, -IndVar(i)], [1, -IndVar(i)] ) ) );S_2 = polyval (Part_2, [IndVar(i) : 0.01 : IndVar(i + 1)]);Coefs_3 = (DepVar(i) - M(i) * h(i)^2 / 6) / h(i);Part_3 = conv(Coefs_3, [-1, IndVar(i + 1)]);S_3 = polyval (Part_3, [IndVar(i) : 0.01 : IndVar(i + 1)]);Coefs_4 = (DepVar(i + 1) - M(i + 1) * h(i)^2 / 6) / h(i);Part_4 = conv(Coefs_4, [1, -IndVar(i)]);S_4 = polyval (Part_4, [IndVar(i) : 0.01 : IndVar(i + 1)]);S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4;plot ([IndVar(i) : 0.01 : IndVar(i + 1)], S, 'LineWidth', 1.25)% 在样条插值曲线的相应位置标注该段曲线的函数表达式text(i - 1, polyval(Part_1, 3), ...['\itS', num2str(i), '(x)=', num2str(Coefs_1), '(', num2str( IndVar(i + 1) ), '-x)^{3}+', ...num2str(Coefs_2), '(x-', num2str( IndVar(i) ), ')^{3}+', num2str(Coefs_3), ...'(', num2str( IndVar(i + 1) ), '-x)+', num2str(Coefs_4), '(x-',num2str( IndVar(i) ), ')'], ...'FontName', 'Times New Roman', 'FontSize', 14)hold onend% 过x=1和x=2两个横轴点作垂线 %line([1, 1], [2.5, -0.5], 'LineStyle', '--');line([2, 2], [2.5, -0.5], 'LineStyle', '--');% 为x轴和y轴添加标注xlabel( '\itx', 'FontName', 'Times New Roman', ...'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');ylabel( '\its(x)', 'FontName', 'Times New Roman', ...'Rotation', 0, 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');最终，三次样条插值函数s(x)表达式为：[][][]⎪⎩⎪⎨⎧∈-+-+-+--∈-+-+---∈+-++--=.3,2,)2(44.1)3(62.2)2(06.0)3(62.0,2,1,)1(62.2)2(08.0)1(62.0)2(42.0,1,0,08.0)1(06.042.0)1(06.0)(333333x x x x x x x x x x x x x x x x s曲线的图像如图所示：例2 已知函数值表：试求在区间[1,5]上满足上述函数表所给出的插值条件的三次自然样条插值函数)(x s本算法求解出的三次样条插值函数将写成三弯矩方程的形式：)()6()()6()(6)(6)(211123131j j jj j j jj j j j jj j jj x x h h M y x x h h M y x x h M x x h M x s --+--+-+-=+++++其中，方程中的系数jj h M 6，jj h M 61+，jj j j h h M y )6(2-，jjj j h h M y )6(211++-将由Matlab代码中的变量Coefs_1、Coefs_2、Coefs_3以及Coefs_4的值求出。

三次样条插值的求解摘要：分段低次插值虽然解决了高次插值的振荡现象和数值不稳定现象，使得插值多项式具有一致收敛性，保证了插值函数整体的连续性，但在函数插值节点处不能很好地保证光滑性要求，这在某些要求光滑性的工程应用中是不能接受的。

如飞机的机翼一般要求使用流线形设计，以减少空气阻力，还有船体放样等的型值线，往往要求有二阶光滑度（即有二阶连续导数）。

因此，在分段插值的基础上，引进了一种新的插值方法，在保证原方法的收敛性和稳定性的同时，又使得函数具有较高的光滑性的样条插值。

关键字:三转角方程 三弯矩阵方程0. 引言1，三次样条函数定义1：若函数2()[,]S x a b C ∈,且在每个小区间上1,j j x x +⎡⎤⎦⎣上是三次多项式，其中01n a x x x b ⋯=<<<= 是给定节点，则称()s x 是节点01,,,n x x x ⋯上的三次样条函数。

若节点j x 上 给定函数值()j j y f x =(0,1,)j n ⋯= ,且()j j s x y = (0,1,)j n ⋯= （1.1）成立，则称 ()s x 为三次样条差值函数。

从定义知，要求出()s x ，在每个应小区间1[,]j j x x + 上确定4个待定系数，共有 n 个小区间，故应确定4n 个参数，根据()s x 在[,]a b 上二阶导数连续，在节点()1,2,3,,1j x j n ⋯=-处应满足连续性条件(0)(0),j j s x s x -=+ ''(0)(0),j j s x s x -=+''''(0)(0)j j s x s x -=+ （1.2） 共有 3n-3个条件，再加上()s x 满足插值条件（1.1），共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定()s x 。

通常可在区间[,]a b 端点0,n a x b x ==上各加一个条件（称边界条件），边界条件可根据实际的问题要求给定。

例1 设)(x f 为定义在[0,3]上的函数，有下列函数值表：且2.0)('0=x f ，1)('3-=x f ，试求区间[0,3]上满足上述条件的三次样条插值函数)(x s本算法求解出的三次样条插值函数将写成三弯矩方程的形式：)()6()()6()(6)(6)(211123131j j jj j j jj j j j jj j jj x x h h M y x x h h M y x x h M x x h M x s --+--+-+-=+++++其中，方程中的系数jj h M 6，jj h M 61+，jj j j h h M y )6(2-，jjj j h h M y )6(211++-将由Matlab代码中的变量Coefs_1、Coefs_2、Coefs_3以及Coefs_4的值求出。

以下为Matlab 代码：%=============================% 本段代码解决作业题的例1%============================= clear all clc% 自变量x 与因变量y ，两个边界条件的取值 IndVar = [0, 1, 2, 3]; DepVar = [0, 0.5, 2, 1.5];LeftBoun = 0.2; RightBoun = -1;% 区间长度向量，其各元素为自变量各段的长度 h = zeros(1, length(IndVar) - 1); for i = 1 : length(IndVar) - 1h(i) = IndVar(i + 1) - IndVar(i); end% 为向量μ赋值mu = zeros(1, length(h));for i = 1 : length(mu) - 1mu(i) = h(i) / (h(i) + h(i + 1));endmu(i + 1) = 1;% 为向量λ赋值lambda = zeros(1, length(h));lambda(1) = 1;for i = 2 : length(lambda)lambda(i) = h(i) / (h(i - 1) + h(i));end% 为向量d赋值d = zeros(1, length(h) + 1);d(1) = 6 * ( (DepV ar(2) - DepVar(1) ) / ( IndVar(2) - IndVar(1) ) - LeftBoun) / h(1);for i = 2 : length(h)a = ( DepVar(i) - DepVar(i - 1) ) / ( IndVar(i) - IndVar(i - 1) );b = ( DepVar(i + 1) - DepVar(i) ) / ( IndVar(i + 1) - IndVar(i) );c = (b - a) / ( IndVar(i + 1) - IndVar(i - 1) );d(i) = 6 * c;endd(i + 1) = 6 *( RightBoun - ( DepVar(i + 1) - DepVar(i) ) / ( IndVar(i + 1) - IndVar(i) ) ) / h(i);% 为矩阵A赋值% 将主对角线上的元素全部置为2A = zeros( length(d), length(d) );for i = 1 : length(d)A(i, i) = 2;end% 将向量λ的各元素赋给主对角线右侧第一条对角线for i = 1 : length(d) - 1A(i, i + 1) = lambda(i);end% 将向量d的各元素赋给主对角线左侧第一条对角线for i = 1 : length(d) - 1A(i + 1, i) = mu(i);end% 求解向量MM =A \ d';% 求解每一段曲线的函数表达式for i = 1 : length(h)Coefs_1 = M(i) / (6 * h(i));Part_1 = conv( Coefs_1, ...conv( [-1, IndVar(i + 1)], ...conv( [-1, IndVar(i + 1)], [-1, IndVar(i + 1)] ) ) );S_1 = polyval (Part_1, [IndVar(i) : 0.01 : IndVar(i + 1)]);Coefs_2 = M(i + 1)/(6 * h(i));Part_2 = conv( Coefs_2, ...conv( [1, -IndVar(i)], ...conv( [1, -IndVar(i)], [1, -IndVar(i)] ) ) );S_2 = polyval (Part_2, [IndVar(i) : 0.01 : IndVar(i + 1)]);Coefs_3 = (DepVar(i) - M(i) * h(i)^2 / 6) / h(i);Part_3 = conv(Coefs_3, [-1, IndVar(i + 1)]);S_3 = polyval (Part_3, [IndVar(i) : 0.01 : IndVar(i + 1)]);Coefs_4 = (DepVar(i + 1) - M(i + 1) * h(i)^2 / 6) / h(i);Part_4 = conv(Coefs_4, [1, -IndVar(i)]);S_4 = polyval (Part_4, [IndVar(i) : 0.01 : IndVar(i + 1)]);S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4;plot ([IndVar(i) : 0.01 : IndVar(i + 1)], S, 'LineWidth', 1.25)% 在样条插值曲线的相应位置标注该段曲线的函数表达式text(i - 1, polyval(Part_1, 3), ...['\itS', num2str(i), '(x)=', num2str(Coefs_1), '(', num2str( IndVar(i + 1) ), '-x)^{3}+', ...num2str(Coefs_2), '(x-', num2str( IndVar(i) ), ')^{3}+', num2str(Coefs_3), ...'(', num2str( IndVar(i + 1) ), '-x)+', num2str(Coefs_4), '(x-', num2str( IndVar(i) ), ')'], ...'FontName', 'Times New Roman', 'FontSize', 14)hold onend% 过x=1和x=2两个横轴点作垂线%line([1, 1], [2.5, -0.5], 'LineStyle', '--');line([2, 2], [2.5, -0.5], 'LineStyle', '--');% 为x轴和y轴添加标注xlabel( '\itx', 'FontName', 'Times New Roman', ...'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');ylabel( '\its(x)', 'FontName', 'Times New Roman', ...'Rotation', 0, 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');最终，三次样条插值函数s(x)表达式为：[][][]⎪⎩⎪⎨⎧∈-+-+-+--∈-+-+---∈+-++--=.3,2,)2(44.1)3(62.2)2(06.0)3(62.0,2,1,)1(62.2)2(08.0)1(62.0)2(42.0,1,0,08.0)1(06.042.0)1(06.0)(333333x x x x x x x x x x x x x x x x s曲线的图像如图所示：例2 已知函数值表：试求在区间[1,5]上满足上述函数表所给出的插值条件的三次自然样条插值函数)(x s本算法求解出的三次样条插值函数将写成三弯矩方程的形式：)()6()()6()(6)(6)(211123131j j jj j j jj j j j jj j jj x x h h M y x x h h M y x x h M x x h M x s --+--+-+-=+++++其中，方程中的系数jj h M 6，jj h M 61+，jj j j h h M y )6(2-，jjj j h h M y )6(211++-将由Matlab代码中的变量Coefs_1、Coefs_2、Coefs_3以及Coefs_4的值求出。

MATLAB作业给定一个时间序列，使用三次样条插值方法进行均匀内插（题目的相关说明：按题目要求编写一个MATLAB程序函数，并把自己编制程序所得的结果与MATLAB库函数分析结果进行对比。

）理论基础：时间序列的概念：时间序列是一种定量预测方法，又称简单外延法，时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论与方法，时间序列分析可分为以下三种情况（1）把一个时间序列的值变动为N 个组成部分，通常可以分为四种 a、倾向变动，又称长期趋势变动 b、循环变动，又称周期变动 c、季节变动，即每年有规则的反复进行变动 d、不规则变动，即随机变动。

然后把这四个综合到一起得出预测的结果。

虽然分成这四部分，但这四部分之间的相互关系是怎么样的呢，目前一般采用相乘的关系，其实各个部分都是在其他部分作用的基础上进行作用的，所以采用相乘是有一定依据的，此种方法适合于短期预测和库存预测（2）把预测对象、预测目标和对预测的影响因素都看成为具有时序的，为时间的函数，而时间序列法就是研究预测对象自身变化过程及发展趋势，如果未来预测是线性的，其数学模型为YT+L=aT+bTL,YT+L为未来预测值，aT为截距，bT为斜率，L为由T到需要预测的单位时间数（如5年、10年等）（3）根据预测对象与影响因素之间的关系及影响程度来推算未来，与目标的相关因素很多，只能选择那些因果关系较强的为预测影响的因素，此时间序列法用于短期预测比较有效，若要用于长期预测，还需要结合其他方法才行。

三次样条插值的实际应用：在制造船体和汽车外形等工艺中传统的设计方法是，首先由设计人员按外形要求，给出外形曲线的一组离散点值，施工人员准备好有弹性的样条（一般用竹条或有弹性的钢条）和压铁，将压铁放在点的位置上，调整竹条的形状，使其自然光滑，这时竹条表示一条插值曲线，我们称为样条函数。

从数学上看，这一条近似于分段的三次多项式，在节点处具有一阶和二阶连续微商。