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最优化理论第五章 惩罚函数法

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《惩罚函数法》PPT课件

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那么该点x就不会是(*)的最优解。
这样的存在迫使最优解在可行域内取得。 随着的增大或更特殊地取为+∞，则问题(*)就成为：
min (x12+x22) 当(x1+x2-2)=0.
这恰为所要求解的原问题.
引例求解思想的理论支持
问题 min (x12+x22)+(x1+x2-2)2
最优解的解析式为：
x1() x2 () 221
一般地，对于等式约束问题， min f(x) s.t. hj(x)=0, j=1:n
将此问题改造成一个新问题(**)：
n
min F( x),f(x )h2 j(x),其 中 为一个大正数 j1
这个新问题的最优解 必定使～x得hj( )接近于0 ～x 否则的话式子中的第二项就会是一个很大的正数 现在的这个点 就不～会x 是这个无约束问题的极小点
[max2 {(x0 )},2-]s.....[.maxm {(x 0),}2 -]s
h12(x)h22(x).....h .n2(x)）
m
n
f(x )( [mai( x x ){ } 2 0 ] ,h -j2 s (x ))
i 1
j 1
P( x)
F(x, )-----增广目标函数
P(x)-----惩罚函数（惩罚项） ----罚因子
min x12+x22 s.t. x1+x2-2=0
由图解法易见最优解为(1,1)T
将这个问题改造为一个无约束问题如下：
min (x12+x22)+(x1+x2-2)2 (*)
为一个充分大的正的参数
min x12+x22 s.t. x1+x2-2=0

优化设计5惩罚函数法

优化设计5惩罚函数法
惩罚函数法
目前，人们对无约束问题的最优化方法要比对约束优化方法研 究的更为深入和成熟，并且形成了有效的、可靠的解法。因 此，在求解约束化问题时，自然会想到是否可以利用某种方法 将约束优化问题转化为无约束最优化问题来解决,显然这种转化 必须在一定的前提条件下进行。一方面这种转化不能破坏原约 束问题的约束条件；另一方面还必须使它归结到原约束优化问 题的同一最优解上去。这种将约束优化问题转化成无约束化问 题，然后用无约束最优化方法进行求优的途径就是约束优化问 题求优的间接解.
4
内点惩罚函数法
内点惩罚函数法的基本原理
内点惩罚函数法(简称内点法)将新目标函数定义在可行城内．这样 它的初始点以及后面产生的迭代点序列也必在可行城内，它是求解 不等式约束优化问题的一种十分有效的方法。下面我们选用一个简 单的例子来说明内点法的一些几何概念和基本原理。 设数学模型为：
min F(x) x X D R1 D: g(X) x 1 0 用内点法来求解此约束问题先构造泛函，取
适用于不等式约束函数比较简单的情况
然后构造罚函数，并求无约束极小值
5
代替计算机无约束搜索求优，惩罚函数无约束最优点序列
6
7
8
9
可以看出内点惩罚函数法就是以不同的加权参数(罚因子)来构造一 序列无约束的新目标函数，求这一序列惩罚函数法的无约束极值 点 X • (r(k) ) ，使它逐渐逼近原约束问题的最优解，而不论原约束问题 最优解在可行域内还是在可行域的边界上，其整个搜索过程都在约束 区域内进行。
k 0
r(ห้องสมุดไป่ตู้) 1
u1
G[gu(X)]
0
的满足要求。
12
13
采用内点法应注意几个问题

机械优化设计第五节约束优化-惩罚函数法3-5

机械优化设计第五节约束优化-惩罚函数法3-5

外点法求解时，惩罚函数的形式为：
(k ) ( x, r ) f ( x) r max 0, gu ( x) r hv ( x) u 1 v 1
(k ) (k ) m p 2 2
k 1, 2
r
(1) ( 2)
(k )
内点法对企图从内部穿越可行域的点施以惩 g x 0 时，则障碍项的 罚。设计点离边界越近 值急剧增大,并趋向无穷大,于是惩罚越大,于是惩 罚函数 ( x r ( k ) )亦随之急剧增大至无穷大.
u
就好像在可行域的边界上设置很高的障 碍，从而保障迭代点一直在可行域内而又趋向 于约束最优点。当 k r ( k ) 0时，才能求得 原约束问题的最优解。 参数的选取和确定：
(0)
（2）初始惩罚因子 r
(0)
的选择
) . 初始惩罚因子 r ( 0的选择对于计算效率影响很大
若r x, 项）的作用就会很小，
x, r ( k )
( 0 ) 值得太小，则在惩罚函数中障碍项（惩罚

r
(k )
f ( x)

这时求惩罚函数 的无约束极值点。 犹如求原目标函数 f ( x)本身的无约束极值点而 这个极值点 x又不大可能接近 f ( x) 的约束极值点,
D.收敛条件： 同时满足:(1)相邻两次惩罚函数值相对变化 足够小； (2)相邻两次惩罚函数无约束最优 点的距离足够小。
(k ) x r


* (k ) ( k 1) ( k 1) , r x r , r 1 * ( k 1) ( k 1) x r , r

约束优化-惩罚函数法38页PPT

约束优化-惩罚函数法38页PPT
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
约束优化-惩罚函数法 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
41、学问是异常珍2、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联

约束优化-惩罚函数法

约束优化-惩罚函数法


( p) 1
,r
( p) 2
f x r G g x r H h x
( p) 1 m j 1 j ( p) 2 l k 1 k
的无约束最优化问题。
min x, r1( p ) , r2( p ) f x r1( p ) G g j x r2( p ) H hk x
k 1 l


对于每次迭代的 M ( p )，都可以求得相应的惩 罚函数最小 值和最优解X ( M ( p ) )。
当M为足够大的值时，惩罚 函数最小值将收敛于一 个有 限的极限值 *，且满足hk ( x) 0，而序列｛X ( M ( p ) )｝将 收敛于某一点X *。 *即为原问题f ( x)在等式约束hk ( x) 0 条件下的最小值， X *即为原问题的最优解。 即： lim M ( p ) lim M
2 另外，惩罚项形式 M h ( x ) k k 不是唯一的， k 1 l


任何仅仅当约束条件得 到满足时才等于零的 非负函数都可以当作惩 罚项，可以根据具体情 况选择。
四、惩罚函数法
将约束最优化问题 min f x f x1 , x2 , , xn s.t. g j x g j x1 , x2 , , xn 0 hk x hk x1 , x2 , , xn 0 转化为形如： min x, r ( j 1,2, , m) (k 1,2, , l )
为便于在计算机上用直 接寻优的方法进行迭代 计算， 可以构造一个新的函数 ： F F Z x i 1 k 1 i k
n l 2 l F 2 x hk ( x) i 1 k 1 i n 2 2

惩罚函数法讲稿

惩罚函数法讲稿

其中：g u(x ) 0,u 1, 2,... m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
惩罚（加权）因子 r 缩小系数c：
( 0)
r ....r
(1)
(k )
r
( k 1)
c r
(k )
0< c <1
三.
1. 2.
迭代步骤：
选取合适的初始点 x(0) ，以及 r(0)、c（缩减系数）、计算精度 ε，令 k=0； 构造惩罚（新目标）函数；
程问题时，只要在可行域内，即使未达最优解，接近的过程解也
是可行的； 初始点和序列极值点均需严格满足所有约束条件；
不能解决等式约束问题。
六.
举例：盖板问题 设计一个箱形截面的盖板。 tf
h
已知：长度 l0= 600cm，宽度 b = 60cm， 侧板厚度 ts = 0.5cm，翼板厚度为 tf(cm)，高 度为 h(cm)，承受最大的单位载荷 q = 0.01Mpa。
以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。
二.混合惩罚函数法的形式：
障碍函数
衰减函数
其中根据Fiacco等建议的关系式可得： 为逐渐减小的正项数列，即：
x(k 1) * (r1
(k 1)
) x k * (r1 )
(k )
2. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择：
惩罚因子的初值应适当，太大，将增加迭代次数；太小，会 使惩罚函数难以收敛到极值点。对于不同的问题，都要经过多次 试算，才能决定一个适当 r0。
3. 缩减系数 c 的选择：
在构造序列惩罚函数时，惩罚因子 ，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为 : 是一个逐次递减到0的数列

惩罚函数法概述_内点法

惩罚函数法概述_内点法
第五节 惩罚函数法
一 基本原理
惩罚函数法是应用广泛,非常有效的间接解 法.又称为序列无约束极小化方法(SUMT法). 该方法通过将原约束优化问题中的等式和 不等式约束函数加权处理后与原目标函数结合, 得到新的目标函数(惩罚函数).原问题转化为新的 无约束优化问题,求解该新的无约束优化问题,间 接得到原约束优化问题的最优解.
内 点 法 程 序 框 图
举例
用内点法求最优点:
2 min f ( x) x12 x2
解： r ( x, r ) f ( x ) g ( x) r 2 2 ( x, r ) x1 x2 1 x1
s.t.g ( x ) 1 x1 0
or ( x, r ) f ( x) r ln( g ( x))
r1 , r2
加权因子(惩罚因子)
原约束优化问题转化为无约束优化问题:
min ( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ g j ( x)]
j 1
m
r2 H [hk ( x)]
k 1
l
改变惩罚因子r1, r2的值,就会得到一系列的无约束优 化问题,求解得到一系列的无约束最优解(系列迭代点),这些 最优解逐渐的逼近原约束优化问题的最优解.
min f ( x) g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m) hk ( x) 0 (k 1,2,...,l)
( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ g j ( x)] r2 H [hk ( x)]
j 1 k 1 m l
障碍项
惩罚项
二 惩罚函数法分类
内点惩罚函数法(内点法)
外点惩罚函数法(外点法) 混合惩罚函数法(混合法)

最优化方法之罚函数法讲解

最优化方法之罚函数法讲解
最优化方法之罚函数法讲解
contents
目录
• 引言 • 罚函数法基本原理 • 经典罚函数法介绍 • 改进型罚函数法探讨 • 数值实验与案例分析 • 结论与展望
01 引言
最优化问题概述
01
02
03
最优化问题的定义
最优化问题是在一定条件 下，寻找一组参数值，使 得某个或某些目标函数达 到最优的问题。
混合罚函数法
• 基本思想：混合罚函数法结合了外点罚函数法和内点罚函数法的特点，通过同时构造包含原目标函数、等式约 束和不等式约束的辅助函数，将约束问题转化为无约束问题进行求解。
• 辅助函数构造：混合罚函数法的辅助函数通常包括原目标函数、等式约束的二次惩罚项以及不等式约束的对数 障碍项。其中，二次惩罚项用于处理等式约束，对数障碍项用于处理不等式约束。
内点罚函数法
• 基本思想：与外点罚函数法类似，内点罚函数法也是通过构造辅助函数将约束问题转化为无约束问题。不同之 处在于，内点罚函数法要求迭代点始终保持在可行域内部，并在可行域边界上对原目标函数进行惩罚。
• 辅助函数构造：内点罚函数法的辅助函数通常取为原目标函数加上一个障碍项，该障碍项在可行域内部为零， 在可行域边界上取正值，且随着接近边界程度的增加而趋于无穷大。
• 迭代过程：从满足所有约束条件的一个点出发（通常通过其他方法获得），通过求解无约束问题的极小化序列 来逼近原问题的最优解。在迭代过程中，根据当前点违反约束的情况动态调整惩罚因子和障碍参数，以保证算 法的稳定性和收敛性。
• 优缺点：混合罚函数法能够同时处理等式和不等式约束，具有较广泛的适用性。然而，由于需要同时考虑多种 类型的约束和惩罚项，算法的复杂性和计算量相对较大。此外，惩罚因子和障碍参数的选择对算法效果也有一 定影响。

第五章惩罚函数法详解

第五章惩罚函数法详解

㈣关于几个参数的选择
⑴初始罚因子r(0)的选取
如果 值选得太大，则在一开始罚函数的惩罚项的 值将远远超出原目标函数的值，因此，它的第一次无约束极 小点将远离原问题的约束最优点。在以后的迭代中，需要很 长时间的搜索才能使序列无约束极小点逐渐向约束最优点逼近。
如果 值选得太小，则在一开始惩罚项的作用甚小，
而在可行域内部惩罚函数
与原目标函数F(x)很相近，
只在约束边界附近罚函数值才突然增高。这样，使其罚函数
在在约束边界附近出现深沟谷地，罚函数的性态变得恶劣。
如下图，对于有深沟谷地性态差的函数，不仅搜索所需的 时间长，而且很难使迭代点进入最优的邻域，以致极易使 迭代点落入非可行域而导致计算的失败。
或
r（0）=1~50
函数
的一系(x,列r(k最) ) 优点，
xk* (k 0,1,2, )
显见，无约束最优点序列将逐渐趋近于原约
束优化问题的最优点x*。
㈡内点罚数法的形式及特点
⑴具有不等式约束的优化问题的数学模型
S.T. :
u=1，2……，p
⑵构造如下形式的内点罚函数
p
(x, r (k) ) F (x) r (k)
而且，当x越趋近于约束边界时，由于惩罚项 r(k) 1
增大，所以罚函数 (x, r(的k) )值越大。当x←b时，罚g１函(x)
数的值将趋近于+∞。因此，当初始点取在可行域内，求
函数 (x, r(k)的) 极小值时，只要适当控制搜索步长，
防止迭代点跨入非可行域，则所搜索到的无约束极小点 x*必可保持在可行域内。
⑹由终止准则，若满足则转步骤⑺，否则转⑸⑺,输出最优解(x*,F*)
入口
给定：x(0) ∈D,r(0),C,ε1,ε2

最优化理论第五章-惩罚函数法

最优化理论第五章-惩罚函数法
2. 阅读MATLAB中有约束优化函数 fmincon( ) 并编程求解
课堂练习：
外点法求解
称为SUMT方法 基本步骤：
序列无约束极小化方法
收敛于
1.3. 外点法收敛性
定理2： 定理3：
的最优解。
2. 内点罚函数法
2.1 思想：从内点出发，保持在可行域内部进行搜索。
只适用于不等式约束问题
两种形式：
原始问题的解
2.2 r如何取值？
r太大，问题的解不精确
计算步骤： ∆例题： 解得：
2.3. 收敛性
例：乘子法求解：
3.3. 不等式约束的乘子法
转化为
等式
定义增广Lagrange函数。 求得原问题的解
用配方法整理则有： 增广Lagrange函数变为
一般问题
例题：
则
作业：
1. 阅读MATLAB中optimization toolbox 中的Quasi-Newton Method 和 Least-Squares Method 算法，用Lsqnonlin（）函数 求解
有约束最优化：
可行域
定义：局部极小点，局部严格极小点
一阶条件（必要条件） 二阶条件（必要条件）
惩罚函数法 可行方向法，二次规划
1. 外点罚函数法
1.1 罚函数概念
a 对于等式约束：
对于线性约束可 消元处理
第2项很大
很大的正数
b. 不等式约束
转化为 c.一般情况：
罚回来
过大，计算困难 太小，远离约束问题的最优解
定理：问题
∆ 外点法 内点法
应用序列无约束极小化方法，简单
成为病态矩阵 无法求解
增大
3. 乘子法（Hestenes, Powell）提出

惩罚函数法算法

惩罚函数法算法

x L(x, k , v k ) f (xk ) v (jk ) k h j (xk ) h j (xk ) 0
j 1
l
v(jk 1) v(jk ) k h j (xk ), j 1, 2,
,l
转化求解法（二）：增广乘子法
等式约束下的增广乘子法 Step1 选取初始数据。给定初始点 x 0 ，初始乘子 λ1 ，初始罚因子 1 0 ，放 大系数 1 ，允许误差 0 ，参数 (0, 1)，令 k 1 。
利用序列无约束极小化方法（SUMT）
min G(x, rk ) f (x) rk B(x) s.t. x int S
转化求解法（一）：罚函数法
内罚函数法
Step1 选取初始数据。给定初始点 x0 int S ，初始参数
(0,1)
允许误差
0 ，令 k 1
1 0 ，缩小系数
,m ,l
(1)
其中
f (x) ，gi (x)(i 1, 2,
, m) 和 h j (x)( j 1, 2,
, l)
都是定义在
min s.t.
R n 上的实值函数。记问题（1）的可行域为 S
,m ,l
。
f ( x) gi (x) 0, i 1, 2, h j (x) 0, j 1, 2,
基本是想
把罚函数与Lagrange函数结合起来，构造出更合适的新目标函数， 使得在罚因子适当大的情况下，借助于Lagrange乘子就能逐步达 到原约束问题的最优解。 由于这种方法要借助于Lagrange乘子的迭代进行求解 而又区别于经典的Lagrange乘子法，故称为广义乘子法。

优化设计5惩罚函数法

优化设计5惩罚函数法

优化设计5惩罚函数法优化设计中的惩罚函数法是一种常用的优化算法，它通过引入惩罚函数来处理约束条件，将约束条件融入到优化问题的目标函数中，从而使得优化问题变为一个无约束问题。

使用惩罚函数法进行优化设计的主要优势是可以将多个约束条件同时处理，并且易于实现。

下面，我将具体介绍如何优化设计5惩罚函数法。

优化设计中常见的约束条件包括等式约束和不等式约束。

对于等式约束，可以使用拉格朗日乘子法进行处理；而对于不等式约束，可以使用惩罚函数法进行处理。

1.等式约束的处理对于等式约束，约束条件可以表示为g(x)=0，其中g(x)是一个与设计变量x相关的函数。

拉格朗日乘子法的主要思想是在目标函数中引入一个乘子项，将等式约束转化为一个无约束问题。

设目标函数为f(x)，则引入拉格朗日乘子l，构建拉格朗日函数L(x,l)=f(x)+l*g(x)。

优化问题可以被重新定义为求解最小化目标函数L(x,l)的优化问题。

2.不等式约束的处理对于不等式约束，约束条件可以表示为h(x)≤0，其中h(x)是一个与设计变量x相关的函数。

惩罚函数法主要思想是通过将不等式约束条件融入到目标函数中，引入一个惩罚项来处理不等式约束。

设目标函数为f(x)，引入一个惩罚函数P(x)来表示不等式约束的违背程度，构建目标函数为F(x)=f(x)+λ*P(x)，其中λ为惩罚参数。

当不满足不等式约束时，惩罚函数P(x)为正数；当满足不等式约束时，惩罚函数P(x)为零。

最终的优化问题即为求解最小化目标函数F(x)的优化问题。

3.多个约束条件的处理当存在多个约束条件时，可以将每个约束条件分别用惩罚函数进行处理，然后将所有的惩罚函数相加构建最终的目标函数。

设存在m个约束条件，每个约束条件为hi(x) ≤ 0，其中i = 1,2, ..., m。

引入一个惩罚函数Pi(x)来表示第i个约束条件的违背程度，构建目标函数为F(x) = f(x) + λ * ΣPi(x)，其中λ为惩罚参数。

惩罚函数法

惩罚函数法
x∈ R n j =1 m
得到极小点为 x * (λ k )，记为 x k +1 .
step 3 ： , 如果 x * ( λ k ) ∈ D ,即 g j ( x * (λ k )) ≥ ε（j = 1,2,L , m ） 就是问题（ 的最优解， 则 x * (λ k） 就是问题（ A）：min f ( x ) 的最优解， stop;
if x ≥ 2 if x < 2
dϕ k ( x ) 可得： 由 = 0 可得： dx 2 （x − 1） 2λ k ( x − 2) = 0 +
1 + 2λ k 所以 x = x ( λ k ) = ∉D 1 + λk
k *
的最优解。 这就是对于固定的 λ k，问题 min ϕ k ( x )的最优解。
x∈ D
否则转 step 4.
step 4 ： 给定 λ k +1 > λ k（可取 λ k + 1 = αλ k 这里 α > 1 为惩罚 因子的放大系数） 因子的放大系数）, k := k + 1, 转 step 2.
（4）应注意的问题
(a) 在step 2中， 可用无约束优化问题的 算法求解 min ϕ k ( x ) = f ( x ) + λ k p( x ) n
( 3) 算法分析
考虑如下优化问题： 考虑如下优化问题： min f ( x ) s .t . g i ( x ) ≥ 0 , i = 1,L，m
转化为无约束优化问题 : minψ k ( x ) = f ( x ) + µ k q( x )
x∈ R n
µ1 > µ2 > L > µk ↓ 0

乘子(罚函数)法

乘子(罚函数)法

4、乘子法的理论分析
min f (x)
s.t. hj (x) 0, j 1, 2, ,l
其中h(x)=(h1(x),···,hl(x))T, 目标函数和约束函数二次 连续可微.
设 ∈Rl 为乘子向量, 则上面问题的Lagrange 函数为
L(x, ) f (x) - T h(x), 对任意的 x*∈D, 有
l
| hj (x) |2
j 1
求解原问题转化为求解一系列的无约束问题
min P(x, rk) (rk → 0+)
由于增广目标函数的 Hesse 阵 ▽2P(x, σ) 和 ▽2B(x, r) 的条件数随 σ 增大和 r 的减小而变大，会造成求解系列 无约束优化问题的困难：
为使无约束优化的解接近于原约束优化的解，选择的 罚因子 σ 和 r 应该充分大或充分小，但是，这时对应的 无约束优化问题的目标函数接近于“病态”.
i 1
j 1
P(x) 称为罚函数, > 0 称为罚因子.
( 1, 1)
求解原问题转化为求解一系列的无约束问题
min P(x, k) ( k → + ∞)
I1 i gi(x0) 0, i 1,2, ,m
内外混合罚函数法：
I2 i gi(x0) 0, i 1,2, ,m
L( x* , * ) f ( x* ) - *T h( x* ) f ( x* )
f ( x) - *T h( x) L( x, * )
min f (x)
s.t. hj (x) 0, j 1, 2, ,l
因此, 原约束问题等价于下面的约束问题
min L(x,*)
s.t. hj (x) 0, j 1, 2, ,l

数值最优化方法-罚函数方法

数值最优化方法-罚函数方法
由上面的引理， P ( xk , k ) 单调上升，并且根据上面的 P( xk , k ) p0 。 式子 P ( x , ) 有上界，所以，
k k
根据引理，我们还知道 f ( xk ) 单调增加，并且
f ( x k ) P ( x k , k ) f ( x * )
（4.1.3）
惩罚项所具有的性质应该怎么样呢？ 怎么取呢？
想一想 有没有其他形式的惩罚项。
6
一般约束优化问题
min f ( x ) s.t. ci ( x) 0
ci ( x) 0 i I l 1,2,, m
i E 1,2, , l
怎么构造罚函数？
~ P x, f ( x) P x l m ~ P x ci ( x ) min0, ci ( x )
得到 以 xk 为 近 似 最 优 解 ， 停 止 。 否 则 ， 令
~ minP x, k f ( x) k P x
k 1 c k , k k 1 ，转 Step 2。
那么这类方法是否能收敛呢？？
13
~ minP x, k f ( x) k P x
2 2 min f x1 , x2 x1 x2 s.t. x1 x 2 2 0
其中的 表示很大的正数。
2 2 P x1 , x 2 , x1 x 2 x1 x 2 2


2
2 x1 x 2 2 1
当 时， x1 x 2 1 即无约束优化问题最优解的极限为原问题的解。
14
证明 (1)因为 xk 是 P ( x , k ) 的极小点，且 k 1 k ，故

最优化方法-罚函数法

最优化方法-罚函数法
������(1)= −0.2,0.4 ，������ ������(1), ������1 = 0.32 ������ = 1，������1=10 以������(1)为出发点，可求得������ ������, ������1 的极小点为
������(2)= 0.32,0.625 ，������ ������(2), ������1 = 1.5237
22:06
2.罚函数的基本原理
F(x)的等价表达式： ������ ������, ������ = ������ + ������[max 0, −������ + 2 ]2
其中，μ是一个充分大的数。 记 ������ ������ = [max 0, −������ + 2 ]2
通常把������������ ������ 称为罚函数（Penalty Function），记为 P ������, ������ = ������������ ������
2������1 + 2 + ������ = 0
令൞���������′���2 = 0 即ቐ
4������2+������ = 0
���������′��� = 0
������1 + ������2 − 1 = 0
解得������∗ = ������ , ������ , ������ ������∗ ≈ ������. ������������������������
利用图解法不难看出，原问题的约束极小点正是������∗ = 2.
22:06
2.罚函数的基本原理
约束极小化的一般问题为
������������������������ ������

混合惩罚函数法5

混合惩罚函数法5

查找原因,数学模型是否有误,选择其它优 化方法重新计算. 3)优化结果是否合理:
优化所得的结果一般只能认为是局部最优 解,并一定是全局最优解,处理方法:一是选几个 初始点进行试计算或选用不同的优化方法进行 试计算,从所得各个最优解中筛选出最佳的结果 作为最优解,这时虽然还不能确定为全局最优解, 但能肯定是几个局部最优解最佳的结果. 4)设计变量的处理:
初始点x 惩罚因子初始值 r ( 0 )均可参考内点 法选取。 计算步骤及程序框图与内点法相近。 混合罚函数综合了内外罚函数法的特点及长 处，因而应用非常广泛。 （1）先在可行域内选择一个严格满足所有不等
(0)
式约束的初始点 x 选择适当的惩罚因子初始值
0
r ，通常可取 r ( 0 ) =1
功效函数法适用于: 目标函数既不是愈大愈好,也不是愈小愈好 的情况. 此法将一多目标函数最优化问题中的全 部q个目标分为: 目标函数愈小愈好的所谓基用类(材料,工时,成 本,重量等) 目标函数值愈大愈好的所谓效益类(产量,产值, 利润,效益等) 则:统一目标函数可取

f
j 1 q j s 1
st . g j ( x) 0

( j 1,
2 m)
此解,即为多目标问题的最优解
关键是:确定加权因子,如何选择这些加数 因子是一个比较复杂的问题,至今在理论 上尚未得到完善的解决.加权因子由设计 者选定。
②目标规划法:
基本思想:先求出各分目标函数的最优值
*
f j (x )
根据多 目标优化设计的总体要求
*
g u x

2

m (k )
f (x ,
r
(k )
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收敛于
称为SUMT方法 基本步骤：
序列无约束极小化方法
1.3. 外点法收敛性
定理2： 的最优解。
定理3：
2. 内点罚函数法
2.1 思想：从内点出发，保持在可行域内部进行搜索。
只适用于不等式约束问题
两种形式：
原始问题的解
2.2 r如何取值？
r太大，问题的解不精确
计算步骤：
∆例题：
解得：
2.3. 收敛性
例：乘子法求解：
3.3. 不等式约束的乘子法
转化为
等式
定义增广Lagrange函数。
求得原问题的解
用配方法整理则有：
增广Lagrange函数变为
一般问题
例题：
则
作业：
1. 阅读MATLAB中optimization toolbox 中的Quasi-Newton Method 和 Least-Squares Method 算法，用Lsqnonlin（）函数 求解
定理：问题
∆ 外点法 内点法
应用序列无约束极小化方法，简单
增大
成为病态矩阵 无法求解
3. 乘子法（Hestenes, Powell）提出
3.1. 基本思想： ⑴ 等式约束问题：
其中： ，
Lagrange函数 罚函数
的局部最优解，且满足二阶充分条件，
的局部最优解 计算步骤（等式约束）
2.
阅读MATLAB中有约束优化函数 fmincon( ) 并编程求解
课堂练习：
外点法求解
惩罚函数法
有约束最优化：
可行域
定义：局部极小点，局部严格极小点
一阶条件（必要条件）
二阶条件（必要条件）
惩罚函数法 可行方向法，二次规划
1. 外点罚函数法
1.1 罚函数概念
a 对于等式约束： 对于线性约束可 消元处理
第2项很大
很大的正数
b. 不等式约束
转化为
罚回来
c.一般情况：
过大，计算困难 太小，远离约束问题的最优解