样条插值

四、三次样条插值1. 样条函数插值的原理给定区间［a,b］上划分A:a=x<x<<x<x=b，若分段函数S(x)满足:01n-1n1.S(x)在各个子区间［x,x］,i=0,1,,n-1上均为x的三次多项式；ii+12.S(x)在整个区间［a,b］上有直至二阶的连续导数。

则称S(x)为［a,b］上依次划分的三次样条函数，简称样条函数。

具体地有分段表达式：ax3+bx2+cx+d,x G[x,x]000001ax3+bx2+cx+d,x G[x,x]111112S(x)=\ax3+bx2+cx+d,x G[x,x](1)222223ax3+bx2+cx+d,x G[x,x]、°*n-1n—T•••n-1n-1n-1n共有4n个参数a,b,c,d,i=0,1,,n，它们在内节点处满足iiii'S(x)=S(x),…i-0i+0<S'(x)=S'(x),i=1,2,,n-1.(2)i-0i-0S''(x)=S''(x),Ji-0i+0满足样条函数定义的函数集合称为分划A上的三次样条函数空间，记为S(3,A),可以证明S(3,A)为线性空间。

若S(x)G S(3,A)，且进一步满足插值条件S(x)=y=f(x),i=0,1,,n(3)iii其中y为节点x处的给定函数值(若被插函数了(x)已知;••则用了(x)代替之)，iii则称S(x)为以x,x,,x,x为节点的三次样条函数。

01n-1n其中式(3)插值节点提供了n+1个约束条件；加上式(2)的3n-3个，合起来共有4n-2个；欲求4n个待定参数的唯一解；尚缺两个条件。

这两个条件一般由样条函数的边界条件提供。

常用三类边界条件;他们分别与三次样条函数;构成不同边界条件的样条函数插值问题。

2. 三类样条函数插值问题2.1第二类边界条件给定边界条件两端的一阶导数值：S'(x)=y'=m,S'(x)=y'=m000nnn这相当于样条两短处的方向给定(压铁在两端点的压力方向确定)，对应的插值问题如下：对于分划A:a=x<x<<x<x=b,给定节点对应的函数值01n—1ny,y,y,,y,以及两端点处的一阶导数值y'=m,y'=m，求三次样条函数012n00nnS(x)，使…f S(x)=y,i=0,1,,n2iiI S'(x)=m,S'(x)=mJ00n…n2.2第一类边界条件给定边界两端的二阶导数值：S''(x)=y''=M,S''(x)=y''=M000nnn这相当于在样条两端处外加一个力矩，使梁两端点处有相应的曲率。

几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。

1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。

对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。

2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。

常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。

- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。

具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。

具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。

常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。

-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。

-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。

三次样条插值具有良好的平滑性和精度。

4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。

空间统计方法-样条插值1. 样条插值拉格朗日插值和牛顿插值的结果中，插值函数的为n-1次多项式函数（n 是已知点的个数）。

当样本点很多时，多项式的次数会很高。

这会导致插值结果对已知点的取值非常敏感。

样条插值可以解决上述问题。

样条插值的基础是样条函数。

样条函数是一种特殊的函数，由多项式分段定义, 通常是指分段定义的多项式参数曲线。

在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。

用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，分段插值具有良好的稳定性和收敛性，可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。

并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。

样条插值一般包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值，其中三次样条插值最为实用，本节主要介绍三次样条插值。

样条函数插值采用两种不同的计算方法：规则样条(Regularized Spline)和张力样条(Tension Spline)。

设在区间[a,b]上取n+1个节点01a x x x n b =<<<=L ，函数f(x)y =在各个节点处的函数值为f(x )(i 0,1,,1)i i y n ==-L ,若S(x)满足S(x )y ,(i 0,1,,1)i i n ==-L ；S (x )在区间[a ,b ]上具有连续的二阶导数；在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上S(x)是三次多项式。

则称S(x)是函数y f(x)=在区间[a,b]上的三次样条插值函数。

从定义可知，要求出S(x)在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上要确定4个待定系数，共有n 个小区间，根据上述条件(2)有S(x 0)S(x 0)i i -=+S (x 0)S (x 0),i 1,2,,1i i n ''-=+=-LS (x 0)S (x 0)i i ''''-=+共有3n-3个条件，再加上条件(1),共有4n-2个条件，因此还需2个条件才能确定S(x)，通常在区间[a,b]的端点0a x ,b x n ==上各加一个条件(称为边界条件)，可根据实际问题的要求给定。

多项式插值方法—样条插值-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52f (x)P 5(x)P 10(x)当插值节点过多→龙格现象插值多项式虽然满足插值条件，但是在节点之外，靠近插值区间端点处与实际函数偏离较大，出现了震荡现象如何解决龙格现象？☐根据数据特点选用三角函数或有理函数☐由于多项式的优良性能，更偏爱多项式☐使用分段函数数学模型，在较小的区间段上使用低次多项式插值要点与学习目标☐掌握样条插值的概念和数学模型☐了解样条插值函数系数的确定方法样条插值☐改善分段线性插值和二次插值的精度☐保持曲线的光滑性☐样条的概念三次样条插值函数对于给定的函数表 x)(x f yxx 1xny 1yn思考：根据该定义，关于四个节点的三次样条插值函数的数学模型是什么？需要多少个约束方程才能确定该样条？分段样条插值的数学模型231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩以四个节点为例，四个节点的样条插值函数思考：该函数能否由节点数据完全确定？231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩(0)(0)(1,2,...,1)'(0)'(0)(1,2, (1)''(0)''(0)(1,2, (1)()(0,1,...,)i i i i i ii i S x S x i n S x S x i n S x S x i n S x y i n -=+=-⎧⎪-=+=-⎪⎨-=+=-⎪⎪==⎩样条插值问题的边界条件归根到底，样条插值问题是线性方程组求解的问题。

样条插值法公式样条插值法是一种在数学和计算机科学中非常有用的数值分析方法。

咱们今天就来好好聊聊这个听起来有点高大上的“样条插值法公式”。

想象一下，你正在做一个科学实验，测量了一些数据点，但是这些点之间的空白区域你不知道具体数值是多少。

这时候，样条插值法就派上用场啦！先来说说什么是样条插值法。

简单来说，就是通过一系列的分段多项式来连接给定的数据点，使得曲线不仅经过这些点，而且还很光滑。

样条插值法公式有很多种，比如三次样条插值公式。

咱们就以三次样条插值为例来深入了解一下。

假设我们有 n + 1 个数据点 (x₀, y₀), (x₁, y₁),..., (xₙ, yₙ) ，并且x₀ < x₁ <... < xₙ 。

对于每个区间 [xᵢ, xᵢ₊₁] ，我们定义一个三次多项式 Sᵢ(x) = aᵢ(x - xᵢ)³+ bᵢ(x - xᵢ)² + cᵢ(x - xᵢ) + dᵢ。

为了确定这些系数 aᵢ、bᵢ、cᵢ、dᵢ，我们需要满足一些条件。

首先，Sᵢ(xᵢ) = yᵢ，Sᵢ(xᵢ₊₁) = yᵢ₊₁，这保证了曲线经过给定的数据点。

然后，还需要满足在每个节点处一阶导数和二阶导数连续。

这一堆条件看起来很复杂，但其实就是为了让我们得到的曲线既经过点，又光滑自然。

我记得有一次，我在帮一个学生解决物理实验中的数据处理问题。

实验是测量一个物体自由下落的高度和时间的关系。

但是由于测量设备的精度问题，得到的数据点并不是很连续。

我们就用样条插值法来填补这些空缺。

通过计算那些复杂的公式，一点点地确定系数，最终得到了一条非常漂亮的曲线，准确地反映了物体下落的规律。

那个学生当时眼睛都亮了，直说：“老师，这太神奇了！”在实际应用中，样条插值法可广泛用于图像处理、工程设计、金融分析等领域。

比如说，在图像处理中，对图像进行缩放或者变形时，就可以用样条插值来保持图像的质量。

总之，样条插值法公式虽然看起来有点吓人，但只要我们掌握了它的原理和方法，就能在很多情况下发挥大作用，解决那些让我们头疼的数据空缺问题。

样条插值函数
样条插值，又称为特征线插值，是一种在有限的给定点的数据点的曲线的函数的拟合表达式的方法，主要应用于数值分析、曲面设计、动画制作等领域。

样条插值可以实现更高的
精确度，以实现复杂曲线函数的近似，从而准确表达函数形式。

样条插值的基本原理是，假设给定n + 1个点，x0 < x1 < x2 …… < xn ，对应的值分别为y0，y1，y2，……，yn，则给定点(x0, y0), (x1, y1)······ (xn, yn)可以确定一个具有n阶连续一阶导数的曲线函数y = b (x)，利用它连接所有的点。

为了使曲线的准确性最大，这里引入一
个“阶数”（k）的假设，即曲线函数y = b (x)不与给定点重合，它的导数至多有k阶，k = 0, 1, 2的情况由样条函数的各个种类构成，k>2的时候使用一般的曲线拟合方法，如多项式
拟合法。

比较常见的方法是三次样条插值，此时阶数k = 3，即函数y = b (x)具有三次连续一阶导数，它由四个二维样条曲线拟合给定的数据，并实现对函数的拟合和重建，从而达到更高的精度。

总之，比较精确的数据分析和可视化设计，都离不开更高精度的曲线拟合，如果想要实现复杂曲线函数的近似，拟合的精度更高，样条插值就会变得更加有用，可以实现更高精度
的拟合。