当前位置：文档之家 › 三次样条插值算法详解

三次样条插值算法详解

  • 格式：ppt
  • 大小：1.10 MB
  • 文档页数：50

下载文档原格式

  / 50

合集下载

三次样条插值导数的关系式

三次样条插值导数的关系式
2. 平滑条件：S_i'(x_{i+1}) = S_{i+1}'(x_{i+1}) 将 x = x_{i+1} 代入多项式 S_i(x) 和 S_{i+1}(x)，得到： b_i + 2c_i(x_{i+1} - x_i) + 3d_i(x_{i+1} - x_i)^2 = b_{i+1}
三次样条插值导数的关系式
三次样条插值导数的关系式
三次样条插值是一种常用的插值方法，用于在已知数据点之间插值出平滑的曲线。在三次样条 插值中，导数是一个重要的性质，可以通过求解线性方程组来计算。
设有n+1个数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0 < x1 < ... < xn。对于每个区间 [x_i, x_{i+1}]，我们可以用一个三次多项式 S_i(x) 来插值。每个多项式 S_i(x) 的表达式为：
三次样条插值导数的关系式
最后，根据需要，可以使用导数的关系式来计算任意点的导数值。例如，对于区间 [x_i, x_{i+1}]，导数 S_i'(x) 的表达式为：
S_i'(x) = b_i + 2c_i(x - x_i) + 3d_i(x - x_i)^2
这样，我们就可以通过三次样条插值来计算导数值了。
S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3
三次样条插值导数的关系式
其中，a_i, b_i, c_i, d_i 是待定系数。为了保证插值曲线的平滑性，我们需要足以下条 件：

平滑算法：三次样条插值（CubicSplineInterpolation）

平滑算法：三次样条插值（CubicSplineInterpolation）

平滑算法：三次样条插值（CubicSplineInterpolation）感谢强⼤的google翻译。

我从中认识到了航位推算dead reckoning，⽴⽅体样条Cubic Splines 算法。

我单独查找了 Cubic Splines ，⾥⾯的原理简单说明：Cubic Splines 认为在 x 在[a, b]区间中，y对应是⼀条平滑的曲线，所以 y = f(x); 的⼀阶导函数和⼆阶导函数是平滑连续可导的。

拟定⽤三次⽅程，所以得出了⼀般的三次⽅程和⼀阶导数⽅程和⼆阶导数⽅程。

然后求各个分部的解。

这是三次样条的基本原理。

但⽂中最开始的链接中所得出的x = At3 + Bt2 + Ct + Dy = Et3 + Ft3 + Gt + Ht是percent（0~1）区间值，如果还有三维向量，我理解是同样的展开。

然后通过四个位置点来求出 A B C D … 各分部参数的值A = x3 – 3x2 +3x1 – x0B = 3x2 – 6x1 + 3x0C = 3x1 – 3x0D = x0E = y3 – 3y2 +3y1 – y0F = 3y2 – 6y1 + 3y0G = 3y1 – 3y0H = y0…相同分量展开。

（如果有Z 分量的话）学艺不精，⽆法从现有姿势推出这个分量求解过程。

实时运动游戏是通过预测其他玩家的位置来表现的，当服务器有新的输⼊的时候，本地玩家会发现其他玩家位置或状态发⽣⼀次跳变（瞬移）。

有两种思路，⼀、预测未来1. 通过当前位置和速度，通过预测未来精度（1s或者0.5s）推测出未来位置.2. 得出公式参数，通过dt来平滑当前运动轨迹。

⼆、延迟渲染1. 通过延迟渲染参数（延迟1s，0.5s来）来获得其他玩家的过去状态位置。

2. 得出公式参数，通过dt来平滑运动轨迹。

上述两种⽅案1. 如果参数⼀致，速度不改，则运动轨迹跟预测⼀致，如果玩家输⼊多变，则永远不会是真实的位置。

2. 看到的玩家的过去位置，移动轨迹跟⽬标玩家运动轨迹基本保持⼀致。

三次样条插值知识讲解

三次样条插值知识讲解

（1）差商定义
定义
称 f[xi,xj]f(xxi)i xfj(xj), ij 为 f ( x ) 在 x i , x j
两点处的一阶差商.
f[x0,x1,x2]f[x0,xx10 ] xf2[x1,x2]
二阶差商
f[x 0 ,x 1 ,L x n ]f[x 0 ,x 1 L x n x 1 0 ] x fn [x 1 ,x 2 ,L x n ]n 阶差商
n
P n(x)
i0
yi (xxn i)1(n 'x)1(xi)
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a, b] 上连续，f (n1) (x)在 (a, b) 内存在,
节点 a x 0 x 1 x n b ，Pn ( x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x[a,b] , 插值余项
1 (x4)(x6)(x8)(x10) 3(x2)(x6)(x8)(x10)
384
96
5(x2)(x4)(x8)(x10) 4(x2)(x4)(x6)(x10)
64
96
1 (x2)(x4)(x6)(x8) 384
缺点: 当增加或减少插值节点时,基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用
四、 Newton插值法
为 Det(A) (xi xj) ,由定理中条件,插值结点为彼此互异的, 那么行 0jin
列式不为零.故由Cramer法则知线性代数方程组 Aa b 存在唯一解.
三、Lagrange插值法
（1）Lagrange插值多项式可以表示为
n
Pn (x) yili (x) i0
l i( x ) ( x ( i x x x 0 0 ) ) L L ( ( x x i x x i i 1 1 ) ) ( ( x x i x x i i 1 1 ) ) L L ( ( x x i x n x ) n ) ,i 0 ,1 ,L n

第5章-3三次样条插值解析

第5章-3三次样条插值解析

0 x
( x 3)3 ,
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．



2( x 1)3 ,
3
x,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3 x 2 0 x 1 S ( x) 3 2 ax bx cx 1 1 x 2
是以0，1，2为节点的三次样条函数，则a= 解：1）由 , b= , c=
p j ( x), x j x x j 1

p j ( x) Pm ( j 0,1,...,n)
pn ( x), xn x
s(x)是m次样条的充要条件应为 p0 ( x) a0 a1x am xm ,
பைடு நூலகம்
p1 ( x) p0 ( x) c1 ( x x1 )m ,
已知 f(x0)=f(xn) 确定的周期函数。
例，已知 f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1,求 f(x)在区间[-1,1]上的
三次自然样条插值多项式。 解：这里n=2区间[-1,1]分成两个子区间，故设
S ( x)
且

s0 ( x) a0 x3 b0 x2 c0 x d0
1）它只在插值区间端点比Lagarnge多项式插值问题多两个
边界条件，但却在内点处有一阶、二阶连续的导函数，从而要比 分段Lagarnge插值更光滑。
2）分段Hermite三次多项式插值问题，只有被插值函数在所有
插值节点处的函数值和导数值都已知时才能使用，而且在内节点处 二阶导函数一般不连续。
下面我们讨论三次样条插值多项式s3(x)的构造。 一般来讲，构造三次样条插值多项式s3(x) ，若用待定系数法， 可写成 S3 ( x) ai x3 bi x2 ci x di x xi , xi1 i 0, 1, , n 1 其中 ai, bi, ci, di 为待定系数，共有4n个。按定义s3(x)应满足： （1）插值条件n+1个： S ( xi ) yi i 0, 1, , n 连续性条件n-1个：S ( xi 0) S ( xi 0) i 0, 1, , n 1 （2）在内节点一阶导数连续性条件n-1个：

三次样条插值

三次样条插值

三次样条插值C++数值算法（第二版)3.3 三次样条插值给定一个列表显示的函数yi=y(xi),i=0,1,2,...,N-1。

特别注意在xj和xj+1之间的一个特殊的区间。

该区间的线性插值公式为(3.3.1)式和(3.3.2)式是拉格朗日插值公式(3.1.1)的特殊情况。

因为它是(分段)线性的，(3.3.1)式在每一区间内的二阶导数为零，在横坐标为xj处的二阶导数不定义或无限。

三次样条插值的目的就是要得到一个内插公式，不论在区间内亦或其边界上，其一阶导数平滑，二阶导数连续。

做一个与事实相反的个假设，除yi的列表值之外，我们还有函数二阶导数y"的列表值，即一系列的yi"值，则在每个区间内，可以在(3.3.1)式的右边加上一个三次多项式，其二阶导数从左边的yj"值线性变化到右边的yj+1"值，这么做便得到了所需的连续二阶导数。

如果还将三次多项式构造在xj和xj+1处为零，则不会破坏在终点xj和xj+1处与列表函数值yj和yj+1的一致性。

进行一些辅助计算便可知，仅有一种办法才能进行这种构造，即用注意,(3.3.3)式和(3.3.4)式对自变量x的依赖，是完全通过A和B对x的线性依赖，以及C和D(通过A和B)对x的三次依赖而实现。

可以很容易地验证，y"事实上是该插值多项式的二阶导数。

使用ABCD的定义对x求(3.3.3)式的导数，计算dA/dx dB/dx dC/dx dD/dx,结果为一阶导数因为x=xj是A=1，x=x(i+1)时A=0，而B正相反，则(3.3.6)式表明y"恰为列表函数的二阶导数。

而且该二阶导数在两个区间(xj-1, xj)和(xj, xj+1)上是连续的。

现在唯一的问题是，假设yj"是已知的。

而实际上并不知道。

然而，仍不要求从(3.3.5)式算出的一阶导数在两个区间的边界处是连续的。

三次样条的关键思想就在于要求这种连续性，并用它求得等式的二阶导数yi"。

三次样条曲面插值原理

三次样条曲面插值原理

三次样条曲面插值原理
三次样条曲面插值是一种用于构造二维曲面的插值方法。

其基本原理是通过已知的曲面上的若干点，计算出该曲面上的三次多项式函数，从而实现曲面的插值。

具体来说，三次样条曲面插值的原理如下：
1. 确定曲面上的插值节点：根据给定的曲面上的点的坐标，确定曲面上的插值节点。

2. 构造曲面的参数方程：利用插值节点，构造出曲面的参数方程。

三次样条曲面插值通常使用双变量的三次多项式作为参数方程。

参数方程的形式可以是Bézier曲面、B样条曲面等。

3. 确定曲面上的插值条件：根据已知的曲面上的点的坐标和曲面方程，确定曲面上的插值条件。

通常使用平滑条件（曲面上的点的正切方向相等）和代数条件（曲面上的点的坐标满足给定的条件）来确定插值条件。

4. 求解参数方程的系数：根据插值条件，求解参数方程中的系数。

可以使用线性代数的方法求解系数矩阵，得到曲面的参数化表达式。

5. 计算曲面上的点的坐标：利用参数方程和求解得到的系数，计算曲面上的点的坐标。

可以通过插值节点上的参数值，使用参数方程计算得到。

通过以上步骤，就可以构造出满足给定插值条件的三次样条曲面，从而实现曲面的插值。

计算方法分段线性_三次样条插值

计算方法分段线性_三次样条插值分段线性和三次样条插值是两种常用的插值方法，在数值分析和插值问题中广泛使用。

1.分段线性插值分段线性插值是一种简单直观的插值方法，将插值区间划分为若干个子区间，在每个子区间上用线性函数进行插值。

假设给定的插值节点有n+1 个，节点为 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，并且满足 x0 <x1 < ... < xn。

则对于任意 xx 使得 x 在 [xi, xi+1] 之间，可以通过线性插值得到其函数值 yy，即：yy = yi + (xx - xi) * (yi+1 - yi) / (xi+1 - xi)分段线性插值方法简单易懂，适用于一些较简单的插值问题。

但是由于插值函数在节点之间是线性的，可能不能准确地反映出数据的特征，因此不适用于一些需要高精度的插值问题。

三次样条插值是一种更复杂、更精确的插值方法，将插值区间划分为若干个子区间，在每个子区间上用三次多项式进行插值。

三次样条插值方法的基本思想是找到一组三次多项式，满足在每个子区间内插值点的函数值和一阶导数值相等，并且两个相邻多项式在节点处的二阶导数值也相等。

具体的求解步骤如下：(1) 假设有 n+1 个插值节点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，构造 n 个三次多项式，即每个多项式在 [xi, xi+1] 之间插值。

(2) 对每个子区间内的多项式进行插值，设第 i 个子区间的多项式为 Si(x) = ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)^2 + di(x-xi)^3、将插值节点的函数值和一阶导数值代入多项式中，可以得到 n 个线性方程，利用这 n 个线性方程可以求解出 n 个子区间的系数。

(3)由于n个子区间的多项式必须在节点处一阶导数值相等，因此再设立n-1个方程，利用这些方程可以求解出n-1个子区间的二阶导数值。

(4)将求解得到的系数和二阶导数值代入每个子区间的多项式中，得到完整的三次样条插值函数。

三次样条插值算法详解

局限性
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。

第二章三次样条插值

hk hk 1
mk 1 2mk
hk 1 hk hk 1
k 1
3( hk yk1 yk hk1 yk yk1 )
hk hk 1
hk
hk hk 1
hk 1
k mk1 2mk k mk 1 gk
k
hk
hk hk 1
k
hk 1 hk hk 1
gk
3(k
yk yk 1 hk 1
k 0,1,2
小结
1 x3 3 x2 7 x 1
8 8 4
1 x2
S(x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
3 x3 45 x2 103 x 33
88
4
2x4 4x5
f (3) S(3) 17 4
最后，介绍一个有用的结果
定理 . 设f (x)C2[a,b],S(x)是以xk (k 0,1,,n)
m2 m3
g0 g1 g2
g3
解方程组得：m0
17 8
, m1
Байду номын сангаас
7 4
, m2
5 4
, m3
19 8
将上述结果代入(10)式
S0 ( x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
S1 ( x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
1 x 2 2x4
S2(x)
3 8
x3
45 8
x2
103 4
x
33
4x5
注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。

2[1].7三次样条插值

确定S ( x )必须确定4n个待定的系数的条件正好也是4n个
即
lim S ( x ) = lim S ( x ) lim S ′ ( x) = lim S ′ ( x) = m lim S ′′( x) = lim S ′′ ( x) S ′( x ) = f ′ S ′( x ) = f ′ 或
将(13)式化为矩阵形式
2 λ2
µ1 λ3
2
µ2 λ4
2
µ3
2 O O O
λn − 2
λn − 1
O 2
m1 g 1 − λ1 f 0′ m2 g2 g3 m3 M = M M M µ n − 2 mn − 2 gn−2 2 mn − 1 g n − 1 − µ n − 1 f n′
共4 n − 2个条件
′ ′ lim S k′( x ) = lim S k′− 1 ( x ) + −
S k ( x )是[ xk , xk + 1 ]上的三次样条插值多项式, 应有4个待定的系数 即要确定S ( x )必须确定4n个待定的系数
少两个条件
并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件: 第一类(一阶)边界条件: 第二类(二阶)边界条件 第三类(周期)边界条件
f(x) H(x) S(x)
二、三次样条插值多项式
a ≤ x0 , x1 ,L , xn ≤ b为区间[ a , b ]的一个分割 如果函数f ( x )在节点x0 , x1 ,L , xn处的函数值为
f ( x j ) = y j , j = 0 ,1,L , n 如果S ( x )是f ( x )的三次样条插值函数, 则其必满足
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1
样条函数的定义 定义4.1 设区间[a,b]上给定一个节点划分 a=x0<x1<……<xn-1<xn=b 如果存在正整数k使得[a,b]上的分段函数s(x)满足 如下两条： (1)在[a,b]上有直到k-1阶连续导数。 (2)在每个小区间[xi,xi+1]上是次数不大于k的多项式。 则称分段函数s(x)是以(2.6)为节点集的k次样条函数。
S ( xn )
6 4 2 ( yn yn1 ) mn 1 mn M n 2 hn 1 hn 1 hn1
19
稍加整理得
y1 y0 h0 2m0 m1 3 M 0 g0 h0 2 yn yn 1 hn1 mn1 2mn 3 M n gn hn 1 2
x xi
lim S ( x) S ( xi 0)
6 4 2 ( yi 1 yi ) mi mi 1 2 hi hi hi
6 2 4 lim S ( x) S ( xi 0) 2 ( yi yi 1 ) mi 1 mi x xi hi 1 hi 1 hi 1
联合基本方程组得一个n+1阶三对角方程组， 化成矩阵形式为：仍然是严格对角占优
2 1
2
1 2
1 3
2
2
2Байду номын сангаас

n 1
2 n 1 1 2
m0 g 0 m1 g 1 m2 g 2 mn 1 g n 1 m g n n
立即可得下式：
21
n m1 n mn1 2mn gn
其中：
h0 hn1 n , n 1 n h0 hn1 h0 hn1
y1 y0 yn yn1 g n 3 n n h h 0 n 1
联合基本方程得一个广义三对角或周期三对角方程组：
所谓的边界条件:
第一边界条件：由区间端点处的一阶导数给出即
( x0 ) m0 f ( x0 ), s3 ( xn ) mn f ( xn ), s3
6
第二边界条件：由区间端点处的二阶导数给出即
( x0 ) M 0 f ( x0 ), s3 ( xn ) M n f ( xn ), s3
2
三次样条插值函数的定义
如果函数 f ( x)在节点x0 , x1 ,, xn处的函数值为
f ( x j ) y j , j 0,1,, n
并且关于这个节点集的三次样条函数s(x)满足插值条 件：
S( x j ) y j , j 0,1,, n
则称这个三次样条函数s(x)为三次样条插值函数。
14
由于在内部节点处二阶导数连续条件：
S ( xi 0) S ( xi 0), i 1, 2,
,n 1
yi 1 yi yi yi 1 1 1 1 1 mi 1 2( )mi mi 1 3( ) 2 2 hi 1 hi 1 hi hi hi hi 1
三次样条插值
鉴于高次插值不收敛又不稳定的特点，低次插值既具有收敛 性又具有稳定性，因此低次值更具有实用价值，但是低次插 值的光滑性较差，比如分段线性插值多项式在插值区间中仅 具有连续性，在插值节点处有棱角，一阶导数不存在；分段 三次Hermite插值多项式在插值区间中仅具有一阶导数即一 阶光滑性但不具备二阶光滑性，不能满足某些实际应用比如 汽车、轮船、飞机等的外形中流线形设计。样条是在二十世 纪初期经常用于图样设计的一种富有弹性的细长条，多个样 条互相弯曲连接后沿其边缘画出的曲线就是三次样条曲线。 后来数学上对其进行了抽象，定义了m次样条函数，并成为 数值逼近的重要研究分枝，进一步扩大了样条函数的应用范 围。
为了确定三次样条插值函数的表达式 S(x)， 我们采用待定系数法来求解，我们待定什么系数呢？
考虑到带一阶导数的分段三次Hermite插值多项式
xi xi 1 x x xi xi 1 x (i ) H3 ( x) yi 0 ( x ) y ( ) m h ( ) m h ( i 1 0 i i 1 i 1 i 1 hi hi hi hi )
16
第一类三次样条插值问题方程组 由于已知：
S ( x0 ) m0 S ( xn ) mn
基本方程组化为n-1阶方程组
2m1 1m2 g1 1 f0 m 2m m g k 2 , 3 , , n 2 k k k 1 k k k 1 n 1mn 2 2mn 1 gn 1 n 1 f n
S ( x j ) m j , j 0,1,, n
因为分段三次Hermite插值多项式已经至少是一阶连续 可导了，为了让它成为三次样条函数只需确定节点处 的一阶导数使这些节点处的二阶导数连续即可！
S ( xi 0) S ( xi 0),i 1,, n 1
xi xi 1 x x xi xi 1 x S ( x) yi 0 ( x ) y ( ) m h ( ) m h ( i 1 0 i i 1 i 1 i 1 hi hi hi hi )
特殊情况为自然边界条件： 由区间端点处的二阶导数恒为0给出即
( x0 ) M 0 0 s3 ( xn ) M n 0 s3
7
第三类又称周期边界条件： 由区间端点处的函数值或导数值满足周期条件给出
s3 ( x0 0) s3 ( xn 0) ( x0 0) s3 ( xn 0) s3 s( x 0) s( x 0) 3 n 3 0
3
三次样条插值函数的边界条件
如果S( x)是f ( x)的三次样条插值函数 , 则其必满足
插值条件： 连续性条件： 一阶导数连续条件： 二阶导数连续条件：
S( x j ) y j , j 0,1,, n
x x j
lim S ( x ) S ( x j ) y j , j 1, , n 1 lim S ( x ) S ( x j ) m j , j 1, , n 1 lim S ( x ) S ( x j ), j 1, , n 1
整理化简后得：
hi hi 1 mi 1 2mi mi 1 hi 1 hi hi 1 hi
i 1,, n 1
hi yi yi 1 hi 1 yi 1 yi 3( ) hi 1 hi hi 1 hi 1 hi hi
15
i mi 1 2mi i mi 1 gi , i 1, , n 1
4
x x j
x x j
（1）因为s(x)在每个小区间上是一个次小于三次的多 项式，故有四个未知系数； （2）因为s(x)有n分段，从而共有4n个未知系数！ （3）但插值条件与样条条件仅给出4n-2个条件，无法 定出4n个未知系数，还差2个条件！这2个条件我们用 边界条件给出！
5
通常我们对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是
这是一个严格对角占优的三对角方程组， 用追赶法可以求解！
18
第二类三次样条插值问题的方程组
由于已知：
S ( x0 ) M 0 S ( xn ) M n
M 0 M n 0时，称为自然边界条件
故得：
S ( x0 ) 6 4 2 ( y1 y m0 m1 M 0 0) 2 h0 h0 h0
x [ xi , xi 1 ], hi xi 1 xi , i 0,1,, n 1
( x) (2x 1)(x 1)2 ,1 ( x) x( x 1)2
13
对Si ( x)求二阶导数 , 并整理后得
6( xi xi 1 2 x) Si( x) ( yi 1 yi ) 3 hi 6 x 2 xi 4 xi 1 6 x 4 xi 2 xi 1 mi mi 1 2 2 hi hi
hi xi 1 xi , i 0,1,, n 1
(0) H 3 ( x) x0 x x1 (1) H 3 ( x) x1 x x2 H 3 ( x) H ( n1) ( x) x x x n 1 n 3
12
我们采用待定一阶导数的方法即设
化为矩阵形式
17
2 2
1
2
2
2
3
3
2
4
n 2
2
n 1
m1 g1 1m0 m g 2 2 m3 g3 n 2 mn 2 g n 2 g m 2 m n 1 n n1 n1
20
第三类样条插值问题的方程组
由于：
S ( x0 0) S ( xn 0) m0 mn S ( x0 0) S ( xn 0)
6 2 S ( x0 0) 2 ( y1 y0 ) (m1 2m0 ) h0 h0 6 2 S ( xn 0) 2 ( yn yn1 ) (mn1 2mn ) hn1 hn1
是满足如下数据的第一类边界样条插值问题解：
x y y’
0 0 1
1 0
2 0
3 0 0
9
样条函数的例子
(11x 3 26x 2 15x) 15 0 x 1 S ( x) (3x 3 16x 2 27x 14) 15 1 x 2 ( x 3 8 x 2 21x 18) 15 2 x3
2 1 n