样条插值ppt(1) 下载

注：一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。
第二章 插值与拟合
这样，由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连 接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确定4n个系数。从而 得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间xi , xi+1上的表达 式S(xi）(i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计算工 作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构 造方法。
定理2.8（3 次样条插值函数存在唯一）
(1)如果 f ( x) 是定义在[a,b] 上函数且已知 y f (x) 函数表 ( xi , f ( xi )), (i 0,1,, n)且 a x0 x1 xn b ; (2)给定边界条件 (a（) 或（b）或（c）），则 f ( x) 于 [a,b] 存在 唯一3次样条插值函数S( x),且满足 (a（) 或（b）或（c））。
若(1)中三次样条函数 S( x) 还满足插值条件：
S( xi ) f ( xi ), (i 0,1,, n)
(2.42)
称 S( x) 为 f ( x) 关于剖分 的三次样条插值函数。
第二章 插值与拟合
提出问题：
3次样条插值函数 S( x) 是否存在？是否唯一？ 如何计算？误差估计？
问题的提法：给定数据表
x
x0
x1 …
xn
f x f0
f1
…
fn
构造3次样条函数 S ,x满 足插值条件
S xi fi , i 0,1, ,n.
(2.42)
构造方法：
S(x)应具有如下形式
第二章 插值与拟合
S0 x,
S
x
S1
x
,
x x0, x1, x x1, x2 ,
Sn1 x, x xn1, xn ;
并且满足条件(2.42)和
(a)S( x) C 2a, b，即具有连续的一阶，二阶导数。
b S( x) 在每一个小区间 [x j , x j1] j 0,1, n 1 上是次数 3
多项式。
则称 S( x)为关于剖分 的一个3次样条函数。
（2）设给定 y f (x) 函数表 ( xi , f ( xi )), (i 0,1,, n)
样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成， 在连接点击样点上要求二阶导数连续，从数学 上加以概括就得到数学样条这一概念。
第二章 插值与拟合
相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较
Cubic Spline Interpolation
Lagrange
二、样条函数的定义
第二章 插值与拟合
定义 2.8 （三次样条函数） (1) 设有对[a,b]的剖分 : a x0 x1 xn b, 如果函数 S( x) 满足下述条件：
三次样条插值
三次样条插值函数的概念 三弯矩算法 三转角算法 三次样条插值函数的误差估计
总结
三次样条插值
学习目标： 知道三次样条插值函数的概念，会求 三次样条插值函数，进行误差分析。
第二章 插值与拟合
三次样条插值函数的概念
一、背景
L-插值（牛顿插值）
Hermite插值
高次插值出现龙格现象
分段插值 但分段线性插值在节点处不一定光滑
第二章 插值与拟合
推导方法： 1、先确定插值函数S( x) 在节点处的一阶导数，记为 S( x j ) m j ,
j 0,1,, n, 该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示。
2、先确定插值函数S( x) 在节点处的二阶导数，记为S( x j ) M j , j 0,1,, n,
该方法即为3次样条插值函数的二阶导数表示。
x
Sj1( x
j j
) )
Sj(xj Sj ( x j
) )
S
j1
(
x
j
)
Sj(
x
j
)
j 1,,n 1
(2.43)
S和S′, S’’ 在n-1个内结点连续,即满足条件(2.43),因而
(2.43)给出了3(n-1) 个条件；
第二章 插值与拟合
②已有条件： S( x j ) f ( x j ), ( j 0,1,, n) (2.42)
提供了n+1个独立条件; 共有4n 2个条件,要唯一确定S( x) ,还必须附加2个条件 (边界条件)。 ③附加2个条件，有多种给法.最常见的给法是:
(a) S x0 f x0 M0 , Sxn f xn Mn , (2.44)
（简支边界，导致三弯矩关系式, M 关系式）, 特别地, M0 Mn 0,(自然边界,三次自然样条);
S(x) S j (x) aj bj x cj x2 d j x3, x [ x j , x j1], ( j 0,1,,n 1)
4n个待定系数: {a j },{bj },{c j },{d j }, j 0,1,,n 1
从而S(x)共须4n个独立条件确定 .
①内部条件：
S
j
1
(
(b) S x0 f x0 m0 , Sxn f xn mn , (2.45)
(固支边界,导致三转角关系式, m关系式).
第二章 插值与拟合
(c)第3种边界条件（周期边界条件）： y f (x) 为周期函数，
要求 S( x) 亦是周期函数，周期为 b a ，即取
S (k) ( x0 ) S (k ) ( xn ), (k 0,1,2). 此时称 S( x) 为周期样条函数。
Si x C3 xi , xi1 .
Si1 Si1
xi xi
Si Si
xi xi
, ,
Si1 xi Si xi ,
i 1, 2, , n 1, i 1, 2, , n 1, i 1, 2, , n 1[ x j , x j1] 上是分段3次多项式，即为
分段Hermite插值 但导数值不容易提取（找到）
三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段 Hermite插值解决问题） 举例：
1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）； 2 木样条的来源。
第二章 插值与拟合
数学里的样条( Spline )一词来源于它的直观几何 背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属 条加压铁(构成样条!)固定在样点上，在其它地方 让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样 条曲线.