- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对于任何一个无穷次可 微的函数 f (t ), 如果满足
(t ) f (t )dt lim (t ) f (t )dt ,
0
0, t 0 1 其中 (t ) , 0 t 0. t
则称 (t )的弱极限为 函数
2 , t 0 sin t d 0, t0 0 , t 0 2 则 当t 0时,
1 1 1, t 0 1 1 sin t 2 2 f (t ) dt 2 0 1 1 ( ) 0, t 0 2 2
0
所以，
(t ) f (t )dt f (0).
更一般地有， (t t0 ) f (t )dt f (t0 ).
2.函数是偶函数 ,即 (t ) (t );
3.
t
d 0, t 0 ( )d H (t ), H (t ) (t ),其中 H (t ) dt 1, t 0
0
lim
0 0
1
f (t )dt lim
0
1
0
f (t )dt ,
由于 f (t )是无穷次可微函数 , 显然 f (t )是连续函数 , 按积分中值定理 , 有,
(t ) f (t )dt lim
0
1
0
f (t )dt lim f ( ) (0 1).
可见, 单位脉冲函数 (t )与常数 1构成了一个 Fourier 变换对
同理, (t t0 )和eit0 也构成了一个 Fourier变换对
注意：这时的广义积分不是普通意义下的积分值，δ 函数的Fourier变换是一种广义的Fourier变换.
0, t 0 例 证明单位阶跃函数 u (t ) 的Fourier变换 1, t 0 1 为 ( ). i
令 即
w (t ) 因
d[ (t )] ' (t )dt
1 1 dt d [ (t )] dw ' (t ) ' (t )
时， (ti ) (ti ) 时， (ti ) (ti )
又由于 ' (t ) 0
1 这就表明 ( )的Fourier逆变换为 f (t ) u (t ) i
一些常见函数的广义Fourier变换: 1 1.u( t )和 ( )构成一个Fourier 变换对. i
u( t )的积分表达式在 t 0时，可写为
1 1 u( t ) 2
解 由Fourier变换公式，有
F ( ) F [ f (t )]
f (t )e
it
dt sin 0 te it dt
e i 0t e i 0t i t e dt 2i
i ( 0 ) t
1 2i
e
记为 (t ),即
(t ) (t ), 或简记为 lim (t ) (t ).
0 0
弱
这表明δ–函数可以看成一个普通函数序列的弱极限 .
1
(t )
(t )
1
O
t
O
t
对任何 0, 显然有
工程上常将δ函数称为单位脉冲函数.有时将δ函 数用一个长度等于1的有向线段表示， 线段的长度 表示δ函数的积分值称为δ函数的强度.
所以,当t 0时, i (t ) 0;当t 0时,由于 q (t )是不连续的， 从而在普通导数的意义 下， q (t )在这一点导数不存在， 如果我们从形式上计算 这个导数，则得
dq( t ) q(0 t ) q(0) 1 i( t ) lim lim . t 0 t 0 t dt t
另外的例子
在原来电流为零的电路 中，某一瞬时 ( 设为 t 0) 进入一单位电量的脉冲 , 现在要确定电路上的电 流强度 i (t ).
以q(t )表示上述电路中到时刻 t为止通过导体截面的 电荷函数 (即累积电量 ), 则 0, t 0 q(t ) 1, t 0
由于电流强度是电荷函 数对时间的变化率，即 dq(t ) q(t t ) q(t ) i (t ) lim t 0 dt t
证明:
根据δ函数的定义
0, (t ) 0 [ (t )] , (t ) 0
即
0, t ti [ (t )] , t ti
现将全部积分区间分成若干间隔，使每一间隔 [ti , ti ] ( 0) 含有一个 (t ) 0 的单根，则对于任意的连续函 数有
' (t ) 0
ti
( ti ) 1 1 所以有 [ (t )]dt ( w)dw t i ( t i ) ' ( ) ' ( t ) i k
于是
k i 1
f (t ) [ (t )]dt
i 1
i i
i 1
k f (ti ) t (t ti ) f (t ) dt f (t ) [ (t )]dt t i 1 ' (t i ) i 1 ' (ti )
k
i i
f (ti ) ' (ti )
比较上述二式，得
1 δ函数的引入
设在x轴上有一金属线，则在任意点处金属线的密度为
m ( x) lim x0 x
若取金属线的总质量为1，且集中分布在x=0处，则
( x ) 0, x 0 ( x ) , x 0 ( x)dx 1
ut 2 u 0
§5.1
函数
物理和工程技术中，许多物理现象具有脉冲性 如集中在一点的质量分布、电荷分布等问题（即质点、 点电荷的概念）力学中集中作用在一点的力所产生的压 强、热学中的点热源，以及在电路中出现的瞬时电流、 瞬时电压等 。 它们不在某一空间范围内出现，也不在某一时间间隔内 出现，而只是在某一空间点，或某一瞬时才出现。 研究这类现象产生的问题都要涉及到下面介绍的δ函数
格林函数的定义
• 格林函数的定义： 一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生 的场。 • 如
G (r r0 )
• 格林函数 数 • 应用 格林函数
e i (
0
)t
dt
1 2 ( 0 ) 2 ( 0 ) 2i i ( 0 ) ( 0 )
§5.2 泊松方程的边值问题
• 泊松方程的基本解 • 第一边值问题 • 第二边值问题 • 第三边值问题 • 拉普拉斯方程的解
(t ti ) [ (t )] ' (ti ) i 1
k
根据δ–函数的筛选性质和Fourier变换的定义， 容易 求出δ–函数的Fourier变换.
F () F[ (t )] (t )eit dt eit
t 0
1
第五章 格林函数法
Method of Green function
数理方程分类
无源：拉普拉斯方程 u 0
稳定态
有源：泊松方程 有源
u h(M )
格林函数法
utt 2 u f (r, t )
ut 2 u f (r, t )
与时间
有关
无源
utt 2 u 0
sin t
0
dt
2.1和2 ( )构成一个 Fourier变换对.
3.e i0t 和2 ( 0 )构成一个 Fourier变换对.
e
it
dt 2 ( ).
Байду номын сангаас
e i ( 0 ) t dt 2 ( 0 ).
例 求正弦函数 f (t ) sin 0t的Fourier变换.
称为单位阶跃函数；
4.若f (t )为无穷次可微的函数， 则有
(t ) f (t )dt f (0).
( n ) (t ) f (t )dt (1)n f ( n ) (0).
一般地，有
5.根据δ–函数的定义， 容易得出宗量为函数的δ函 数的性质 k (t ti ) [ (t )] 其中 ti为 (t ) 0的单根 i 1 ' (ti )
f (t ) [ (t )]dt
i 1
k
k
ti
t i
f (t ) [ (t )]dt
ti
f ( )
i 1
t i
[ (t )]dt
最后一步用了中值定理，其中 ti i ti ]
当
0时， i ti
证
1 事实上，若 F ( ) ( ), 则由 Fourier逆变换 i 可得
1 f ( t ) F [ F ( )] 2
1
F ( )e it d
1 1 [ ( )]e it d 2 i it 1 1 e i t ( )e d d 2 2 i 1 1 sin t i t ( )e d d 2 2 1 1 sin t d 2 0 sin 利用Dirichlet积分 d 有 2 0
ti
f (t ) [ (t )]dt
ti
f ( )
ti
[ (t )]dt
ti
k i 1
f (t i )
' (t i )
另外
k
k t (t ti ) (t ti ) f (t ) dt f (t ) dt t ' (ti ) ' (ti ) i 1 i 1 k
显然，上例中的电流强度无法用一个普通函数来表示，为 了确定这类工程中常见的函数，必须引入广义函数, 简记为 δ–函数.
0, t 0 (t ) , t 0 (t ) dt 1
有了这种函数，对于许多集中于一点或一瞬时的量， 例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术 中非常窄的脉冲等，都能够像处理连续分布的量那样， 以统一的方式加以解决. 从数学上弄清δ–函数的定义，要涉及到广义函 数的知识。为方便起见，我们可把δ–函数看作是弱 收敛函数序列的弱极限.
称满足此种关系的函数 为函数
0, x 0 0, x x0 ( x) ( x x0 ) 即 , x 0 更一般的 , x x0 ( x)dx 1 ( x x )dx 1 0
0
(t )dt
1
dt 1.
2
函数的性质：
1.筛选性质 由δ–函数的定义，可以推出δ–函数 的一个重要结果，称为δ–函数的筛选性质:
若f (t )为无穷次可微的函数， 则有
( t ) f ( t )dt f (0).
事实上， (t ) f (t )dt lim (t ) f (t )dt
