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增广拉格朗日方法发展史增广拉格朗日方法（Augmented Lagrangian Method）是数学最优化中一种计算非线性约束最优化问题的方法，它采用了拉格朗日乘子法（Lagrangian Multiplier Method）和罚函数（Penalty Function）相结合的思想。
拉格朗日乘子法的思想最早由法国数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）于18世纪50年代提出。
他研究了约束条件下的极值问题，并通过引入拉格朗日乘子将带有约束条件的优化问题转化为不带约束条件的优化问题。
这一方法为后来的非线性规划问题的研究提供了理论基础。
20世纪60年代，数学家Powell将拉格朗日乘子法与罚函数相结合，提出了增广拉格朗日方法。
增广拉格朗日方法通过在优化问题的目标函数中添加与约束条件相关的罚函数，将约束条件加入到目标函数中，从而将带约束条件的优化问题转化为目标函数带约束的优化问题，从而使得问题的求解更加方便。
随着计算机技术的发展，增广拉格朗日方法得到了进一步的推广和发展。
数学家和工程师们不断地提出了新的增广拉格朗日方法和改进算法，以解决更加复杂的优化问题。
如1981年，Nocedal等人提出了序列二次规划方法（Sequential Quadratic Programming）；1996年，Hestenes等人提出了全局收敛性的增广拉格朗日方法等。
总之，增广拉格朗日方法的发展经历了拉格朗日乘子法的提出、增广拉格朗日方法的提出以及后续的改进和应用。
它的出现和发展对求解非线性约束最优化问题起到了重要的推动作用，使得更多的问题可以得到有效的求解。
增广拉格朗日方法在理论研究和应用领域都取得了重要的成果，为解决实际问题提供了有力的工具和方法。
罚函数之乘⼦法外罚函数主要⽤于对于等式约束问题的求解，内点法主要是对于不等式问题的求解，⼀般问题中包含等式约束以及不等式约束，故需要使⽤乘⼦法解决问题。
1、乘⼦法概述（1）等式约束乘⼦法描述：min f(x)s.t. g i(x) =0⼴义乘⼦法是拉格朗⽇乘⼦法与罚函数法的结合，构造增⼴函数：φ (x,λ,σ)=f(x)+λT g(x)+1/2σg T(x)g(x)在罚函数的基础上增加了乘⼦项，⾸先在σ⾜够⼤的基础上，获得ϕ的极⼩值，然后在调整λ获得原问题的最优解。
（2）包含等式约束以及不等式约束问题描述：min f(x)s.t. h i(x) =0,i=1,...,lg i(x)≥0,i=1,...m其基本思想是：先引进辅助变量把不等式约束化为等式约束，然后利⽤最优性条件消去辅助变量，主要是通过构造增⼴拉格朗⽇函数，进⾏外迭代与内迭代综合，带⼊乘⼦迭代公式，进⽽得出得出，故针对上述⼀般问题构造拉格朗⽇函数为：4、其代码实现为function [x,mu,lambda,output]=multphr(fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,x0)%功能：⽤乘⼦法解⼀般约束问题：min f(x),s.t. h(x)=0.g(x)>=0%输⼊：x0是初始点，fun，dfun分别是⽬标函数及其梯度；%hf，dhf分别是等式约束（向量）函数及其jacobi矩阵的转置；%gf，dgf分别是不等式约束（向量）函数及其jacobi矩阵的转置；%输出：x是近似最优点，mu，lambda分别是相应于等式约束和不等式% 等式约束的乘⼦向量；output是结构变量，输出近似极⼩值f，迭代次数，内迭代次数等%%%%%%c初始化相关参数%%%%%%%%%%%maxk=500; %最⼤迭代次数sigma=2.0; %罚因⼦eta=2.0; theta=0.8; %PHR算法中的实参数k=0; ink=0; %k,ink分别是外迭代和内迭代次数epsilon=1e-5;%终⽌误差值x=x0;he=feval(hf,x);gi=feval(gf,x);%he=feval(hf,x)=hf(x)n=length(x);l=length(he);m=length(gi);%选取乘⼦向量的初始值mu=0.1*ones(1,1);lambda=0.1*ones(m,1);%ones为⽣成m*n的全1矩阵btak=10; btaold=10; %⽤来检验终⽌条件的两个值while (btak>epsilon & k<maxk)%%%%%%c先求解⽆约束问题%%%%%%%%%%%%调⽤BFGS算法程序求解⽆约束⼦问题[x,v,ik]=bfgs('mpsi','dmpsi',x0,fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma);%%其中x为最优点，val为最优值，ik为迭代次数 ink=ink+ik;he=feval(hf,x);gi=feval(gf,x);%%%%%%%%%%计算btak%%%%%%%%%%%btak=0.0;for(i=1:l),btak=btak+he(i)^2; endfor(i=1:m)temp=min(gi(i),lambda(i)/sigma);btak=btak+temp^2;endbtak=sqrt(btak);if btak>epsilon%%%%%%%%%%%更新罚参数%%%%%%%%%%%if(k>=2 & btak>theta*btaold)sigma=eta*sigma;end%%%%%%%%%%%更新乘⼦向量%%%%%%%%%%%%for(i=1:l),mu(i)=mu(i)-sigma*he(i);endfor(i=1:m)%lambda(i)=max(0.0,lambda(i)-sigma*gi(i));lambda(i)=max(0.0,lambda(i)-gi(i));endend%%%%%%%%%%%迭代%%%%%%%%%%%%k=k+1;btaold=btak;x0=x;endf=feval(fun,x);output.fval=f;output.iter=k;output.inner_iter=ink;output.bta=btak;BFGS算法部分：function [x,val,k]=bfgs(fun,gfun,x0,varargin)%功能：⽤BFGS算法求解⽆约束问题：minf（x）%输⼊：x0是初始点，fun，gfun分别是⽬标函数及其梯度%varargin是输⼊的可变参数变量，简单调⽤bfgs时可以忽略，其他程序调⽤则尤为重要%输出：x为最优点，val为最优值，k时迭代次数maxk=500;%给出最⼤迭代次数rho=0.55;sigma=0.4;epsilon=1e-5;k=0;n=length(x0);Bk=eye(n);%Bk=feval('Hess',x0)while(k<maxk)gk=feval(gfun,x0,varargin{:});%计算梯度if(norm(gk)<epsilon),break;end%检验终⽌准则dk=-Bk\gk;%解⽅程组，计算搜索⽅向m=0;mk=0;while(m<20)%搜索求步长newf=feval(fun,x0+rho^m*dk,varargin{:});oldf=feval(fun,x0,varargin{:});if(newf<oldf+sigma*rho^m*gk'*dk)mk=m;break;endm=m+1;end%bfgs校正x=x0+rho^mk*dk;sk=x-x0;yk=feval(gfun,x,varargin{:})-gk;if(yk'*sk>0)Bk=Bk-(Bk*sk*sk'*Bk)/(sk'*Bk*sk)+(yk*yk')/(yk'*sk);endk=k+1;x0=x;endval=feval(fun,x0,varargin{:});主函数部分为：%⽬标函数⽂件function f=f1(x)f=(x(1)-2.0)^2+(x(2)-1.0)^2;%等式约束条件function he=h1(x)he=x(1)-2.0*x(2)+1.0;%不等式约束条件function gi=g1(x)gi=-0.25*x(1)^2-x(2)^2+1;%⽬标函数的梯度⽂件function g=df1(x)g=[2.0*(x(1)-2.0),2.0*(x(2)-1.0)]';%等式函数的Jacobi（转置）矩阵⽂件function dhe=dh1(x)dhe=[1.0,-2.0]';%不等式约束函数的Jacobi矩阵（转置矩阵）function dgi=dg1(x)dgi=[-0.5*x(1),-2.0*x(2)]';命令⾏指令为：x0=[3,3]'[x,mu,lambda,output]=multphr('f1','h1','g1','df1','dh1','dg1',x0)输出结果如下：。
第8章 约束优化问题的间接法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来进行求解的方法。
拉格朗日乘子法、罚函数法和增广乘子法虽约束优化问题的间接解法可利用无约束优化问题的求解方法进行求解，但由于增加了拉格朗日乘子和罚因子，因此求解过程与常规无约束优化问题有所不同。
8.1 罚函数法罚函数法针对约束函数构造适当的中间函数，并引入罚因子将约束条件引入到目标函数中构成无约束目标函数。
罚函数的一般形式∑∑==++=Lu u M v v x g r x h r x f r r x l 121121)]([)]([)(),,(min ψϕ (8.1)式中（8.1）)]([x h v ϕ和)]([x g u ψ分别为根据等式约束)(x h v 和不等式约束)(x g u 够造的中间函数，恒为非负。
r 1和r 2为罚因子或罚参数，r 1和r 2是大于0的实数，根据中间函数的特性，罚因子的值在迭代过程中不断发生变化。
当按一定的规则取值使罚函数),,(21r r x l 与目标函数)(x f 值趋于相等时，所得解就是原约束问题的解。
中间函数与罚因子的乘积称为惩罚项，在设计变量取值接近边界过程中，罚因子与中间函数朝相反的方向变化，但在无限逼近的过程中惩罚项趋于0。
因此罚函数法的一般求解过程是：定义)]([x h v ϕ和)]([x g u ψ的形式，根据一定的规则，每选定一次r 1和r 2的值就得到一个无约束优化问题，求解得到一个无约束最优解。
随着罚因子的不断调整，得到无约束最优解的点列{x (k)}，不断逼近有约束的最优解。
罚函数法需要多次迭代求解，因此是一种序列无约束极小化方法，简称SUMT 法。
根据中间函数的形式及设计变量的取值区域，罚函数法分为内点罚函数法、外点罚函数法和混合点罚函数法3种，简称内点法、外点法和混合点法。
1 内点罚函数法构造：中间函数为各个约束函数的倒数之和，即∑=-=Lu u u x g x g 1)(1)]([ψ 或构造为各个约束函数倒数的自然对数之和，即∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=L u u u x g x g 1)(1ln )]([ψ 转化以后的罚函数形式为 ()∑=-=L u u x g r x f r x l 1)(1)(, （8.2）或 ()[]∑=--=Lu ux g r x f r x l 1)(ln )(, （8.3） 式（8.2）、式（8.3）对应的优化问题的数学模型为Lu x g t s R x x f u n,...,2,1,0)(..),(min =≤∈ 如果不等式约束为0)(≥x g u 的形式，则将式（8.2）、式（8.3）中的负号做相应调整。
罚函数乘子法是一种常用的最优化方法，用于求解带有约束条件的优化问题。
它通过将约束条件转化为惩罚项，将原问题转化为无约束优化问题，然后使用传统的优化算法进行求解。
罚函数乘子法的基本思想是在目标函数中加入惩罚项，使得违反约束条件的解的目标函数值变得很大，从而迫使解接近约束条件。
惩罚项的形式通常是约束条件的平方和或绝对值的和，乘以一个常数因子（称为罚因子）。
具体来说，罚函数乘子法的步骤如下：1. 将约束条件转化为惩罚项，得到惩罚函数。
2. 使用传统的优化算法（如梯度下降、牛顿法等）求解惩罚函数的最小值。
3. 逐渐增加罚因子的值，直到找到满足约束条件的最优解。
罚函数乘子法的优点是简单易用，适用于各种类型的约束条件。
缺点是需要选择合适的罚因子，否则可能导致收敛速度缓慢或无法收敛。
此外，罚函数乘子法也可能会引入数值不稳定性，需要谨慎处理。
增广拉格朗日函数的三种统一公式拉格朗日函数是求解约束最优化问题的一种方法。
当约束条件较复杂时，可以通过增广拉格朗日函数的方法将问题转化为无约束问题，从而简化求解过程。
本文将介绍增广拉格朗日函数的三种统一公式：KKT条件、插入法和罚函数法。
一、KKT条件KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件是约束最优化问题的一组必要条件，也适用于求解增广拉格朗日函数的无约束问题。
它由三个方程组成：1.平衡条件：∇_xL(x,λ)=0其中，L(x,λ)为增广拉格朗日函数，x为自变量，λ为拉格朗日乘子，∇表示求偏导。
这个方程表示在最优解处，拉格朗日函数对于自变量和拉格朗日乘子的偏导数都为零。
2.原始可行性条件：g(x)≤0h(x)=0其中，g(x)为不等式约束函数，h(x)为等式约束函数。
这两个条件要求在最优解处，不等式约束函数小于等于零，等式约束函数等于零。
3.对偶互补条件：λ_i≥0，g_i(x)≤0，λ_i*g_i(x)=0其中，λ_i为拉格朗日乘子，g_i(x)为不等式约束函数。
这个条件表示在最优解处，拉格朗日乘子和不等式约束函数乘积为零，且拉格朗日乘子为非负数。
通过求解这三个方程，可以找到增广拉格朗日函数的最优解。
二、插入法插入法是一种通过分析增广拉格朗日函数的极值性质来求解无约束问题的方法。
其基本思想是将增广拉格朗日函数表示为自变量的泰勒级数展开式，并根据展开式的极值性质求解极值点。
具体步骤如下：1.将增广拉格朗日函数表示为自变量的泰勒级数展开式：L(x,λ)=f(x)+∑λ_i*g_i(x)+∑μ_i*h_i(x)其中，f(x)为目标函数，g_i(x)为不等式约束函数，h_i(x)为等式约束函数，λ_i和μ_i为拉格朗日乘子。
2.根据泰勒展开式的极值性质，求解增广拉格朗日函数的极值点：∇_xL(x,λ)=∇_xf(x)+∑λ_i*∇_xg_i(x)+∑μ_i*∇_xh_i(x)=0将上述方程求解得到自变量的取值，即可得到增广拉格朗日函数的最优解。
增广拉格朗日函数法
在介绍增广拉格朗日函数法之前，首先我们需要了解拉格朗日乘子法和罚函数法。
拉格朗日乘子法是一种求解有约束优化问题的方法。
对于一个约束优化问题，我们可以构建拉格朗日函数（Lagrangian function）：L(x,λ)=f(x)+λg(x)
其中，x是自变量，f(x)是目标函数，g(x)是约束函数，λ是拉格朗日乘子。
通过求解拉格朗日函数的驻点，即对自变量x和拉格朗日乘子λ求导并令其等于零，可以求得约束优化问题的最优解。
然而，对于复杂的约束优化问题，常常存在多个约束条件，而拉格朗日乘子法难以同时满足所有约束条件。
因此，我们需要引入罚函数法。
罚函数法是一种将约束项以惩罚的方式引入目标函数中的方法，使得目标函数能够兼顾优化和约束条件。
罚函数法的基本思想是通过在目标函数中添加一个罚项，将约束条件作为等式或不等式惩罚项的一部分，从而转化为无约束优化问题。
L(x,λ)=f(x)+λg(x)+τh(x)
其中，h(x)是罚函数，τ是罚函数的系数。
1.初始化拉格朗日乘子λ和罚函数系数τ。
2.在每一次迭代中，首先求解当前增广拉格朗日函数的最小值。
3.根据最小化增广拉格朗日函数得到的解，更新λ和τ。
4.重复步骤2和步骤3，直到满足终止条件。
总结起来，增广拉格朗日函数法是一种综合了拉格朗日乘子法和罚函数法的数值方法，用于求解约束优化问题。
在求解过程中，通过引入增广拉格朗日函数，逐步修正约束条件，并求得最优解。
增广拉格朗日函数法在实际问题中有着广泛的应用，因其能够有效地处理复杂的约束优化问题而受到了广泛的关注。
毕业论文题目增广拉格朗日乘数法及在其在约束优化问题的应用学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算1001班学生高亚茹学号20100921032指导教师邢顺来二〇一四年五月二十五日摘要增广拉格朗日乘子法作为求解约束优化问题的一种重要方法，近年来研究增广拉格朗日乘子法的应用显得更加重要。
本文首要介绍了增广拉格朗日乘子法的产生，通过解释增广拉格朗日乘子法是罚函数法和拉格朗日乘子法的有机结合，引出了现在对增广拉格朗日法的发展状况，概述了增广拉格朗日乘子法基本理论。
然后具体说明了增广拉格朗日法在科学领域上的实际应用，如在供水系统和图像复原的应用，也证明了增广拉格朗日乘子法的实际应用性。
关键词：增广拉格朗日乘子法；罚函数法；供水系统；图像复原ABSTRACTAugmented lagrange multiplier methods as an important method for solving constrained optimization problems, recent studies in applications of augmented lagrange multiplier methods is even more important. This paper describes the generation of primary augmented lagrange multiplier method. By interpreting the augmented lagrangian multiplier methods is the combination of penalty function methods and Lagrange multiplier methods, It is given to a recent development of augmented lagrangian methods. Then is shown the basic theories of augmented lagrangian multiplier methods. Finally it is specified the augmented lagrangian method on the practical applications of scientific fields, such as water supply ystems and image restorations, also proved augmented lagrangian multiplier methods of practical application.Key words：Augmented Lagrange Multiplier Methods；Penalty Function Methods Water Supply Systems ；Image Restorations目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1前言 (1)1.1增广拉格朗日函数法的产生与应用 (1)1.2研究增广拉格朗日函数法应用的意义 (1)2增广拉格朗日乘子法 (3)2.1约束非线性规划 (3)2.2罚函数外点法 (4)2.3拉格朗日乘子法....................................... (6)2.4增广拉格朗日乘子法.............................. (7)2.4增广拉格朗日乘子法的计算........................... (10)3 增广拉格朗日乘子法的应用................................................. ...... (12)3.1供水系统调度的增广拉格朗日函数优化方法.......................... . (12)3.2图像复原的增广拉格朗日函数优化方法 (14)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (19)1前言1.1 增广拉格朗日函数法的产生与应用在求解有约束条件的优化题目时，有一个重要方法，便是用适合的方法把约束优化问题，转变成无约束优化问题来进行求解。
