圆的有关概念和性质

①形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫，线段OA叫做．②描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合．定点叫，定长叫．（1）弦：连结圆上任意两点的叫做弦．（2）弧：圆上任意两点间的叫做弧，大于半圆的弧叫，小于半圆的弧叫．（3）弦心距：到的距离．（4）等圆：相等的圆叫等圆，半径和圆心都相同的圆叫．（5）等弧：在中，能够的弧叫．（6）同心圆：圆心，半径的两个圆叫同心圆．①圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角．②圆周角定义：顶点在，并且两边都和圆的角叫圆周角．①轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴．②中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是．圆具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都与原来的图形重合．垂直于弦的直径，并且平分弦所对的．①垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：I、过圆心；II、垂直于弦；III平分弦；IV、平分弦所对的优弧；V、平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用．②圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线．BOCA DAB CO ⋅⋅⋅⋅M⋅DOCBA在中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弧所对的弦、弦心距中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的．推论1.在同圆或等圆中，如果两个圆周角，那么它们所对的弧．推论2.半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是．【名师提醒】：作直径所对的圆周角是直角是圆中常作的辅助线．①圆内接四边形的对角；②圆内接四边形的任意一个外角等于它的．例1：如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD例2：如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为．例3：如图3，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=32，0C=1，则半径OB的长为．例4：如图4，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为．例5：如图5，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．图4⋅OFDCEBA图5FAB CO ⋅⋅⋅⋅EAB C图6OO ⋅AB CD图7图1 图2图3BDBC=例6：如图6，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且8==CD AB ， 则OP 的长为 ．例7：如图7，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧上一点，则APB ∠的度数为（ ）例8：如图8，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，AC OD ⊥，垂足为E ，连结BD ，032=∠A ，则=∠CBD ．例9：如图9，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OB OA ⊥，点C 在⊙O 上，则ACB ∠的度数为 ．例10：如图10，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，连接AD 、BC ．060=∠BAD ，则B CD ∠的度数为 ． 例11：如图11，在ABC ∆中，AB 为⊙O 的直径，060=∠B ，0100=∠BOD ，则C ∠的度数为 ．例12：如图12，在半径为5的⊙O 中，弦6=AB ，点C 是优弧AB 上一点（不与A ，B 重合）， 则cosC 的值为．例13：如图13，四边形ABCD 内接于⊙Ｏ，0110=∠C ，则=∠A,BOD ∠= .AMB 图9图10图11图6图4图5图8图7例14：如图14，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点N ，点M 在⊙O 上，∠1=∠C 若BC=4，32sin =M ，则⊙O 的直径AB 的长是 ．例15：如图15，△ABC 内接于⊙O ，AB 、CD 为⊙O 直径，DE ⊥AB 于点E ，sinA=12， 则∠D 的度数是 ．例16：如图16，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，OP ⊥AC 于点P ，OP=32，则⊙O 的半径为 ． 例17：如图17，△ABC 中，BC=3，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点D ，若D 是AC 中点，∠ABC=120°． 则（1）∠ACB 的度数是 ．（2）点A 到直线BC 的距离是 ．例18：如图18，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，030=∠A ，CE 平分ACB ∠交⊙O 于E ，交AB 于点D ，连结BE ，则=∆∆CD A BD E S S : .例19：如图19，AD 是ABC ∆的高，AE 是ABC ∆的外接圆⊙O 的直径，24=AB ，5=AC ，4=AD ，则的直径=AE ．例20：如图20，以ABC ∆的边BC 为直径的⊙O ，点A 在⊙O 上，过点A 作BC AD ⊥于D ，53cos =∠CAD ，4=AB，则=AC . 图15图16图17CBAO图20ED∙AEO B DC 图18D ABC图19∙O图12图14⋅ABC图13D O例21：⊙O 的半径为17cm ，弦CD AB //，cm AB 30=，cm CD 16=，则AB 与CD 之间的距离是 .。

圆的概念与性质圆是几何学中最基本也是最重要的图形之一。

它具有独特的概念与性质，对于几何学研究和实际生活应用都具有重要的意义。

一、圆的概念圆可以通过平面上的一点（圆心）和与这个点距离相等的所有点构成，这个相等的距离称为圆的半径。

圆的边界称为圆周，圆周上的所有点到圆心的距离都相等。

二、圆的性质1. 圆心和半径：圆心是圆的核心位置，半径是从圆心到任意一个点的距离。

所有半径的长度都相等。

2. 直径：直径是通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。

直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍。

3. 弧长：弧长是圆上的一段弧对应的圆周长度。

弧长和圆的半径以及所对应的圆心角有关。

4. 弧度：弧度是弧长和半径之间的比值。

一个完整圆的弧长等于2π倍的半径。

角度和弧度之间的转换关系是180°=π弧度。

5. 扇形：扇形是由圆心、圆周上的两个点以及连接这两个点的弧段所构成的图形。

6. 弦：弦是连接圆周上的两个点的线段。

7. 切线：切线是与圆周只有一个交点的直线，切线与半径的夹角是直角。

8. 正切线：正切线是过圆上一点并且与该点的切线垂直相交的直线。

9. 圆的面积：圆的面积是指圆所包围的平面区域。

圆的面积公式是πr²，其中r为圆的半径。

三、圆的应用1. 圆在建筑设计中的应用：圆形的建筑物，例如圆形剧场、圆形体育馆等，不仅美观而且具有良好的音响效果和观看体验。

2. 圆在交通规划中的应用：交通圆环的设计可以提高交通效率，减少交通事故的发生。

3. 圆在制造业中的应用：例如车轮、电机转子等，圆形的设计可以提高工作效率和产品的稳定性。

4. 圆在数学研究中的应用：圆的概念和性质是数学研究中的基础，广泛应用于数学的各个分支，如几何学、代数学等。

总结：圆是几何学中的基本图形，具有独特的概念和性质。

圆的应用广泛存在于我们的生活中，不仅美观而且具有很多实际价值。

对于几何学的学习和实际应用，深入理解圆的概念和性质是非常重要的。

圆的定义及其性质圆是几何中重要的图形之一，被广泛应用于各个科学领域中。

本文将介绍圆的定义、圆的性质，以及圆相关的应用领域和实例。

一、圆的定义圆是一个平面内所有距离 equidistant（简称“等距”）于给定点的点的轨迹。

这个点被称作圆心，等距距离为圆的半径。

因此，圆的定义可表示为：圆是以圆心为中心，半径为 r 的所有点的集合。

二、圆的性质1.圆是所有直径相等的图形中，面积最大的。

2.在同一圆中，所有的弦都相等。

3.圆上每个点与圆心的距离相等。

4.一个圆的周长是2πr，其中 r 表示圆的半径。

5.较大的圆可被拆分为多个较小的圆组成，而小的圆则可以组合成较大的圆形。

6.圆内的所有角都是直角。

三、圆的应用1. 圆在建筑和工程中常用于计算圆形地基的尺寸和形状。

2. 圆形面积的计算可以在数学和物理中应用，例如，利用圆的面积计算管道的计算和城市建设中的土地分配。

3. 光学中有一个基本的圆形焦点概念，其中光源和接收器之间的距离被称为焦距。

4. 圆的范围也超出数学和物理学。

它常常在艺术中应用，被用于建立圆盘和圆弧的对称性，也是一些流行的图案和装置的构成元素。

四、圆的实例1. 直升机旋转的脸部估计(利用圆轨迹）。

2. 车辆编队目标跟踪(利用圆弧拟合）。

3. 地图中的航线和航空母舰轮廓。

4. 金属轮毂的制造和调整需要用到圆的概念。

结语：圆在我们日常生活中扮演着不可忽视的角色，并且在各种科学领域中广泛应用。

从上文介绍的内容中我们可以了解到圆的定义、性质和应用，以及了解到如何在实际应用中利用和应用圆形。

随着技术的不断创新和发展，圆的概念和应用也将变得更加重要和广泛。

圆的基本概念与性质圆是几何中的一种基本图形，具有独特的性质和特点。

本文将介绍圆的基本概念和性质，探讨其在数学和日常生活中的应用。

一、圆的基本概念圆是由一个平面内距离中心固定点相等的所有点构成的集合。

其中，固定点称为圆心，距离圆心的长度称为半径。

圆由圆心和半径唯一确定。

二、圆的性质1. 圆的直径圆的直径是连接圆上任意两点，并通过圆心的线段。

直径的长度等于圆半径的2倍。

2. 圆的周长圆的周长是指圆上任意两点之间的距离，也可以理解为圆的边界长度。

周长的计算公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。

3. 圆的面积圆的面积是指圆内部所有点组成的区域。

面积的计算公式为A=πr^2，其中A表示面积，r表示半径。

4. 弧圆上两点之间的部分称为圆弧。

弧对应的圆心角等于弧所夹的圆心角。

5. 弦圆上连接两点的线段称为弦。

如果弦通过圆心，则称为直径。

否则，称为弦。

6. 切线与圆相切且仅有一个切点的直线称为圆的切线。

切线与半径垂直。

7. 弦切角圆的内部一点与两条相交弦之间的角称为弦切角。

同弧切角相等。

三、圆的应用圆的概念和性质在数学中有广泛应用，也在日常生活中有所体现。

以下为几个常见的应用场景：1. 几何图形圆是许多其他几何图形的基础，例如圆柱体、圆锥体和圆环等。

了解圆的概念和性质，有助于我们更好地理解和应用这些几何图形。

2. 建筑设计在建筑设计中，圆形结构常常被运用。

圆形的建筑物可以提供良好的结构稳定性和美观性。

例如，圆形拱门和圆顶常常用于教堂和宫殿等建筑中。

3. 工程测量圆的性质在工程测量中有重要的应用。

通过测量圆的半径或直径，可以计算出工程中需要的其他参数，如周长、面积和体积。

4. 自然现象许多自然现象中都存在圆形，例如太阳、月亮、风旋涡等。

理解圆的概念和性质，有助于我们更好地解释和研究这些自然现象。

结语圆是几何学中的基本概念之一，具有独特的性质和广泛的应用。

通过了解圆的基本概念和性质，我们能够更好地理解几何学知识，并将其应用于实际生活中。

圆的概念和性质圆是我们生活中常见的几何形状之一，它具有独特的概念和性质。

在数学中，圆是指平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。

圆的性质有很多，下面我将为大家详细介绍。

1. 圆的直径和半径圆的直径是指通过圆心的一条线段，其两个端点都在圆上。

直径的长度是圆的重要属性，它等于圆的半径的两倍。

半径是从圆心到圆上任意一点的线段，半径的长度决定了圆的大小。

2. 圆的周长和面积圆的周长是指圆上一点到另一点所经过的弧长。

圆的周长也被称为圆的周长，它等于圆的直径乘以π（圆周率，约等于3.14）或者等于圆的半径乘以2π。

圆的面积是指圆内部的所有点构成的区域的大小，它等于圆的半径的平方乘以π。

3. 圆的切线和弦圆上的切线是指与圆只有一个交点的直线。

切线与圆的切点处与半径垂直。

圆上的弦是指连接圆上两个点的线段，弦的长度可以小于、等于或大于圆的直径。

4. 圆的内切和外切圆的内切是指一个圆与另一个圆相切，并且两个圆的圆心在同一条直线上。

圆的外切是指一个圆与另一个圆相切，并且两个圆的圆心不在同一条直线上。

5. 圆的相似如果两个圆的半径之比相等，则这两个圆是相似的。

相似的圆具有相似的形状，但是大小不同。

6. 圆的划分圆可以被划分成多个扇形、弓形、弧和扇形等部分。

扇形是由圆心和圆上两个点构成的区域，弓形是由圆上一段弧和两个半径构成的区域，弧是圆上的一段弯曲的部分，扇形是由圆心、圆上两点和两个半径构成的区域。

通过对圆的概念和性质的了解，我们可以应用这些知识解决实际问题。

比如，我们可以利用圆的周长和面积计算出一个圆的大小，或者利用圆的切线和弦来解决与圆相关的几何问题。

此外，圆的相似性质也可以帮助我们在绘图或者设计中保持形状的一致性。

总结起来，圆是一个重要的几何形状，它具有独特的概念和性质。

通过对圆的认识和理解，我们可以更好地应用这些知识解决实际问题。

希望大家在学习数学的过程中能够深入了解圆的概念和性质，提高数学思维能力和解决问题的能力。

圆的概念及性质一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．A （2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理D（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．一、圆的相关概念及性质【例1】 判断题：（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )【例2】 如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（ ）A ．''AB A B = B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【例3】 如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则A O D ∠=___________．【例4】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHG FE DC B A【例5】 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．【例6】 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． 图1图2二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例7】 如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒ C ．50︒ D ．80︒【例8】 如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒【例9】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【例10】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA【例11】 已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒B.60︒C.75︒D.90︒ P【例12】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例13】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（ ） A ．10︒ B ．20︒ C ．30︒D ．40︒【例14】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例15】 如图，AB 是O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为 ．【例16】 如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（ ） A ．25︒ B ．40︒ C ．30︒ D ．50︒E【例17】 如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于（ ） A ．60° B ．100° C ．80° D ．130°C【例18】 如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且O C D C O F E F ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．O PFEDC B A【例19】 如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．DCA B【例20】 如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【例21】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218A B D E E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．E【例22】 如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．D【例23】 如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例24】如图，在O⊙中，AOB∠的度数为m，C是ACB上一点，D E、是AB上不同的两点(不与A B、两点重合)，则D E∠+∠的度数为____________．【例25】如图，AB是O 的直径，点C，D，E都在O上，若C D E==∠∠∠，求A B+∠∠．BA【例26】如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器台．【例27】如图所示，在ABC∆中，45C∠=︒，4AB=，则O⊙的半径为()B.4C. D.5CBA【例28】如图，ABC△的三个顶点都在O⊙上，302cmC AB∠=︒=，，则O⊙的半径为______cm．【例29】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．【例30】 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．【例31】 两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CD ⊥PG FEDCBA【例32】 如图，O ⊙与P ⊙相交于B 、C 两点，BC 是P ⊙的直径，且把O ⊙分成度数比为12∶的两条弧，A 是BmC 上的动点(不是B 、C 重合)，连结AB 、AC 分别交P ⊙于D 、E 两点．（1）当ABC ∆是钝角三角形时，判断PDE ∆的形状． （2）当ABC ∆是直角三角形时，判断PDE ∆的形状．（3）当ABC ∆是锐角三角形时，判断PDE ∆的形状．这种情况加以证明．【例33】 已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．【例34】 如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．【例35】 如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例10】 圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D （如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．ABC D OS 1S 2【例36】 已知，如图M N ，为O 中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O 于C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．PNMOFEDCBA【例37】 如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB ⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．【例38】 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．【例39】 如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、． ⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．【例40】 如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．P EC B AE DCBA【例41】 在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E 分别在边BC 、AB上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求BDE ∆的面积．图 12HOFE DCBA2. 圆内接四边形【例42】 已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD AB 的长等于 ．【例43】 如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于E 点，BC 交O 于D 点，CD BD =，70C ∠=︒． 现给出以下四个结论：①45A ∠=︒； ②AC AB =； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=． 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④BA【例44】 已知AD 是O ⊙的直经，ABAC 、是弦，若2AD AB AC ===，A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．图1【例45】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点P，AB BD=，且0.6PC=，求四边形ABCD的周长．C 【例46】如图，四边形ABCD为正方形，O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB AD，于点F E，．（1）求证：DE AF=（2）若O，1AB=，求AEED的值．【例47】如图，O⊙外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且1AP=，PB=PC的长．PD CBA【例48】圆内接四边形ABCD，AC BD⊥，AC交BD于E，EG CD⊥于G，交AB于F．求证：AF BF=．GEF A BC D【例49】 圆内接矩形CEDF ，过D 作圆的切线AB ，分别与CE 、CF 的延长线相交于A 、B ，求证：33BF BC AE AC =．A3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例50】 在同圆中，CD 的度数小于180︒，且2AB CD =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（ ）A ．AB CD > B ．AB CD =C ．AB CD < D ．无法确定【例51】 如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么（ ）A.2AB CD >B.2A B C D <C.2AB CD =D.AB 与2CD 的大小关系不能确定【例52】 已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【例53】 如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴BEC ADF =；⑵AM BN =．【例54】 已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．d cb a【例55】 在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【例56】 如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根．⑴ 求证：AE BD =；⑵若AC BC ⊥，求证：AD BD +．【例57】 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB AD =，且其对角线交于点E ，点F 在线段AC 上，使得BFC BAD ∠=∠．若2BAD DFC ∠=∠，求BEDE的值． 图 4F EDC BA【例58】 已知：如图，D 是Rt ABC ∆中直角边BC 上的一点，以BD 为直径的圆交斜边AB 于点E ，连结EC交此圆于点F ，BF 交AC 于点G ．求证：GF CA CF EA ⋅=⋅．【例59】 如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．【例60】 AB 是半圆的直径，C 点在圆上，过点A 、B 分别作过C 点的切线的垂线AD 、BE ，D 、E 为垂足，求证：24DE AD DE =⋅．A【例61】 已知A D 、是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E是BC 上一动点，连结AD AE DE 、、，且90AED ∠=︒． ⑴如图⑴，如果616AB BC ==，，且:1:3BE CE =，求AD 的长；⑵如图⑵，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．图(2)lE DCBA图(1)lEDC B A。

第二十三讲圆的有关概念及性质基础知识回顾一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合名师提醒：1、在一个圆中,圆←决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦,弦不一定是锥2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形,有条对称轴的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形,对称中心是名师提醒：圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径,并且平分弦所对的2、推论：平分弦的直径,并且平分弦所对的名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算,在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆或直弦所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是名师提醒：1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,它们的关系是2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是考点一：垂径定理例1如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线,交⊙O于B,C两点,2、连接AB,AC,△ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点．2、连接AB,BC,CA．△ABC即为所求的三角形．对于甲、乙两人的作法,可判断AA．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误D．甲错误,乙正确对应训练1．如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B=60°,OP⊥AC于点P,OP=23,则⊙O的半径为A．43B．63C．8 D．12考点二：圆周角定理例2如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点N,点M在⊙O上,∠1=∠C1求证：CB∥MD；2若BC=4,sinM= 23,求⊙O的直径．对应训练37．如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD1求证：BD平分∠ABC；2当∠ODB=30°时,求证：BC=OD．考点三：圆内接四边形的性质例3 如图,⊙C过原点,且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的坐标为0,3,M是第三象限内OB上一点,∠BMO=120°,则⊙C的半径长为A．6 B．5 C．3 D．32对应训练3、如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是A．115°B．l05°C．100°D．95°聚焦中考1．如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是C．∠ACD=∠ADC D．OM=MDA．CM=DM B．CB DB2．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架如图1,若不计木条的厚度,其俯视图如图2所示,已知AD垂直平分BC,AD=BC=48cm,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是cm．3．如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,点C是优弧AB上一点不与A,B重合,则cosC的值为．4．如图,点A、B、C在⊙O上,∠AOC=60°,则∠ABC的度数是．备考真题过关一、选择题1．如图,以M-5,0为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点,P是⊙M上异于A、B的一动点,直线PA、PB分别交y轴于C、D,以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F,则EF的长A．等于42B．等于43C．等于6 D．随P点位置的变化而变化2．如图,在半径为5的⊙O 中,AB 、CD 是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP 的长为3．如图,AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E,已知CD=12,BE=2,则⊙O 的直径为 A ．8 B ．10 C ．16 D ．204．如图,CD 是⊙O 的直径,AB 是弦不是直径,AB ⊥CD 于点E,则下列结论正确的是 A ．AE ＞BE B ． AD BC C ．∠D=12∠AEC D ．△ADE ∽△CBE5．已知：如图,OA,OB 是⊙O 的两条半径,且OA ⊥OB,点C 在⊙O 上,则∠ACB 的度数为 A ．45° B ．35° C ．25° D ．20°6．如图,AB 、CD 是⊙O 的两条弦,连接AD 、BC ．若∠BAD=60°,则∠BCD 的度数为 A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°7．△ABC 为⊙O 的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC 的度数是 A ．80° B ．160° C ．100° D ．80°或100° 8．如图,在△ABC 中,AB 为⊙O 的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C 的度数为 A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°二、填空题9．如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦,CD ⊥AB,垂足为E,已知CD=6,AE=1,则⊙0的半径为 ．10．如图,AB 是⊙O 的弦,OC ⊥AB 于C ．若AB=23,0C=1,则半径OB 的长为 ． 11．如图,在⊙O 中,直径AB 丄弦CD 于点M,AM=18,BM=8,则CD 的长为 ． 12．已知：如图,在⊙O 中,C 在圆周上,∠ACB=45°,则∠AOB= ．13．如图,矩形OABC 内接于扇形MON,当CN=CO 时,∠NMB 的度数是 ．14．如图,已知点A0,2、B23,2、C0,4,过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连接AP,以AP为边在其左侧作等边△APQ,连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形,则：1当AB为梯形的底时,点P的横坐标是；2当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是．15．如图,△ABC内接于⊙O,AB、CD为⊙O直径,DE⊥AB于点E,sinA=12,则∠D的度数是．三、解答题16如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形AB∥DC,支点A与B相距8m,罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O,半径为5m,∠D=56°,求：U型槽的横截面阴影部分的面积．参考数据：sin53°≈,tan56°≈,π≈3,结果保留整数17．如图,⊙O的半径为17cm,弦AB∥CD,AB=30cm,CD=16cm,圆心O位于AB,CD的上方,求AB和CD的距离．18．在⊙O中,直径AB⊥CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD．求∠D的度数．19．如图,A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°,1求证：△ABC是等边三角形；2求圆心O到BC的距离OD．20．如图△ABC中,BC=3,以BC为直径的⊙O交AC于点D,若D是AC中点,∠ABC=120°．1求∠ACB的大小；2求点A到直线BC的距离．21．如图,已知AB是⊙O的弦,OB=4,∠OBC=30°,点C是弦AB上任意一点不与点A、B重合,连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD、DB．1当∠ADC=18°时,求∠DOB的度数；2若AC=23,求证：△ACD∽△OCB．第二十三讲圆的有关概念及性质基础知识回顾三、圆的定义及性质：3、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合名师提醒：1、在一个圆中,圆←决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦,弦不一定是锥2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形,有条对称轴的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形,对称中心是名师提醒：圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合四、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径,并且平分弦所对的2、推论：平分弦的直径,并且平分弦所对的名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算,在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”六、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆或直弦所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是名师提醒：1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,它们的关系是4、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线七、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是考点一：垂径定理例1如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线,交⊙O于B,C两点,2、连接AB,AC,△ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点．2、连接AB,BC,CA．△ABC即为所求的三角形．对于甲、乙两人的作法,可判断AA．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误D．甲错误,乙正确对应训练1．如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B=60°,OP⊥AC于点P,OP=23,则⊙O的半径为A A．43B．63C．8 D．12考点二：圆周角定理例2如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点N,点M在⊙O上,∠1=∠C1求证：CB∥MD；2若BC=4,sinM= 23,求⊙O的直径．证明：∵∠C与∠M是BD所对的圆周角,∴∠C=∠M,又∵∠1=∠C,∴∠1=∠M,∴CB∥MD；2解：连接AC,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,又∵CD⊥AB,∴BC= BD,∴∠A=∠M,∴sinA=sinM,在Rt△ACB中,sinA=BCAB,∵sinM=23,BC=4,∴AB=6,即⊙O的直径为6．对应训练37．如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD1求证：BD平分∠ABC；2当∠ODB=30°时,求证：BC=OD．证明：1∵OD⊥AC OD为半径,∴CD AD,∴∠CBD=∠ABD,∴BD平分∠ABC；2∵OB=OD,∴∠OBD=∠0DB=30°,∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°, 又∵OD ⊥AC 于E,∴∠OEA=90°, ∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°, 又∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°, 在Rt △ACB 中,BC=12AB,∵OD=CD AD =AB,∴BC=OD ． 考点三：圆内接四边形的性质例3 如图,⊙C 过原点,且与两坐标轴分别交于点A 、点B,点A 的坐标为0,3,M 是第三象限内 OB 上一点,∠BMO=120°,则⊙C 的半径长为 A ．6 B ．5 C ．3 D ．32解：∵四边形ABMO 是圆内接四边形,∠BMO=120°, ∴∠BAO=60°,∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AOB=90°, ∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°, ∵点A 的坐标为0,3,∴OA=3, ∴AB=2OA=6,∴⊙C 的半径长=2AB=3．故选C ． 对应训练3、如图,四边形ABCD 是圆内接四边形,E 是BC 延长线上一点,若∠BAD=105°,则∠DCE 的大小是 A ．115° B ．l05° C ．100° D ．95°解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形, ∴∠BAD+∠BCD=180°,而∠BCD+∠DCE=180°, ∴∠DCE=∠BAD,而∠BAD=105°,∴∠DCE=105°．故选B ． 聚焦中考1．如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是 D A ．CM=DM B ． CB DB = C ．∠ACD=∠ADC D ．OM=MD2．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架如图1,若不计木条的厚度,其俯视图如图2所示,已知AD 垂直平分BC,AD=BC=48cm,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 30 cm ．3．如图,在半径为5的⊙O 中,弦AB=6,点C 是优弧AB 上一点不与A,B 重合,则cosC 的值为45． 4．如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,∠AOC=60°,则∠ABC 的度数是 .150° ． 备考真题过关 一、选择题1．如图,以M-5,0为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点,P 是⊙M 上异于A 、B 的一动点,直线PA 、PB 分别交y 轴于C 、D,以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F,则EF 的长 C A ．等于42 B ．等于43 C ．等于6 D ．随P 点位置的变化而变化2．如图,在半径为5的⊙O 中,AB 、CD 是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP 的长为 C3．如图,AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E,已知CD=12,BE=2,则⊙O 的直径为 D A ．8 B ．10 C ．16 D ．204．如图,CD 是⊙O 的直径,AB 是弦不是直径,AB ⊥CD 于点E,则下列结论正确的是 D A ．AE ＞BE B ． AD BC C ．∠D=12∠AEC D ．△ADE ∽△CBE5．已知：如图,OA,OB 是⊙O 的两条半径,且OA ⊥OB,点C 在⊙O 上,则∠ACB 的度数为 A A ．45° B ．35° C ．25° D ．20°6．如图,AB 、CD 是⊙O 的两条弦,连接AD 、BC ．若∠BAD=60°,则∠BCD 的度数为 C A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°7．△ABC 为⊙O 的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC 的度数是 D A ．80° B ．160° C ．100° D ．80°或100°8．2012•泸州如图,在△ABC 中,AB 为⊙O 的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C 的度数为 A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°二、填空题 9．如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦,CD ⊥AB,垂足为E,已知CD=6,AE=1,则⊙0的半径为 5 ．10．如图,AB 是⊙O 的弦,OC ⊥AB 于C ．若AB=23,0C=1,则半径OB 的长为 2 ．11．如图,在⊙O 中,直径AB 丄弦CD 于点M,AM=18,BM=8,则CD 的长为 24 ．12．已知：如图,在⊙O 中,C 在圆周上,∠ACB=45°,则∠AOB= 90° ．13．如图,矩形OABC 内接于扇形MON,当CN=CO 时,∠NMB 的度数是 30° ．14．如图,已知点A0,2、B23,2、C0,4,过点C 向右作平行于x 轴的射线,点P 是射线上的动点,连接AP,以AP 为边在其左侧作等边△APQ,连接PB 、BA ．若四边形ABPQ 为梯形,则： 1当AB 为梯形的底时,点P 的横坐标是 233； 2当AB 为梯形的腰时,点P 的横坐标是 0或23 ．15．如图,△ABC 内接于⊙O,AB 、CD 为⊙O 直径,DE ⊥AB 于点E,sinA=12,则∠D 的度数是 30° ．三、解答题16如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图．已知图中ABCD 为等腰梯形AB ∥DC,支点A 与B 相距8m,罐底最低点到地面CD 距离为1m ．设油罐横截面圆心为O,半径为5m,∠D=56°,求：U 型槽的横截面阴影部分的面积．参考数据：sin53°≈,tan56°≈,π≈3,结果保留整数解：如图,连接AO 、BO ．过点A 作AE ⊥DC 于点E,过点O 作ON ⊥DC 于点N,ON 交⊙O 于点M,交AB 于点F ．则OF ⊥AB ．∵OA=OB=5m,AB=8m,∴AF=BF=12AB=4m,∠AOB=2∠AOF, 在Rt △AOF 中,sin ∠AOF=AF AO ==sin53°, ∴∠AOF=53°,则∠AOB=106°,∵OF=22OA AF =3m,由题意得：MN=1m,∴FN=OM-OF+MN=3m, ∵四边形ABCD 是等腰梯形,AE ⊥DC,FN ⊥AB,∴AE=FN=3m,DC=AB+2DE ．在Rt △ADE 中,tan56°=32AE DE =, ∴DE=2m,DC=12m ．∴S 阴=S 梯形ABCD -S 扇OAB -S △OAB =128+12×3-106360π×52-12×8×3=20m 2． 答：U 型槽的横截面积约为20m 2．17．如图,⊙O 的半径为17cm,弦AB ∥CD,AB=30cm,CD=16cm,圆心O 位于AB,CD 的上方,求AB 和CD 的距离．解：过点O 作弦AB 的垂线,垂足为E,延长AE 交CD 于点F,连接OA,OC,∵AB ∥CD,∴OF ⊥CD,∵AB=30cm,CD=16cm,∴AE=12AB=12×30=15cm,CF=12CD=12×16=8cm, 在Rt △AOE 中,OE=22221715OA AE -=-=8cm,在Rt △OCF 中,OF=2222178OC CF -=-=15cm,∴EF=OF-OE=15-8=7cm ．答：AB 和CD 的距离为7cm ．18．在⊙O 中,直径AB ⊥CD 于点E,连接CO 并延长交AD 于点F,且CF ⊥AD ．求∠D 的度数．解：方法一：连接BD ． ∵AB ⊙O 是直径,∴BD ⊥AD 又∵CF ⊥AD,∴BD ∥CF,∴∠BDC=∠C ．又∵∠BDC=12∠BOC, ∴∠C=12∠BOC ．∵AB ⊥CD,∴∠C=30°,∴∠ADC=60°． 方法二：设∠D=x,∵CF ⊥AD,AB ⊥CD,∠A=∠A,∴△AFO ∽△AED,∴∠D=∠AOF=x,∴∠ADC=2∠ADC=2x,∴x+2x=180,∴x=60,∴∠ADC=60°．19．如图,A,P,B,C 是半径为8的⊙O 上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°,1求证：△ABC 是等边三角形；2求圆心O 到BC 的距离OD ．解：1在△ABC 中,∵∠BAC=∠APC=60°,又∵∠APC=∠ABC,∴∠ABC=60°,∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°,∴△ABC 是等边三角形；2∵△ABC 为等边三角形,⊙O 为其外接圆,∴O 为△ABC 的外心,∴BO 平分∠ABC,∴∠OBD=30°,∴OD=8×12=4．20．如图△ABC中,BC=3,以BC为直径的⊙O交AC于点D,若D是AC中点,∠ABC=120°．1求∠ACB的大小；2求点A到直线BC的距离．解：1连接BD,∵以BC为直径的⊙O交AC于点D,∴∠BDC=90°,∵D是AC中点,∴BD是AC的垂直平分线,∴AB=BC,∴∠A=∠C,∵∠ABC=120°,∴∠A=∠C=30°,即∠ACB=30°；2过点A作AE⊥BC于点E,∵BC=3,∠ACB=30°,∠BDC=90°,∴cos30°=CDBC=3CD,∴CD=332,∵AD=CD,∴AC=33,∵在Rt△AEC中,∠ACE=30°,∴AE=1332⨯=332．21．如图,已知AB是⊙O的弦,OB=4,∠OBC=30°,点C是弦AB上任意一点不与点A、B重合,连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD、DB．1当∠ADC=18°时,求∠DOB的度数；2若AC=23,求证：△ACD∽△OCB．1解：连接OA,∵OA=OB=OD,∴∠OAB=∠OBC=30°,∠OAD=∠ADC=18°,∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°,由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°．2证明：过O作OE⊥AB于E,由垂径定理得：AE=BE,∵在Rt△OEB中,OB=4,∠OBC=30°,∴OE=12OB=2,由勾股定理得：BE=23=AE,即AB=2AE=43,∵AC=23,∴BC=23,即C、E两点重合,∴DC⊥AB,∴∠DCA=∠OCB=90°, ∵DC=OD+OC=2+4=6,OC=2,AC=BC=23,∴AC DCOC BC==3,∴△ACD∽△OCB两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似．。

圆的基本概念与性质圆是几何学中最基本的图形之一，它具有独特的形状和性质。

本文将对圆的基本概念和一些重要性质进行详细介绍。

一、圆的定义圆是由平面上距离一个固定点一定距离的所有点组成的集合。

这个固定点被称为圆心，而这个距离被称为半径。

二、圆的常用符号在几何学中，圆常用符号“O”表示圆心，用字母“r”表示半径。

因此，一个圆可以用符号“O(r)”表示。

三、圆的性质1. 圆的对称性由于圆的定义是以一个固定点为中心，所有距离这个点相等的点的集合，因此圆具有天然的对称性。

任意一条直径将圆分成两个等边的半圆，半圆上的所有点与圆心的距离相等。

2. 圆的直径、半径和弦在圆中，直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段；半径是从圆心到圆上的任意一点的线段，它等于圆的半径；弦是圆上连接两个点的线段，不经过圆心。

3. 圆的周长和面积圆的周长定义为圆上的一条完整弧所对应的长度，可以用公式C =2πr来计算，其中C表示周长，r表示半径。

圆的面积定义为圆内所有点所组成的区域的大小，可以用公式A = πr²来计算，其中A表示面积，r表示半径。

4. 圆的切线和法线圆上的切线是与圆相切的直线，它只与圆在切点相交。

切线与半径构成的夹角为90度。

法线是与切线垂直的直线，它通过切点并与切线垂直相交。

5. 圆的弧度制和度数制圆的弧度制是一种用弧长比半径的面度来度量角度的方式。

一个圆的弧长等于半径的弧度数。

度数制是人们常见的度量角度的方式，一个圆被等分为360度，1度等于圆的1/360。

四、圆的相关定理和应用1. 圆上的三角形圆上的三角形是指三个顶点都在圆上的三角形。

它有很多特殊性质，如圆上的两条弧所对应的角相等，半径与割线所包围的弧所对应的角相等等。

2. 切线定理和切割定理切线定理指的是切线与半径的关系，即切线的平方等于切点处外切圆的半径与切点到圆心的距离之积。

切割定理指的是弦分割定理和切线分割定理，它们描述了切线和弦所分割的弧长和线段之间的关系。

圆的基本概念与性质圆是几何学中的一种基本图形，具有独特的性质和各种重要的应用。

本文将对圆的基本概念和性质进行介绍，以及相关的推论和应用。

一、圆的定义与基本概念圆是平面上一组点，这些点到确定的一点（圆心）的距离相等，这个固定的距离称为半径。

在几何学中，常用字母O表示圆心，r表示半径。

圆用圆周符号"⌒"表示。

二、圆的性质1. 圆的直径与半径关系圆的直径是圆上任意两点的距离，是半径的两倍。

即：直径d =2r。

2. 圆的周长与半径关系圆的周长是圆周上的长度，记作L。

根据圆的性质，周长与半径之间有以下关系：L = 2πr，其中π取近似值3.14。

3. 圆的面积与半径关系圆的面积是圆内部的区域，记作S。

圆的面积与半径之间存在以下关系：S = πr²。

4. 圆的切线与半径的垂直关系切线是与圆周相切的直线，当切线与半径相交时，相交点处的角是直角。

5. 圆的弧长与圆心角的关系弧长是圆周的一部分长度，圆心角是对应的弧所对的圆心角。

弧长与圆心角之间的关系为：弧长= rθ，其中θ表示弧度。

三、圆的推论和应用1. 圆内接正多边形的性质内接正多边形的每条边都刚好与圆的圆周相切，圆心角等于多边形内角，有利于解决多边形相关问题。

2. 圆锥的截面当平面与一个圆锥相交时，截面形状可以是圆、椭圆、抛物线或双曲线。

这些形状都与圆相关，具有重要的几何性质。

3. 圆的应用于几何问题在实际生活和工程中，圆的应用十分广泛。

例如，建筑中的圆形拱门和圆顶，汽车的轮胎和转向半径计算，钟表的指针运动轨迹等。

4. 圆的应用于数学问题圆也是许多数学问题的基础，如三角函数的单位圆定义、圆的投影和旋转、圆的表示与方程等。

总结：圆是几何学中重要的基本图形，具有独特的性质和广泛的应用。

掌握圆的基本概念，了解圆的性质与推论，有助于解决与圆相关的几何和数学问题。

通过对圆的深入学习和应用，我们能更好地理解和利用几何学的知识。

高中数学-圆第一节圆的有关概念和性质一【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．3.正多边形和圆（1）通过等分圆画正多边形。

（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距；（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等于正n边形内角的一半，∠BOP=nn1802360 ，BP等于正多边形的边长的一半。

圆的概念与性质圆是几何学中一种基本的二维图形，被广泛应用于数学、物理和工程领域。

本文将从圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。

一、圆的定义圆是由平面上离给定点距离相等的所有点组成的集合。

给定平面上的一个点为圆心，以该点为中心，以一个确定的长度为半径做直线，与平面上的点交于一或两点，这一或两点离圆心的距离为半径长，称其为圆。

二、圆的基本性质1. 圆心和半径在圆中，圆心是一个关键概念。

圆心可用于确定圆的位置，并将圆分割为内部和外部两部分。

圆心对称性是圆的独特性质之一，即圆上的任意两点与圆心的距离相等。

2. 弧和弧长圆上的弧是由圆周上的两点所确定的一部分，它可以是一段弧或者是圆上的整个弧。

弧长是指弧所对应的圆周的长度。

可以通过已知的圆的半径和弧度来计算弧长。

3. 圆的直径和周长圆的直径是通过圆心的直线，其两个端点都在圆上。

直径的长度是圆周长度的两倍，即d=2r，其中d为直径，r为半径。

圆的周长是指圆周的长度，通常用C表示，其计算公式为C=2πr。

4. 圆的面积圆的面积是指圆内部的平面区域的大小，通常用A表示。

圆的面积的计算公式为A=πr^2，其中r为半径。

三、圆的应用圆具有许多实际应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 圆的几何应用在建筑、设计和工程领域，圆常常用于绘制弧线、圆形或圆弧结构，如建筑的圆顶、桥梁的拱形等。

圆形的地基也可以增强结构的稳定性。

2. 圆的运动学应用在物理学和工程中，圆用于描述旋转和循环运动。

例如，轮胎的旋转和车轮在行驶过程中的循环运动均可以使用圆来解释和计算。

3. 圆的几乎的普遍性圆是自然界中最常见的形状之一。

在生物学和天文学中，圆形的结构和形态被广泛观察。

例如，太阳、行星、水滴和许多生物体的细胞结构都具有圆形特征。

4. 圆的数学应用圆具有丰富的数学应用，与圆相关的数学概念如三角函数、圆周率等，都在数学研究和实际问题中发挥着重要的作用。

例如，三角函数中的正弦函数和余弦函数可以通过圆的投影和观察来定义和计算。

圆的基本概念与性质圆是几何学中的基本图形之一，它具有独特的性质和特点。

本文将介绍圆的基本概念和性质，并以简明扼要的方式展示出来。

1. 圆的定义圆是由平面内到一个定点距离等于该定点到平面内所有点的距离的所有点组成的集合。

这个定点称为圆心，到圆心距离等于半径的线段称为半径，圆上的任一线段都等于半径的长度。

2. 圆的元素（1）圆心：圆心是圆的核心点，通常用大写字母O表示。

（2）半径：半径是从圆心到圆上任意一点的线段，通常用小写字母r表示。

（3）直径：直径是通过圆心并且两端点处于圆上的线段，直径的长度是半径的两倍，通常用小写字母d表示。

（4）弦：弦是圆上任意两点之间的线段。

（5）弧：弧是圆上两点之间的一段曲线。

3. 圆的性质（1）圆是由无数个点组成的闭合曲线。

（2）圆的直径是圆中最长的线段，且等于半径的两倍。

（3）圆的半径在圆上任一点都是垂直于切线的。

（4）圆上任意两条弦所对应的圆心角相等。

（5）切线与半径的夹角是直角。

（6）对于同一个圆，如果两条弧的夹角相等，则它们所对应的弦的长度也相等。

4. 圆的重要定理（1）圆的半径平分弦和弧。

（2）在圆上，两条弦和它们所夹的弧所对应的圆心角相等。

反之，两条弦所对应的圆心角相等，则它们所夹的弧也相等。

（3）在圆上，两条相等的弧所对应的圆心角也相等。

（4）在圆上，夹在同一弧上的两个圆心角互补（合为180度）。

（5）在圆内，夹在同一弧上的两个角互为补角（合为90度）。

总结圆作为几何学中基本的图形之一，具有许多重要的性质和定理。

通过对圆的基本概念的理解和对其性质的掌握，我们能更好地应用它们解决实际问题。

对于进一步学习几何学和进行相关研究，圆的基本概念与性质是必不可少的基础知识。

圆的基本概念与性质圆是几何学中的重要概念，具有独特的性质。

本文将详细介绍圆的基本概念以及一些常见的性质，以帮助读者更好理解和掌握圆这一几何形状。

一、圆的定义圆是由平面内与一定点之间的距离都相等的所有点的集合构成的几何图形。

二、圆的要素1. 圆心：圆心是圆上所有点到该点的距离相等的点。

通常用字母O 表示圆心。

2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。

3. 直径：直径是通过圆心的一条线段，两个端点在圆上。

直径的长度是半径的两倍，即d=2r。

三、圆的性质1. 圆的周长：圆的周长是圆上一周的长度，通常用字母C表示。

由于圆上任意两点之间的距离都是一样的，所以圆的周长可由半径或直径表示。

周长公式为：C=2πr或C=πd。

2. 圆的面积：圆的面积是圆内部的所有点的集合。

用字母A表示。

根据圆的性质，圆的面积可由半径或直径表示。

面积公式为：A=πr²或A=π(d/2)²。

3. 圆的弧长：圆的弧是圆上两点之间的一段弧，圆弧长度即为弧长。

弧长与圆心角的大小有关，公式为：L=2πr × (θ/360°)，其中θ为圆心角的度数。

4. 圆的扇形面积：扇形是由圆心、圆上两点以及与圆心连线的弧所围成的图形。

扇形的面积是圆的一部分面积。

扇形面积与圆心角的大小有关，公式为：S=πr² × (θ/360°)。

5. 圆的切线：切线是与圆相切且仅切于圆上一个点的直线。

切线与半径垂直，相切点就是切线与圆的唯一公共点。

6. 圆的切点：切点是切线与圆相交的点。

由于切线仅与圆相交于一个点，所以切点也是圆上的唯一点。

7. 圆的弦：弦是圆上两点之间的线段。

弦的长度可以小于、等于或大于直径。

直径是弦的特殊情况，即直径是连接圆上任意两点的弦。

8. 圆与直线的关系：直线可以与圆有三种不同的关系：相离、相切和相交。

如果直线与圆没有相交点,则称直线与圆相离；如果直线只有一个切点,则称直线与圆相切；如果直线与圆有两个相交点,则称直线与圆相交。

圆的概念与性质圆是几何学中常见的一个基本图形，有着丰富的性质和应用。

本文将为您介绍圆的概念、性质以及在实际生活中的应用。

一、圆的概念圆是由平面中与一个确定点距离相等的所有点组成的集合。

该确定点称为圆心，与圆心距离相等的距离称为半径。

以圆心为原点，以半径长度为半轴的线段构成的曲线称为圆的周长，用C表示。

圆的周长与直径的比值称为圆周率，用π表示，其值约为3.14159。

二、圆的性质1. 圆的内外点关系：圆内的任意点到圆心的距离小于半径，而圆外的任意点到圆心的距离大于半径。

2. 圆的直径与半径：直径是连接圆上两个点且经过圆心的线段，它的长度是半径的两倍。

3. 圆的切线与半径：切线是与圆仅有一个交点的直线，该交点与圆心连线垂直。

切线与半径的关系是垂直关系。

4. 圆的弦与半径：弦是圆上任意两点之间的线段，弦的中点与圆心连线垂直。

弦和半径的关系是垂直关系。

5. 圆的弧与扇形：圆的弧是两个端点在圆上的弧线，可以用弧长来表示。

扇形是由圆心、圆上的两个点以及所对应的圆心角组成的区域。

6. 圆的面积：圆的面积可以用半径或者直径来计算，其公式为πr²或者π(d/2)²，其中r为半径，d为直径。

三、圆的应用圆在生活中有着广泛的应用，以下列举几个常见的例子：1. 圆的运动轨迹：许多自然界中的运动都以圆形轨迹进行，比如行星绕太阳的轨道以及地球自转产生的地球日等。

2. 圆形建筑物：圆形的建筑物在设计上具有良好的稳定性和视觉效果，比如宫殿中的圆形大厅、圆形会议室等。

3. 轮胎和车轮：轮胎和车轮的形状往往为圆形，这是为了减少摩擦力，提高行驶的平稳性。

4. 交通信号灯：交通信号灯上的圆形灯表示停止，该形状的选择是因为圆形视觉上相对于其他形状更容易辨认和传达信息。

综上所述，圆作为几何学中的一个基本图形，具有独特的概念和性质。

了解圆的性质和应用能够帮助我们更好地理解几何学知识并应用于实际生活中。

无论是在设计、建筑还是科学研究领域，对圆的理解和运用都起着重要的作用。

圆的概念与性质圆是初等几何学中的基本图形之一，它具有独特的几何性质和重要的应用价值。

本文将介绍圆的概念和性质，并探讨它在现实生活中的应用。

一、圆的概念圆是由平面上的一点到另一点距离不变的点集合。

其中，确定圆的两个点是圆心和圆上的任意一点，圆心到圆上任意一点的距离称为圆的半径。

用数学符号表示，圆可以写为O(A,r)，其中O表示圆心，A 表示圆上的一点，r表示圆的半径。

二、圆的性质1. 圆周与圆心之间的关系：圆周上的点与圆心的距离都相等，即圆周上的任意两点到圆心的距离相等。

2. 圆的直径和半径：圆的直径是通过圆心，并且两端点同时在圆周上的线段，直径的长度是半径的两倍。

即d = 2r。

3. 圆的周长和面积：圆的周长是指圆周的长度，记为C，可以通过公式C = 2πr计算得到。

其中，π是一个常数，约等于3.14159，它代表圆周率。

圆的面积是指圆内部的所有点的集合，记为S，可以通过公式S = πr²计算得到。

4. 弧、弦和扇形：圆周上的弧是由两个点确定的圆上的一段弧线，弧的长度与圆的周长成比例。

圆上两点间的线段称为弦，弦的长度小于或等于直径。

圆周上通过圆心的两条弦将圆分成了两个部分，每个部分叫做扇形。

扇形的面积由圆心角的大小决定。

5. 切线和切点：圆周上的一条直线称为圆的切线，切线与半径的夹角为90度，也就是说切线垂直于半径。

切点是切线与圆的交点，一个圆可能有多个切点。

三、圆的应用圆作为一种基本的几何形状，在现实生活中有许多应用，以下介绍几个常见的例子：1. 圆形建筑和雕塑：圆形的建筑和雕塑在城市的景观中非常常见，如圆形剧场、罗马竞技场等。

圆形的外形能够给人以稳定和和谐的感觉。

2. 车轮和飞盘：车轮和飞盘都是圆形的，这是因为圆形对于旋转和滚动更加稳定和效果好。

车轮的直径也决定了车辆的速度和行驶稳定性。

3. 钟表和指南针：许多钟表面和指南针刻度都是圆形的，便于阅读时间和方向。

钟表的指针也是围绕圆盘转动。

圆的基本概念与性质圆是数学中的基本几何形状之一，它有着独特的性质和重要的应用价值。

本文将介绍圆的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用这一几何形状。

一、基本概念圆是由平面上的一点到另一点的距离相等的所有点构成的集合。

这两个点分别称为圆心和半径，圆心用O表示，半径用r表示。

记作圆O(r)。

圆由无数不重叠的点组成，其中任意两点之间的距离都相等。

这个相等的距离称为圆的半径，用r表示。

除此之外，圆还有一些特殊位置的点，如直径的中点、切点等等。

二、性质1. 圆的直径圆的直径是任意通过圆心的线段，它的两个端点在圆上。

直径的长度是半径的两倍，即直径d=2r。

2. 圆的周长圆的周长是所有点到圆心的距离之和，也称为圆周长。

根据圆的定义可知，圆的周长是一个封闭曲线，没有起点和终点。

圆的周长公式是C=2πr，其中π是一个常数，约等于3.14159。

3. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，常用符号A表示。

圆的面积公式是A=πr²。

可以看出，圆的面积与半径的平方成正比。

4. 圆的弧圆上的一段弧被称为圆弧。

圆弧的弧度是圆心角所对应的弧长与圆的半径之比。

常用符号θ表示，弧长用s表示，半径用r表示。

弧长与半径的关系为s=rθ。

5. 圆的扇形圆上的一个扇形是由圆心、两个半径和它们所确定的圆弧构成的。

扇形的面积是圆的面积乘以圆心角所占的比例，即A=πr²(θ/360°)。

6. 圆的切线切线是与圆只有一个交点且与圆相切的直线。

切线与半径垂直，垂直于半径的直线被称为半径的切线。

切线的斜率等于半径在该点处的斜率的负倒数。

三、应用举例圆作为一种基本的几何形状，在生活和工作中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用举例：1. 圆形建筑物和构件：例如圆形的钟楼、塔楼和拱顶等，圆形结构在建筑中具有稳定性和美观性。

2. 圆形交通设施：例如圆形的环形交叉口、交通岛和转盘等，圆形交通设计有助于交通流畅和减少交通事故。

圆的概念与性质圆是几何学中的重要概念之一，具有独特的性质和广泛的应用。

本文将从圆的定义、性质以及相关应用三个方面，对圆进行深入探讨。

一、圆的定义圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。

其中，距离恒定的两个点称为圆的中心和半径。

以此为基础，我们可以得出圆的一些重要定义和性质。

二、圆的性质1. 半径与直径的关系：直径是连接圆上两个点，并通过圆心的线段。

圆的直径是半径的两倍，即直径等于2倍半径。

2. 弧与弦的关系：弧是圆上的一段曲线，而弦是连接圆上两个点的线段。

对于相同的弧，弦越长，对应的圆心角就越大。

3. 弧度制：弧度制是一种用弧长来度量角度的单位制。

一圆周的弧度为2π，通常用符号“rad”表示。

4. 圆的面积：圆的面积由半径决定，可以通过公式A = πr²计算得到。

其中，π是一个常数，约等于3.14159。

5. 圆的周长：圆的周长也称为圆周，可以通过公式C = 2πr计算得到。

三、圆的应用圆作为几何学中的基础概念，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、工程等。

1. 数学应用：圆被广泛运用于解决几何问题，比如测量与计算圆的面积和周长，利用弧与弦的关系求解圆心角，以及在三角函数中的应用。

2. 物理应用：在物理学中，圆常用于描述物体的运动轨迹，如行星、卫星绕星球的轨道就是圆形或近似圆的。

此外，光的传播也符合圆的特性，如光的折射和反射。

3. 工程应用：圆形结构在工程设计中经常出现，比如建筑设计中的圆形柱、圆形桥梁等。

此外，在制造业中，如汽车制造和工业加工中，也需要利用圆的特性来完成各类工艺和设计。

总结：圆作为一个基本的几何概念，具有独特的定义和性质。

了解圆的概念和性质，有助于我们进一步理解几何学的其他相关知识，并将其应用于实际问题的解决。

无论是数学领域的计算，物理领域的运动描述，还是工程领域的设计应用，圆都扮演着重要的角色，为我们解决问题提供了有力的工具。

同时，深入理解圆的概念与性质，有助于我们更好地掌握几何学的基础知识，为未来的学习与应用打下坚实的基础。