1.2.3 简单复合函数的导数

5.2.3 简单复合函数的导数 学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．

知识点 复合函数的导数

1．复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

思考 函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？

答案 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．

2．复合函数的求导法则

一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．

1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．( √ )

2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.( × )

3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.( √ )

一、求复合函数的导数

例1 求下列函数的导数：

(1)y＝11－3x4；

(2)y＝cos(x2)；

(3)y＝log2(2x＋1)；

(4)y＝e3x＋2.

解 (1)令u＝1－3x，则y＝1u4＝u－4，

所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.

所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝121－3x5.

(2)令u＝x2，则y＝cos u，

所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2).

(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，

则yx′＝yu′ux′＝2uln 2＝22x＋1ln 2.

(4)设y＝eu，u＝3x＋2，

则yx′＝(eu)′·(3x＋2)′

＝3eu＝3e3x＋2.

反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤

简单复合函数的求导法则

复合函数的求导是微积分中的重要概念之一，常用于解决实际问题中的导数计算。在本文中，将介绍简单复合函数和复合函数的求导法则，以及一些例题的解答。

简单复合函数指的是由一个基本函数和一个简单函数复合而成的函数。例如，如果有一个函数y=f(u)和另一个函数u=g(x)，那么可以通过将这两个函数进行复合得到一个新的函数y=f(g(x))。我们可以使用链式法则来计算这个复合函数的导数。

链式法则是求导中最基本的方法之一，它可以帮助我们计算复合函数的导数。链式法则的表达式为：

(dy/dx) = (dy/du)*(du/dx) 或者 f'(g(x))=f'(u)*g'(x)

其中，dy/dx表示函数y关于x的导数，dy/du表示函数y关于u的导数，du/dx表示函数u关于x的导数。

举个例子，如果y=sin(3x)和u=3x，那么我们可以将它们复合为y=sin(u)，然后利用链式法则求导。首先通过求导公式得到dy/du=cos(u)，然后通过将du/dx代入得到dy/dx=cos(u)*3、因此，我们得出了函数y=sin(3x)的导数为dy/dx=3*cos(3x)。

复合函数指的是由两个以上的函数复合而成的函数。与简单复合函数不同，复合函数的求导需要使用多次链式法则来计算。下面是一些常见的复合函数求导法则：

1.和法则 如果一个函数可以表示为两个函数之和的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。即，如果y=f(x)+g(x)，那么dy/dx=f'(x)+g'(x)。

比如，对于函数y=x^2+3x，我们可以将其分解为f(x)=x^2和g(x)=3x两个函数的和。然后分别求导得到f'(x)=2x和g'(x)=3、最后，将两个导数相加得到dy/dx=2x+3

2.差法则

如果一个函数可以表示为两个函数之差的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。即，如果y=f(x)-g(x)，那么dy/dx=f'(x)-g'(x)。

5.2.3简单复合函数的导数

要点一 复合函数的定义

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))

要点二 复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，即若y＝f(g(x))，则y′＝[f(g(x))]′＝f′(g(x))·g′(x)

【重点小结】

(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．

(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)．

【基础自测】

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝log3(x＋1)是由y＝log3t及t＝x＋1两个函数复合而成的．( )

(2)函数f(x)＝e－x的导数是f′(x)＝e－x.( )

(3)函数f(x)＝ln (1－x)的导数是f′(x)＝11－x.( )

(4)函数f(x)＝sin 2x的导数是f′(x)＝2 cos 2x.( )

【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√

2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是( )

A．y＝ln (x－2) B．y＝ln x＋x－2

C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x

【答案】AD

【解析】函数y＝ln(x－2)是由函数y＝ln u和u＝g(x)＝x－2复合而成的，A符合；函数y＝ln 2x是由函数y＝ln u和u＝2x复合而成的，D符合，B与C不符合复合函数的定义．故选AD.

3．若函数f(x)＝3cos(2x＋π3)，则f′(π2)等于( )

简单复合函数的导数

函数的导数是用来衡量函数的变化率的工具。在数学中，函数可以通过复合的形式进行组合，而复合函数的导数是指复合函数的导数。简单复合函数的导数是指由两个简单函数相互组合而成的函数的导数。

假设我们有两个简单函数f(x)和g(x)，它们的导数分别是f'(x)和g'(x)，我们可以通过将这两个函数进行组合来得到一个复合函数h(x)=f(g(x))。我们希望求解复合函数h(x)的导数h'(x)。

为了求解复合函数的导数，我们可以使用链式法则。链式法则指出，如果y=f(u)和u=g(x)是两个函数关系，那么y'=f'(u)*g'(x)。也就是说，复合函数的导数等于内函数的导数乘以外函数对内函数的导数。

以下是一个简单的例子来说明如何求解复合函数的导数：

假设我们有两个简单函数f(x)=2x和g(x)=x^2，我们希望求解复合函数h(x)=f(g(x))的导数。

首先，我们计算f(g(x))的值：

h(x)=f(g(x))=f(x^2)=2(x^2)=2x^2

然后，我们计算h(x)对x的导数：

h'(x) = d/dx(2x^2) = 4x

所以，复合函数h(x)=f(g(x))的导数为h'(x)=4x。

总结来说，求解简单复合函数的导数可以使用链式法则。我们首先计算复合函数的值，然后计算复合函数对自变量的导数。根据链式法则，我们将内函数的导数乘以外函数对内函数的导数，从而得到复合函数的导数。 在实际应用中，简单复合函数的导数非常重要。例如，在微积分中，我们经常需要求解复杂函数的导数，而这些函数通常可以通过简单函数的复合形式表示。求解复合函数的导数可以帮助我们更好地理解函数的变化率，并在求解实际问题时提供有用的信息。

希望这篇文章能够帮助你理解简单复合函数的导数。如果你对其他数学问题有兴趣，欢迎继续提问。