数字逻辑电路逻辑函数及其简化-精

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2.4 逻辑函数及其表示方法
2.4 .1逻辑函数
逻辑函数的定义 实际的逻辑问题描述
2.4 .2逻辑函数的表示方法
逻辑真值表
逻辑函数式
逻辑图
各种表示方法间的互相转换
2.4 .3逻辑函数的两种标准形式
最小项
最小项表达形式
最大项
最大项表达形式
电子技术基础精品课程——数字电子技术基础
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2.4.1 逻辑函数
例如 : L ( A B )( A C)，则其对偶式为 L' AB AC
如恒等式( A B )( A C ) A BC成立, 则其对偶式为AB AC A( B C )也成立。 例如：1 A A,0 A 0成立。 则其对偶式为0 A A,1 A 1也成立。
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一、(逻辑)真值表 利用表格的形式罗列逻辑函数输入变量的所有可能取值及输
出变量之间的一一对应的数值关系的一种数值表。
输入
例如：举重裁判电路
A
B
C
的真值表
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
输出 Y 0 0 0 0 0 1 ABC 1 ABC 1 ABC
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二、逻辑函数式 把输出与输入变量的关系写成与，或、非等运算的组合关
系式.
例如： Y AB AC
Y F ( A, B, C)
Y A( B C )
ABC ABC ABC

101
0
110
0
1 2020/8/14 1 1
1
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练习：三变量表决逻辑真值表填入卡诺图
ABC
Y
000
0
001
0
010
0
011
1
100
0
101
1
110
1
111
1
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（2）从最小项表达式画卡诺图 把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填
入1，其余的小方块中填入0。
例4： 画出函数Y(A、B、C、D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15) 的卡诺图。
① 无关项的概念
对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可 以是任意的(随意项、任意项)，或者这些输入变量的 取值根本不会（也不允许）出现(约束项)，通常把这 些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项， 在卡诺图中用符号“×”表示，在标准与或表达式中用 ∑d（ ）表示。
例：当8421BCD码作为输入变量时，禁止码1010～ 1111这六种状态所对应的最小项就是无关项。
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
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12
不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
复习：
真值表--逻辑表达式（化简）--逻辑电路图
例：三变量表决逻辑 Y=？ 逻辑图？
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AB C ABC ABC
Y ( A, B, C ) m3 m6 m7 或： m (3,6,7)
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项 的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那 一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进 制数，就是该最小项的编号。
三变量最小项的编号表
2、最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是唯一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例13 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。 解： Y AB BC AB (C C ) ( A A) BC
或：
Y AB AB A
代入规则
2、吸收法 利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。 例6 化简函数 解：
Y A B A B CD( E F )
Y A B A B CD( E F ) AB
例7 化简函数
Y ABD C D ABC D( E F EF )
第四节
逻辑函数的卡诺图化简法
用代数法化简逻辑函数，需要依赖经验和技巧，有 些复杂函数还不容易求得最简形式。下面介绍的卡 诺图化简法，是一种更加系统并有统一规则可循的 逻辑函数化简法。 一、最小项及最小项表达式 1、最小项 设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项： ①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是 它的一个因子； ②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、 B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。
归纳简化任意逻辑函数的方法：
(1) A AB A （吸收法） AB AC BC AB AC (2) A AB A B （消去法） （3）AB AB A （并项法） （4）A A A A A 1 （配项法）

由逻辑电路图
函数表达式
A B
写出如图所示逻辑图的函数表达式
C
解
L ABBC AC
&
1
≥1 L
&
1
&
&
≥1 L
&
逻辑函数F(A1 ，A2，…An)和逻辑函数G(A1，A2，…An)，如果 对应于输入变量A1，A2，…An的任一组状态组合，函数F和G的 值都相同，则称F和G是相等的。
“ 相等” 的意义下：
ABC m0 ABC m3
（2）最小项的性质：
A
① n 变量函数的所有最小项（2n个）之和 0
为1；
0
0
② 相同变量的任意两个最小项mi 和mj 之积
0 1
为0（i ≠ j）；
1
③ n 变量最小项有n 个“ 逻辑相邻”最小 1
项。
1
（逻辑相邻项：两个最小项仅有一个变量互补）
3变量最小项
B
C
0
对于逻辑函数：F ABC ABC ABC ABC
可以简写成： F A, B,C m7 m6 m3 m1
或写成：
F A, B,C m 1,3,6,7
最大项表达式
（1）最大项概念：
对于输入变量的任一种组合，都可以 用包含所有变量的一个和项（或项）来表 示，表示时每个变量以原变量或反变量的 形式出现，则这样的和项称为n变量逻辑 函数的最大项。
解 该函数有两个变量，有4种可能的
AB
P
取值组合，将他们按组合顺序排列
00
1
起来，根据表达式计算出对应输出
01
0
10
0
变量的取值，即得真值表。