简单复合函数求导

2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）复合函数(())y f g x =的导数求法： ①换元，令()u g x =（内函数），则()y f u =（外函数） ②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅ ③回代()u g x =规律：复合函数的导数=内函数的导数乘以外函数的导数例：1．设()()2ln 333f x x x =+-，则()1f '=（ ）A ．112-B ．356-C ．0D ．3562．设()0sin 2cos2f x x x =+，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n N ∈，则()2022f x =（ ） A ．()20212cos2sin 2x x - B ．()20222cos2sin 2x x -- C ．()20212cos2sin 2x x +D ．()20222cos2sin 2x x -+3．函数()2cos 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其导函数为函数()'f x ，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________．4．函数212e ()x f x x -=在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程是_________． 5．求下列函数的导数： (1)()cos 34y x =+； (2)214x y -=； (3)()521y x =-； (4)()3log 51y x =-.举一反三：1．已知函数()cos 2f x x =，那么()6f π'的值为（ ）A ．32-B ．32C ．3D ．3-2．已知函数()f x 及其导函数()f x '，若存在0x 使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是( )A ．()2f x x = B ．()ln f x x = C ．()e xf x -= D ．()cos f x x =3．已知函数()()()2e 0ln 4xf f x x '=++，则()0f '=______．4．求下列函数的导数：(1)222e e x x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)22x y a x =+； (3)43sin 3cos 4y x x =⋅； (4)()ln ln 11x xy x x =-++． 5．如图，一个物体挂在铅直的弹簧下面，已知其位移sin y A t ω=，其中t 为时间，A 为振幅，ω为常数.(1)求物体的速度与加速度关于时间的函数； (2)试讨论物体的位移、速度与加速度的关系.巩固提升一、单选题1．已知()21x f x x e -+，则()0f '=（ ） A ．0B ．2C ．32D ．12-2．下列关于函数()21ny x =-的复合过程与导数运算正确的是（ ）A ．()1n y u =-，2u x =，()21ny nx u '=- B ．n y t =，()21nt x =-，()121n y nx t -'=-C ．n y u =，21u x =-，()1221n y nx x -'=-D ．n y u =，21u x =-，()121n y n x -'=-3．已知1y x =-与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．24．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()2402tN t N -=，其中0N 为0=t 时钍234的含量.已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()96N =（ ） A ．12B ．12ln2C ．24D ．24ln25．已知0a b >>，函数axy e =在0x =处的切线与直线20x by -=平行，则22a ba b+-的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数()()ln e f x x x =+，()()2131a g x x -=--，若直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =都相切，则实数a 的值为（ ）A ．54B ．1716C ．178D ．17e8二、多选题7．下列各式正确是（ ） A ．sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()()1ln x x'-=C ．()222x x e e '=D ．()12x x '=-8．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数()()()1*7sin 212N 1i i x f x i i =-⎡⎤⎣⎦=∈-∑的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）为周期函数，且最小正周期为π B ．函数f （x ）为奇函数C ．函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝2π对称 D ．函数()'f x 有最大值为7三、填空题9．函数()e cos2xf x x =的导函数()f x '=___________.10．某个弹簧振子在振动过程中的位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的关系516sin 62y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该振子在6s t =时的瞬时速度为___________mm/s .四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()()521f x x =+；(2)()2sin f x x =；(3)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(4)()()ln 1f x x =+．12．某港口在一天24h 内潮水的高度S （单位：m ）随时间t （单位：h ，024t ≤≤）的变化近似满足关系式π5π()3sin 126S t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求18点时潮水起落的速度．。

第5课时简单复合函数的求导法则（解析）重点:能够利用复合函数的求导法则,对形如f(ax+b)的复合函数求导.难点:简单复合函数的求导法则的应用.海上一艘油轮发生了泄漏事故,泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜,油膜的面积S(单位:m2)关于油膜半径r(单位:m)的函数为S=f(r)=πr2.油膜的半径r随着时间t(单位:s)的增加而增大,假设r关于t的函数为r=φ(t)=2t+1,则油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少?预学1:常用的基本初等函数中学数学中常用的基本初等函数有:一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等.想一想:中学数学中常用的基本初等函数的表达式有哪些?【解析】一次函数:y=kx+b(k≠0),二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0),反比例函数:y=(k≠0),幂函数:y=xα,指数函数:y=a x(a>0,a≠1),对数函数:y=log a x(a>0,a≠1),三角函数:y=sin x,y=cos x,y=tan x,等等.预学2:复合函数的概念及拆分方法一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),给定一个x值,就得到了u的值,进而确定了y的值,这就确定了一个新的函数y=f(g(x)),这个新函数是由y=f(u)和u=g(x)复合而成的,我们称这个新函数为复合函数,记作y=f(g(x)).特别地,当g(x)=ax+b 时,这个复合函数就是y=f(ax+b),其中u为中间变量,把函数f(u)叫作外层函数,函数g(x)叫作内层函数.议一议:下列函数分别是由哪两个函数复合而成的?(1)y=2-x+1;(2)y=cos;(3)y=lg(3-2x).【解析】(1)函数y=2-x+1是由函数y=2u和u=-x+1复合而成.(2)函数y=cos是由函数y=cos u和u=x+复合而成.(3)函数y=lg(3-2x)是由函数y=lg u和u=3-2x复合而成.预学3:复合函数的求导法则复合函数y=f(u(x))的导数为y x'=[f(u(x))]'=f'(u)·u'(x).预学4:复合函数的求导步骤如果函数f(u)、u(x)有导数,那么[f(u(x))]'=f'(u)·u'(x).第一步:分层(从外向内分解成基本函数直到中间变量).第二步:层层求导(将分解所得的基本函数进行求导).第三步:作积还原(将各层基本函数的导数相乘,并将中间变量还原为原来的自变量).想一想:求函数y=的导数.【解析】引入中间变量u=g(x)=3x+1,则函数y=是由函数y==与u=g(x)=3x+1复合而成的.由导数公式可得f'(u)=,g'(x)=3.由复合函数的求导法则可得y'=()'=f'(u)g'(x)=×3=.1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是().A.y=u n,u=x2-1B.y=(u-1)n,u=x2C.y=t n,t=(x2-1)nD.y=(t-1)n,t=x2-1【答案】A2.已知f(x)=sin n x,则f'(x)=().A.n sin n-1xB.n cos n-1xC.cos n xD.n sin n-1x·cos x【解析】因为f(x)=sin n x由函数y=t n和t=sin x复合而成,所以f'(x)=y'·t'x=nt n-1·cos x=n sin n-1x·cos x.t【答案】D3.若f(x)=,则f'(0)=.【解析】因为f'(x)=(e x-e-x),所以f'(0)=0.【答案】04.求函数y=e2x cos 3x的导数.【解析】由导数的运算法则及复合函数的求导法则得y'=2e2x cos3x+e2x(-3sin 3x)=e2x(2cos 3x-3sin 3x).探究1:复合函数的定义【例1】指出下列函数是怎样复合而成的.(1)y=(2-x)3;(2)y=sin x2;(3)y=cos;(4)y=ln(3x+1).【方法指导】利用复合函数的定义即可知函数是怎样复合而成的.【解析】(1)函数y=(2-x)3由函数y=u3和u=2-x复合而成.(2)函数y=sin x2由函数y=sin u和u=x2复合而成.(3)函数y=cos由函数y=cos u和u=-x复合而成.(4)函数y=ln(3x+1)由函数y=ln u和u=3x+1复合而成.【变式设问】若将例1(3)变为y=cos2,试分析它是怎样复合而成的.提示:y=cos2==+sin x,此函数可看作y=+t和t=sin x复合而成.【针对训练1】指出下列函数由哪些函数复合而成.(1)y=ln;(2)y=;(3)y=cos(x+1).【解析】(1)y=ln u,u=.(2)y=e u,u=sin x.(3)y=cos u,u=x+1.探究2:简单复合函数的导数【例2】求下列函数的导数:(1)y=e2x+3;(2)y=;(3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x.【方法指导】先分析函数是怎样复合而成的,找出中间变量,分层求导.【解析】(1)函数y=e2x+3可看作函数y=e u和u=2x+3的复合函数,∴yx '=yu'·ux'=(e u)'(2x+3)'=2e u=2e2x+3.(2)函数y=可看作函数y=u-3和u=2x-1的复合函数,∴yx '=yu'·ux'=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4=-6(2x-1)-4=-.(3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,∴yx '=5yu'·ux'=5(log2u)'·(1-x)'==.(4)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sin x的复合函数,函数y=sin 3x 可看作函数y=sin v和v=3x的复合函数.∴yx'=(u3)'·(sin x)'+(sin v)'·(3x)'=3u2·cos x+3cos v=3sin2x cos x+3cos 3x.【变式设问】若将例2(1)变为y=(2x+3)e2x+3,试求其导数.提示:y'=2e2x+3+2(2x+3)e2x+3=4(x+2)e2x+3.【针对训练2】求下列函数的导数:(1)y=(3x-2)2;(2)y=ln(6x+4);(3)y=sin;(4)y=;(5)y=sin;(6)y=cos2x.【解析】(1)y'=2(3x-2)·(3x-2)'=18x-12.(2)y'=·(6x+4)'=.(3)∵y=-sin·cos=-sin x,∴y'='=-cos x.(4)y'=·(2x-1)'=.(5)y'=cos·'=3cos.(6)y'=2cos x·(cos x)'=-2cos x·sin x=-sin 2x.探究3:简单复合函数导数的应用【例3】求曲线f(x)=e2x+1在点处的切线方程.【方法指导】利用导数的几何意义先求出切线的斜率,再写出直线的点斜式方程.【解析】因为f'(x)=e2x+1·(2x+1)'=2e2x+1,所以f'=2,故曲线f(x)=e2x+1在点处的切线方程为y-1=2,即2x-y+2=0.【变式设问】求曲线f(x)=e2x+1过点的切线方程.提示:设切点为(x0,),则切线l的斜率为k=2,故切线方程为y-=2(x-x0),将点代入,可得x0=0,故切点为(0,e),因此所求的切线方程为y=2e x+e.【针对训练3】已知曲线f(x)=e2x cos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与直线l的距离为,求直线l的方程.【解析】因为f'(x)=(e2x cos 3x)'=(e2x)'cos 3x+e2x(cos 3x)'=2e2x cos 3x+e2x(-3sin 3x)=e2x(2cos 3x-3sin 3x),所以f'(0)=2.则切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.因为直线l与切线平行,设直线l的方程为2x-y+c=0.又两平行线间的距离d==,解得c=6或c=-4.所以直线l的方程为2x-y+6=0或2x-y-4=0.1.简单复合函数求导的一般步骤为“分层——求导——回代”,即:(1)弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式;(2)利用求导法则分层求导;(3)最终结果要将中间变量换成原来的自变量.注意不要漏掉第(3)步回代的过程.2.(1)对于简单复合函数的求导,分析复合函数的结构,找准中间变量是求导的关键,要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体,并且它们必须是一些常见的基本函数.(2)对复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,从外层开始由外向内逐层求导.3.求曲线的切线方程要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”这两种不同的说法.1.下列函数不是复合函数的是().A.y=-x3-+1B.y=cosC.y=D.y=(2x+3)4【解析】函数y=cos由函数y=cos u和u=x+复合而成;函数y=由函数y=和u=ln x复合而成;函数y=(2x+3)4由函数y=u4和u=2x+3复合而成;函数y=-x3-+1不是复合函数.【答案】A2.函数y=的导数是().A.y'=B.y'=C.y'=-D.y'=-【解析】由于y==(3x-1)-2,故y'=-2(3x-1)-3(3x-1)'=-6(3x-1)-3=-.【答案】C3.已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为.【解析】∵y=ln(x+a),∴y'=.设切点为(x0,y0),则y0=2x0-1,y0=ln(x0+a),且=2,解得a=ln 2.【答案】ln 24.已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线.求切线l的方程.【解析】f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1.所以f'(x)=2ax-2+=,所以f'(0)=-1,所以切点P的坐标为(0,1),切线l的斜率为-1,所以切线l的方程为x+y-1=0.【案例】已知函数f(x)=-x2+b ln(x+2),x>-2.问题1:若函数f(x)在点x=-1处的切线过点,试求b的值.【解析】由题意可知f(-1)=-.因为f'(x)=-x+,所以f'(-1)=1+b,所以切线方程为y+=(1+b)·(x+1).又切线过点,所以+=(1+b),所以b=1.问题2:若b=3,解不等式f'(x)>0.【解析】f'(x)=-x+=>0,因为x+2>0,所以不等式可等价为-x2-2x+3>0,即x2+2x-3<0,解得-3<x<1.问题3:若f'(x)≤0在x∈(-1,+∞)上恒成立,求b的取值范围.【解析】由题意可知b≤x(x+2)=(x+1)2-1在x∈(-1,+∞)上恒成立,所以b≤-1.【评析】本题综合考查了导数的求法、导数的几何意义、一元二次不等式的解法、恒成立问题等,解题的关键是利用复合函数的求导公式、不等式的解法等进行运算,体现了对数学运算素养的考查,为导数的应用奠定基础.基础达标(水平一)1.函数f(x)=(2kx)2的导数是().A.f'(x)=4kxB.f'(x)=4k2xC.f'(x)=8kxD.f'(x)=8k2x【解析】f'(x)=2(2kx)(2kx)'=8k2x.【答案】D2.若函数f(x)=3sin,则f'=().A.-3 B.3 C.-6 D.6【解析】因为f'(x)=3cos·'=6cos,所以f'=6cos=-3.【答案】A3.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为().A.1B.2C.-1D.-2【解析】设切点P(x0,y0),则y0=x0+1=ln(x0+a).又由y'==1,解得x0+a=1,∴y0=0,x0=-1,∴a=2.【答案】B4.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=().A.0B.1C.2D.3【解析】令f(x)=ax-ln(x+1),则f'(x)=a-.由f'(0)=a-1=2,得a=3.【答案】D5.若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.【解析】设P(x0,y0),因为y=e-x,所以y'=-e-x.故点P处的切线斜率为k=-=-2,所以-x0=ln 2,得x0=-ln 2,所以y0=e ln 2=2,即点P的坐标为(-ln 2,2).【答案】(-ln 2,2)6.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为.【解析】∵y'=-2e-2x,∴y'|x=0=-2,切线方程为y=-2x+2.∴所围成的三角形的三个顶点为(0,0),(1,0),.∴三角形的面积S=×1×=.【答案】7.设函数f(x)=x+ln(x-5),g(x)=ln(x-1),解不等式f'(x)>g'(x).【解析】因为f'(x)=1+,g'(x)=,由f'(x)>g'(x),得1+>,即>0,解得x>5或x<1.又两个函数的定义域为即x>5,所以不等式f'(x)>g'(x)的解集为(5,+∞).拓展提升(水平二)8.曲线y=x e x-1在点(1,1)处的切线斜率等于().A.2eB.eC.2D.1【解析】y'=e x-1+x e x-1=(1+x)e x-1,∴y'|x=1=2,即曲线y=x e x-1在点(1,1)处的切线斜率k=2.【答案】C9.已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是().A.(-∞,-1)∪(-1,0)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(-1,0)∪(0,+∞)D.a∈R且a≠0,a≠-1【解析】假设存在实数m,使直线l是曲线y=f(x)的切线,∵f'(x)=2sin x cos x+2a=sin 2x+2a,∴方程sin 2x+2a=-1有解,∴-1≤a≤0.故所求a的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞),故选B.【答案】B10.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=.【解析】因为f'(x)=-sin(x+φ),所以f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sin.若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0,即2sin=0,所以φ+=kπ(k∈Z).又φ∈(0,π),即φ=.【答案】11.若点P是曲线y=e x+1上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.【解析】根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e x+1相切于点(x0,y0),该切点即为与直线y=x距离最近的点.如图,则在点(x0,y0)处的切线斜率为1,即当x=x时,y'=1.因为y'=(e x+1)'=e x+1,所以=1,得x0=-1,代入y=e x+1,得y0=1,即P(-1,1).利用点到直线的距离公式得最小距离为.。

复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x);
②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);
1什么是复合函数
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。

2复合函数怎么求导
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
比如说：求ln(x+2)的导函数
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数
x'】×1【注：1即为(x+2)的导数】
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

复合函数求导方法在微积分中，复合函数是一种十分常见的函数形式，它由两个或多个函数组合而成。

对于复合函数的求导，我们需要掌握一定的方法和技巧。

本文将介绍复合函数求导的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来回顾一下基本的导数求法。

对于一个函数y=f(x)，它的导数可以用极限的形式表示为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]这是导数的定义式，也是我们求导的基本方法。

而对于复合函数，我们需要使用链式法则来进行求导。

链式法则的表述如下，若函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))可导，并且有。

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]这就是链式法则的数学表达形式。

简单来说，就是先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。

下面我们通过实例来具体说明复合函数求导的方法。

假设我们要求函数y=(x^2+1)^3的导数。

首先，我们可以将这个函数看作外层函数f(u)=u^3，内层函数u=g(x)=x^2+1。

按照链式法则，我们先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。

首先，对外层函数f(u)=u^3求导，得到f'(u)=3u^2。

然后，对内层函数u=g(x)=x^2+1求导，得到g'(x)=2x。

最后，将两者相乘，得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为：\[ \frac{dy}{dx} = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2 \]这就是复合函数求导的具体步骤和结果。

通过这个例子，我们可以看到，复合函数求导并不难，只需要按照链式法则的步骤进行，便可以得到结果。

除了链式法则，我们在求导复合函数时还可以使用其他方法，比如对数导数法则、指数导数法则等。

复合函数求导公式16个求导是微积分中的一个重要概念，是用来确定函数在其中一点的变化率的工具。

而复合函数则是由多个函数组合而成的新函数，其求导过程相对复杂一些。

下面将介绍16个常见的复合函数求导公式。

1.设有函数y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))。

对这个复合函数求导，可以使用链式法则。

链式法则给出了复合函数求导的一个基本公式：(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx)这个公式表示，对于复合函数y=f(g(x))，其导数等于f'(g(x))*g'(x)。

2.平方函数的链式法则：设有函数y=f(u)=u^2，u=g(x)，则y=f(g(x))=g(x)^2、求导的结果为：(dy/dx) = 2 * g(x) * g'(x)3.倒数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=1/u，u=g(x)，则y=f(g(x))=1/g(x)。

求导的结果为：(dy/dx) = -g'(x) / (g(x))^24.指数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=e^u，u=g(x)，则y=f(g(x))=e^(g(x))。

求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) * e^(g(x))5. 对数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=ln(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=ln(g(x))。

求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) / g(x)6. 正弦函数的链式法则：设有函数y=f(u)=sin(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=sin(g(x))。

求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) * cos(g(x))7. 余弦函数的链式法则：设有函数y=f(u)=cos(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=cos(g(x))。

求导的结果为：(dy/dx) = -g'(x) * sin(g(x))8. 正切函数的链式法则：设有函数y=f(u)=tan(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=tan(g(x))。

《1.2.3简单复合函数的求导》教学设计（共1课时，第1课时）【课程标准要求】利用导数的概念能求简单的复合函数的导数。

【教学目标】1.理解掌握复合函数的求导法则。

2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导。

3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律。

【学情与内容分析】本节在教材中起到了“承上启下”的作用，是前几节内容知识的延续，也是后面研究导数在函数中应用等函数综合问题的基础。

前几节学习了导数基本概念、基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算法则。

教材以“你会求sin(21)y x =+的导数吗？”这个问题引入， 这个函数是不能通过基本初等函数的四则运算得到的，旧知识是不能求导的，那么我们有必要去研究这类函数的求导方法，激发学生对新知的求知欲。

在求导之前要弄清楚函数的结构，首先是引导学生分析sin(21)y x =+这个特殊复合函数的结构，让学生感受函数的复合过程，初步感知“复合函数”的概念，然后给出了复合函数的一般概念，体会数学抽象的过程。

在理解复合函数“复合”的过程中，重点引导学生理解因变量是如何通过中间变量表示为自变量的函数过程，自变量、中间变量、因变量是什么。

然后引导学生利用导数的定义来推导复合函数的求导公式，即((()))(())g ()f g x f g x x '''=，最后举例应用。

本节主要采用了“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的数学思想方法，体现数学学科核心素养。

【教学准备】多媒体课件，挂图，实物，模型，仪器。

【难重点】重点：复合函数的结构分析、复合函数的求导法则推导及应用。

难点：复合函数的结构分析、求导法则的推导。

【教学过程】,),0h dx ，(),()(f u x g x '→'→记作)【板书设计】【评价设计】【作业设计】1、完成导学案内容；2、教材P26 1题、P27 8题【教学反思】。

复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。

下面是由小编小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。

Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

复合函数求导公式16个在微积分中，复合函数是指由两个或多个函数构成的函数。

求复合函数的导数是微积分中的一个重要概念。

下面将介绍复合函数求导的16种常见公式。

1.线性函数复合如果y是x的线性函数，z是y的线性函数,即 $y=ax+b$ ,$z=cy+d$, 那么z是x的线性函数,即 $z=acx+(ad+bc)$。

2.指数函数复合如果y是x的指数函数，即$y=a^x$,z是y的指数函数，即$z=a^y$，那么z是x的指数函数，即$z=a^{a^x}$。

3.对数函数复合如果y是x的对数函数，即 $y=\log_a(x)$ ，z是y的对数函数，即 $z=\log_a(y)$ ，那么z是x的对数函数，即$z=\log_a(\log_a(x))$。

4.幂函数复合5.反三角函数复合如果y是x的反三角函数，即 $y=\sin^{-1}(x)$ ，z是y的反三角函数，即 $z=\sin^{-1}(y)$ ，那么z是x的反三角函数，即$z=\sin^{-1}(\sin^{-1}(x))$。

6.反双曲函数复合如果y是x的反双曲函数，即 $y=\sinh^{-1}(x)$ ，z是y的反双曲函数，即 $z=\sinh^{-1}(y)$ ，那么z是x的反双曲函数，即$z=\sinh^{-1}(\sinh^{-1}(x))$。

7.三角函数复合如果y是x的三角函数，即 $y=\sin(x)$ ，z是y的三角函数，即$z=\sin(y)$ ，那么z是x的三角函数，即 $z=\sin(\sin(x))$。

8.双曲函数复合如果y是x的双曲函数，即 $y=\sinh(x)$ ，z是y的双曲函数，即$z=\sinh(y)$ ，那么z是x的双曲函数，即 $z=\sinh(\sinh(x))$。

9.反函数复合如果y是x的反函数，即$y=f^{-1}(x)$，z是y的反函数，即$z=f^{-1}(y)$，那么z是x的反函数，即$z=f^{-1}(f^{-1}(x))$。