点与圆位置关系 垂径定理

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辅导： 点与圆位置关系 垂径定理 【基础知识精讲】 一、 圆的有关概念

1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆；其中定点叫圆心，定长称为半径． 圆心不同，半径相等的圆叫做等圆；圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆． 2．弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧． 3．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径． 4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 说明：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。 （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。 （3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。 （4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。

二、弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理： 在同圆或等圆中，弦、弧、弦心距、圆心角四组量中只要有一组量相等，则其余三组量也相等。

三、和圆有关的角： 1、圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。 2、圆周角：顶点在圆上，它的两边和圆还有另一个交点的角叫做圆周角。 3、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 推论3：半圆或直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 4、弧的度数：一段弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

四、圆的对称性： (1).圆是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴。

(2) 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

五、点和圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d。则：（1）若rd则点P在圆外； （2）若rd则点P在圆上； （3）若

D E C

B

A O  ★九年级专用资料 数学是锻炼思维的体操★

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rd

则点P在圆内。

六、垂径定理及推论： 如果一条直线具有(1)过圆心，(2)垂直于弦，(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧。这五个性质的任何两个性质，那么这条直线就具有其余三个性质； 但“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”其中的弦必须是非直径的弦，假若弦是直径，那么这两条直径不一定互相垂直。

七、在解决圆的有关问题时，有以下几种常引用的辅助线： （1）连弦的端点与圆心的半径； （2）作弦心距； （3）连圆心和弦的中点（遇弦的中点时）； （4）连圆心和弧的中点（遇弧的中点时）； 【典例精讲】 专题一：圆的基本概念及点和圆的关系 例1、选择题：（1）下列说法正确的是（ ） A、弦是直径； B、半圆是弧； C、弧是弓形； D、圆心相同，半径相同的两圆是同心圆。 （2）下列说法正确的是（ ） A、两个半圆都是等弧； B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧； C、同圆中优弧与劣弧的差必是劣弧； D、由弦和弧组成的图形叫弓形。 （3）两圆的半径分别为)(,2121rrrr，若21rOPr，则有（ ）

A、点P在大圆内、小圆外； B、点P在大圆外、小圆外； C、点P在大圆外、小圆内； D、点P在大圆内、小圆内。 （4）如右图，在RtABC中，90ACB，3AC，4BC，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为

A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 (5)绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ） A.4m B.5m C.6m D.8m

D C B

E A

C A D

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例2、如图，锐角△ABC中，高BD⊥AC于D；CE ⊥AB于E。求证：点D、点E都在以BC为直径的圆上。

【变式练习】1、如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，⊙A的半径r的取值范围为__。

2、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，CD是斜边AB的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是_____________。 3、已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB=____________。

4、如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b ,NH=c ,则下列各式中正确的是（ ） A、 a>b>c B、a=b=c C、c>a>b D、b>c>a 专题二：垂径定理的应用 例3、判断题： （1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 （ ） （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧。 （ ） （3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 （ ） （4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行。 （ ） （5）弦的垂直平分弦一定平分这条弦所对的弧。 （ ） 例4、（1）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，

（1）求证：CB∥PD； （2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．

（2）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结

CD． （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r； （2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．

D C B A P

D B A

C O  

A

C B

D P O M N N

M H

B

O F

E D A

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【变式练习】 1. 在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且AB∥CD，则AB•与CD之间距离为_______________． 2、如图1，⊙O与矩形ABCD交于E、F、G、H，EF=10，HG=6，AH=4。 则BE=_________________。 3、如图2，已知AB、CD为⊙O的弦，且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，则圆心O到AB的距离为____________cm。

4、如图3，AD是∆ABC的高，AE是∆ABC的外接圆的直径．试说明AB·AC=AE·AD． 5. 已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点G，E是CD延长线上的一点，连结AE交⊙O于F,连结AC，CF，若AEAFAC2. 求证：（1）△ACF∽△AEC； （2）AB⊥CD。

 O

A B

D

C H G

F E D C B A

图1 图2 图3

G O E

F

B C

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望子成龙学校家庭作业 1、 在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数为_____________; 2、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕 AB的长为（ ）

A． B． C． D．

3.如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6。则⊙O的半径为（ ） A．6 B．13 C．13 D．213 4、已知：⊙O的半径为5，圆心o到直线l的距离OP=3，点A为直线l上一点，PA=5,则点A与⊙O的位置关系是_________. （A）点A在⊙O外； （B）点A在⊙O上； （C）点A在⊙O内； （D）不能确定。 5、下列叙述正确的是________. （A）垂直于弦的直线必经过圆心； （B）平分弦的直径垂直于弦； （C）平分弦的直径必平分弦所对的弧； （D）平分直径的弦是圆中最大的弦。 6、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原 来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）

A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块

7.如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC， 连

接BC、BD．若=62°，则的度数为（ ） A．56 B．58 C．60 D．62

8、如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G． (1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明； (2)求证：AE=BF；

（3）若，求⊙O的面积。

A B C O