高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.3 简单复合函数的导数习题 苏教版选修2-2

1．2.3简单复合函数的导数学习目标 1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1这三个函数都是复合函数吗？思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？思考3试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．类型一 复合函数的概念例1 下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的？(1)y ＝(2－x 2)3；(2)y ＝sin x 2；(3)y ＝cos(π4－x )； (4)y ＝ln sin(3x －1)．反思与感悟 根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数．跟踪训练1 写出由下列函数复合而成的函数．(1)y ＝cos u ，u ＝1＋x 2；(2)y ＝ln u ，u ＝ln x .类型二 求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝32x －1；(2)y ＝1(2x ＋1)4； (3)y ＝5log 3(1－x )；(4)y ＝x 2cos(2x －π3)．跟踪训练2 (1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝ .(2)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝ . (3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝ . 类型三 复合函数导数的综合应用例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线方程．反思与感悟 (1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．跟踪训练3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切．求a ，b 的值．1．函数y ＝sin 3x 是由函数 复合而成的．2．设f (x )＝e －x 则f ′(x )＝ .3．函数y ＝(1－2x )4在x ＝12处的导数为 ． 4．过曲线y ＝11＋x 2上一点，使曲线在该点的切线平行于x 轴，求切线方程．1．复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．提醒：完成作业 1.2.3答案精析问题导学知识点思考1 函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数． 思考2 设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5，经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．思考3 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. x 的函数 f (g (x )) y ′u ·u ′x y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积题型探究例1 解 (1)y ＝(2－x 2)3是由y ＝u 3及u ＝2－x 2复合而成．(2)y ＝sin x 2是由y ＝sin t 及t ＝x 2复合而成．(3)y ＝cos(π4－x )是由y ＝cos u 及u ＝π4－x 复合而成． (4)y ＝ln sin(3x －1)是由y ＝ln u ，u ＝sin t 及t ＝3x －1复合而成．跟踪训练1 解 (1)y ＝cos(1＋x 2)．(2)y ＝ln(ln x )．例2 解 (1)函数y ＝32x －1看作函数y ＝3u 与函数u ＝2x －1的复合，∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝(3u )′·(2x －1)′＝(2ln 3)·3u ＝2·32x －1·ln 3.(2)y ＝1(2x ＋1)4＝(2x ＋1)－4，函数y ＝1(2x ＋1)4看作函数y ＝u －4与u ＝2x ＋1的复合． y ′＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(2x ＋1)′＝－4u －5×2＝－8(2x ＋1)－5＝－8(2x ＋1)5. (3)函数y ＝5log 3(1－x )看作函数y ＝5log 3u 与函数u ＝1－x 的复合．y ′＝y ′u ·u x ′＝(5log 3u )′(1－x )′＝5u ln 3×(－1)＝5(ln 3)(x －1). (4)函数t ＝cos(2x －π3)看作函数t ＝cos u 与u ＝2x －π3的复合． ∴[cos(2x －π3)]′＝(cos u )′(2x －π3)′ ＝－2sin u ＝－2sin(2x －π3)，∴y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π3)]′ ＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π3)． 跟踪训练2 (1)1 (2)1－ln 3e(3)3sin 2x cos x －3sin 3x例3 解 y ′＝[(x 2－3x )－12]′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)， ∴y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线斜率为k ＝y ′| x ＝4＝－12×(42－3×4)－32×(2×4－3)＝－516， ∴切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 跟踪训练3 解 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32，∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32，∴a ＝0. 达标检测1．y ＝u 3及u ＝sin x 2.－e －x 3.04．解 设切点的坐标为(x 0，y 0)，因为过点(x 0，y 0)的切线平行于x 轴，于是k ＝0，由导数几何意义知k ＝f ′(x 0)＝－2x 0(1＋x 20)2＝0，所以x 0＝0.又因为点(x 0，y 0)在曲线y ＝11＋x 2上，将x 0＝0代入得y 0＝1.故切点坐标为(0,1)，切线方程为y －1＝0.。

1.2.3　简单复合函数的导数明目标、知重点　1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．探究点一　复合函数的定义思考1　观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答　y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数，所以y＝ln(x＋2)称为复合函数．思考2　对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答　复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．思考3　在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答　A⊆B.小结　要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例1　指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.解　(1)y ＝(3＋5x )2是由函数y ＝u 2，u ＝3＋5x 复合而成的；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u ，u ＝x 2－2x ＋5复合而成的；(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．反思与感悟　分析函数的复合过程主要是设出中间变量u ，分别找出y 和u 的函数关系，u 和x 的函数关系．跟踪训练1　指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y ＝ln ；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝cos (x ＋1)．x 3解　(1)y ＝ln u ，u ＝；x (2)y ＝e u ，u ＝sin x ；(3)y ＝cos u ，u ＝x ＋1.3探究点二　复合函数的导数思考　如何求复合函数的导数？答　对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．例 2　求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝；11－2x (3)y ＝sin(－2x ＋)；(4)y ＝102x ＋3.π3解　(1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3；(2)y ＝＝(1－2x )－可看作y ＝u －，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－11－2x 1212)u －·(－2)＝(1－2x )－＝；1232321(1－2x )1－2x (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋的复合函数，π3则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋)π3＝－2cos(2x －)；π3(4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝10u ·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.反思与感悟　分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2　求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)．解　(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看成函数y ＝u 2，u ＝2x ＋3的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(2x ＋3)′＝2u ·2＝4(2x ＋3)＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看成函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05 e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看成函数y ＝sin u ，u ＝πx ＋φ的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(πx ＋φ)′＝cos u ·π＝πcos(πx ＋φ)．探究点三　复合函数导数的应用例 3　求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－，1)处的切线方程．12解　∵y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1，∴y ′|x ＝－＝2，12∴曲线y ＝e 2x ＋1在点(－，1)处的切线方程为12y －1＝2(x ＋)，12即2x －y ＋2＝0.反思与感悟　求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．跟踪训练3　曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为，求直线l 的2方程．解　设u ＝sin x ，则y ′＝(e sin x )′＝(e u )′(sin x )′.＝cos x e sin x .y ′|x ＝0＝1.则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝＝⇒c ＝3或c ＝－1.|c －1|22故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝(3x －2)2的导数y ′＝________.答案　18x －12解析　y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝6(3x －2)．2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′＝________.答案　sin 2x解析　y ′＝2sin x ·(sin x )′＝2sin x ·cos x ＝sin 2x .3．若f (x )＝sin(3x ＋)，则f ′()＝________.π4π4答案　－3解析　f ′(x )＝3cos(3x ＋)，π4∴f ′()＝－3.π44．(1)设函数f (x )＝e x －e －x ，证明：f (x )的导数f ′(x )≥2；(2)设函数f (x )＝x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1)，解不等式f ′(x )>g ′(x )．(1)证明　f ′(x )＝(e x －e －x )′＝e x ＋e －x ，因为e x >0，e －x >0，所以e x ＋e －x ≥2＝2，e x ·e －x 当且仅当e x ＝e －x ，即e 2x ＝1，x ＝0时，等号成立，所以f ′(x )≥2.(2)解　因为f ′(x )＝1＋，g ′(x )＝，1x －51x －1所以由f ′(x )>g ′(x )，得1＋>，1x －51x －1即>0，所以x >5或x <1.(x －3)2(x －5)(x －1)又两个函数的定义域为Error!，即x >5，所以不等式f ′(x )>g ′(x )的解集为(5，＋∞)．[呈重点、现规律]求简单复合函数f (ax ＋b )的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u＝ax ＋b 的形式是关键.一、基础过关1．函数y ＝的导数y ′＝________.1(3x －1)2答案　－6(3x －1)3解析　y ′＝[]′＝·(3x －1)′＝.1(3x －1)2－2(3x －1)3－6(3x －1)32．函数y ＝x 2cos 2x 的导数y ′＝________.答案　2x cos 2x －2x 2sin 2x解析　y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2·(－2sin 2x )＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .3．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.答案　1ln 3解析　∵f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝，1(x －1)ln 3∴f ′(2)＝.1ln 34．函数y ＝(2 015－8x )3的导数y ′＝________.答案　－24(2 015－8x )2解析　y ′＝3(2 015－8x )2×(2 015－8x )′＝3(2 015－8x )2×(－8)＝－24(2 015－8x )2.5．曲线y ＝cos(2x ＋)在x ＝处切线的斜率为______．π6π6答案　－2解析　∵y ′＝－2sin(2x ＋)，π6∴切线的斜率k ＝－2sin(2×＋)＝－2.π6π66．函数y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，则实数a 的值为________．答案　1解析　y ′＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x [2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax )．由y ′|x ＝2＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.7．求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋2x 2)8；(2)y ＝；11－x 2(3)y ＝sin 2x －cos 2x ；(4)y ＝cos x 2.解　(1)设y ＝u 8，u ＝1＋2x 2，∴y ′＝(u 8)′(1＋2x 2)′＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7·4x ＝32x (1＋2x 2)7.(2)设y ＝u －，u ＝1－x 2，12则y ′＝(u －)′(1－x 2)′＝(－u －)·(－2x )121232＝x (1－x 2)－.32(3)y ′＝(sin 2x －cos 2x )′＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝2sin(2x ＋)．2π4(4)设y ＝cos u ，u ＝x 2，则y ′＝(cos u )′·(x 2)′＝(－sin u )·2x ＝(－sin x 2)·2x ＝－2x sin x 2.二、能力提升8．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________答案　2解析　设直线y ＝x ＋1切曲线y ＝ln(x ＋a )于点(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )，又y ′＝，∴y ′|x ＝x 0＝＝1，1x ＋a 1x 0＋a 即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.9．曲线y ＝e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．12答案　e 2解析　∵y ′＝e x ·，∴y ′|x ＝4＝e 2.121212∴曲线在点(4，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －4)，12切线与坐标轴的交点分别是(0，－e 2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积S ＝|－e 2||2|＝e 2.1210．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案　1解析　f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.11．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．解　f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1.∴f ′(x )＝2ax －2＋＝，1x ＋12ax 2＋(2a －2)x －1x ＋1f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.12.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离S (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为S ＝S (t )＝5－.求函数在t ＝ s 时的导数，并解释它的实际意义．25－9t 2715解　函数S ＝5－可以看作函数S ＝5－和x ＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间25－9t 2x 变量．由导数公式表可得S x ′＝－x －，x t ′＝－18t .1212故由复合函数求导法则得S t ′＝S x ′·x t ′＝(－x －)·(－18t )＝，12129t25－9t 2将t ＝代入S ′(t )，得S ′()＝0.875 (m/s)．715715它表示当t ＝ s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.715三、探究与拓展13.曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为，求直线l 的方程．5解　y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设直线的方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得＝，5|b －1|5∴b ＝6或－4.∴直线l 的方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.。

1.2.3　简单复合函数的导数学习目标重点难点1．结合实例，理解复合函数的求导法则．2．会求简单复合函数的导数.重点：复合函数的求导法则．难点：复合函数的求导.1．复合函数由基本初等函数复合而成的函数，称为__________．2．复合函数的导数一般地，我们有：若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝________，即y ′x ＝________.y ′x ，y ′u 分别表示y 关于____的导数及y 关于____的导数．预习交流1做一做：函数y ＝(3x －4)2的导数是______．预习交流2做一做：函数y ＝cos 2x 的导数为______．预习交流3如何求复合函数的导数？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引1．复合函数2．y ′u ·u ′x y ′u ·a x u预习交流1：提示：令y ＝t 2，t ＝3x －4，则y ′＝(t 2)′·t ′x ＝2t ×3＝6t ＝18x －24.预习交流2：提示：∵y ＝cos t ，t ＝2x ，∴y ′＝y ′t ·t ′x＝－sint ×2＝－2sin 2x .预习交流3：提示：复合函数求导的主要步骤是：(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量；(2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．一、复合函数的导数求下列函数的导数：(1)f (x )＝(－2x ＋1)2；(2)f (x )＝ln(4x －1)；(3)f (x )＝23x ＋2；(4)f (x )＝；5x ＋4(5)f (x )＝sin；(3x ＋π6)(6)f (x )＝cos 2x .思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．1．若f (x )＝e －2x ，则f ′(0)的值等于__________．2．函数f (x )＝x 的导数为f ′(x )＝________.1＋x求复合函数的导数时要注意以下四点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y ＝sin 的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋，则(2x ＋π3)π3y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2cos u ＝2cos.(2x ＋π3)(4)复合函数的求导过程熟练后，中间步骤可省略，不写在试卷上，但应该在草纸上拆开求导，不可图省事导致错误．二、复合函数的应用已知f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________________________________________________________________________．思路分析：先由导数的几何意义，求出切线的斜率，再求切线方程．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为__________．对抽象函数f (2－x )求导应为f ′(2－x )·(2－x )′＝－f ′(2－x )，这是解决此类题目的关键．1．函数y ＝(e x ＋e －x )的导数是____________．122．函数y ＝的导数为______．1(1－2x )53．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝______.4．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为__________．5．求下列函数的导数：(1)y ＝5log 2(2x ＋1)；(2)y ＝cos ；(5π3－7x )(3)y ＝(2x －1)5.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．知识精华技能要领答案：活动与探究1：解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4.(2)设y ＝ln u ，u ＝4x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝·4＝.1u 44x －1(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝2u ln 2·3＝3ln 2·23x ＋2.(4)设y ＝，u ＝5x ＋4，u 则y ′＝y ′u ·u ′x ＝·5＝.12u 525x ＋4(5)设y ＝sin u ，u ＝3x ＋，π6则y ′＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·3＝3cos.(3x ＋π6)(6)方法1：设y ＝u 2，u ＝cos x ，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝2u ·(－sin x )＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x ；方法2：∵f (x )＝cos 2x ＝＝＋cos 2x ，1＋cos 2x 21212所以f ′(x )＝′＝0＋·(－sin 2x )·2＝－sin 2x .(12＋12cos 2x )12迁移与应用：1．－2　解析：∵f (x )＝e －2x ，∴f ′(x )＝(e －2x )′＝e －2x ·(－2x )′＝－2e －2x ，故f ′(0)＝－2.2．　解析：f ′(x )＝(x )′·＋x ·()′2＋3x 21＋x 1＋x 1＋x ＝＋x ··(1＋x )′1＋x 121＋x ＝＋＝ .1＋x x 21＋x 2＋3x21＋x 活动与探究2：2x －y －1＝0　解析：∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，∴f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，∴f ′(1)＝－2f ′(1)－2×1＋8,3f ′(1)＝6，∴切线斜率k ＝f ′(1)＝2.而f (1)＝2f (1)＋8－8－1，∴f (1)＝1.∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.迁移与应用：2　解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )，即x 0＋1＝ln(x 0＋a )．∵y ′＝，∴＝1，即x 0＋a ＝1，1x ＋a 1x 0＋a ∴x 0＋1＝ln 1＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.当堂检测1．(e x －e －x )　解析：y ′＝′＋′＝e x －e －x ＝(e x －e －x )．12(12e x )(12e －x )1212122．　解析：∵y ＝＝(1－2x )－5，设y ＝t －5，t ＝1－2x ，10(1－2x )61(1－2x )5∴y ′＝－5t －6×(－2)＝10t －6＝.10(1－2x )63．1　解析：设f (x )＝t 2，t ＝2x ＋a ，则f ′(x )＝2t ×2＝4t ＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝4(4＋a )＝20，∴a ＝1.4．　解析：∵y ′＝(－2x )′e －2x ＝－2e －2x ，k ＝－2e 0＝－2，13∴切线方程为y －2＝－2(x －0)，即y ＝－2x ＋2.如图所示，∵y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标为，y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐(23，23)标为(1,0)，∴S ＝×1×＝.1223135．解：(1)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝×2＝＝.5u ln 210u ln 210(2x ＋1)ln 2(2)设y ＝cos u ，u ＝－7x .5π3则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin .(5π3－7x )(3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.。

课后素养落实(三十四) 简单复合函数的导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．若f (x )＝e x ln 2x ，则f ′(x )＝( )A ．e x ln 2x ＋e x2x B ．e xln 2x －e x x C ．e xln 2x ＋e x x D ．2e x ·1x C [f ′(x )＝e x ln 2x ＋e x ×22x ＝e x ln 2x ＋e x x．] 2．已知函数f (x )＝2ln(3x )＋8x ，则lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx的值为( ) A ．10 B ．－10C ．－20D ．20 C [∵f (x )＝2ln(3x )＋8x ，∴f ′(x )＝63x ＋8＝8＋2x ．根据导数定义知lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx＝－2lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－20．故应选C ．] 3．已知f (x )＝ln x 2x，则f ′⎝⎛⎭⎫12＝( ) A ．－2－ln 2 B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2 D [依题意有f ′(x )＝1x ·2x －2·12x ·ln x 2x， 故f ′⎝⎛⎭⎫12＝2＋ln 21＝2＋ln 2，所以选D ．]4．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x ln x ＋1，则曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程为( )A ．y ＝－xB ．y ＝－x ＋2C ．y ＝xD ．y ＝x －2A [因为x ＜0，f (x )＝f (－x )＝－x ln(－x )＋1，f (－1)＝1，f ′(x )＝－ln(－x )－1，f ′(－1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程为y －1＝－(x ＋1)，即y ＝－x ．故选A ．]5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2B [设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln(x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2．]二、填空题6．若函数f (x )＝e x(x ＋1)2，则f ′(x )＝________． (x －1)e x (x ＋1)3 [∵f (x )＝e x(x ＋1)2，∴f ′(x )＝e x (x ＋1)2－e x ×2(x ＋1)(x ＋1)4＝(x －1)e x (x ＋1)3．] 7．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． (e ，e) [设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ． ∴k ＝1＋ln x 0．又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ．∴y 0＝eln e ＝e ．∴点P 的坐标是(e ，e)．]8．已知P 为指数函数f (x )＝e x 图象上一点，Q 为直线y ＝x －1上一点，则线段PQ 长度的最小值是________．2 [设f (x )图象上斜率为1的切线的切点是P (x 0，y 0)，由f ′(x )＝e x ，f ′(x 0)＝e x 0＝1，x 0＝0，f (0)＝1，即P (0，1)．P 到直线y ＝x －1的距离是d ＝|0－1－1|2＝2．] 三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝a 2x －3；(2)y ＝x 2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3； (3)y ＝e －x ln x ；(4)y ＝11－2x． [解] (1)因为y ＝a 2x －3，所以y ′＝a 2x －3ln a ·(2x －3)′＝2a 2x －3ln a ．(2)因为y ＝x 2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以y ′＝2x cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋x 2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′。

1.2.3 简单复合函数的导数[A 基础达标]1．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A ．设f (x )＝t 2，t ＝2x ＋a ，则f ′(x )＝2t ×2＝4t ＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝4(4＋a )＝20，所以a ＝1.2．函数y ＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．3x 2B ．3x 2－3a 2C ．2x 2－2a 2D ．2x 2解析：选B ．y ′＝(x ＋2a )′(x －a )2＋(x ＋2a )[(x －a )2]′ ＝(x －a )2＋2(x ＋2a )(x －a )·(x －a )′ ＝3x 2－3a 2.3．曲线y ＝x2x －1在点(1，1)处的切线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －2＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选C ．y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2x －1′＝2x －1－x ·2(2x －1)2＝－1(2x －1)2，当x ＝1时，y ′＝－1，所以k ＝－1，由点斜式得切线方程为：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.4．已知f (x )＝e πx·sin πx ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．解析：f ′(x )＝(e πx)′·sin πx ＋e πx(sin πx )′ ＝π·e πxsin πx ＋π·e πxcos πx ＝π·e πx (sin πx ＋cos πx )，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe π2.答案：πe π25．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的导数为________．解析：因为y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x 2sin 4x ， 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2′sin 4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2·(sin 4x )′＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x6．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线，则切线l 的方程为________．解析：f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1. 所以f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1＝2ax 2＋(2a －2)x －1x ＋1，f ′(0)＝－1，所以切点P 的坐标为(0，1)，l 的斜率为－1， 所以切线l 的方程为x ＋y －1＝0. 答案：x ＋y －1＝0 7．求下列函数的导数： (1)y ＝x sin 2x ； (2)y ＝x e1－2x；(3)y ＝cos x ·sin 3x .解：(1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′ ＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′ ＝sin 2x ＋x sin 2x . (2)y ′＝e1－2x＋x (e1－2x)′＝e1－2x＋x e1－2x(1－2x )′＝e1－2x＋x e1－2x×(－2)＝(1－2x )e1－2x.(3)y ′＝(cos x ·sin 3x )′＝(cos x )′sin 3x ＋cos x (sin 3x )′ ＝－sin x sin 3x ＋3cos x cos 3x .8．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：对f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8两边求导，得f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，于是f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8， 解得f ′(1)＝2， 故切线斜率为2.又f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，令x ＝1，得f (1)＝2f (1)－1＋8－8， 解得f (1)＝1， 即切点坐标是(1，1)，所以切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.[B 能力提升]1．已知函数y ＝e ax ＋b，则y ′＝________．解析：y ＝e ax ＋b可由y ＝e u，u ＝ax ＋b 复合而成，从而y x ′＝y u ′·u ′x ＝e u·a ＝a e ax ＋b.答案：a eax ＋b2．已知函数f (x )＝x －1x ＋a＋ln(x ＋1)，若a ＝2，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为________．解析：f ′(x )＝x ＋a －(x －1)(x ＋a )2＋1x ＋1＝a ＋1(x ＋a )2＋1x ＋1.当a ＝2时，f ′(0)＝2＋1(0＋2)2＋10＋1＝74，而f (0)＝－12，因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝74(x －0)，即7x －4y －2＝0.答案：7x －4y －2＝03．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最小距离． 解：设点P (x 0，y 0)为已知曲线上任意一点，由题意得点P 到直线2x －y ＋3＝0的最小距离为曲线y ＝ln(2x －1)在点P 处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行时的距离．由y ′＝[ln(2x －1)]′＝12x －1·(2x －1)′＝22x －1，知点P 处的切线斜率为22x 0－1.由22x 0－1＝2，得x 0＝1，y 0＝ln(2x 0－1)＝0. 所以点P (1，0)处的切线方程为y ＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0.2x －y ＋3＝0与2x －y －2＝0的距离为|3－(－2)|22＋(－1)2＝ 5.4．(选做题)日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x (80<x <100)．求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%；(2)98%.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．c ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫5 284100－x ′＝－5 284×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －100′＝－5 284×[－1(x －100)2]×(x －100)′＝ 5 284(x －100)2，(1)因为c ′(90)＝ 5 284(90－100)2＝52.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率为52.84元/吨． (2)因为c ′(98)＝ 5 284(98－100)2＝1 321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率为1 321元/吨．。

1.2.3 简单复合函数的导数知识梳理1.一个函数可以写成y=f ［φ(x)］,即y=f(u)，u=φ(x)的形式，则称其为_____________.2.函数u=φ(x)在点x 处有导数u′x =φ′(x)，函数y=f(u)在点x 的_____________u 处有导数y′u =f′(u)，则复合函数y=f ［φ(x)］在点x 处有导数，即_____________或写成_____________.知识导学要学好本节内容,需弄清几个基本概念,如:复合函数、中间变量,同时对基本公式的记忆要熟,即“熟能生巧”.对复合函数的求导要注意中间变量的选取要适当.另外要搞清每一步是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆.新课标要求能求简单的复合函数〔仅限于形如f(ax+b)〕的导数.疑难突破对于复合函数求导,一定要理清中间的复合关系.本节难点是对复合函数求导.剖析：中间变量应选择简单初等函数,判断一个函数是否是简单初等函数的标准是:存在求导公式则直接求导,弄清各分解函数中应对哪个变量求导,对一个函数的复合关系的分解予以足够的重视,要用换元的思想及基本初等函数的观点来理解复合关系,理解复合函数的概念. 典题精讲【例1】 求下列函数的导数.(1)y=(2x 3-x+x1)4; (2)y=2211x-; (3)y=sin 2(2x+3π); (4)y=x(x-x1)100. 思路分析：选择中间变量是复合函数求导的关键,必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量的式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏.而其中特别要注意中间变量的系数,求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数.解:(1)解法一:设u=2x 3-x+x1,y=u 4, 则y′x =y′u ·u′x =4u 3·(6x 2-1-21x) =4(2x 3-x+x 1)3(6x 2-21x-1). 解法二：y′=［(2x 3-x+x1)4］′ =4(2x 3-x+x 1)3·(2x 3-x+x1)′ =4(2x 3-x+x 1)3(6x 2-1-21x ).(2)解法一：设y′=21-u ,u=1-2x 2，则y′x =y′u ·u′x =(2321--u )·(-4x) =232)21(21---x ·(-4x) =2223221)21(2)21(2x x xx x --=--. 解法二：y′=(2211x -)′=［212)21(--x ］′ =232)21(21---x ·(1-2x 2)′ =232)21(21---x ·(-4x) =2223221)21(2)21(2x x xx x --=--. (3)解法一：设y=u 2,u=sinv,v=2x+3π,则y′x =y′u ·u′v ·v′x =2u·cosv·2=2sin(2x+3π)·cos(2x+3π)·2=2sin(4x+32π).解法二：y′=［sin 2(2x+3π)］′ =2sin(2x+3π)·［sin(2x+3π)］′ =2sin(2x+3π)·cos(2x+3π)·(2x+3π)′ =2sin(2x+3π)·cos(2x+3π)·2 =2sin(4x+32π).(4)解：y′=［x(x-x 1)100］′=x′(x -x 1)100+x ［(x-x 1)100］′ =(x-x 1)100+x·100(x -x 1)99·(x -x 1)′=(x-x 1)100+x·100(x -11x)99·(1+21x ). 绿色通道：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算.复合函数的求导法则，通常称为链条法则.变式训练：求下列函数的导数.(1)y=(2x-1)5; (2)y=32c bx ax ++; (3)y=5)21(1x -. 解:(1)设u=2x-1,则y=u 5.∴y′x =y′u ·u′x =5u 4·(2x -1)′=5(2x -1)4·2=10(2x -1)4(2)设u=ax 2+bx+c,则y=31u . ∴y′x =y′u ·u′x =)(3)2()2()(31223322c bx ax c bx ax b ax b ax c bx ax +++++=+++- (3)方法一：u=1-2x,y=u -5,y′x =y′u ·u′x =-5u -6·(-2)=10(1-2x)-6. 方法二：∵y=55)211()21(1x x -=-, 令y=u 5,u=v1,v=1-2x. y′x =y′u ·u′v ·v′x =5u 4·(-v -2)·(-2) =10(v1)4·v -2=100-6=10(1-2x)-6. 【例2】 已知f(x)=xlog a (x 2+x-2),求f′(x).思路分析：函数y=log a (x 2+x-2)是由y=log a u 与u=x 2+x-2复合而成的,根据复合函数的求导步骤进行求导.解:f′(x)=log a (x 2+x-2)+x·212-+x x ·log a e·(2x+1) =log a (x 2+x-2)+2log )12(2-+∙+x x e x x a . 绿色通道：求复合函数的导数，关键要分清此函数是由哪几个初等函数复合而成的，然后根据求复合函数导数的法则进行求导即可.变式训练：已知f(x)=)(log log x aa ,求f′(x).解：y=log a u,u=log a x, ∴f′(x)=y′u ·u′x =u 1·log a e·x 1log a e=xx e a a log log 2∙.【例3】 求下列函数的导数.(1)y=bx axe +-2; (2)y=21sin 32x x x +-.思路分析：在公式(log a x)′=a x e x a ln 1log 1=与(a x )′=a x ·lna 中，求导后的系数很容易混淆，要注意掌握公式.并通过比较加以记忆.解：(1)y′=2ax e -+bx·(-2ax+b)=(-2ax+b)·bx ax e+-. (2)y′=x x x x x x x x x x 23ln 32ln 1cos 2123ln 3)1(1cos 2ln 21sin 221sin +∙-∙∙∙-=+∙--∙∙∙ 绿色通道：复合函数求导是一个连锁求导过程，每次选择中间变量都根据问题的具体特点及基本导数公式为准，达到可以直接求导为止.变式训练：(1)f(x)=x 2sin 1ln +;(2)f(x)=cos 2(x e x 21+). 解：(1)f′(x)=x x x x 2222sin 121sin 11)'sin 1(sin 11+∙+=++(1+sin 2x)′ =22)sin 1(21x +·2sinx·cosx=)sin 1(22sin 2x x +. (2)f′(x)=［cos 2(x e x 21+)］′=2cos(x e x 21+)·(cos xe x 21+)′ =2cos(x e x 21+)［-sin(x e x 21+)］·(x ex 21+)′ =2cos(x e x 21+)［-sin(x e x 21+)］·［xx x x e e x e e x 2222)')(1()'1(+-+］ =-sin2(x e x 21+)·x xx ee x xe 22)1(2∙+- =xx e x x e x 2212)1(2sin --∙+-.问题探究问题：请思考如何利用导数进行求和.1.S n =1+2x+3x 2+…+nx n-1(x≠0,n∈N *);2.S n =32132n n n C C C +++…+n n n C (n∈N *). 导思：1.一般很容易想到通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决，转换思维角度.由求导公式(x n )=nx n-1可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和.利用导数运算,可使问题解法更加简捷.2.通过对数列的通项进行联想,合理运用了逆向思维的方法,从而激发了思维的灵活性,使数列的求和问题得到解决,其关键是抓住了数列通项的形式结构,这也有助于培养善于联想的好习惯.探究：1.当x=1时,S n =1+2+3+…+n=21n(n+1);当x≠1时，x+x 2+x 3+…+x n =xx x n --+11两边都是对关于x 的函数求导数.(x+x 2+x 3+…+x n )′=(x x x n --+11)′, 即S n =1+2x+3x 2+…+nx n-1=21)1()1(1x nx x n n n -++--. 2.(1+x)n =1+221x C x C n n ++…+n n n C x n-1, 令x=1,得n·2n-1=n n n n n nC C C C ++++ 32132, 即S n =32132n n n C C C +++…+n n n C =n·2n-1.。

1.2.3 简单复合函数的导数5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.函数y=(3x-4)2的导数是（ ）A.4(3x-2)B.6xC.6x(3x-4)D.6(3x-4) 答案：D解析：y′=［(3x-4)2］′=2(3x -4)·3=6(3x -4).2.函数y=sin2x 的导数是（ ）A.cos2xB.2xsin2xC.2cos2xD.2sin2x 答案：C解析：y′=(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x.3.函数y=122+x 的导数为_____________.解析：令y=21u ,u=2x 2+1，则y′x =y′u ·u′x =1221-u ·(4x)=2x 212)12(-+x .答案：2x 212)12(-+x4.函数y=xcosx 2的导数是_____________.解析：y′=cosx 2+x(-sinx 2)·2x=cosx 2-2x 2sinx 2.答案：cosx 2-2x 2sinx 210分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.函数y=(x+x 1)5的导数为（ ） A.5(x+x 1)4 B.5(x+x 1)4(1+x 1) C.5(x+x 1)4(1-x -2) D.5(x+x 1)4(1+x -2)答案：C解析：y′=［(x+x 1)5］′ =5(x+x 1)4·(x+x 1)′ =5(x+x 1)4(1-x -2).2.函数y=2sin3x 的导数是（ ）A.2cos3xB.-2cos3xC.6sin3xD.6cos3x 答案：D解析：y′=(2sin3x)′=2cos3x·(3x)′=6cos3x.3.若f(x)=-e -x ，则f′(x)为（ ）A.-e -xB.e -xC.e xD.-e x 答案：B解析：f′(x)=-e -x ·(-1)=e -x .4.已知f(x)=sin 22x,则f′(x)等于（ ）A.2sin4xB.2cos4xC.4sin2xD.4cos2x 答案：A解析：（sin 22x ）′=2sin2x·(sin2x)′=2sin2x·cos2x·(2x)′=2sin4x.5.函数y=41-+x x 的导数为_____________.解析：令y=u ,u=41-+x x .则y′x =y′u ·u′x =1221-u ·2)4()1(4++--x x x . =12·21)41(--+x x ·2)4(5--x .答案：-12·21)41(--+x x ·2)4(5--x6.求下列函数的导数：（1）y=(2x-3)5；（2）y=x -3; (3)y=ln(x+21x +);(4)y=sin 32x.解：(1)设u=2x-3,则y=(2x-3)5由y=u 5,u=2x-3复合而成.由复合函数的求导法则，得y′=f′(u)·u′(x)=(u 5)′(2x -3)′=5u 4·2=10(2x-3)4.(2)设u=3-x,则y=21-u ,u=3-x. y′=f′(u)·u′(x)=(21-u )′(3-x)′ =2121-u (-1) =x --321=x x263---. (3)y′=211x x ++·(x+21x +)′ =211x x ++［1+21·212)1(-+x ·(1+x 2)′］=211x x ++·(1+21x x +) =211x +.(4)y′=3(sin2x)2·(sin2x)′=3sin 22x·cos2x·(2x)′=6sin 22x·cos2x.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.函数y=(5x-4)3的导数是（ ）A.3(5x-4)2B.9(5x-4)2C.15(5x-4)2D.12(5x-4)2 答案：C解析：由y=u 3和u=5x-4复合而成.2.下面有四个结论：①y=ln2，则y′=21；②y=x n (n∈N *)，则y′=nx n-1；③y=sin2x，则y′=2cos2x;④y=cosx，则y′=sinx.其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 答案：B解析：②③是正确的.3.下列四个命题中，真命题为（ ）①若y=f 1(x)+f 2(x)+…+f n (x),则y′=f 1′(x)+f 2′(x)+…+f n ′(x)②若y=f 1(x)·f 2(x)，则y′=f 1′(x)·f 2′(x)③若y=k 1f 1(x)±k 2f 2(x)(k 1,k 2为实常数)，则y′=k 1f 1′(x)±k 2f 2′(x)④若y=)()(21x f x f ，则y′=)(')('21x f x f A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 答案：C解析：①③正确.4.已知函数f(x)=12-ax ，且f′(1)=2,则a 的值为___________.解析：f′(x)=12-ax ax ，f′(1)=1-a a =2,∴a=2.答案：25.函数y=(2x+3)3的导数为___________.解析：令u=2x+3，则y=u 3,∴y x ′=y u ′·u x ′=3u 2·(2x+3)′=6(2x+3)2.答案：y′=6(2x+3)26.求下列函数的导数：（1）y=ln 2(3x+7);(2)y=3lncos(2x-3);(3)y=x 3lnx.解：（1）y′=2ln(3x+7)·731+x ·3=73)73ln(6++x x . (2)y=3lncos(2x-3),y′=)32cos(1-x ·［-sin （2x-3）］·2=-6tan(2x-3). (3)y′=3x 2lnx+x 3·x1=3x 2lnx+x 2. 7.求过点（2，0）且与曲线y=e x相切的直线方程. 解：点（2，0）不在曲线y=e x 上，设切点为(x 0,y 0)，y 0=0x e ,又y′=e x ，故y′(x 0)= 0xe , 又过点（2，0），（x 0,y 0）的直线的斜率为k=220000-=-x e x y x , 由题意得k=y′(x 0)，即0x e =200-x e x , 解得x 0=3，故切点为（3,e 3），所以所求的切线方程是y-e 3=e 3(x-3),即e 3x-y-2e 3=0.8.曲线y=ln2x 在与x 轴交点处的切线方程是什么？并求出该切线与坐标轴所围成的三角形的面积.解：如下图，曲线y=ln2x 与x 轴的交点为A(21,0)，y′=(ln2x)′=x 1，故y′(21)=2，所以过点A 的切线方程为y-0=2(x-21)，即2x-y-1=0.设切线与y 轴的交点为B ，则B 点的坐标为（0，-1），故所求三角形的面积即S △AOB =21·21·1=41. 9.若质点运动方程为s=e t-2+t 1(t 的单位为秒，s 的单位为米)，求在t=2秒时质点的运动速度. 解：由已知得v(t)=s′(t)=(e t-2+t 1)′=(e t-2)′+(t1)′ =e t-2·(t -2)′+(21-t )′=e t-22321--t =e t-2t t 21-. ∴t=2秒时的运动速度v(2)=(e t-2t t 21-)|t=2=1241-,即v(2)=（182-）m/s.10.已知函数f(x)是偶函数，f(x)可导，证明f′（x）是奇函数.解：∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)，等式两边对x求导，得f′(-x)·(-x)′=f′(x),即-f′(-x)=f′(x),∴f′(x)是奇函数.如f(x)是可导的奇函数，同理可证，f′(x)是偶函数.。

5．2.3 简单的复合函数的导数一、 单项选择题1 函数y ＝cos 2x 的导函数为( )A. y ′＝sin 2xB. y ′＝－sin 2xC. y ′＝2sin 2xD. y ′＝－2sin 2x2 已知函数y ＝cos (ln x )，则y ′等于( )A. －sin (ln x )B. sin (ln x )xC. －sin (ln x )xD. cos (ln x )x3 (2023南通海安中学期中)已知f (x )＝(2x －1)3，则f ′(2) 的值为( )A. 27B. 54C. 12D. 64 (2023周口项城第三高级中学月考)已知函数f (x )＝3x ＋1，则函数f (x )的图象在 x ＝5处切线的斜率为( )A. 14B. 34C. 43D. 385 (2023长沙长郡中学月考)函数f (x )＝e 4x －x －2的图象在点(0，f (0))处的切线方程是( )A. 3x ＋y ＋1＝0B. 3x ＋y －1＝0C. 3x －y ＋1＝0D. 3x －y －1＝06 已知f (x )＝x 2ln 2x ，若f ′(x 0)＝x 0，则x 0等于( )A. 12B. e 2C. ln 2D. 1二、 多项选择题7 (2023阜新期末)下列求导运算中，正确的是( )A. (e 2x )′＝2e 2xB. []ln (2x )′＝1xC. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2 D. (x e x )′＝(x ＋1)e x 8 (2023衡阳衡南期末)函数f (x )及其导函数f ′(x )的定义域均为R ，若f (x )为奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则下列结论中正确的是( )A. f ′(x )为偶函数B. f ′(0)＝0C. f (x )的图象关于(1，0)对称D. 若F (x )＝f (x )＋xf ′(x )，则F ′(x )为奇函数三、 填空题9 (2023阜新第二高级中学期末)已知函数f (x )＝－x 2＋3xf ′(1)＋6ln (2x ＋1)，则 f (1)＝________．10 已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln (x ＋a )相切，则a 的值为________． 11 (2023阜新第二高级中学期末)已知曲线y ＝e 1-x －x ln x 在x ＝1处的切线与直线x ＋my ＋2＝0垂直，则实数m ＝________．四、 解答题12 求下列函数的导数：(1) y ＝(x ＋1)99；(2) y ＝x 2x ＋1； (3) y ＝(2x －3)sin (2x ＋5)；(4) y ＝cos (3x －2)2x.13 (2023菏泽期末)已知函数f (x )＝(3x ＋1)2ln (3x ).(1) 求f (x )的导数；(2) 求f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0处的切线方程．【答案解析】5．2.3 简单的复合函数的导数1. D y ′＝(cos 2x )′＝－2sin 2x .2. C y ＝cos (ln x )可由y ＝cos u 及u ＝ln x 复合而成，y ′u ＝－sin u ，u ′x ＝1x，故y ′＝－sin (ln x )x. 3. B 因为f (x )＝(2x －1)3，所以f ′(x )＝3(2x －1)2×2＝6(2x －1)2，故f ′(2)＝6×32＝54.4. D 由题意，得f ′(x )＝323x ＋1，则f ′(5)＝32×4＝38，即函数f (x )的图象在x ＝5处切线的斜率为38. 5. D 由题意，得f ′(x )＝4e 4x －1，所以k ＝f ′(0)＝3.因为f (0)＝－1，所以切线方程为y ＋1＝3x ，即 3x －y －1＝0.6. A 因为f ′(x )＝2x ln 2x ＋x 2·22x＝2x ln 2x ＋x ，又f ′(x 0)＝x 0，所以2x 0ln 2x 0＋x 0＝x 0，所以2x 0ln 2x 0＝0.因为x 0＞0，所以 ln 2x 0＝0，所以 x 0＝12. 7. ABD 对于A ，(e 2x )′＝2e 2x ，故A 正确；对于B ，[]ln (2x )′＝2·12x ＝1x，故B 正确；对于C ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x2，故C 错误；对于D, (x e x )′＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，故D 正确．故选ABD. 8. AC 对于A ，因为f (x )为奇函数，且在定义域R 上可导，所以f (－x )＝－f (x )，两边求导，得f ′(－x )＝f ′(x )，所以f ′(x )为偶函数，故A 正确；对于B ，令f (x )＝sin (πx )，显然f (x )为奇函数，且最小正周期T ＝2ππ＝2，即满足f (x ＋2)＝f (x )，则f ′(x )＝πcos (πx )，则f ′(0)＝π，故B 错误；对于C ，因为f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，则f (x ＋2)＝－f (－x )，所以f (x －1＋2)＝f (x ＋1)＝－f (1－x )，即f (x ＋1)＋f (1－x )＝0，所以f (x )的图象关于点(1，0)对称，故C 正确；对于D ，因为F (x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以F (－x )＝f (－x )－xf ′(－x )＝－f (x )－xf ′(x )＝－F (x )，所以F (x )为奇函数，由A 可知F ′(x )为偶函数，故D 错误．故选AC.9. 6ln 3－4 由题意，得f ′(x )＝－2x ＋3f ′(1)＋122x ＋1，则f ′(1)＝－2＋3f ′(1)＋4，解得f ′(1)＝－1，所以f (x )＝－x 2－3x ＋6ln (2x ＋1)，故f (1)＝6ln 3－4.10. 2 由y ＝ln (x ＋a )，得y ′＝1x ＋a .设切点为(x 0，x 0＋1)，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，解得a ＝2.11. －2 因为y ＝e 1-x －x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝－e 1-x －(ln x ＋1)，所以曲线y ＝e 1-x －x ln x 在x ＝1处的切线斜率为y ′|x ＝1＝－2.因为曲线y ＝e 1-x －x ln x 在x ＝1处的切线与直线x ＋my ＋2＝0垂直，所以m ＝0不符合题意，所以直线x ＋my ＋2＝0的斜率为－1m，所以－1m×(－2)＝－1，解得m ＝－2. 12. (1) y ′＝99(x ＋1)98.(2) 因为(2x ＋1)′＝122x ＋1×2＝12x ＋1， 所以y ′＝2x ＋1－x 2x ＋12x ＋1＝2x ＋1－x (2x ＋1)2x ＋1＝x ＋1(2x ＋1)2x ＋1. (3) y ′＝2sin (2x ＋5)＋(2x －3)×2cos (2x ＋5)＝2sin (2x ＋5)＋(4x －6)cos (2x ＋5). (4) y ′＝－3sin (3x －2)·2x －2cos (3x －2)4x 2＝－3x sin (3x －2)－cos (3x －2)2x 2. 13. (1) 因为f (x )＝(3x ＋1)2ln (3x )， 所以f ′(x )＝2(3x ＋1)×3ln (3x )＋(3x ＋1)2×33x ＝6(3x ＋1)ln (3x )＋(3x ＋1)2x. (2) 由f ′(x )＝6(3x ＋1)ln (3x )＋(3x ＋1)2x ，得 f ′⎝⎛⎭⎫13＝6×⎝⎛⎭⎫3×13＋1ln ⎝⎛⎭⎫3×13＋⎝⎛⎭⎫3×13＋1213＝12，所以f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫13，0处的切线方程为y ＝12⎝⎛⎭⎫x －13，即y ＝12x －4.。