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圆的定义、垂径定理的复习解析
圆的定义、垂径定理的复习解析
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利用新知 解决问题
8.(课本90页9题)如图,已知在两同心圆⊙O 中,大圆弦 AB 交 小圆于 C,D,则 AC 与 BD 间可能存在什么关系?
C A
DB
O
5.利用新知 问题回解
C
A
D
B
O
解决求赵州桥拱半径的问题:
AB
如图,用弧AB表示主桥拱,设弧AB所在圆的圆心为O,半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与弧AB相交于点C.根据前面 的结论可知,D是弦AB的中点,C是弧AB的中点,CD就是拱高.
(2)若∠A=40°,则∠ABO=__4_0_°__,∠C=__5_0_°_,∠ABC =__9_0_°__.
图 24-1-2
3.如图 24-1-4,在⊙O 中,点 C 为弦 AB 上一点,AC=2, BC=6,⊙O 的半径为 5,则 OC=( A )
A. 13
图 24-1-4
B.4
C.3
D.2 3
图 24-1-5
思路点拨:利用已知条件,把垂径定理和勾股定理相结合, 构造直角三角形.
解:如图D28,连接OA,过点O 作OE⊥AB,垂足为点 E, 交圆于点F,则AE= 1AB=30(cm).
2
图 D28
7.(课本123页3题)如图 24-1-7,已知 AB 是⊙O 的弦, 半径 OA=20 cm,∠AOB=120°,求△AOB 的面积.
【跟踪训练】
1.半径为 5 的圆的一条弦长不可能是( D )
A.3
B.5
C.10
D.12
2.如图 24-1-2.(1)若点 O 为⊙O 的圆心,则线段__O_A__或__O__B_ _或___O_C__是圆 O 的半径;线段__A_B__或__B__C_或___A_C__是圆 O 的弦, 其中最长的弦是_直__径___A_C_;_弧__A_B__或__弧___B_C_是劣弧;弧___A_C_是半圆;
rd E
r2 =(r-h)2+( a)2 A
2
a∟
C
B
归纳:垂直于弦的直径___平__分___弦,并且__平__分___弦所对 的两条弧.
注意:“平分(不是直径)弦的直径垂直于弦,并平分弦所 对的弧”,在平分弦做条件时,一定要注意平分不是直径的弦 时,才能由垂径定理得出垂直于弦并且平分弦所对的弧.
图 24-1-7
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解:过点 O 作 OC⊥AB 于点 C,如图 D29,
∴∠AOC=12∠AOB=60°,AC=BC=12AB.
∵在 Rt△AOC 中,∠A=30°,
∴OC=12OA=10,
AC= OA2-OC2=10 3(cm). ∴AB=2AC=20 3(cm).
图 D29
∴△AOB 的面积=12AB·OC=12×20 3×10=100 3 (cm2).
【跟踪训练】 4.高速公路的隧道和桥梁最多.如图 24-1-6 是一个隧道 的横截面,若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分,路面 AB=10 米,净高 CD=7 米,则此圆的半径 OA=( )
A.5 米
图 24-1-6
B.7 米
C.357米
D.377米
6.如图 24-1-5,某居民区一处圆形水泥管下水管道 破裂塌陷,修理人员准备更换一段新管道,现量得污水面宽度 为 60 cm,水面到管道顶部距离为 10 cm,问修理人员应准备内 径是多少的水泥管道?
2.圆的有关概念 (1)连接圆上任意两点的线段叫做____弦____,经过圆心的弦 叫做___直__径___. (2)圆上任意两点间的部分叫做弧,以 A,B 为端点的弧记 作___A_B__,大于半圆的弧叫做___优__弧___,用三个点的字母表示; 小于半圆的弧叫做___劣__弧___,用两个点的字母表示. 注意:直径是弦,但弦不一定是直径;半圆是弧,但弧不 一定是半圆.
在图中 AB=37.4 m,CD=7.2 m,
AD 1 AB 1 37.4 18.7(,m),
2
2
OD=OC-CD=R-7.2
在Rt△OAD中,由勾股定理,得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.72+(R-7.2)2
A
C D B
解得R≈27.9.
R O
因此,赵州桥的主桥拱半径约为
27.9 m.
3.圆的同等关系 能够重合(或半径相等)的两个圆叫做___等__圆___;在同圆或 等圆中,能够互相重合的弧叫做__等__弧____. 注意:只有在同圆或等圆中才存在等弧.在判断等弧时, 首先要看两弧所在的圆是否为同圆或等圆,然后再看弧的长度 是否相等. 4.圆的性质 圆是轴对称图形,又是___中__心____对称图形.圆绕__圆__心____ 旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合,这种性质叫圆 的旋转不变性.
5.垂径定理 探究:结合图 24-1-1 完成填空:
图 24-1-1 已知 CD 是直径,CD ⊥AB 于点 E ,则_____A_E_=__B_E___ , ___A_D__=__B_D____,___A__C_=__B__C__.
设圆的半径是r,圆心到弦的
距离d,弦长a
三者关系如
何?
O
r2 =d2+( a2)2
24.1 圆的有关性质
第1课时 圆和垂直于弦的直径
1.圆的定义及其表示方法 (1) 定义:在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O___旋__转__一__周___,另一个端点 A 所形成的图形叫做圆.固定的 端点 O 叫做___圆__心___,线段 OA 叫做___半__径___. (2)表示方法:以点 O 为圆心的圆,记作“__⊙__O____”,实作 “圆 O”. (3)特征:①圆上各点到定点(圆心 O)的距离都等于定长(半 径 r);②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 注意:圆心为O,半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离为定点 r 的点的集合.
知识点 1 圆的有关概念
【例 1】 判断正误:
(1)弦是直径;
(2)半圆是弧;
(3)过圆心的线段是直径;
(4)过圆心的直线是直径;
(5)半圆是最长的弧;
(6)直径是最长的弦;
(7)圆心相同,半径相等的两个圆是同心圆;
(8)半径相等的两个圆是等圆; (9)等弧就是长度相等的弧.
思路点拨:解题的关键是理解好圆中的相关概念.
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