湖南省长沙市明达中学2020-2021学年高一数学第一学期新生入学考试试题【含答案】

【详解】
由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线 ，则直线与函数的图象至多有一个交点，
根据题意，对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；
对于C图，当x=0时，有两个y值对应；
对于D中图象能表示y是x的函数.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的概念及其构成要素，明确函数的定义是关键，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．
【详解】
∵ ；则函数的定义域为：（0，+∞），即函数图象只出现在y轴右侧；
值域为：[1，+∞）即函数图象只出现在y＝1上方；
在区间（0，1）上递减的曲线，在区间（1，+∞）上递增的直线．
分析A、B、C、D四个答案，只有C满足要求．
故选C．
【点睛】
本题考查指数函数的图象和性质，解答关键是通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，属于基础题．
10．
【解析】
【分析】
对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．
【详解】
对于①，由 ，可得 面 ，故可得出 ，此命题正确；
对于②，由正方体 的两个底面平行， 在平面 内，故 与平面 无公共点，故有 平面 ，此命题正确；
对于③， 为定值， 到 距离为定值，所以三角形 的面积是定值，又因为 点到面 距离是定值，故可得三棱锥 的体积为定值，此命题正确；
对于④，由图知，当 与 重合时，此时 与上底面中心为 重合，则两异面直线所成的角是 ，当 与 重合时，此时点 与 重合，则两异面直线所成的角是 ，此二角不相等，故异面直线 所成的角不为定值，此命题错误．

雅礼中学2021年上学期高一年级入学考试数 学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}2340=--<A x x x ，{}4,1,3,5=-B ，则=AB ( )A.{}4,1-B.{}1,5C.{}3,5D.{}1,32.已知0>a ，0>b ，则“>a b ”是“11+>+a b b a”的( ) A.充分不必要条件 B.必要要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，△ABC 中，E 是AB 的中点，点F 满足2=BF FC ，则=EF ( )A.1263-+AB AC B.1263+AB AC C.1163-+AB AC D.1123+AB AC 4.在同一直角坐标系中，函数1=xy a ，1log 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a y x (0>a 且1≠a )的图象可能是( ) A. B.C. D.5.已知向量()2,4=a ，()1,=b k ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.()1,22,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭6.将函数()sin2=f x x x 的图象沿x 轴向左平移()0>ϕϕ个单位后得到函数()g x .若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为( )A.12π B.6π C.4π D.512π 7.在△ABC 中，a 、b 、c ，分别为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，15=a 、10=b 、60=︒A .则cos =B ( )A.12-B.3-C.3-3D.38.已知{}min ,m n 表示实数m ，n 中的较小数，若函数()124min 3log ,log ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭f x x x ，当0<<a b 时，有()()=f a f b ，则( )A.6B.8C.9D.16二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.)9.下列结论正确的是( )A.在三角形ABC 中，若>A B ，则sin sin >A BB.在锐角三角形ABC 中，不等式2220+->b c a 恒成立C.若sin2sin2=A B ，则三角形ABC 为等腰三角形D.在锐角三角形ABC 中sin sin cos cos +>+A B A B10.已知函数()()sin 0,0,2⎛⎫=+>><⎪⎝⎭f x A x A πωϕωϕ的部分图象如图所示，下列说法正确的是( ) A.函数()=y f x 的周期为πB.函数()=y f x 在2,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ππ单调递减 C.函数()=y f x 的图象关于直线512=-x π对称 D.该图象向右平移6π个单位可得2sin 2=y x 的图象11.如图，正方形ABCD 的长为2，O 为边AD 中点，射线OP 绕点O 按逆时针方向从射线OA 旋转至射线OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x ，射线OP 扫过的正方形ABCD 内部的区域(阴影部分)的面积为()f x ，则下列说法正确的是( )A.142⎛⎫=⎪⎝⎭f πB.()f x 在,2⎛⎫⎪⎝⎭ππ上为减函数 C.()()4+-=f x f x πD.()f x 图像的对称轴是2=x π12.设函数()=y f x 和()=-y f x ，若两函数在区间[],m n 上的单调性相同，则把区间[],m n 叫做()=y f x 的“稳定区间”.已知区间[]1,2020为函数12⎛⎫=+ ⎪⎝⎭xy a 的“稳定区间”，则实数a 的可能取值是( )A.32-B.56-C.0D.132三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知命题“∃∈x R ，210-+<mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是________. 14.已知a ，b 满足：3=a ，2=b ，4+=a b ，则-=a b ________.15.已知0>a ，0>b ，且21+=a b+的最大值为________.16.某市规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中，废气中的污染物P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：小时)之间的函数关系式为：()0ktP t Pe -=(e 为自然对数的底数，0P 为污染物的初始含量)，过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的1625.则=k ________；且至少需要过滤________小时后，才能使污染物的含量不超过初始值的110000.(参考数据：lg 20.3≈)四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10分)已知集合303⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭x M xx ，集合{}2220N x x mx m =--<，其中0>m .(1)当2=m 时，求M N ；(2)若“∈x M ”是“∈x N ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18.(12分)已知函数()22sin cos 22222⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x f x ππ. (1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.19.(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1=a ，(1,3=-m ，()sin ,cos =A n A 且⊥m n .(1)求角A 的大小；(2)求△ABC 周长的取值范围.20.(12分)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin =+b a C c A .(1)求A 的大小；(2)若3cos 5=B ，5=BC ，17=BD BA ，求CD 的长. 21.(12分)湖南省第二届张家界园林博览会于2019年9月28日至11月28在张家界园博园举办，本届园林博览会以“辉煌张家界，生态林园博”为主题，展示张家界生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来张投资，从而促进张家界经济快速发展.在此博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商谈采购，并决定大量投放张家界市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台，且全部售完.且每万台的销售收入()G x (万元)与年产量x (万台)的函数关系式近似满足：()21802.0202000900070,20x x x x x G x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩. (1)写出年利润()W x (万元)关于年产量x (万台)函数解析式：(年利润=年销售收入-总成本)； (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求最大利润.22.(12分)设函数()-=-xxf x ka a (0>a 且1≠a )是定义域为R 的奇函数，()312=f . (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()222-=+-xx g x a a mf x 在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值.雅礼中学2021上学期高一年级入学考试数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.14m ≥16.5ln4，40四、解答题17.【解析】(1)由303x x +<-，得33x -<<， 所以{}33M x x =-<<；当2m =时，由2280x x --<，得24x -<<，所以{}24N x x =-<<.所以{}23MN x x =-<<.(2)由2220x mx m --<及0m >，得2m x m -<<.即{}2N x m x m =-<<因为x M ∈是x N ∈的必要不充分条件，所以N 是M 的真子集所以323m m -≥-⎧⎨≤⎩，且等号不同时成立，解得32m ≤.又0m >，所以实数m 的取值范围是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.18.【解析】(1)()1cos 2sin cos sin 222x x xf x x x +=+-=+12sin 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x取得最小值 由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤， 所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 19.【解析】(1)由(1,m =-，()sin ,cos n A A =，且m n ⊥，得sin 0m n A A ⋅=-=，∴tan A =；又()0,A π∈.∴3A π=；(2)由(1)知3A π=，1a =，则1sin sin sin sin 3b c a B C A π====，∴b B =，c C =，22C A B B ππ=--=-，20,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；∴2311sin 322l a b c B B B B π⎛⎫⎛⎫=++=++-=++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭12sin 6B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，又20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， ∴212sin 36B π⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭，ABC △周长的取值范围(]2,3. 20.【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，又()()sin sin sin B A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦， 所以()sin sin cos sin sin A C A C C A +=+即sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C C A +=+，整理得cos sin sin sin A C C A =， 因为sin 0C ≠可得cos sin A A =， 又0A π<<， 所以4A π=；(2)在ABC △中，4sin 5B ==，由4sin sin 52AC BC AC B A =⇒=，解得AC =又因为()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=， 所以2222cos 49AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯⨯=，得7AB =，由17BD BA =得17BD BA =， 所以1BD =，所以2222cos 20CD BD BC BD BC B =+-⨯⨯⨯=，所以CD ==.21.【解析】(1)()()8050W x xG x x =--，∴()2210050,0209000101950,20x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩. (2)当020x <≤时，()2210050W x x x =-+- ()22251200x =--+，在(]0,20上单调递增， ∴当20x =时，()W x 取得最大值()max 22512001150W x =-⨯+=(万元)；当20x >时，()9000195010W x xx =--9001950101950101350x x ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭. 当且仅当900x x=，即30x =时，等号成立. ∴()max 1350x W =(万元).答：当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为1350万元.22.【解析】(1)由题意知：()00f =，即()00010f ka a k =-=-=， 解得：1k =，∴()x x f x a a -=-，由()312f =，得：()1312f a a -=-=， 即22320a a --=，解得：2a =，或12a =-(舍去)， ∴()22x x f x -=-； (2)由(1)得，()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+， 令22x x t -=-，易知：22x x t -=-在[)1,+∞上单调递增， 故当1x ≥时，113222t -≥-=， ∴函数()g x 转化为()222h t t mt =-+，对称轴为：t m =， ①当32m ≥时， ()()22min 222h t h m m m ==-+=-，即24m =，解得2m =，或2m =-(舍去)； ②当32m <时，()min 3932224h t h m ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭， 解得2512m =(舍去)； 综上所述：2m =.。

2020-2021学年长沙市天心区明德中学高一(下)期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知集合A={x|2x−3<3x}，B={x|x≥2}，则()A. A⊆BB. B⊆AC. A⊆∁R BD. B⊇∁R A2.设全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,2}，B={x|x2−5x+6=0}，则A∩(∁U B)=()A. {4,5}B. {2,3}C. {1}D. {4}3.对于函数，其部分函数值数据如下表所示：x12 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125f(x)3 1.34180.5793用二分法求方程的近似解，则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为()A. 1.6B. 1.7C. 1.8D. 1.94.函数f(x)=√x−1+lg(3x+1)的定义域是()A. (−13,+∞) B. (−∞,−13) C. (−13,1) D. (1,+∞)5.下列集合M到集合N的对应中，构成映射的是()A. B.C. D.6.若f(x)是R上的奇函数，则2f(0)的值等于()A. 0B. 1C. 2D. 47. 如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为( )A. 2+√2B. 1+√22C. 2+√22D. 1+√28. 已知函数f(x)=2x 的反函数为y =g(x)，则g (12)的值为( )A. −1B. 1C. 12D. 2 9. 函数y =log 3|x −1|的图象是( )A. B.C. D.10. 某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是( )A. B. C. D.11. 已知R 上的单调函数满足f(2)=1，则实数a 的取值范围是( ) A. (0,√33] B. (0,1) C. [√33,1) D. (1,√3]12. 记max {x,y,z }表示x,y,z 中的最大者，设函数f(x)=max {−x 2+4x −2,−x,x −3}，若f(m)<1，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−1)∪(4,+∞)B. (1,3)C. (−1,4)D. (−1,1)∪(3,4)二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13.函数f(x)=a x−1+4(其中a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则P点坐标是______ ．14.已知幂函数y=x−m2+m+2(m∈Z)的图像关于y轴对称且与y轴有公共点，则m的值为______________．15.函数f(x)=lg(x+2)+√2−2x的定义域为__________．16.已知函数f(x)=lg(mx−1)在[2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）17.已知函数f(x)=√6−2x+lg(x+2)的定义域为集合A，B={x|x>3或x<2}．(1)求A∩B；(2)若C={x|x<2a+1}，B∩C=C，求实数a的取值范围．18.化简与求值(1)log327+lg1100+ln√e+2−1+log23(2)(−1)−13+(log316)⋅(log21)19. 已知函数f(x)=2x +12x −1．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)若f(a)=3，求f(−a)的值．20. 如图所示，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过顶点B ，D ，A 1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥A −A 1BD 的体积及高．21. 某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元．已知销售收入R(x)(万元)满足R(x)={−0.6x 2+10.4x(0≤x ≤10)44(x >10),(其中x 是该产品的月产量，单位：百台)，假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：(1)将利润表示为月产量x的函数y=f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？22.已知函数f(x)=x2−ax，x∈R，其中a>0．(1)若函数f(x)在R上的最小值是−1，求实数a的值；(2)若存在两个不同的点(m,n)，(n,m)同时在曲线f(x)上，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查集合的包含关系.属基础题．求出集合A即可确定A，B的关系．解：∵A={x|2x−3<3x}={x|x>−3}，B={x|x≥2}，∴B⊆A．故选B．2.答案：C解析：解：由B中方程变形得：(x−2)(x−3)=0，解得：x=2或x=3，即B={2,3}，∵全集U={1,2，3，4，5}，∴∁U B={1,4，5}，∵A={1,2}，∴A∩(∁U B)={1}，故选：C．求出B中方程的解确定出B，找出A与B补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.答案：C解析：【试题解析】本题主要考查用二分法求方程的近似解，属于基础题．利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解．解：根据表中数据可知，f(1.8125)=0.5793>0，|1.75−1.8125|<0.1，所以当精确度为0.1时，方程的一个近似解为1.8，故选C ．4.答案：D解析：根据函数成立的条件即可求出函数的定义域．本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．解：要使函数有意义，则{1−x >03x +1>0， 即{x <1x >−13，即−13<x <1，∴函数的定义域为(−13,1)，故选D ． 5.答案：D解析：在选项A ，B 中，由于集合M 中的元素2在集合N 中没有对应的元素，故构不成映射；在选项C 中，集合M 中的元素1在集合N 中的对应元素不唯一，故构不成映射；选项D 符合映射的定义，故选D ．6.答案：B解析：解：∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)=0，则2f(0)，=1，故选B ．根据奇函数的性质和条件得：f(0)=0，代入式子求解即可．本题考查了奇函数的性质：f(0)=0的应用，注意奇函数的定义域中必须取到0，属于基础题． 7.答案：A解析：解：∵平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，∴平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，∴梯形的下底边长为1+√2，∴平面图形的面积S =1+1+√22×2=2+√2． 故选：A ．根据斜二侧画法画平面图形的直观图的步骤，判断平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，再求出下底边长，代入梯形的面积公式计算．本题考查了平面图形的直观图，熟练掌握斜二侧画法的步骤与原则是解答本题的关键． 8.答案：A解析：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意反函数的性质的合理运用，属于基础题．解：∵函数y =g(x)与函数f (x )=2x 互为反函数，∴g(x)=log 2x ，∴g(12)=log 212=−1．故选A ． 9.答案：B解析：解：当x −1>0时，即x >1时，函数y =log 3(x −1)，此时为增函数，当x −1<0时，即x <1时，函数y =log 3(1−x)，此时为减函数，故选：B ．根据函数的单调性即可判断．本题考查了复合函数的单调性和函数图象的识别，属于基础题．10.答案：D解析：解：一开始乘公共汽车匀速前进，此时为单调递增的直线，距离学校的距离越来越小，所以排除A ，B ．然后在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．此时距离学校的距离逐渐减小，但时间增长．故选：D ．根据某图象上学过程中的实际建立对应的函数关系即可．本题主要考查函数的应用，比较基础．11.答案：C解析：根据题意，有f(2)=1结合函数的解析式可得2m +7=1，解可得m =−3，据此分析可得f(x)在R上为减函数，进而可得{0<a <1log a 3≤(−3)×3+7，解可得a 的取值范围，即可得答案． 本题考查分段函数的性质以及单调性的判断，属于基础题． 解：根据题意，满足f(2)=1，则有2m +7=1，解可得m =−3，则当x <3时，f(x)=−3x +7，易得f(x)在(−∞,3)上为减函数，又由f(x)是R 上的单调函数，则f(x)在R 上为减函数，必有{0<a <1log a 3≤(−3)×3+7, 解可得：√33≤a <1，即a 的取值范围为[√33,1)； 故选：C ．12.答案：D解析：解：函数f(x)的图象如图，直线y =1与曲线交点A(−1,1)，B(1,1)，C(3,1)，D(4,1)，故f(m)<1时，实数m 的取值范围是−1<m <1或3<m <4．故选：D ．画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可．本题考查函数与方程的应用，数形结合求解变量的范围，考查转化思想以及计算能力． 13.答案：(1,5)解析：解：函数f(x)=a x−1+4(其中a >0且a ≠1)，令x −1=0，解得x =1；当x =1时，f(1)=a 0+4=5，所以函数f(x)的图象恒过定点P(1,5)．即P 点坐标是(1,5)．故答案为：(1,5)．根据指数函数y =a x 的图象恒过定点(0,1)，即可求出P 点的坐标．本题考查了指数函数y =a x 的图象恒过定点(0,1)的应用问题，是基础题目． 14.答案：0或1解析：本题考查幂函数的图象及其特征，考查计算能力，属于基础题．幂函数的图象关于y 轴对称，所以幂指数大于0，解出m 的值，再验证即可． 解：由题意得−m 2+m +2>0，所以−1<m <2，又m ∈Z ，所以m =0,1，当m =0,或m =1时，幂函数为y =x 2，满足题意．故答案为0或1．15.答案：(−2,1]解析： 由{x +2>02−2x ≥0，解得：−2<x ≤1.∴函数f(x)=lg(x +2)+√2−2x 的定义域为(−2,1].故答案为：(−2,1]．16.答案：(12,+∞)解析：解：若函数f(x)=lg(mx −1)在[2,+∞)上单调递增则m >0且mx −1>0在[2,+∞)恒成立，即m >1x 在[2,+∞)恒成立，则m >12，故答案为：(12,+∞)．根据对数函数的性质以及一次函数的性质求出m 的范围即可．本题考查了对数函数以及一次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．17.答案：解：(1)函数f(x)=√6−2x +lg(x +2)，要使f(x)有意义，其定义域满足{6−2x ≥0x +2>0， 解得−2<x ≤3，∴集合A ={x|−2<x ≤3}，集合B ={x|x >3或x <2}．故得A ∩B ={x|−2<x <2}．(2)C ={x|x <2a +1}，∵B ∩C =C ，∴C ⊆B ，∴2a +1≤2，解得：a ≤12故得求实数a 的取值范围是(−∞,12].解析：(1)求解出函数f(x)的定义域，可得集合A ，根据集合的基本运算即可求A ∩B ，(2)根据B ∩C =C ，建立条件关系即可求实数a 的取值范围．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．18.答案：解：(1)log 327+lg 1100+ln √e +2−1+log 23=3log 33−lg102+12×2log 23 =3−2+12+12×3 =3．(2)(−127)−13+(log 316)⋅(log 219) =−3−3×(−13)+4lg2lg3×−2lg3lg2=−3−8=−11．解析：(1)利用对数、指数的性质、运算法则直接求解．(2)利用对数、指数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：(1)由2x−1≠0，可得x≠0，∴f(x)的定义域是{x|x≠0}；(2)f(−x)=2−x+12−x−1=−f(x)，∴f(x)是奇函数；(3)f(−a)=−f(a)=−3．解析：(1)利用分母不为0，求f(x)的定义域；(2)利用奇函数的定义，判断f(x)的奇偶性并证明；(3)f(−a)=−f(a)=−3．本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生的计算能力，知识综合性强．20.答案：解：(1)V三棱锥A1−ABD =13S△ABD·A1A=13×12·AB·AD·A1A=16a3,故剩余部分的体积V=V正方体−V三棱锥A1−ABD=a3−16a3=56a3；(2)V三棱锥A−A1BD=V三棱锥A1−ABD=16a3,设三棱锥A−A1BD的高为h，则V三棱锥 A−A1BD =13·S△A1BD·ℎ=13×12×√32(√2a)2ℎ=√36a2ℎ，故√36a2ℎ=16a3，解得ℎ=√33a.解析：本题主要考查了空间几何体体积求法，属于基础题；(1)算出正方体体积，再算出截去的三棱锥体积，再相减即可；(2)根据等面积法，则V三棱锥 A−A1BD=13·S△A1BD·ℎ=13×12×√32(√2a)2ℎ=√36a2ℎ，故√36a2ℎ=16a3，即可求解．21.答案：解：(1)由条件知f(x)={−0.6x 2+10.4x−0.8x−4,0≤x≤1044−4−0.8x,x>10={−0.6x 2+9.6x−4,0≤x≤1040−0.8x,x>10；(2)当0≤x≤10时，f(x)=−0.6x2+9.6x−4=−0.6(x−8)2+34.4，当x=8时，y=f(x)的最大值为34.4万元；当x >10时，y =f(x)=40−0.8x <40−8=32万元，综上所述，当月产量为8百台时，公司所获利润最大，最大利润为34.4万元．解析：本题考查函数的实际应用，考查分段函数的应用，考查计算能力．(1)利用已知条件列出利润表示为月产量x 的函数y =f(x)的表达式；(2)通过分段函数，分段求解利润的最大值，然后求解即可．22.答案：解：(1)∵f(x)=x 2−ax =(x −a 2)−a 24，x ∈R ， ∴当x =a 2时，f(x)min =−a 24=−1，…(2分)∵a >0，∴a =2. …(4分)(2)∵(m,n)，(n,m)同时在函数f(x)的图象上，∴{m 2−am =n n 2−an =m…(6分) ∴(m 2−n 2)−a(m −n)=n −m ，…(7分)∵m ≠n ，并且存在两个不同的点(m,n)，(n,m)同时在曲线f(x)上，∴m +n −a =−1，且m ≠a−12， ∴n =a −1−m ，…(9分)∴m 2−am =a −1−m ，∴方程m 2+(1−a)m +1−a =0有解，m ≠a−12，…(11分) ∴(1−a)2−4(1−a)≥0，且(a−12)2+(1−a)(a−12)+1−a ≠0 ∴1−a ≥4或1−a ≤0，且a ≠−3，1，…(13分)∵a >0，∴a >1. …(14分)(注：若没有考虑m ≠a−12，得到a ≥1，扣2分)解析：(1)利用二次函数的最值列出方程求解即可．(2)利用点在曲线上，求出m 、n 、a 的关系式，通过二次函数的性质求解a 的范围即可． 本题考查函数与方程的应用，二次函数的性质，考查转化思想以及计算能力．。

湖南省长沙市第一中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|0}A x x a =-，若2A ∈，则a 的取值范围为（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,2]-∞C ．[2,)+∞D ．[2,)-+∞2．函数1()2x f x a +=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过的点为（ ） A ．(1,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)-D ．(1,2)--3．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,1AB BC BB ===，则线段1BD 的长是（ ）A B ．C ．28D ．4．方程2log 2x x +=的解所在的区间为（ ） A ．(0.5,1)B ．(1,1.5)C ．(1.5,2)D ．(2,2.5)5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与AC 所成的角等于( ) A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°6．已知圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：（x ﹣3）2+（x+4）2=16，则圆O 1与圆O 2的位置关系为（ ）A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离7．已知两条不同直线a 、b ，两个不同平面α、β，有如下命题： ①若//a α，b α⊂ ，则//a b ； ②若//a α，//b α，则//a b ； ③若//αβ，a α⊂，则//a β； ④若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b 以上命题正确的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．08．已知直线10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是( )A ．1B ．54C ．3D ．49．已知幂函数()y f x =的图象过点⎛⎝⎭，则21log 2f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A．2BC．D ．1210．已知函数()22(1),0log ,0x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，若方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则()3122341x x x x x ++的取值范围为（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，1]C ．（﹣∞，1）D ．[﹣1，1）11．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC是边长为角形，PA PB ==，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．654πB ．16πC ．6516πD ．494π12．已知1()22ln20191xxxf x x-+=-++-，若()(1)4038f a f a ++>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知直线l20y -+=，则直线l 的倾斜角为__________.14．在三棱锥A BCD -中，2AB AC AD ===，且AB ，AC ，AD 两两垂直，点E 为CD 的中点，则直线BE 与平面ACD 所成的角的正弦值是__________． 15．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.16．如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P ，且点P 到点B的距离始终等于则动点P 在三棱锥表面形成的曲线的长度为___．三、解答题17．已知集合{}2|450A x x x =--，集合{|22}B x a x a =+.（1）若1a =-，求A B ；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围.18．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求线段AB 的垂直平分线2l 方程.（2）直线1l 过点(2,3)P -，且A B 、两点到直线1l 的距离相等，求直线1l 的方程； 19．已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当PA =P 的坐标；（2）当APB ∠取最大值时，求APO ∆的外接圆方程.20．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,60ABC ∠=,2AB =,ACBD O =,PO ⊥底面ABCD ,2PO =,点E 在棱PD 上,且CE PD ⊥（1）证明：面PBD ⊥面ACE ; （2）求二面角P AC E --的余弦值.21．某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 22．已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦. （1）若函数()f x 的最大值是1-，求k 的值；（2）已知01k <<，若存在两个不同的正数,a b ，当函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围.参考答案1．C 【分析】先求出集合，再讨论元素包含关系，讨论参数． 【详解】解：因为集合{|0}A x x a =-， 所以{}|A x x a =， 又因为2A ∈， 则2a ，即[2,)a ∈+∞ 故选：C ． 【点睛】本题考查元素与集合包含关系，属于基础题． 2．A 【分析】令指数为0，即可求得函数1()2x f x a +=-恒过点．【详解】解：令10x +=，可得1x =-，则(1)121f -=-=-∴不论a 取何正实数，函数1()2x f x a +=-恒过点(1,1)--故选：A ． 【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题． 3．A 【分析】利用体对角线公式直接计算即可. 【详解】1BD === A.【点睛】本题考查长方体体对角线的计算，属于基础题.4．B 【分析】令2()log 2f x x x =+-，由函数单调递增及(1)0,(1.5)0f f <>即可得解. 【详解】令2()log 2f x x x =+-，易知此函数为增函数， 由(1)01210,f =+-=-<2222313(1.5)log 1.5 1.52log log log 0222f =+-=-=->. 所以2()log 2f x x x =+-在(1,1.5)上有唯一零点，即方程2log 2x x +=的解所在的区间为(1,1.5). 故选B. 【点睛】本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题. 5．D 【分析】通过证明AC ⊥平面11BB D D ，可证得直线1BD 与直线AC 垂直，即所成的角为90. 【详解】画出图像如下图所示，连接11,BD B D ，由于几何体为正方体，故1,AC BD AC DD ⊥⊥，所以AC ⊥平面11BB D D ，所以1AC BD ⊥,即所成的角为90.所以选D.【点睛】本小题主要考查空间两条直线的位置关系，考查正方体的几何性质，还考查了线面垂直的判定定理，属于基础题. 6．A 【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切. 【详解】圆1O 的圆心为()0,0，半径等于1，圆2O 的圆心为()3,4-，半径等于4，5=，等于半径之和，∴两个圆相外切.故选A. 【点睛】判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 7．C 【分析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案． 【详解】①若a ∥α，b ⊂α，则a 与b 平行或异面，故①错误；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ，则a 与b 平行，相交或异面，故②错误； ③若//αβ，a ⊂α，则a 与β没有公共点，即a ∥β，故③正确； ④若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 无公共点，∴平行或异面，故④错误． ∴正确的个数为1． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，涉及到线面、面面平行的判定与性质定理，是基础题． 8．B 【分析】12m m=⇒=10y +-=可化为220y +-=，再由两直线之间的距离公式，即可求解.【详解】10y +-=与直线30my ++=12m m=⇒=，即230y ++=10y +-=可化为220y +-=，所以两直线之间的距离为54d ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了两条平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得m 的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．B 【分析】设()af x x =，将点⎛ ⎝⎭的坐标代入函数()y f x =的解析式，求出a 的值，然后再计算出21log 2f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】设()af x x =，由题意可的()333af ==，即1233a -=，12a ∴=-，则()12f x x -=，所以，112211222f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，11122222111log log 22222f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B.【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了对数运算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，同时利用指数幂的运算性质进行计算，考查计算能力，属于中等题. 10．B 【分析】由方程f （x ）＝a ，得到x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，且x 3x 4＝1；化简()31232343112x x x x x x x ++=-+，利用数形结合进行求解即可． 【详解】作函数f （x ）的图象如图所示，∵方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，∴x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，即x 1+x 2＝﹣2，0＜x 3＜1＜x 4，则|log 2x 3|＝|log 2x 4|， 即﹣log 2x 3＝log 2x 4，则log 2x 3+log 2x 4＝0，即log 2x 3x 4＝0，则x 3x 4＝1； 当|log 2x|＝1得x ＝2或12，则1＜x 4≤2；12≤x 3＜1； 故()3123323431112,12x x x x x x x x ++=-+<； 则函数y ＝﹣2x 3+31x ，在12≤x 3＜1上为减函数，则故当x 3＝12取得y 取最大值y ＝1，当x 3＝1时，函数值y=﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]． 故选B ．【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于中档题． 11．A 【分析】由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【详解】 如图，在等边三角形ABC 中，取AB 中点F ，设其中心为G ，由AB =113FG CE ==． 设PAB ∆的外心为E ，在PAB ∆中，由PA PB ==，AB =得1cos 7P ==，则sin P =．设PAB ∆的外接圆半径为r27r=，即74r =．再设三棱锥P ABC -的外接球球心为O，则外接球半径R OA ==．∴该三棱锥外接球的表面积为26544ππ⨯=．故选：A ． 【点睛】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题． 12．C 【分析】 设1()22ln1xxxg x x-+=-+-，则()()2019f x g x =+，则可证()g x 为奇函数，且在定义域上单调递增，则()(1)4038f a f a ++>等价于()(1)g a g a >--，再根据函数的单调性及定义域得到不等式即可解得. 【详解】解：设1()22ln1xxxg x x -+=-+-，则()()2019f x g x =+. 由1()22ln ()1x xx g x g x x---=-+=-+，所以()g x 为奇函数， 又12()22ln22ln 1(11)11x xx x x g x x x x --+⎛⎫=-+=-+--<< ⎪--⎝⎭， 易知22,2,ln 11x xy y y x -⎛⎫==-=-⎪-⎝⎭为增函数，故()g x 为增函数， 所以()(1)4038f a f a ++>，即()2019(1)20194038g a g a ++++> ()(1)g a g a ∴>-+， 即()(1)g a g a >--，故1,11,111,a a a a >--⎧⎪-<<⎨⎪-<+<⎩解得102a -<<，故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性的应用，属于中档题. 13．60° 【分析】设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ= 【详解】解：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ=，[)0,θπ∈则60θ=︒．故答案为：60︒． 【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．3【解析】 【分析】由AB ，AC ，AD 两两垂直可知AB ⊥平面ACD ，故∠AEB 为直线BE 与平面ACD 所成的角，在三角形ABE 中计算即可. 【详解】∵AB ，AC ，AD 两两垂直， ∴AB ⊥平面ACD ，故∠AEB 为直线BE 与平面ACD 所成的角，在RT△ABE 中，AB=2，，∴sin∠AEB=AB BE 3=，∴直线BE 与平面ACD 所成的角的正弦值3，【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.15．,1515⎡-⎢⎣⎦【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围． 【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-， 因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴1解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．16 【详解】设动点P 在三棱锥表面形成曲线是EFGH ，如图所示．则BE BH ==BAH 中，cosHBA ∠==∴6HBA π∠=，4612HBG πππ∠=-=,∴12HG π=，同理EF ；在直角三角形HAE 中，2HAE π∠=，AH AE ===∴2HE π==，在等边三角形BCD 中，3CBD π∠=，∴3GH π==，=，故答案为2. 【点睛】本小题主要考查球面距离及相关计算、正方体的几何特征等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题． 17．（1）{|1x x 或5}x ；（2）2a >或3a -【分析】（1）由此能求出集合2{|450}{|1A x x x x x =--=-或5}x ，从而能求出A B ．（2）由A B B =，得B A ⊆，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）1a =-时，集合2{|450}{|1A x x x x x =--=-或5}x ， 集合{|22}{|21}B x a x a x x =+=-， {|1A B x x =或5}x ．（2）因为A B B =，∴B A ⊆，若B =∅，则22a a >+，∴2a >；若B ≠∅，则2,21a a ⎧⎨+-⎩或2,25,a a ⎧⎨⎩∴3a-.综上，2a >或3a -.即(](),32,a ∈-∞-+∞【点睛】本题考查交集和并集的求法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用，属于基础题． 18．(1)34230x y --=；（2）4310x y ++=或3110x y --= 【分析】（1）先求出线段AB 的中点坐标，再利用直线2l 与直线AB 垂直，斜率之积为－1，求出直线2l 的斜率，由点斜式即可写出线段AB 的垂直平分线2l 的方程；（2）按照点A B 、与直线1l 的位置，分类讨论，若两点在直线1l 同侧，则直线1//l AB ；若两点在直线1l 两侧，则直线1l 过线段AB 中点，即可求出． 【详解】（1）因为AB 的中点坐标为()5,2-，∵624823AB k --==-- ∴AB 的垂直平分线斜率为34，所以由点斜式32(5)4y x +=-，得AB 的中垂线方程为34230x y --= （2）当1//l AB 时，由点斜式43(2)3y x +=--得4310x y ++= 当1l 过AB 中点时，由两点式322352y x +-=-+-得3110x y --=所以，直线1l 的方程为4310x y ++=或3110x y --= 【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及直线与直线的位置关系的应用，意在考查学生的运算能力．19．（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角形，故有OP =P 的坐标；（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点P 位置，此时圆心位置为点O 与点P 的中点坐标，半径为12OP ，结合垂直关系和直线方程可求点P ，进而求得APO ∆的外接圆方程 【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，∵PA =4OP ==，∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）由题意可知当OP l ⊥时，APB ∠取最大值，设此时(),P x y ，由2,280y x x y =-⎧⎨--=⎩得8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴816,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， APO ∆的外接圆圆心为'54,58O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径1'2r OP ==APO ∆的外接圆方程为224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题 20．（1）见证明；（2【分析】方法一：（1）由题意，得出PO AC ⊥，再由菱形的性质，求得AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理，证得AC ⊥面PBD ，进而利用面面垂直的判定定理，即可得到面ACE ⊥面PBD ； （2）连接OE,证得OE PD ⊥，得到POE ∠是二面角P AC E --的平面角，在POE ∆中，即可求解.法二：（1）以点O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求得平面PBD 的一个法向量为n ，根据AC n ∥，得AC ⊥面PBD ，在面面垂直的判定定理，证得面ACE ⊥面PBD ； （2）分别求得平面PAC 和平面ACE 的法向量为,u v ，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：∵PO ⊥面ABCD ∴PO AC ⊥∵在菱形ABCD 中，AC BD ⊥ 且BD PO O ⋂= ∴AC ⊥面PBD 故面ACE ⊥面PBD（2）连接OE ，则OE =面ACE ⋂面PBD 故CE 在面PBD 内的射影为OE ∵CE PD ⊥ ∴OE ⊥ PD又由（1）可得，,AC OE AC OP ⊥⊥ 故POE ∠是二面角P AC E --的平面角 菱形ABCD 中，2AB =,60ABC ∠=∴BD =OD =又2PO = 所以PD ==故7OE ==∴cos OE POE OP ∠==即二面角P AC E --法二：（1）菱形ABCD 中，AC BD ⊥ 又PO ⊥面ABCD 故可以以点O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 由2,60AB ABC =∠= 可知相关点坐标如下：())()()()0,0,2,,,0,1,0,0,1,0P BD A C -则平面PBD 的一个法向量为()0,1,0n =因为()0,1,0AC = 所以AC n 故AC ⊥面PBD 从而面ACE ⊥面PBD （2）设PE ED λ=，则32,0,1E λλ⎛⎫- ⎪⎪+⎝⎭ 因为CE PD ⊥ 所以34011CE PD λλλ⋅=-=++ 故43λ=可得：4367E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭平面PAC 的一个法向量为()1,0,0u = 设平面ACE 的一个法向量(),,v x y z =则20607v AC y v AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩故()3,0,2v =∴3cos ,7u v == 即二面角P AC E --的余弦值为7【点睛】本题考查了立体几何中的直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定，以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21．（1）L (x )＝2140250,0803100001200,80x x x x x x ⎧-+-<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100千件.【分析】（1）根据题意，分段求得函数的解析式，即可求得()L x ； （2）根据（1）中所求，结合基本不等式，求得()L x 的最大值即可. 【详解】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元， 依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－21103x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－250＝－213x ＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－10000511450x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭－250＝1 200－10000x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以L (x )＝2140250,0803100001200,80x x x x x x ⎧-+-<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当0<x <80时，L (x )＝－()21603x -＋950. 此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－10000x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1 200－＝1 200－200＝1 000. 此时x ＝10000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元． 由于950<1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大， 最大利润为1 000万元． 【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求函数最值，属综合基础题.22．（1）1-；（2）1,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）对k 分类讨论，当0k ≠时，令1()4(1)22x xg x k k k =⋅--++，根据二次函数的性质计算可得；（2）令2(1)xt t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++，即可判断函数的单调性，函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，可转化为函数21()log 4(1)22x x f x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦与1y x =+有两个正交点,a b ，即21log 4(1)212x x k k k x ⎡⎤⋅--++=+⎢⎥⎣⎦有两个正根，即21(1)02k t k t k ⋅-+++=有两个大于1的根，再根据一元二次方程的根的分布得到不等式组，即可解得. 【详解】解：（1）当0k =时，2211()log 2log 122xf x ⎛⎫=+>=- ⎪⎝⎭，不合题意； 0k ≠时，令1()4(1)22x x g x k k k =⋅--++， 设2(0)xt t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++.①若0,()k g t >开口向上没有最大值，故()f x 无最大值，不合题意；②当k 0<时，且此时对称轴102k t k-=>，函数()f x 的最大值是1-， 所以2max11111()(1)22222k k k g t g k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫==--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得1k =-或13k =（舍）， 所以1k =-.（2）当01k <<时，设2(1)xt t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++的对称轴102k t k-=<，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。