高三数学复习教案：简单复合函数的导数

§5 简单复合函数的求导法则一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。

二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用教学难点：简单复合函数的求导法则的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。

1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ （二）、引入新课海上一艘油轮发生了泄漏事故。

泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S (单位：m 2)是油膜半径r (单位：m)的函数：2)(r r f S π==。

油膜的半径r 随着时间t （单位：s ）的增加而扩大，假设r 关于t 的函数为12)(+==t t r ϕ。

油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少？分析：由题意可得S 关于t 的新的函数：2)12())((+==t t f S πϕ。

油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数))((t f S ϕ=的导函数。

∵ )144()12())((22++=+=t t t t f ππϕ，∴ )12(4)48(]))(([+=+='t t t f ππϕ。

又 r r f π2)(='， 2)(='t ϕ，可以观察到 22)12(4⋅=+r t ππ，即 )()(]))(([''='t r f t f ϕϕ。

高三数学复习教案：简单复合函数的导数教学目标：学生能够理解和计算简单复合函数的导数。

教学重点：简单复合函数的导数计算。

教学难点：应用链式法则计算复合函数的导数。

教学准备：教材、黑板、白板笔。

教学步骤：Step 1：复习导数的定义和基本计算法则。

复习导数的定义和基本计算法则，例如常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。

Step 2：引入复合函数的概念。

复习函数和映射的概念，并引入复合函数的概念。

举一个简单的例子，如：设函数f(x) = 3x^2 + 2x，函数 g(x) = x^3 - 1，让学生计算 f(g(x)) 和 g(f(x))。

Step 3：简单复合函数的导数计算。

解释简单复合函数的导数计算方法，即通过链式法则计算复合函数的导数。

例如，设函数 f(x) = 3x^2 + 2x，函数 g(x) = x^3 - 1，让学生计算 (f(g(x)))' 和(g(f(x)))'。

讲解计算过程，包括先求出 f'(x) 和 g'(x)，然后代入复合函数的内函数的导数和外函数的导数。

Step 4：课堂练习。

让学生做一些课堂练习题，如计算简单复合函数的导数。

示例题目：1. 设函数 f(x) = 2x^3 + 3x，函数 g(x) = x^2 + 1，计算 (f(g(x)))'。

2. 设函数 f(x) = e^x，函数 g(x) = ln(x)，计算 (g(f(x)))'。

3. 设函数 f(x) = sin(x)，函数 g(x) = x^2，计算 (f(g(x)))'。

Step 5：课堂讨论和总结。

让学生分享自己的解题思路和结果，进行课堂讨论和总结。

总结复合函数的导数计算方法，强调链式法则的应用。

Step 6：作业布置。

布置一些作业题，要求学生练习计算简单复合函数的导数。

参考答案如下：1. (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x) = (6x^2 + 3) * (2x) = 12x^3 + 6x。

简单复合函数的求导法则1．理解复合函数的概念，了解简单符合函数的求导法则 2．会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数重点：简单复合函数的求导法则难点：复合函数的导数应用一、新课导入 复习：常见函数的导数公式1. C ′=________ (x n )′=________ (sinx )′=________ (cosx )′=________2.[u (x )+v (x )]′=________ [u (x )v (x )]′=_________ [u (x )v (x )]′=________二、新知探究问题：海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜油膜的面积 S (单位:m 2)与油膜的半径r (单位:m )的函数关系为S =f (r )=πr 2,油膜的半径r 随着时间t (单位:s )的增加而扩大,设r 关于t 的函数解析式为r =φ(t )=2t +1,油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少?分析:由题意知,时间t 决定油膜的半径r ,进而决定油膜的面积S ,所以可得S 关于t 的函数解析式为S =f(φ(t ))=π(2t +1)2,油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数S =f(φ(t ))的导数.因为f(φ(t ))=π(2t +1)2=π(4t 2+4t +1) ,根据导数公式表和导数的四则运算法则,可得[f(φ(t ))]′=π(8t +4)=4π(2t +1),所以油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率为4π(2t +1).另外,f ′(r )=2πr , φ′(t )=2我们可以观察到4π(2t +1)=2πr ∙2即[f(φ(t ))]′=f ′(r )φ′(t ). 新知：一般地,对于两个函数y =f (u )和u =φ(x )=ax +b ,如果给定x 的一个值,就得到了u 的值,进而确定了y 的值,那么y 可以表示成x 的函数,称这个函数为函数x 和u =φ(x ) 的复合函数,记作y =f(φ(x )),其中u 为中间变量.复合函数y =f(φ(x ))对x 的导数为y x ′=[f(φ(x ))]′=f ′(u )φ′(x ),其中u =φ(x ). 三、应用举例例1求函数y =√3x +1的导数.◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程分析：引人中间变量u =μ(x )=3x +1,则函数y =√3x +1是由函数f (u )=√u =u 12与u =φ(x )=3x +1复合而成的.解：由复合函数的求导法则,可得y x ′=(√3x +1)′=f ′(u )φ′(x )=(√u)′(3x +1)′=2√3x+1 设计意图：内层为一次函数，外层为12幂的幂函数的复合函数，运用复合函数求导法则. 例2 求函数y =(2x −1)30的导数.分析：引人中间变量u =φ(x )=2x −1,则函数y =(2x −1)30是由函数f (u )=u 30与u =φ(x )=2x −1复合而成的.解：由复合函数的求导法则,可得y x ′=[(2x −1)30]′=f ′(u )φ′(x )=(u 30)′(2x −1)′=30u 29∙2=60(2x −1)29设计意图：内层为一次函数，外层为30幂的幂函数的复合函数，运用复合函数求导法则.例3一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中,水面高度ℎ (单位:cm )关于时间t (单位:s )的函数解析式为ℎ=ℎ(t )=1002t+1,求函数在t =3时的导数,并解释它的实际意义分析：函数ℎ(t )=1002t+1是由函数f (u )=100u 和函数u =φ(t )=2t +1复合而成的,其中u 是中间变量. 解：由复合函数的求导法则,可得ℎt ′=f ′(u )φ′(t )=(100u )′(2t +1)′=−100u 2∙2=−200(2t +1)2 将t =3代人ℎ′(t ),得ℎ′(3)=−20049(cm/s)设计意图：内层为一次函数，外层为反比例函数的复合函数，运用复合函数求导法则.方法总结：复合函数求导的关键在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量；弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆.四、课堂练习1.下列函数求导数,正确的是___.（1）(e2x)′=e2x（2）[(x2+3)8]′=8(x2+3)7∙2x（3）(ln2x)′=2x（4）(a2x)′=2a2x2.设f(x)=ln(2−3x),则f′(13)=________3.若y=(1−2x)2,则y′=________；(e1−2x)′=________.4.求下列函数的导数:(1)y=(1−3x)3（2）y=e2x(3)y=ln1x y=1(3x−1)2答案：1.（2）2. −3 3.y′=8x−4；−2e1−2x4.(1)y′=−9(1−3x)2 (2)y′=2e2x (3) y′=−1x(4) y′=−6(3x−1)−2五、课堂小结1.复合函数求导的关键在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量；2.弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆;六、布置作业教材第70、71页练习。

简单复合函数求导教案高中高中数学教学中，简单复合函数求导是一个重要的知识点。

本文将介绍简单复合函数求导的相关概念和方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、简单复合函数的概念。

1.1 复合函数。

在数学中，复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。

设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为(f∘g)(x)= f(g(x))。

其中，g(x)的输出作为f(x)的输入，得到新的函数(f∘g)(x)。

1.2 简单复合函数。

简单复合函数是指由两个简单函数复合而成的函数。

简单函数通常是指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数。

二、简单复合函数求导的方法。

2.1 复合函数求导法则。

设有两个函数u(x)和v(x)，它们的复合函数为y = u(v(x))。

根据链式法则，复合函数的导数可以表示为dy/dx = u'(v(x)) v'(x)，其中u'(v(x))表示u(x)对v(x)的导数，v'(x)表示v(x)对x的导数。

2.2 简单复合函数求导的具体步骤。

对于简单复合函数y = f(g(x))，求导的具体步骤如下：（1）首先求出g(x)的导数g'(x)；（2）然后求出f(u)的导数f'(u)，其中u = g(x)；（3）最后将g'(x)和f'(u)相乘，即得到复合函数y = f(g(x))的导数。

三、简单复合函数求导的例题。

为了更好地理解简单复合函数求导的方法，我们通过例题来进行具体的讲解。

例题1，已知y = (3x^2 + 1)^4，求dy/dx。

解，将y = (3x^2 + 1)^4表示为y = u^4，其中u = 3x^2 + 1。

根据链式法则，有dy/dx = 4u^3 6x = 24x(3x^2 + 1)^3。

例题2，已知y = sin(2x + 1)，求dy/dx。

解，将y = sin(2x + 1)表示为y = sin(u)，其中u = 2x + 1。

§一、内容和内容解析内容：简单复合函数的导数.内容解析：要正确地对复合函数求导，首先要分析清楚复合函数的结构，教学中应将重点放在引导学生理解简单复合函数地复合过程中，即因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程，并明确复合过程中的自变量、因变量以及中间变量分别是什么.二、目标和目标解析目标：掌握复合函数求导法则，会用复合函数求导法则求简单复合函数的导数. 目标解析：通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，能正确分解简单的复合函数，具备求出简单的形如复合函数的导数的能力.学生在独立思考的基础上，主动参与到数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,增强学好数学的信心.三、教学问题诊断分析教学问题：学生已经掌握了函数的求导以及一些基本初等函数的求导公式对于复合函数的导数,学生的认知困难主要在两个方面:（1）什么是复合函数？学生对新概念的理解和接受是比较困难的；（2）如何对复合函数进行求导？要求学生掌握方法并运用.因此,应该重视培养学生独立思考和计算的能力，重视学生参与知识的发现过程、重视课堂问题的设计,引导学生解决问题.基于以上分析，本节课的教学重点定为：运用复合函数求导法则求简单复合函数的导数的过程；教学难点定为：记忆复合函数求导法则的公式结构.四、教学策略分析教材主要研究形如()()y f g x =()ln 21y x =-，这样学生更容易理解复合函数是怎样“复合”的，同时也说明了该函数不是由基本初等函数通过加减乘除运算得到的，教材中通过细致研究sin 2y x =的导数，进而“抽象”地给出了复合函数的求导法则.对于复合函数的导数，教师在教学时要注意引导学生分析复合函数结构，找出中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导；也可以再给几个复合函数的例子帮助学生掌握简单复合函数的求导，限于()f ax b +的形式即可.。

简单复合函数求导教学目标1．知识与技能目标(1)理解并掌握复合函数的复合过程．(2)理解并熟练掌握复合函数的求导法则．2．过程与方法目标首先明白复合函数的复合过程，对中间变量的理解是学好对复合函数的求导的关键．在熟悉构成的基础上，利用所给的求导法则求出复合函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习复合函数的复合过程和复合函数的求导法则，让学生了解解决实际问题的过程和作为中间变量的中间函数在解决问题时的重要作用，体会导数在现实生活中的应用价值，从而提高数学的应用能力，同时也让学生学会人与人之间的相互依存关系和在以后的为人处事中懂得如何做到有计划、有步骤地解决遇到的各类问题．重点难点重点：复合函数的求导方法．复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．难点：正确理解复合函数的复合过程，做到不重、不漏、熟练、正确．教具准备多媒体课件．教学过程导入新课上节课我们一起学习了基本初等函数的导数公式和导数运算法则，我们大家来默写一下这些公式．活动设计：三个同学上黑板进行默写，并求函数y＝(3x－2)2的导数．基本初等函数的导数公式表f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ·ln a (a >0) f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝1x ln a (a >0且a ≠1)f (x )＝ln x f ′(x )＝1x导数运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．默写完后，给予点评． 设计意图让学生熟记这两组公式，并能熟练掌握公式，为下一步学习复合函数求导引出问题． 提出问题问题1：求函数y ＝(3x －2)2的导数，除了把函数y ＝(3x －2)2的表达式先展开，再利用导数的四则运算法则求导，是否还有其他的求导方法呢？问题2：函数f (x )＝ln x 的导数是什么？函数f (x )＝ln(3x ＋2)的导数又是什么？ 学情预测：f (x )＝ln x 的导数是f ′(x )＝1x ，函数f (x )＝ln(3x ＋2)的导数是f ′(x )＝33x ＋2.回答得对不对呢？我们今天就来学习复合函数的求导法则．探究新知(一)复合函数首先分析函数y ＝ln(3x ＋2)的结构特点．若设u ＝3x ＋2(x >－23)，则y ＝ln u .从而函数y ＝ln(3x ＋2)可以看成是由函数y ＝ln u 和函数u ＝3x ＋2(x >－23)经过“复合”得到的．即y 可以通过中间变量u 表示成自变量x 的函数．如果把y 与u 的关系记作y ＝f (u )，u 与x 的关系记作u ＝g (x )，那么这个“复合”过程可以表示为y ＝f (u )＝f (g (x ))＝ln(3x ＋2)．我们遇到的很多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的．例如，函数y ＝(3x－2)2是由y ＝u 2和u ＝3x －2“复合”而成等等．一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．理解新知例1 指出下列函数是怎样复合而成的． (1)y ＝(2x ＋3)2； (2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)； (4)y ＝sin 2(1－1x)．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数． (2)函数y ＝e－0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u 和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝πx ＋φ的复合函数． (4)函数y ＝sin 2(1－1x )可以看作函数y ＝u 2和u ＝sin v 及v ＝1－1x 的复合函数．活动成果：使学生明白什么是复合函数和复合函数的复合过程． 设计意图通过对这几个函数的分解，使学生明白复合函数的复合过程，为下面复合函数的求导打下基础．例2 写出由下列函数复合而成的函数． (1)y ＝ln u ，u ＝12x －3；(2)y ＝e u ，u ＝3x ＋5. 解：(1)y ＝ln(12x －3)；(2)y ＝e 3x ＋5. 设计意图不仅要使学生懂得如何分解复合函数，还要让学生明白函数的复合过程，使学生对问题触类旁通，达到举一反三的效果．探究新知问题：对复合函数如何求导数呢？ (二)复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′(y x′表示y对x的导数)，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．(板书)理解新知例3 求下列函数的导数．(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(3x＋2)．解：(1)因为函数y＝(3x－2)2可以看作函数y＝u2和u＝3x－2的复合函数，所以y＝(3x －2)2对x的导数等于y＝u2对u的导数与u＝3x－2对x的导数的乘积．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(3x－2)′＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.(2)因为函数y＝ln(3x＋2)可以看作函数y＝ln u和u＝3x＋2的复合函数，所以y x′＝y u′·u x′＝(ln u)′·(3x＋2)′＝1u·3＝33x＋2.设计意图发现真正出错的原因，使得对复合函数的求导法则的认识更加明确，便于以后的学习．运用新知例4(课本例4)求下列函数的导数．(1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ)(其中π，φ均为常数)．解：(1)函数y＝(2x＋3)2可以看作函数y＝u2和u＝2x＋3的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(u2)′(2x＋3)′＝4u＝8x＋12.(2)函数y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝e u和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(e u)′(－0.05x＋1)′＝－0.05e u＝－0.05e－0.05x＋1.(3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看作函数y＝sin u和u＝πx＋φ的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(sin u)′(πx＋φ)′＝πcos u＝πcos(πx＋φ)．点评：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于对自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节，并及时化简计算结果．[注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成．这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数．因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函数是幂函数的线性组合，其导数也容易求，然后再利用复合函数的，导法则和导数的基本公式即可．如果“分解”的不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误．]对例4(1)中求导数的步骤进行归纳总结：函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数． 分解 y u ′＝2u ，u x ′＝2. 求导 y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ·2. 相乘函数y ＝(2x ＋3)2的导数是y x ′＝4u ＝4(2x ＋3)． 回代总结：复合函数求导的基本步骤是：(1)分解；(2)求导；(3)相乘；(4)回代． 例5 求下列函数的导数． (1)y ＝x －a x 2－2ax；(2)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)y ′＝1·x 2－2ax －(x －a )·2x －2a2x 2－2ax x 2－2ax ＝－a 2(x 2－2ax )x 2－2ax ＝－a 2x 2－2ax(x 2－2ax )2，y ′＝－a 2x 2－2ax(x 2－2ax )2.点评：本题是求商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理． (2)解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 2(2x )＝1－14(1－cos4x )＝34＋14cos4x .y ′＝－sin4x .解法二：y ′＝(sin 4x )′＋(cos 4x )′＝4sin 3x (sin x )′＋4cos 3x (cos x )′ ＝4sin 3x cos x ＋4cos 3x (－sin x )＝4sin x cos x (sin 2x －cos 2x ) ＝－2sin2x cos2x ＝－sin4x .点评：解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意准确变形；解法二是对复合函数求导数，应注意不漏步．设计意图本例题练习复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的导数求解法则，意在巩固基本初等函数的导数公式与复合函数的求导法则，熟练掌握复合函数的导数求法．巩固练习求下列函数的导数．(1)y ＝(2x －3)3；(2)y ＝(1－3x )3；(3)y ＝sin(3x ＋π3)；(4)y ＝x 2＋1.【答案】(1)y x ′＝6(2x －3)2；(2)y x ′＝－9(1－3x )2；(3)y x ′＝3cos(3x ＋π3)；(4)y x ′＝xx 2＋1.变练演编求下列函数的导数．(1)y ＝e 2x ＋5；(2)y ＝53x －1；(3)y ＝log 3(2x ＋4)； (4)y ＝sin2x －cos(3x －2)；(5)y ＝2x sin(2x ＋5)． 【答案】(1)y x ′＝2e 2x ＋5；(2)y x ′＝3(53x －1ln5)；(3)y x ′＝2(2x ＋4)ln3；(4)y x ′＝2cos2x ＋3sin(3x －2)；(5)y x ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)． 设计意图本题意在进一步熟练对复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的求导进行计算．达标检测1．求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋1)5；(2)y ＝sin 3x ＋sin 3(3x )；(3)y ＝sin(2x )2x －1；(4)y ＝log a (x 2－2)．2．求y ＝ln(2x 2＋3x ＋1)的导数． 【答案】1.(1)y x ′＝10(2x ＋1)4； (2)y x ′＝3sin 2x cos x ＋9sin 2(3x )cos(3x )； (3)y x ′＝2cos2x (2x －1)－2sin2x(2x －1)2；(4)y x ′＝2x(x 2－2)ln a .2．y x ′＝4x ＋32x 2＋3x ＋1.课堂小结1．复合函数的定义．2．复合函数的求导法则，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为比较简单的函数，然后再利用复合函数的求导法则求导．3．复合函数求导的基本步骤是： 分解——求导——相乘——回代．布置作业课本习题1.2A 组第6、7题，B 组第2题．补充练习基础练习 一、选择题1．若函数f (x )＝3cos(2x ＋π3)，则f ′(π2)等于( )A ．－3 3B ．3 3C ．－6 3D ．63 2．函数y ＝sin 23x ＋5cos x 2的导数是( )A ．2sin3x －5sin x 2B ．2si n 6x －10x sin x 2C ．3sin6x ＋10sin x 2D ．3sin6x －10x sin x 2 二、填空题3．若函数f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝__________.4．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程是__________． 三、解答题5．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离． 【答案】1.B 2.D 3.1ln3 4.3x －y －11＝0 5. 5.拓展练习1．求下列函数的导数．(1)y ＝2x sin(3x ＋π6)；(2)y ＝x sin2x ＋cos3x ；(3)y ＝cos(－2x ＋π6)；(4)y ＝22x ＋1.2．求曲线y ＝sin2x 在点P (π，0)处的切线方程．3．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．【答案】1.(1)y x ′＝2sin(3x ＋π6)＋6x cos(3x ＋π6)．(2)y x ′＝sin2x ＋2x cos x －3sin3x . (3)y x ′＝2sin(－2x ＋π6)．(4)y x ′＝22x ＋2ln2. 2．2x －y －2π＝0. 3．a ＝3，b ＝－11，c ＝9.设计说明本节课主要讲了两个方面的内容：一、复合函数的定义和复合函数的复合过程与分解过程；二、复合函数的求导法则与由初等函数构成的复合函数的求导方法．通过大量的例题与练习巩固这两方面的知识，使学生对这部分知识不仅要熟悉还要灵活掌握，为接下来的利用导数研究函数的性质打下坚实的基础．在方法方面，重在引导与不断地总结；在法则方面，重在加强练习．在教学过程中不断地与学生互动，使学生不断超越自我，享受成功的喜悦．。

2.5 简单复合函数的求导法则教学过程：一．创设情景复习 ：求下列函数的导数（1）()324y x x =- （3）sin x y x =（2）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+ （5）()ln 2y x =+设置情境：（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?(5)能用学过的公式求导吗?二．新课讲授探究1、探究函数()ln 2y x =+的结构特点探究:指出下列函数的复合关系复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．解：（1）函数2(23)y x =+可以看作函数2y u =和23u x =+的复合函数。

根据复合函数求导法则有x u x y y u '''=⋅=2''()(23)4812u x u x +==+。

（2）函数0.051x y e-+=可以看作函数uy e =和0.051u x =-+的复合函数。

根据复合函数求导法则有 x u x y y u '''=⋅=''0.051()(0.051)0.0050.005u u x e x e e -+-+=-=-。

《1.2.3简单复合函数的求导》教学设计（共1课时，第1课时）【课程标准要求】利用导数的概念能求简单的复合函数的导数。

【教学目标】1.理解掌握复合函数的求导法则。

2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导。

3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律。

【学情与内容分析】本节在教材中起到了“承上启下”的作用，是前几节内容知识的延续，也是后面研究导数在函数中应用等函数综合问题的基础。

前几节学习了导数基本概念、基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算法则。

教材以“你会求sin(21)y x =+的导数吗？”这个问题引入， 这个函数是不能通过基本初等函数的四则运算得到的，旧知识是不能求导的，那么我们有必要去研究这类函数的求导方法，激发学生对新知的求知欲。

在求导之前要弄清楚函数的结构，首先是引导学生分析sin(21)y x =+这个特殊复合函数的结构，让学生感受函数的复合过程，初步感知“复合函数”的概念，然后给出了复合函数的一般概念，体会数学抽象的过程。

在理解复合函数“复合”的过程中，重点引导学生理解因变量是如何通过中间变量表示为自变量的函数过程，自变量、中间变量、因变量是什么。

然后引导学生利用导数的定义来推导复合函数的求导公式，即((()))(())g ()f g x f g x x '''=，最后举例应用。

本节主要采用了“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的数学思想方法，体现数学学科核心素养。

【教学准备】多媒体课件，挂图，实物，模型，仪器。

【难重点】重点：复合函数的结构分析、复合函数的求导法则推导及应用。

难点：复合函数的结构分析、求导法则的推导。

【教学过程】,),0h dx ，(),()(f u x g x '→'→记作)【板书设计】【评价设计】【作业设计】1、完成导学案内容；2、教材P26 1题、P27 8题【教学反思】。

课 题：§简单复合函数的导数教学目的：知识与技能：理解掌握复合函数的求导法则.过程与方法：能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导情感、态度与价值观：培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

教学过程：学生探究过程： 一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、讲解新课：: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)31812u x y u u x x ''==-=-，从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅=或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x y u y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim .∴xuu y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 三、讲解X 例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成； ⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成；⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成． 说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴u y cos =，21x u +=； ⑵u y ln =，x u ln =． 解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3求5)12(+=x y 的导数． 解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数. 解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2 ∴f ′(x )=2x cos x 2 例5求y =sin 2(2x +3π)的导数.分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π.解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x=2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2=4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π) 例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b )=31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax bax +++即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例7求y =51xx-的导数. 解：令xxu u y -==1,5 ∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx-1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x--''-------=⋅=⋅21x -=== 即y ′x =－542)(51x x x -例8 求y =sin 2x 1的导数.解：令y =u 2，u =sinx 1，再令u =sin v ，v =x 1∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x=2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x -=－21x ·sin x 2∴y ′x =－21x sin x2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅=ω' (1+x 2)′x=22211122)2(21xxx x x +=+=-ω ∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x ++(2x 2－3)·21xx +=4x23232161321xx x xx x x ++=+-++即y ′x =2316xx x ++四、巩固练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y =(5x －3)4(2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3(4)y =(2x 3+x )2 解：(1)令y =u 4，u =5x －3∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3 (2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4 (3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2 (4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx 解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(uucos sin )′u ·n=2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nxnn u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u u u u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nxn2sin =－n csc 2nx 五、教学反思 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代六、课后作业：。

简单复合函数的导数教学设计
一、教学目标
1.了解复合函数的定义;
2.熟练掌握求解简单复合函数导数的技巧;
3.在熟悉的背景下建立简单复合函数的直观印象;
4.学会分类求复合函数的导数。

二、教学方法
首先利用PPT呈现复合函数的基本定义，通过问答形式进行一定的知
识点的讲解，来协助学生对复合函数的结构逻辑的形成比较准确的认识。

之后利用课本上的题例，并发放已完成部分的学习练习，引导学生结
合实例掌握简单复合函数的导数求解技巧。

最后结合习题，让学生运用所学技巧，建立简单复合函数的直观印象，达到提升个人解题技能的目的。

三、教学过程
1. 呈现复合函数：了解基本定义和函数结构，简单讲解已有函数的求
导法与复合函数求导法的不同。

2. 学习练习：给出学习练习，向学生展示给定函数的函数表达式，引导学生根据函数表达式求求解复合函数的导数步骤。

3. 探究题：利用引导性探究题，让学生通过比较同类型函数，对复合函数形式和求导规律进行归纳，结合习题在熟练的背景里建立简单复合函数的直观印象。

4. 练习：结合习题，让学生掌握求解简单复合函数的技巧，学会分类求复合函数的导数，提升个人解题技能。

五、教学反思
复合函数的导数的求解在数学里有较多的定理和技巧，建议多利用实际案例，让同学们熟练掌握技巧，提高解题能力。

第8课时 简单复合函数的导数教学目标：1.了解复合函数的概念,会求简单复合函数的导数；2.能在具体问题中利用复合函数的求导法则解决问题。

教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用. 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解. 教学过程： 一.问题情境:1.常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数); 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且; ()'x x e e =1(ln )'x x =; 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且; x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=.2.法则1: []()()''()'()f x g x f x g x ±=±． 法则2: []()'()'cf x cf x =.法则3: []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+.法则4: '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭. 3.问题:如何求函数2(31)y x =-和sin 2y x =的导数呢?二. 建构数学先求函数2(31)y x =-的导数：方法一：22[(31)](961)186x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-的复合函数(由基本初等函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量)，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(31)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)31812u x y u u x x ''==-=-，从而有x u x u y y '''⋅=. 再求sin 2y x =的导数.(参见课本)一般地,我们有:若(),,y f u u ax b ==+则,x u x y y u '''=⋅即.x u y y a ''=⋅三.数学运用例1.求下列函数的导数:(课本例1)⑴3(23)y x =-； (2)ln(51)y x =+. 例2. 求下列函数的导数:(课本例2)⑴131y x =-; ⑵cos(12);y x =-(3)sin()4y x π=-.例3．（2006年全国卷I ）设函数())()cos 0f x ϕϕπ=+<<.若()()/f x f x +是奇函数，求ϕ.解:()))'sin'f x ϕϕϕ=-++=+()()()))'2cos cossinsin332cos 3h x f x f x ππϕϕπϕ=+⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎫=++⎪⎭要使()h x 为奇函数，需且仅需()32k k Z ππϕπ+=+∈，即：()6k k Z πϕπ=+∈.又0ϕπ<<，所以k 只能取0，从而6πϕ=. 例4.(备用)证明:可导的偶函数的导函数为奇函数. 证：设()f x 是偶函数，即()()f x f x -=, u x =-.注:在证明本题之前,先举特例感受一下.练习:1.证明:可导的奇函数的导函数为偶函数.2．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y =(5x －3)4 ;(2)y =(2+3x )5; (3)y =sin nx; (4)4)31(1x y -=. 答案：(1) 20(5x －3)3 ; (2) 15(2+3x )4; (3) n cos nx(4)解：在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．如此题的解题过程可以直接写成45'[(13)]'4(13)(3)x y x x --=-=--⋅-5)31(12--=x 5)31(12x -=．四.回顾小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解—求导—相乘—回代.(3)复合函数的导数是导数的难点. 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解.五.导数及其应用作业8答案: 1.(1)函数y =2)13(1-x 的导数是 . (2)函数y =sin(3x －6π)的导数是 . 3cos(3x －6π)(3)函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是 . 6 2. (1)函数y =21sin2x +sin x 的导数是 . cos2cos x x + (2)函数y =x cos x －sin x 的导数为 . －x sin x 3、设)(,)(3bx a f x x f -=的导数是 .2)(3bx a b -- 4.(1)曲线y =sin3x 在点P （3π,0）处切线的斜率为___________. (2)函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 .024=-+πy x()()(),()()()(),()f x x f x f x f x f x f x f x ''''''''∴-⋅-=--=∴-=-∴故是奇函数5.点P 在曲线323+-=x x y 上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是 . 3[0,)[,)24πππ⋃6.设对于任意的x ，都有0)(),()(0≠-=-'-=-k x f x f x f ，则0()f x '= .7.曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离． 解: y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x , y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为 y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 8.已知抛物线C 1：y=x 2+2x 和C 2：y=－x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程. 分析：根据导数可以求得两切线的方程，有且仅有一条公切线即两方程为同一个方程，可以求a 的值. 解：函数y=x 2+2x 在点(x, y)处切线的斜率为2x+2,曲线C 1在点P （x 1,x 21+2x 1）的切线方程是：y －(x 21+2x 1)=(2x 1+2)(x －x 1),即 y=(2x 1+2)x －x 21 ① 同理函数y=－x 2+a 在点Q （x 2,－x 22+a ）的切线方程是即y －(－x 22+a)=－2x 2(x －x 2). y=－2x 2x+x 22+a . ②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，x 1+1=－x 2所以－x 21=x 22+a.消去x 2得方程 2x 21+2x 2+1+a=0.若判别式△=4－4×2（1+a ）=0时，即a=－21时解得x 1=－21，此时点P 与Q 重合. 即当a=－21时C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x －41.导数及其应用作业8班级 姓名1.(1)函数y =2)13(1-x 的导数是 .(2)函数y =sin(3x －6π)的导数是 .(3)函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是 . 2. (1)函数y =21sin2x +sin x 的导数是 . (2)函数y =x cos x －sin x 的导数为 . 3、设)(,)(3bx a f x x f -=的导数是 . 4.(1)曲线y =sin3x 在点P （3π,0）处切线的斜率为___________. (2)函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 .5.点P 在曲线323+-=x x y 上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是 . 6.设对于任意的x ，都有0)(),()(0≠-=-'-=-k x f x f x f ，则0()f x '= .7.曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．8.已知抛物线C 1：y=x 2+2x 和C 2：y=－x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.。