下载文档原格式
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值课程标准(1)掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小．会求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)及y ＝A cos (ωx ＋φ)的单调区间．(2)掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 最大值与最小值，会求简单三角函数的值域和最值．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点 正、余弦函数的单调性与最值正弦函数余弦函数图象❶单调性❷在____________上单调递增，在____________上单调递减在____________上单调递增，在____________上单调递减最值x ＝________时，取得最大值1；x ＝________时，取得最小值－1x ＝________时，取得最大值1；x ＝________时，取得最小值－1助学批注批注❶ 从正、余弦曲线可以看出，正、余弦曲线分布在两条平行线y ＝1和y ＝－1之间，所以|sin x|≤1，即－1≤sin x≤1；所以|cos x|≤1，即－1≤cos x≤1.批注❷ 结合正、余弦曲线的上升、下降熟记单调区间．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数．( )(2)存在实数x，使得sin x＝√2.( )(3)在区间[0，2π]上，函数y＝sin x有三个零点．( )(4)余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的单调减区间是[0，π].( ) 2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是( ) A．[0，π] B．[π2，π]C.[0，π2]D．[π，2π]3．函数y＝－2cos x的最小值为( )A.1B．－1C.2D．－24．比较大小：sin π6________sinπ3(填“＞”或“＜”)题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 利用单调性比较大小例1 [2022·湖南永州高一期末]设a＝sin1，b＝sin2，c＝sin3，则a，b，c的大小关系是( )A．a＜b＜c B．b＜a＜cC．c＜b＜a D．c＜a＜b方法归纳利用单调性比较三角函数值大小的步骤巩固训练1 若a＝sin47°，b＝cos37°，c＝cos47°，则a，b，c大小关系为()A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a题型2 求单调区间例2 (1)y ＝cos (x －π4)在[0，π]上的单调递减区间为( )A ．[π4，3π4]B ．[0，π4]C ．[3π4，π]D ．[π4，π](2)求函数y ＝√2sin (π4－2x )的单调区间．方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略巩固训练2 函数y ＝sin (2x ＋π3)的单调递减区间为( )A ．[kπ+π12，kπ+7π12](k ∈Z )B ．[kπ2+π12，kπ2+7π12](k ∈Z )C ．[kπ−π6，kπ+π3](k ∈Z )D ．[kπ2−π6，kπ2+π3](k ∈Z )题型 3 正、余弦函数的最值(或值域)例3 已知函数f (x )＝sin (2x －π6)＋12.(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)求f (x )在区间[0，5π12]上的值域．方法归纳求与正、余弦函数有关的最值(或值域)的方法巩固训练3 (1)函数f (x )＝sin (x ＋π6)在[−π3，π2]上的最大值与最小值之和是()A ．12B ．－12C ．1D ．－1(2)已知函数f(x)＝1－sin2x＋sin x(0≤x≤π2)，当x＝________时，f(x)取得最大值．第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值新知初探·课前预习[教材要点]要点一[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z) [2kπ+π2，2kπ+3π2](k∈Z) [2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) π2＋2kπ(k∈Z) －π2＋2kπ(k∈Z) 2kπ(k∈Z) 2kπ＋π(k∈Z)[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．解析：由正弦曲线知y＝sin x在[0，π2]上是增函数．答案：C3．解析：因为y＝cos x的最大值是1所以函数y＝－2cos x的最小值是－2.答案：D4．解析：0＜π6＜π3＜π2，由于函数y＝sin x在[0，π2]上为增函数，则sinπ6＜sinπ3.答案：<题型探究·课堂解透例1 解析：因为0＜π－3＜1＜π－2＜π2，函数y＝sin x在(0，π2)上单调递增，所以sin (π－3)＜sin1＜sin (π－2)，即sin3＜sin1＜sin2，所以c＜a＜b.答案：D巩固训练1 解析：由题意得sin47°＝sin (90°－43°)＝cos43°，因为y＝cos x在[0，π2]上单调递减，所以b＞a＞c.答案：C例2 解析：(1)由cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，可得2kπ≤x－π4≤π＋2kπ，解得π4＋2kπ≤x≤5π4＋2kπ，又∵x∈[0，π]，∴k＝0时，π4≤x≤π.(2)∵y＝√2sin (π4－2x)＝－√2sin (2x－π4)，∴由π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ，k∈Z.所以函数y＝√2sin (π4－2x)的单调增区间为[kπ+3π8，kπ+7π8](k∈Z)，由2kπ－π2≤2x－π4≤π2＋2kπ，(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8(k∈Z)．所以函数y＝√2sin (π4－2x)的单调减区间为[kπ−π8，kπ+3π3](k∈Z)．答案：(1)D (2)见解析巩固训练2 解析：函数y＝sin (2x＋π3)，由2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，所以函数y ＝sin (2x ＋π3)的单调递减区间为[kπ+π12，kπ+7π12](k ∈Z )．答案：A例3 解析：(1)∵函数f (x )＝sin (2x －π6)＋12，∴f (x )最小正周期T ＝2π2＝π，∵sin (2x －π6)≤1，sin (2x －π6)＋12≤32，∴当sin (2x －π6)＝1时，f (x )max ＝32.(2)当0≤x ≤5π12时，－π6≤2x －π6≤23π，∴当2x －π6＝π2时，即x ＝π3时，f (x )max ＝32，当2x －π6＝－π6时，即x ＝0时，f (x )min ＝0，∴f (x )在区间[0，5π12]上的值域为[0，32].巩固训练3 解析：(1)∵－π3≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π6≤2π3，∴－12≤sin (x ＋π6)≤1，∴最大值与最小值之和为－12＋1＝12.(2)令t ＝sin x ，则y ＝1－t 2＋t (0≤t ≤1)，对称轴为t ＝12，所以当t ＝12时，函数取得最大值，即sin x ＝12，得x ＝π6.答案：(1)A (2)π6。
5．4.3 正切函数的性质与图象[目标] 1.能够作出y ＝tan x 的图象；2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题．[重点] 正切函数的性质．[难点] 正切函数的图象、性质及其应用．知识点一 正切函数y ＝tan x 的图象[填一填]正切函数y ＝tan x 的图象叫做正切曲线．[答一答]1．正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π2,k ∈Z 有公共点吗？提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成的．2．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图象相邻两交点之间的距离是多少？ 提示：由图象结合正切函数的周期性可知,两交点之间的距离为π. 3．观察正切函数曲线,写出满足下列条件的x 的集合． (1)满足tan x ＝0的集合为{x |x ＝k π,k ∈Z }． (2)满足tan x <0的集合为{x |k π－π2<x <k π,k ∈Z }．(3)满足tan x >0的集合为{x |k π<x <k π＋π2,k ∈Z }．知识点二 正切函数y ＝tan x 的性质[填一填](1)定义域是{x |x ≠k π＋π2,k ∈Z }．(2)值域是R ,即正切函数既无最大值,也无最小值． (3)周期性：正切函数是周期函数,最小正周期是π. (4)奇偶性：正切函数是奇函数．(5)单调性：正切函数在开区间(k π－π2,k π＋π2),k ∈Z 内是增函数．(6)对称性：正切函数的图象关于原点对称,正切曲线都是中心对称图形,其对称中心坐标是(k π2,0)(k ∈Z ),正切函数无对称轴．[答一答]4．y ＝tan x 在定义域上是增函数吗？提示：y ＝tan x 在每个开区间(－π2＋k π,π2＋k π),k ∈Z 内都是增函数,但在整个定义域上不具有单调性．5．正切函数图象与x 轴有无数个交点,交点的坐标为(k π,0)(k ∈Z ),因此有人说正切函数图象的对称中心为(k π,0)(k ∈Z ),这种说法对吗？提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(k π,0)对称,还关于点(π2＋k π,0)(k ∈Z )对称,因此正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π2,0)(k ∈Z )．类型一 利用正切函数图象求定义域及值域[例1] 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2,k ∈Z 得,x ≠k π＋π4,k ∈Z .所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z ,其值域为(－∞,＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得,tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知,在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上,满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3,所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ,其值域为[0,＋∞)．(1)求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式(组),然后求出x 的范围.(2)求值域要用换元的思想,把tan x 看作可取任意实数的自变量.[变式训练1] (1)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． (2)求函数y ＝sin x ＋tan x ,x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.∵在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内,满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π,∴所求x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4,k ∈Z ,即为此函数的定义域． (2)y 1＝sin x ,y 2＝tan x 均满足在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增,∴函数y ＝sin x ＋tan x 也满足在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增, ∴此函数在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域为⎣⎡⎦⎤－22－1，22＋1. 类型二 正切函数的周期性[例2] 求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4与函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期． [解] 函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4的最小正周期为T ＝π4； f (x )＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎨⎧0，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π，2tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ,作出f (x )＝tan x ＋|tan x |的简图,如图所示,易得函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期T ＝π.一般地,函数y ＝A tan (ωx ＋φ)＋B (A ≠0,ω>0)的最小正周期为T ＝πω,常常使用此公式来求周期,也可以借助函数图象求周期.[变式训练2] 若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2,则a ＝±23. 解析：T ＝π|3a |＝π2,所以a ＝±23.类型三 正切函数的单调性及应用[例3] (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2,k ∈Z 得,2k π－π2<x <2k π＋3π2,k ∈Z .所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2,k ∈Z ,无单调递减区间． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan π4, tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5, 又0<π4<2π5<π2,而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增, 所以tan π4<tan 2π5,所以－tan π4>－tan 2π5,即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5.(1)求函数y ＝A tan (ωx ＋φ)的单调性时可将ωx ＋φ看成一个整体,利用y ＝tan x 的单调性求解,但需注意A 、ω的正负性对函数单调性的影响.(2)比较正切值的大小时可利用诱导公式将角转化到区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内,再利用正切函数的单调性比较.[变式训练3] (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3,k ∈Z . (2)比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4>tan ⎝⎛⎭⎫－95π.解析：(1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6,由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2,k ∈Z ,得4k π－4π3<x <4k π＋8π3,k ∈Z . 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3,k ∈Z . (2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－74π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4, tan ⎝⎛⎭⎫－95π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5, 又0<π5<π4<π2,y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增, ∴tan π5<tan π4,∴tan ⎝⎛⎭⎫－74π>tan ⎝⎛⎭⎫－95π. 类型四 正切函数图象与性质的综合应用[例4] 设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2,已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2,且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．[解] (1)由题意,知函数f (x )的最小正周期T ＝π2,即π|ω|＝π2.因为ω>0,所以ω＝2. 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称,所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2,k ∈Z , 即φ＝k π2＋π4,k ∈Z .因为0<φ<π2,所以φ＝π4.故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π,k ∈Z ,得－3π4＋k π<2x <k π＋π4,k ∈Z .即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2,k ∈Z .所以函数的单调递增区间为⎝⎛－3π8＋k π2，⎭⎫π8＋k π2,k ∈Z ,无单调递减区间．(3)由(1),知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤3, 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π,k ∈Z .即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2,k ∈Z .所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .(1)正切函数y ＝tan x 与x 轴相邻交点间的距离为一个周期；(2)y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0,不但包含y ＝tan x 的零点,而且包括直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )与x 轴的交点. [变式训练4] 已知函数y ＝tan(2x ＋θ)图象的一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π3，0,若－π2<θ<π2,求θ的值．解：因为函数y ＝tan x 图象的对称中心为点⎝⎛⎭⎫k π2，0,其中k ∈Z ,所以2x ＋θ＝k π2,令x ＝π3,得θ＝k π2－2π3,k ∈Z .又－π2<θ<π2,当k ＝1时,θ＝－π6,当k ＝2时,θ＝π3.所以θ＝－π6或π3.1．若tan x ≥0,则( D ) A ．2k π－π2<x <2k π(k ∈Z )B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z )C ．2k π－π2<x ≤k π(k ∈Z )D ．k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )2．函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一个对称中心是( C ) A ．⎝⎛⎭⎫π3，0 B ．⎝⎛⎭⎫π6，0 C ．⎝⎛⎭⎫－π4，0 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：由3x －π4＝k π2,得x ＝k π6＋π12,令k ＝－2得x ＝－π4.故选C ．3．函数y ＝1tan (π－x )是( A )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数4．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调增的区间是⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )．解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知,同时为单调增的区间为⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )． 5．求函数y ＝tan(π－x ),x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π3的值域． 解：y ＝tan(π－x )＝－tan x ,在⎝⎛⎭⎫－π4，π3上为减函数,所以值域为(－3,1)．——本课须掌握的两大问题1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线,渐近线方程为x ＝k π＋π2,k ∈Z ,相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠k π＋π2,k ∈Z },值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π,函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增,不能写成闭区间．正切函数无单调递减区间．。
复习课(六) 三角恒等变换考点一 三角函数的求值问题三角函数求值常见的有给角求值、给值求值、给值求角．给角求值通常找到所给角之间及与特殊角之间的关系，利用三角公式达到相消求值．给值求值最为重要，通常要寻求已知角与所求角的关系，用已知角表示未知角从而求解．给值求角在上面基础上求出所求角的一个三角函数值，再结合角的范围求出角．【典例1】 已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值． [解] ∵0<α<π2，0<β<π2， ∴－π2<α－β<π2， 又tan(α－β)＝－13，∴－π2<α－β<0. 又∵cos α＝45，0<α<π2，∴sin α＝35. 又tan(α－β)＝－13＝sin (α－β)cos (α－β)， 且sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1，∴sin(α－β)＝－110，cos(α－β)＝310 从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝45×310－110×35＝91050.变角是给值求值问题最为常见的技巧，因此对于角的常见变换要熟悉．常见的变角技巧有α＝(α＋β)－β，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β，4α＝2·(2α)，α2＝2·α4等． 另外还要熟悉一些互余、互补角的关系．[针对训练]1．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值．[解] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2 ＝1－181＝459， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝1－49＝53， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 考点二 三角函数式的化简与证明三角函数式化简的一般要求：(1)能求值的尽量求值．(2)化简的结果最简：次方数最低、三角函数名称最少，三角函数的证明题型比较少，主要也是考查三角恒等变换．【典例2】 化简：2sin130°＋sin100°(1＋3tan370°)1＋cos10°.[解] 解法一：原式＝2sin50°＋sin80°(1＋3tan10°)1＋cos10°＝2sin50°＋cos10°×cos10°＋3sin10°cos10°2cos 25°＝2sin50°＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°＋32sin10°2|cos5°|＝2sin50°＋2sin (30°＋10°)2cos5°＝2[sin (45°＋5°)＋sin (45°－5°)]2cos5°＝2(sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°)2cos5°＝4sin45°·cos5°2cos5°＝2. 解法二：原式＝2sin50°＋sin80°(1＋3tan10°)1＋cos10°＝2sin50°＋cos10°×cos10°＋3sin10°cos10°2cos 25°＝2sin50°＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°＋32sin10°2|cos5°|＝2sin50°＋2sin (30°＋10°)2cos5°＝2sin50°＋2sin40°2cos5°＝4×si n 50°＋40°2cos 50°－40°22cos5°＝4sin45°cos5°2cos5°＝2.三角函数式化简的基本技巧(1)sin α，cos α→凑倍角公式．(2)1±cos α→升幂公式．(3)a sin α＋b cos α→辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2·sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a 或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2·cos(α－φ)，其中tan φ＝a b.[针对训练]2．求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x. [证明] 证法一：左边＝sin 2x cos 2x ＋cos 2x sin 2x＝sin 4x ＋cos 4x sin 2x cos 2x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x 14sin 22x ＝1－12sin 22x 14sin 22x ＝1－12sin 22x 18(1－cos4x ) ＝8－4sin 22x 1－cos4x ＝4＋4cos 22x 1－cos4x＝4＋2(1＋cos4x )1－cos4x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x ＝右边． 原式得证．证法二：右边＝2(2＋1＋cos4x )2sin 22x＝2(2＋2cos 22x )2sin 22x ＝2(1＋cos 22x )4sin 2x cos 2x＝(sin 2x ＋cos 2x )2＋(cos 2x －sin 2x )22sin 2x cos 2x＝2(sin 4x ＋cos 4x )2sin 2x cos 2x ＝tan 2x ＋1tan 2x＝左边． 原式得证．考点三 三角函数的图象及变换三角函数的图象及变换是三角函数的重点内容，包括“知图求式”及平移伸缩变换．知图求式关键是初相φ的确定，图象变换注意变换的顺序是先平移再伸缩还是先伸缩再平移．【典例3】 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？[解] (1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12， k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1， T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6， ∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常利用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A ；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ.(2)由图象上的关键点确定φ时，若选取的是图象与x 轴的交点，则要弄清这个点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx 0＋φ＝2k π(k ∈Z )，其他依次类推即可．[针对训练]3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4[解析] 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos2x 的图象，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴的方程．[答案] A4．将函数f (x )＝sin2x 的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0≤φ≤π2个单位长度，得到的函数为偶函数，则φ的值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3[解析] 将函数f (x )＝sin2x 的图象向左平移φ个单位得到g (x )＝sin2(x ＋φ)的图象，g (x )为偶函数，故2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又0≤φ≤π2，∴2φ＝π2，∴φ＝π4.[答案] C考点四 三角函数的简单应用三角函数经过三角恒等变换化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，从而研究其图象性质是常见的热点题型．要结合三角函数的性质将ωx ＋φ看成一个整体研究．【典例4】 已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－23cos 2x 2＋ 3. (1)若f (θ)＝0，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值； (2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域．[解] (1)f (x )＝2sin x 2cos x 2－23cos 2x 2＋ 3 ＝sin x －3⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝sin x －3cos x . ∵f (θ)＝0，即sin θ－3cos θ＝0，∴tan θ＝3，∴2cos2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θtan θ＋1＝1－33＋1＝－2＋ 3. (2)由(1)知f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3， ∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )min ＝－3； 当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )max ＝2， ∴当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域为[－3，2]．研究三角函数的图象性质，通常是利用和差角公式、二倍角公式及其变形公式进行整理、化简，将原函数变为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，这是解答该类题目的关键所在．[针对训练]5．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋cos 2x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最大值与单调递增区间；(2)求使f (x )≥3成立的x 的集合．[解] (1)因为f (x )＝1＋2sin 2x ＋23sin x cos x＝1＋1－cos2x ＋3sin2x＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x －12cos2x ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6sin2x －sin π6cos2x ＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，函数f (x )取得最大值4. 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤kx ＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)由f (x )≥3得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≥12，则2k π＋π6≤2x －π6≤2k π＋5π6(k ∈Z )，即k π＋π6≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )．所以使f (x )≥3成立的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | k π＋π6≤x ≤k π＋π2，k ∈Z .。
