数学选择性必修二 第五章 5.2.3 简单复合函数的导数

所以f′(2)＝a＋b4 ＝47 .②
4a－b＝1， 由①②得
4a＋b＝7，
a＝1， 解得
b＝3.
故f(x)＝x－x3
.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋
3 x2
知，曲线在点P(x0，y0)处的切线
方程为y－y0＝1＋x320
(x－x0)，
即y－x0－x30
＝1＋x320
【拓展延伸】导数运算法则的推广 (1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导数仍然成立．两个函数和 (差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′ ＝f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x). (2)积的导数公式的拓展，若 y＝f1(x)f2(x)…fn(x)，则有 y′＝f1′(x)f2(x)…fn(x)＋ f1(x)f2′(x)…fn(x)＋…＋f1(x)f2(x)…fn′(x).
y′x＝y′u·u′x＝eu·(－ax2＋bx)′ ＝eu·(－2ax＋b)＝(－2ax＋b)·e－ax2＋bx .
(2)①f(x)＋f′(x)＝cos ( 3 x＋φ)－sin ( 3 x＋φ)( 3 x＋φ)′
＝cos (
3 x＋φ)－
3 sin (
3
x＋φ)＝2sin
3x＋φ＋56π .
因为 0＜φ＜π，f(x)＋f′(x)是奇函数，所以 φ＝π6 .
′＝
（1－x）2
cos x－sin x＋x sin x
＝
（1－x）2
.
【补偿训练】
x2＋a2 当函数y＝ x (a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于( )
A．a

成，所以 ′ ()
=
′
⋅
′
1

= ⋅2=
2
，得 ′ (1)
2+1
=
2
.
3
探究点二 复合函数与导数四则运算法则的综合
例 求下列函数的导数：
（1） = sin 2 + cos 2 ；
[答案] 解法一（复合函数求导）：
对于函数 = sin 2 ，令 = 2 ，则 = sin ，
所以 ′ = ′ ⋅ ′ = cos ⋅ 2 = 2 cos 2 .
对于函数 = cos 2 ，令 = 2 ，则 = cos ，
所以 ′ = ′ ⋅ ′ = −sin ⋅ 2 = −2 sin 2 .
所以函数 = sin 2 + cos 2 的导数为 ′ = 2 cos 2 − 2 sin 2 = 2 2sin(2 +
由题意，得
3
2
+ =
3
2
，故 = 0 .
综上所述， = 0, = −1 .
1. 函数 = (2021 − 3)3 的导数 ′ = (
D
)
A. 3(2021 − 3)2
B. −9
C. 9(2021 − 3)2
D. −9(2021 − 3)2
2. 下列求导数结果正确的是(
3π
).
4
解法二（利用导数的四则运算法则）：
∵ = sin 2 + cos 2 = 2 sin cos + (cos + sin ) ⋅ (cos − sin ) ，
∴ ′ = 2 cos 2 − 2 sin2 + (cos − sin )2 − (sin + cos )2

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
例6求下列函数的导数：
（1）
（2）
（3）
解：
（1）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
（2）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
（3）函数 可以看作函数 和 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
例7某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式
3设函数f(x)的导函数是 ，若
，则 __ .
解：
则
∴
∴
∴
∴ .
4已知函数 为可导的偶函数，
（c为常数），若 ，则 __.-2
解：
∵ ， 为可导的偶函数，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
开门见山，提出问题，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。
通过对复合函数的概念及求导法则的学习，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。
（1）函数 的中间变量为
.则函数的导数为，
（2）函数 的中间变量为
.则函数的导数为，
（3）
函数 的中间变量为
.则函数的导数为，
（4）
函数 的中间变量为
.则函数的导数为，
（5）
函数 的中间变量为
.则函数的导数为，
（6）
函数 的中间变量为
，所以
则函数的导数为，
2已知函数 ，若 ，则 ___1
解：
则 ，则 .
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
3例题讲解
4课堂练习
板书
1复合函数
2复合函数的求导法则

复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里求导，每 次求导都是针对着最外层的相应变量进行的，直至求到最里层为 止，所谓最里层是指可以直接引用基本公式表进行求导．
课时学案
题型一 明确复合关系
例 1 指出下列函数的复合关系：
(1)y＝(2－x2)3；
(2)y＝sinx2；
(3)y＝cosπ4－x； (4)y＝lnsin(3x－1)．
2．若可导函数 f(x)满足 f′(3)＝9，则 f(3x2)在 x＝1 处的导数 值为_____54___．
解析 ∵[f(3x2)]′＝f′(3x2)(3x2)′＝6xf′(3x2)， ∴f(3x2)在 x＝1 处的导数值为 6×1×f′(3)＝54.
3．求下列函数的导数：
(1)y＝sin22x＋π3； (2)y＝cos22x；
【解析】 (1)设 y＝u2，u＝－2x＋1，则 y′x＝y′u·u′x＝2u·(－ 2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.
(2)设 y＝eu，u＝x－1，则 y′x＝y′u·u′x＝eu·1＝ex－1.
(3) 设
y ＝ log2u ， u ＝ 2x ＋ 1 ， 则
y′x
＝
y′u
·
u
′
x
＝
2 uln2
【解析】 ∵y＝ x21－3x＝(x2－3x)－12， ∴y′＝－12(x2－3x)－32·(x2－3x)′ ＝－12(x2－3x)－32·(2x－3)． ∴曲线 y＝ x21－3x在点4，12处的切线斜率为 k＝y′|x＝4＝－ 12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－156. ∴曲线在点4，12处的切线方程为 y－12＝－156(x－4)，即 5x ＋16y－28＝0.
【解析】 (1)函数的导数 f′(x)＝12· 3x12＋1·6x＝ 3x32x＋1， 则曲线在点(1，2)处的切线斜率 k＝f′(1)＝ 33＋1＝32，则对应 的切线方程为 y－2＝32(x－1)， 即 3x－2y＋1＝0. (2)y′＝x(1－x2)－32，令 y′＝0，得 x＝0，∴y＝1.

答案：1－2xx4
题型二 与复合函数有关的切线问题 [学透用活]
[典例 2] (2018·全国卷Ⅱ)曲线 y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程 为________．
[解析] 因为 y＝2ln(x＋1)，所以 y′＝x＋2 1. 当 x＝0 时，y′＝2，所以曲线 y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程 为 y－0＝2(x－0)，即 y＝2x. [答案] y＝2x
[方法技巧] 求复合函数的导数的步骤
[对点练清] 1．函数 y＝cos(2x2＋x)的导数 y′＝________．
解析：∵y＝cos(2x2＋x)，∴y′＝－sin(2x2＋x)·(4x＋1)＝－(4x＋ 1)sin(2x2＋x)． 答案：－(4x＋1)sin(2x2＋x)
2．函数 y＝ln 解析：y′＝
[方法技巧] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在求 有关切线的问题中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义， 导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．
[对点练清] 1．设曲线 y＝eax－ln(x＋1)在 x＝0 处的切线方程为 2x－y＋1＝0，则 a
＝________. 解析：∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－x＋1 1， ∴当 x＝0 时，y′＝a－1， ∵曲线 y＝eax－ln(x＋1)在 x＝0 处的切线方程为 2x－y＋1＝0， ∴a－1＝2，即 a＝3. 答案：3
[解] 函数 f(t)＝21t＋001是函数 f(u)＝1u00和函数 u＝φ(t)＝2t＋1 复合 而成的，其中 u 是中间变量．
由复合函数的求导法则，可得 h′t＝f′(t)＝f′(u)φ′(t)＝1u00′·(2t＋1)′ ＝－1u020·2＝－2t2＋0012. 将 t＝3 代入 f′(t)，得 f′(3)＝－24090(cm/s)． 它表示当 t＝3 时，水面高度下降的速度为24090 cm/s.

5.2.3简单复合函数的导数要点一 复合函数的定义一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f(g(x)) 要点二 复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积，即若y ＝f (g (x ))，则y ′＝[f (g (x ))]′＝f ′(g (x ))·g ′(x ) 【重点小结】(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y ＝f(ax ＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax ＋b) ′·f ′(ax ＋b)＝af ′(ax ＋b)． 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y ＝log 3(x ＋1)是由y ＝log 3t 及t ＝x ＋1两个函数复合而成的．( ) (2)函数f (x )＝e －x 的导数是f ′(x )＝e －x .( ) (3)函数f (x )＝ln (1－x )的导数是f ′(x )＝11－x .( )(4)函数f (x )＝sin 2x 的导数是f ′(x )＝2 cos 2x .( ) 【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√ 2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是( ) A ．y ＝ln (x －2) B ．y ＝ln x ＋x －2 C ．y ＝(x －2)ln x D ．y ＝ln 2x 【答案】AD【解析】函数y ＝ln(x －2)是由函数y ＝ln u 和u ＝g (x )＝x －2复合而成的，A 符合；函数y ＝ln 2x 是由函数y ＝ln u 和u ＝2x 复合而成的，D 符合，B 与C 不符合复合函数的定义．故选AD. 3．若函数f (x )＝3cos(2x ＋π3)，则f ′(π2)等于( )A ．－3 3B ．33C ．－6 3D ．63 【答案】B【解析】f ′(x )＝－6sin(2x ＋π3)∴f ′(π2)＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2×π2＋π3＝6sin π3＝6×32＝3 3.故选B.4．曲线y ＝e －x 在点(0,1)的切线方程为________．【答案】x ＋y －1＝0 【解析】∵y ＝e －x ∴y ′＝－e －x ∴y ′|x ＝0＝－1∴切线方程为y －1＝－x 即x ＋y －1＝0题型一 求复合函数的导数【例1】写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数． (1)y ＝1(3－4x )4；(2)y ＝cos(2 008x ＋8)； (3)y ＝21－3x；(4)y ＝ln(8x ＋6)．【解析】(1)引入中间变量u ＝φ(x )＝3－4x .则函数y ＝1(3－4x )4是由函数f (u )＝1u 4＝u －4 与u ＝φ(x )＝3－4x 复合而成的．查导数公式表可得f ′(u )＝－4u －5＝－4u 5，φ′(x )＝－4.根据复合函数求导法则可得⎣⎡⎦⎤1(3－4x )4′＝f ′(u )φ′(x )＝－4u 5·(－4)＝16u 5＝16(3－4x )5.(2)引入中间变量u ＝φ(x )＝2 008x ＋8，则函数y ＝cos(2 008x ＋8)是由函数f (u )＝cos u 与u ＝φ(x )＝2 008x ＋8复合而成的，查导数公式表可得 f ′(u )＝－sin u ，φ′(x )＝2 008. 根据复合函数求导法则可得[cos(2 008x ＋8)]′＝f ′(u )φ′(x )＝(－sin u )·2 008 ＝－2 008sin u ＝－2 008sin(2 008x ＋8)． (3)引入中间变量u ＝φ(x )＝1－3x ， 则函数y ＝21－3x是由函数f (u )＝2u 与u ＝φ(x )＝1－3x 复合而成的，查导数公式表得f ′(u )＝2u ln 2，φ′(x )＝－3， 根据复合函数求导法则可得 (21－3x)′＝f ′(u )φ′(x )＝2u ln 2·(－3)＝－3×2u ln 2＝－3×21－3xln 2.(4)引入中间变量u ＝φ(x )＝8x ＋6，则函数y ＝ln(8x ＋6)是由函数f (u )＝ln u 与u ＝φ(x )＝8x ＋6复合而成的，查导数公式表可得f ′(u )＝1u ，φ′(x )＝8.根据复合函数求导法则可得[ln(8x ＋6)]′＝f ′(u )·φ′(x )＝8u ＝88x ＋6＝44x ＋3.选取中间变量，确定原函数复合方式，写出内层，外层函数表达式，利用复合函数求导法则求解 【方法归纳】复合函数求导的步骤【跟踪训练】求下列函数的导数． (1)y ＝e 2x ＋1. (2)y ＝1(2x －1)3.(3)y ＝5log 2(1－x )． (4)y ＝sin 3x ＋sin 3x .【解析】(1)函数y ＝e 2x ＋1可看作函数y ＝e u 和u ＝2x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1.(2)函数y ＝1(2x －1)3可看作函数y ＝u －3和u ＝2x －1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －3)′(2x －1)′＝－6u －4＝－6(2x －1)－4＝－6(2x －1)4.(3)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(5log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2.(4)函数y ＝sin 3 x 可看作函数y ＝u 3和u ＝sin x 的复合函数，函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数．所以y ′x ＝(u 3)′·(sin x )′＋(sin v )′·(3x )′＝3u 2·cos x ＋3cos v ＝3 sin 2 x cos x ＋3cos 3x . 题型二 复合函数求导法则的综合应用 【例2】(1)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．【答案】(1)2x －y ＝0【解析】(1)设x >0，则－x <0，因为x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，所以f (－x )＝e x －1＋x ，又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 1－1＋1＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即：2x －y ＝0. (2)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，则实数a 的值为__________．【解析】(2)因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)，所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118【方法归纳】准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 【跟踪训练2】(1)设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 【答案】(1)2 【解析】(1)令y ＝f (x )则曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(x )＝(e ax )′＝a e ax . 所以f ′(0)＝a e 0＝a 故a ＝2.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，则切线l 的方程为________；若直线l 与圆 C ：x 2＋y 2＝14相交，则实数u 的取值范围为________．【答案】(2)2(a －1)x －y ＋2－a ＝0 (118，＋∞)【解析】(2)f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)∴f ′(1)＝2a －2 又f (1)＝a∴切线l 的方程为：y －a ＝(2a －2)(x －1) 即2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交则圆心到直线l 的距离d ＝|2－a |4(a －1)2＋1<12.解得a >118，即实数a 的取值范围为(118，＋∞)．【易错辨析】对复合函数求导不完全致错 例3 函数y ＝x e 1－2x的导数y ′＝________. 【答案】(1－2x )e 1－2x【解析】y ′＝e 1－2x＋x (e 1－2x)′＝e 1－2x ＋x e 1－2x ·(1－2x )′ ＝e 1－2x＋x e 1－2x(－2)＝(1－2x )e 1－2x.【易错警示】 出错原因 对e 1－2x的求导没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全致错纠错心得复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，分步计算时，每一步都要明确是对哪个变量求导一、单选题1．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()242tN t N -=，其中0N 为0=t 时钍234的含量.已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()96N =（ ）A ．12B ．12ln2C ．24D ．24ln2【答案】C 【分析】对()N t 求导得()24012ln 224t N t N -⎛⎫'=⨯⨯- ⎪⎝⎭，根据已知有()248ln 2N '=-即可求0N ，进而求()96N .【解析】 由()242tN t N -=，得()24012ln 224t N t N -⎛⎫'=⨯⨯- ⎪⎝⎭，∵当24t =时，()242401242ln 28ln 224N N -⎛⎫'=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，解得02824384N =⨯⨯=，∵()243842t N t -=⨯，∵当96t =时，()96424963842384224N --=⨯=⨯=.故选：C.2．已知()f x '是函数()f x 的导数，且对任意的实数x 都有()()()e 22xf x x f x -'=--，()08f =则不等式()0f x <的解集是（ ）A ．()2,4-B ．()(),02,-∞+∞C ．()(),42,-∞-+∞D ．()(),24,-∞-+∞【答案】D 【分析】构造新函数()()x g x e f x =，求出()'g x 后由导函数确定()g x ，注意可得(0)8g =，从而得出()f x 的解析式，然后解不等式即可．设()()x g x e f x =，000)e )8((f g ==，因为()()()e 22xf x x f x -'=--，所以()()e (22)x f x f x x -'+=-，所以()e ()e ()e (()())22x x x g x f x f x f x f x x '''=+=+=-． 因此2()2g x x x c =-+，(0)8g c ==，所以2()28g x x x =-++， 228()e xx x f x -++=， 不等式()0f x <即为2280exx x -++< ，2280x x -->，解得2x <-或4x >． 故选：D ．3．已知0a b >>，函数axy e =在0x =处的切线与直线20x by -=平行，则22a b a b+-的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【分析】结合复合函数求导求出函数的导函数，进而求出切线的斜率，然后根据两直线平行斜率相等得到2ab =，进而结合均值不等式即可求出结果. 【解析】因为ax y e =，则ax y ae '=，因为切点为()0,1，则切线的斜率为k a =，又因为切线与直线20x by -=平行，所以2a b=，即2ab =， 所以()()222244a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥---， 当且仅当24ab a b a b =⎧⎪⎨-=⎪-⎩，即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，则22a b a b +-的最小值是4， 故选：C.4．已知函数()f x 在R 上可导，函数()()()2244F x f x f x =-+-，则()2F '等于（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B 【分析】利用复合函数求导法则运算即可.∵()()()2244F x f x f x =-+-，∵()()()222424F x xf x xf x '''=---，∵()()()240400F f f '''=-=. 故选：B.5．已知()2ln 2f x x x =，若()00f x x '=，则0x 等于（ ）A ．12 B ．1e 2C ．ln 2D ．1【答案】A 【解析】因为()2ln 2f x x x =，所以()2ln2f x x x x '=+，又()00f x x '=，所以002ln 20x x =，因为00x >，所以0ln 20x =，所以012x =. 故选：A.6．下列关于函数()21ny x =-的复合过程与导数运算正确的是（ ）A ．()1n y u =-，2u x =，()21ny nx u '=- B ．n y t =，()21nt x =-，()121n y nx t -'=-C ．n y u =，21u x =-，()1221n y nx x -'=-D ．n y u =，21u x =-，()121n y n x -'=-【答案】C 【分析】直接根据函数()21ny x =-的结构，找到内层函数和外层函数，即可得解.【解析】由复合函数求导法则，知函数()21ny x =-由基本初等函数n y u =，21u x =-复合而成，所以()112221n n u x y y u nux nx x --'''=⋅=⋅=-.故选：C.7．函数2sin y x =的导数是（ ） A ．2sin x B ．22sin xC ．2cos xD ．sin 2x【答案】D 【分析】利用复合函数进行求导，即可得到答案； 【解析】2sin y x =，令sin u x =，则2y u =，从而cos 2cos 2sin cos x u y y x u x x x ''=⨯== sin 2x =.故选：D.8．函数e sin 2x y x =的导数为（ ） A ．2e cos2x y x '=B ．()e sin22cos2xy x x '=+C ．()2e sin22cos2xy x x '=+D ．()e 2sin2cos2xy x x '=+【答案】B 【分析】结合导数的运算法则即可求出结果. 【解析】由题意结合导数的运算法则可得()()()e sin 2e sin 2e sin 22cos2x x x y x x x x '''=⋅+⋅=+. 故选：B.二、多选题9．以下函数求导正确的是( ) A ．若()2211x f x x -=+，则()()2241x f x x '=+ B ．若()2e x f x =则()2e xf x '=C ．若()f x ()f x '=D ．设()f x 的导函数为()f x '，且()()232ln f x x xf x '=++，则()924f '=-【答案】ACD 【分析】利用求导法则逐项检验即可求解. 【解析】对于A ，()()()()()2222222112411x x x xxf x xx+--⋅'==++，故A 正确；对于B ，()22e 22e x xf x =⋅='，故B 错误；对于C ，()()()()111222121212212f x x x x --'⎡⎤'=-=⋅-⋅=-⎢⎥⎣⎦C 正确； 对于D ，()()1232f x x f x''=++，所以()924f '=-，故D 正确．故选：ACD.10．（多选）函数()x f x x =（0x >），我们可以作变形：()ln ln e e xx x x x f x x ===，所以()xf x x =可看作是由函数()e t p t =和()ln g x x x =复合而成的，即()x f x x =（0x >）为初等函数．对于初等函数()1x h x x =（0x >）的说法正确的是（ ） A ．无极小值 B ．有极小值1 C ．无极大值 D ．有极大值1e e【答案】AD 【分析】根据材料，把函数改写为复合函数的形式()111ln ln e exx x xxh x x ===，求导，分析导函数正负，研究极值，即得解【解析】根据材料知()111ln ln e exx x xxh x x ===，所以()ln ln 111ee ln x x xx x h x x '⎛⎫'=⋅=⋅ ⎪⎝⎭()1ln 222ln ln 111e 1x x x x x x x ⎛⎫-+=⋅- ⎪⎝⎭． 令()0h x '=，得e x =，当0e x <<时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增， 当e x >时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减， 所以()h x 有极大值()1e e e h =，无极小值 故选：AD ．11．函数()y g x =在区间[a ，]b 上连续，对[a ，]b 上任意二点1x 与2x ，有1212()()()22x x g x g x g ++<时，我们称函数()g x 在[a ，]b 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即()0g x ''>.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ） A ．2()log (0)f x x x => B ．()2x f x e x -=+C ．3()2(0)f x x x x =-+<D ．2()sin (0)f x x x x π=-<<【答案】BC 【分析】根据题目中定义，逐个判断各函数是否满足条件二阶导函数大于零，即可解出． 【解析】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足()0f x ''>在定义域内恒成立． 对于A ，2()log (0)f x x x =>，则2111()()0ln 2ln 2f x x x '''==-⋅<在0x >时恒成立， 不符合题意，故选项A 错误；对于B ，()2x f x e x -=+，则()(21)20x x f x e e --'''=-+=>恒成立， 符合题意，故选项B 正确；对于C ，3()2(0)f x x x x =-+<，则2()(32)60f x x x '''=-+=->在0x <时恒成立， 符合题意，故选项C 正确；对于D ，2()sin (0)f x x x x π=-<<，则()(cos 2)sin 20f x x x x ''=-'=--<在0πx <<时恒成立，不符合题意，故选项D 错误. 故选：BC.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．若定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x '->，13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()3xf x e >的解集为________________． 【答案】1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭【分析】 构造()3()xf x F e x =，由已知结合导数判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式. 【解析】构造()3()x f x F e x =，则()3363()3()()3()x x x x e f x e f x F f x f x e x e''-=-='， 函数()f x 满足()()30f x f x '->，则()0F x '>，故()F x 在R 上单调递增．又∵13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则113F ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则不等式3()x f x e >∵3()1x f x e >，即1()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 根据()F x 在R 上单调递增，可知1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭． 故答案为：1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭13．已知函数())()cos0f x θθπ=+<<，若()()f x f x '+是奇函数，则θ=______． 【答案】6π【分析】首先利用复合函数求导法则求出()f x '，然后利用辅助角公式化简()()f x f x '+，根据奇函数性质可得到()6k k Z πθπ-=∈，最后结合θ的范围即可求解.【解析】因为())f x θ'=+，所以()()))cos 2sin 6f x f x πθθθ⎫'+=++=-+-⎪⎭， 若()()f x f x '+为奇函数，则()()000f f '+=，即2sin 06πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()6k k Z πθπ-=∈，又因为()0,θπ∈，所以6πθ=． 故答案为：6π.14．设()f x =()2f '=______． 【答案】2##0.45【分析】利用复合函数求导求出'()f x 即可求解.【解析】令ln y u =，12u t ==，21t x =+， 从而'1yu =，1'212u t -=='2t x =， 故'21()21x f x x u x ==+， 所以()225f '=． 故答案为：25.四、解答题 15．求下列函数的导数．（1）()991y x =+（2）y =（3）()()23sin 25y x x =-+；（4）cos(32)2x y x-= （5）()()231ln 3y x x =+（6）33x x y e -=．【答案】（1）9899(1)y x '=+（2）()122121x x y x -+'=+（3）()()()2sin 2c 6os 5425y x x x +'=+-+（4）()()26sin 322cos 324x x x y x ----'=（5）()()()236311ln 3x x x x y ++=+（6）333ln 333x x x x y e e --'=-⋅【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解． （1）解：99(1)y x =+，989899(1)(1)99(1)y x x x ∴'=++'=+；（2）解：因为y =()()1222121x x x x y x -''⋅-+'==+（3）解：因为()()23sin 25y x x =-+，所以()()()()()()()23sin 2523sin 2552sin 2546cos 2x y x x x x x x '''+=-=⎤-+++⎡⎣+-+⎦（4） 解：因为cos(32)2x y x -=，所以[]()()()()()22cos(32)22cos 326sin 322cos 3242x x x x x x x y x x ''-------'== （5）解：因为()()231ln 3y x x =+，所以()()()()()()()222ln ln 31313313631ln 3x x x x y x x x x '+'⎡⎤+=⎣+=+++⎡⎤⎣⎦⎦ （6）解：因为33x x y e -=，所以()()3333333ln 333x x x x x x x x y e e e e ----'''=+=-⋅16．求下列函数的导数.（1）()sin 23y x =+；（2）21e x y -+=；（3）()22log 21y x =-. 【答案】（1）()2cos 23x +（2）212e x -+-（3）()2421ln 2x x -⋅【分析】（1）函数()sin 23y x =+可以看作函数sin y u =和23u x =+的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；（2）函数21e x y -+=可以看作函数u y e =和21u x =-+的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；（3）函数()22log 21y x =-可以看作函数2log y u =和221u x =-的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果.（1）函数()sin 23y x =+可以看作函数sin y u =和23u x =+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()sin 23cos 22cos 2cos 23x u x y y u u x u u x ''⋅'''=⋅=+=⋅==+. （2）函数21e x y -+=可以看作函数u y e =和21u x =-+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()21e 21e 22eu u x x u x y y u x -+''''=⋅=⋅-+=⋅-=-'. （3）函数()22log 21y x =-可以看作函数2log y u =和221u x =-的复合函数，由复合函数的求导法则可得()2144ln 221ln 2x u x x y y u x u x '''=⋅=⋅=-⋅.。

= 3时的导数，并解释它的实际意义.

− )可以看作函数
2
= 18和 =
2

3

− 的复合函数，
2
根据复合函数的求导法则，有：
2
’
2
2

= ∙ = (18) ∙ ( − ) = 18 ×
= 12( − ).
3
2
3
3
2
3
新知探索
l
l
一般地，对于由函数
= ()和 = ()复合而成的函数 =
(())，它的导数与函数 = ()， = ()的导数间的关
系为 ’ = ’ ∙ ’ .
即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)若() = 2 ，则 ’ () = 2 .(
则 ’ =
1
(−2 )’ (1 −
3
2 2 )’ =
2 )−
(2)：设
2. ，
2(1 − 2=
1 −3
(− 2 )
2
∙ (−4) =
1
− (1
2
3
− 2 2 )−2 (−4)
=
= ， = + ，
则 ’ = ( )’ ()’ ( + )’ = ∙ () ∙ = = ( + ) ∙ (+) .
练习
变2.设曲线 = − ( + 1)在 = 0处的切线方程为2 − +1 = 0，则 =______.
解：∵ = − ( + 1)，
’
∴ =

1
−
，

，
f '(2) 1 . ln 3
5. 求下列函数的导数. （1） y (2x 1)3 ；
（2） y x2 2x 1 e2x ；
（3） y 2x sin(2x 5) .
解析：（1） y 3(2x 1)31(2x 1) 6(2x 1)2 .
（2） y x2 2x 1 e2x x2 2x 1 e2x
yx yu·ux (u3)·(3x 5) 3u2 3 9(3x 5)2 .
解：（2）函数 y e0.05x1 可以看作函数 y eu 和 u 0.05x 1 的复合
函数.根据复合函数的求导法则，有
yx yu·ux (eu )·(0.05x 1) 0.05eu 0.05e0.05x1 .
1
x
1 2
经过“复合”得到的，即
y
可以通过中间变
量 u 表示为自变量 x 的函数.
如果把 y 与 u 的关系记作 y f (u) ， u 与 x 的关系记作 u g(x) ，那
么这个“复合”过程可表示为 y f (u) f (g(x)) ln(2x 1) .
复合函数的概念：一般地，对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ，如果通 过中间变量 u ， y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数，记作 y = f (g( x)) .
即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
例 1 求下列函数的导数： （1） y (3x 5)3 ；（2） y e0.05x1 ；（3） y ln(2x 1) .
解：（1）函数 y (3x 5)3 可以看作函数 y u3 和 u 3x 5 的复合 函数. 根据复合函数的求导法则，有

量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数 = ()和
= ()的复合函数，记作 = (()).
= () = (()) = ( − ).
新知讲解
如何求复合函数的导数呢？我们先来研究 = 的导数.
一个合理的猜想是，函数 = 的导数一定与函数 = ， =
=
−
例题讲解
例6.求下列函数的导数：
l
(1) = (+) ；(2) = −.+ ；(3) = (−)
解：(1)函数 = (+) 可以看作函数 = 和 = 
有：’ = ’ ∙ ’ = ( )’ ∙ (+)’ = ×= (+)
得到的，所以无法用现有的方法求它的导数.
下面，我们先分析这个函数的结构特点.
若设 = − ( >
− ( >
的函数.

)，则

= ( − )可以看成是由 = 和 =

)经过“复合”得到的，即可以通过中间变量表示为自变量

新知探究
一般地，对于两个函数 = ()和 = ()，如果通过中间变


= ×
= ( − )





当 = 时，’ = ( ) =
它表示当 =时，弹簧振子振动的瞬时速度为 /.



−

的复合函数，

小结
1.复合函数的定义：
一般地，对于两个函数 = ()和 = ()，如果通过中间变量，可以表
解：(2)函数 = −0.05+1 可以看作函数 = 和 = −0.05 + 1的复合函数.
根据复合函数的求导法则

解:(1) ∵f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b， ∴f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，
又∵函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是－3，
f0＝b＝0， ∴
f′0＝－aa＋2＝－3，
解得 b＝0，a＝1 或 b＝0，a＝－3.
(2)函数的导函数 f′(x)在区间(－1,1)内有零点，根据零点存在定理， 可得不等式：f′(－1)f′(1)<0， 即[3－2(1－a)－a(a＋2)][3＋2(1－a)－a(a＋2)]<0， 整理，得(a＋5)(a＋1)(a－1)2<0， ①当 a＝1 时上式不成立. ②当 a≠1 时(a－1)2>0， ∴不等式可转化为(a＋5)(a＋1)<0， 解得－5<a<－1. 综上所述,实数 a 的取值范围是(－5，－1).
(
x)
f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
学习目标:
1.进一步运用导数公式和导数运算法则 求函数的导数．
2.了解复合函数的概念， 掌握复合函数的求导法则．
新知探究
新知探究
课堂探究
一般地,对于两个函数y f u和u g x,如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y f u和u g x的复合函数(composite function),
2
3
2
3
3
注 熟练地掌握了复合函数的分解 及链式法则后， 可以不写出中间变量（符号），采用逐层求导的 方式计算复合函数的导数。
2.求复合函数的导数的注意点：

′
= 2cosx ∙ + 2 ∙ −
=2
2
− 2
2
= 2cos2
知识梳理
=

= 2的导数为 ′ = ′() = 2
= = 的导数为 ′ = ′ = = cos2x
∴ ′()=′() ∙ ′ = 22
第三部分
课堂练习
跟踪练习
1.求下列函数的导数：
(1) = 2 − 2
(2) = ln
4
+ 5 2 + − 1
(3) = 2
跟踪练习
解析: 1 ′ = 22 + 22
′
3
1

4

(2) = 4() ∙ + 10+1= ()3 +10 + 1
=
2
′
= ′
(

≠ 0)
课堂总结
复合函数的求导法则：
一般地，对于由函数 = 和 =
数 =


复合而成的函
，它的导数与函数 = 和 =

的导
数间的关系为： ′ = ′ ∙ ′ . 即对的导数等于对
的导数与对 的导数的乘积。
2 3
即 =
2
3
课堂互动
2.求函数 = 2 + 2 的导数.
解析:
2
′()＝
2 2
=
1
2
+ 2 + 22
+ 2 + 22
课堂互动
3.求函数 = 3 + 2
解析: ′ =
2
(3

2+5
e−2 的导数为′ = −2e−2
A.若() = log 3 (2 − 1),则′(2) =
B.函数 =
C.函数 =
D. = cos(−2 + 1)的导数为′ = −2sin(−2 + 1)
[解析]对于A,由() = ( − )可得′() =
复合而成的.
由复合函数的求导法则,可得′ = e × (−2) = −2e−2+1 .
（4） = cos( + 3).
解函数的中间变量为 = + 3,则函数 = cos( + 3)是由函数 = cos 与 = + 3
复合而成的.
由复合函数的求导法则,可得′ = −sin × 1 = −sin( + 3).
（4）最后要把中间变量换成关于自变量的函数.
过关自诊
1.函数 = (2 024 − 8)3 的导数′等于() C
A.3(2 024 − 8)2 B.−24
C.−24(2 024 − 8)2 D.24(2 024 − 8)2
[解析]′ = ( − ) × ( − )′ = ( − ) × (−) = −(
π
+ )sin(2
2
解 ∵ = cos(2 +
∴ ′ =
1
(− sin
2
π
)sin(2
2
4)′ =
1
− sin
2
+
π
).
2
π
+ )
2
= (−sin 2)cos 2 =
4 −
4
cos
2
4 =
1
− sin

∙ + −
= − =
可以发现，
′ = = ∙ = ′ ∙ ′
合作探究
复合函数的求导法则
一般地，对于由函数 y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 = (())
5.2.3简单复合函数的导数
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
思考
如何求函数 = ( − ) 的导数呢 ？
新知讲解
函数 = ( − ) 不是由基本初等函数通过加、减、乘、
除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数.
下面，先分析这个函数的结构特点.
若设 = − ( >

（2）函数 = + 的中间变量为 = 2 + 1 . 则函数的导数为，
′ = ′ ∙ ′ = ′ ∙ + ′ = = +
课堂练习
1 （3） = (− + )
（5） =

（4） = ( − )
（6） =
−

)，则

=
从而 = ( − )可以看成是由 = 和 = − ( >

)

经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x
的函数.
新知讲解
复合函数
对于两个函数 y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数
合函数的求导法则，有
′
=
′
∙
′
′
=
∙ + ′ = × = +

（2）函数 = −.+ 可以看作函数 = 和 = −. + 的复合函数.根据复合

5.2.3简单复合函数的导数素养目标学科素养1.熟练运用导数公式及运算法则求较复杂函数的导数．(重点、难点) 2．了解复合函数的概念．(难点)3．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．(重点)1.数学抽象；2．逻辑推理；3．数学运算情境导学空气清新可人，水面上的叶子苍翠无比，池塘里的水也绿绿的，偶尔还能看见几条小鱼儿自由自在地游来游去，微风过处池塘水面上泛起粼粼微波，一排接着一排涌向池边，回击在池中，形成回环的波浪．只要留心，生活中处处风景怡人，基本的是朴素之美，复合的是深沉之美．上节课我们学习了简单函数的导数，对于复杂函数的导数又该如何求呢？1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)函数y＝sin2x是由y＝u2与u＝sin x复合而成的．(√)(2)函数y＝2ln x中，中间变量为u＝ln x．(√)(3)若函数y＝ln(2x)，则y′＝12x.()×提示：y′＝22x ＝1x.(4)对复合函数求导时，一般从内层开始，由里及外，层层求导．()× 提示：一般是从外层开始，由外及里，层层求导.1．函数y ＝cos n x 可由( ) A ．y ＝u n 和u ＝cos x n 复合而成 B ．y ＝u 和u ＝cos n x 复合而成 C ．y ＝u n 和u ＝cos x 复合而成 D ．y ＝cos u 和u ＝x n 复合而成C 解析：y ＝cos n x ，中间变量为u ＝cos x . 2．设y ＝f (sin x )是可导函数，则y ′x 等于( ) A ．f ′(sin x ) B ．f ′(sin x )·cos x C ．f ′(sin x )·sin xD ．f ′(cos x )·cos xB 解析：y ′x ＝f ′(sin x )·(sin x )′＝f ′(sin x )·cos x . 3．函数y ＝(2－x 3)2的导数为( ) A ．2(2－x 3) B ．(2－x 3)2C ．6x 2(2－x 3)D ．－6x 2(2－x 3)D 解析：y ′＝2(2－x 3)2－1·(2－x 3)′＝2(2－x 3)·(0－3x 2)＝－6x 2(2－x 3)． 4．下列式子正确的是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6′＝－sin π6B ．(e 2x )′＝e 2xC ．(sin3x )′＝3cos xD ．[ln(－x ＋1)]′＝1x －1D 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6′＝0，(e 2x )′＝2e 2x ，(sin3x )′＝3cos3x ，[ln(－x ＋1)]′＝－1－x ＋1＝1x －1.5．y ＝e x 2－1的导数是( ) A ．y ′＝(x 2－1)e x 2－1 B ．y ′＝2x e x 2－1 C ．y ′＝(x 2－1)e x D ．y ′＝e x 2－1B 解析：y ′＝e x 2－1·(x 2－1)′＝2x e x 2－1.【例1】求下列函数的导数． (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝cos 2x sin x －cos x . 解：(1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1－x ＋1x－1＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12－x 12)′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)∵y ＝cos 2x sin x －cos x ＝cos2x －sin2xsin x －cos x＝－sin x －cos x ，∴y ′＝(－sin x －cos x )′＝sin x －cos x .1．在求较复杂的函数的导数时首先应考虑是否可变形，能变形的要先变形，判断解析式结构特点，再选择正确的公式，可以减少运算量．2．当解析式是多项式乘多项式时，要先展开合并；当解析式中含三角函数时，要先用相关的三角恒等式变形，然后求导，这样可以提高运算速度，减少差错．求下列函数的导数． (1)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(2)y ＝11－x ＋11＋x .解：(1)因为y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎪⎫sin2x 4＋cos2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4 ＝1－12sin 2x 2＝1－12×1－cos x2＝34＋14cos x ， 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos x ′＝－14sin x . (2)因为y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1－x ＝21－x ，所以y ′＝错误!.【例2】求下列函数的导数． (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x3－x ＋1x 4；(2)y ＝11－2x2；(3)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (4)y ＝x 1＋x2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x3－x ＋1x 4′＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2x3－x ＋1x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x3－x ＋1x ′＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2x3－x ＋1x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫6x2－1－1x2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫11－2x2′＝[(1－2x 2)－12]′＝－12(1－2x 2)－32·(1－2x 2)′＝2x (1－2x 2)－32＝错误!.(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (4)y ′＝(x 1＋x2)′ ＝x ′1＋x2＋x (1＋x2)′ ＝1＋x2＋x21＋x2 ＝错误!.对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，中间变量的选择应是基本函数的结构，切不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．注意：一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．不要忘记中间变量对自变量的求导．求下列函数的导数．(1)y ＝(4－3x )2；(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4； (3)y ＝ln(4x －1)；(4)y ＝e x 2.解：(1)y ′＝[(4－3x )2]′＝2(4－3x )·(4－3x )′ ＝2(4－3x )·(－3)＝18x －24.(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4′＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4′＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. (3)y ′＝[ln(4x －1)]′＝14x －1·(4x －1)′＝44x －1.(4)y ′＝(e x 2)′＝e x 2·(x 2)′＝2x e x 2.探究题1 函数y ＝sin 2x 的图象在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( ) A ．3 B ．33 C ．12D ．32D 解析：∵y ′＝2sin x ·(sin x )′＝ 2sin x cos x ＝sin2x ，∴k ＝y ′|x ＝π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＝32.探究题2 若曲线y ＝x 3＋ax 在坐标原点处的切线方程是2x －y ＝0，则实数a ＝________.解析：曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a .又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0，∴3×02＋a ＝2，故a ＝2.1．利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数．求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．求过点P 与曲线相切的直线方程时，一般设出切点坐标为(x 0，y 0)，写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)再代入点P 的坐标，求出(x 0，y 0)． 2．利用导数求参数问题，能较全面地考查导数的应用，突出了导数的工具性作用．1．若曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12A 解析：因为y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋1，所以曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝e ＝ln e ＋1＝2，而切线与直线x ＋ay ＝1垂直，所以2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得a ＝2.2．已知函数f (x )＝x (1－ax )2(a >0)，若f ′(2)＝5，则a ＝________.1 解析：因为f (x )＝x (1－ax )2＝a 2x 3－2ax 2＋x ，所以f ′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1.又f ′(2)＝5，所以12a 2－8a ＋1＝5，即3a 2－2a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－13(舍去)．1．已知f (x )＝cos2x ＋e 2x ，则f ′(x )＝( ) A ．－2sin2x ＋2e 2x B ．sin2x ＋e 2x C ．2sin2x ＋2e 2x D ．－sin2x ＋e 2xA 解析：已知f (x )＝cos2x ＋e 2x ， 所以f ′(x )＝－2sin2x ＋2e 2x .故选A ．2．已知函数f (x )＝ln(2x ＋1)，则f ′(0)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．12C 解析：∵f (x )＝ln(2x ＋1)，∴f ′(x )＝22x ＋1，∴f ′(0)＝2.故选C ．3．曲线y ＝e －x 在x ＝0处的切线斜率为( ) A ．－1 B ．－e C ．1D ．eA 解析：已知曲线y ＝e －x ，可得y ′＝－e －x ， 当x ＝0时，则y ′|x ＝0＝－1＝k ，曲线y ＝e －x 在x ＝0处的切线斜率为－1.故选A ．4．已知f (x )＝ln(2x ＋1)－ax ，且f ′(2)＝－1，则a ＝( ) A ．75B ．65C ．－35D ．－45A 解析：因为f (x )＝ln(2x ＋1)－ax ，所以f ′(x )＝22x ＋1－a ，所以f ′(2)＝22×2＋1－a ＝－1，解得a ＝75.故选A ． 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，且导函数f ′(x )有最小值－2，则导函数f ′(x )＝________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4的值是________．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 32 解析：因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)，故可得f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，根据图象可得ω＝2，且2×π6＋φ＝π2，解得φ＝π6，故f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝32.6．求下列函数的导数： (1)f (x )＝e－0.05x ＋1；(2)f (x )＝(sin2x ＋1)2.解：(1)令u (x )＝－0.05x ＋1，φ(u )＝e u ， 则f (x )＝φ[u (x )]，而u ′(x )＝－0.05，φ′(u )＝e u ， 故f ′(x )＝e－0.05x ＋1×(－0.05)＝－0.05e－0.05x ＋1.(2)令u (x )＝sin2x ＋1，φ(u )＝u 2， 则f (x )＝φ[u (x )]，而u ′(x )＝2cos2x ，φ′(u )＝2u ，故f ′(x )＝2cos2x ×2u ＝4cos2x (sin2x ＋1)， 化简得到f ′(x )＝2sin4x ＋4cos2x .1．求较复杂函数的导数时应尽可能地将函数化简，选择正确的公式，然后再求导． 2．复合函数求导时，首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量对自变量的求导．课时分层作业(十六) 简单复合函数的导数 (60分钟 110分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 求较复杂函数的导数1．(5分)函数f (x )＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为( ) A ．ab B ．－a (a －b ) C ．0D ．a －bD 解析：∵f (x )＝x 2－(a ＋b )x ＋ab ， ∴f ′(x )＝2x －(a ＋b )． ∴f ′(a )＝2a －(a ＋b )＝a －b .2．(5分)函数f (x )＝x x x 的导数是( ) A ．18xB ．－788xC ．788xD ．－188xC 解析：∵f (x )＝x x x ＝x 78，∴f ′(x )＝78x －18＝788x.3．(5分)函数y ＝x －(2x －1)2的导数y ′＝( ) A ．3－4x B ．3＋4x C ．5＋8xD ．5－8xD 解析：∵y ＝x －(2x －1)2＝－4x 2＋5x －1， ∴y ′＝－8x ＋5.4.(5分)若函数y ＝tan x ，则y ′＝________.1cos2x 解析：∵y ＝tan x ＝sin x cos x ，∴y ′＝1cos2x . 知识点2 求复合函数的导数5．(5分)下列函数不可以看成是复合函数的是( ) A ．y ＝x cos x B ．y ＝1ln xC ．y ＝(2x ＋3)4D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x A 解析：A 是两函数积的形式，不是复合函数，B ，C ，D 均为复合函数． 6．(5分)函数y ＝sin2x －cos2x 的导数y ′＝( ) A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos2x ＋sin xC ．cos2x －sin2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4A 解析：y ′＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.7．(5分)函数y ＝错误!的导数是( ) A ．错误! B ．错误! C ．－错误!D ．－错误!C 解析：∵y ＝错误!＝(3x －1)－2，∴y ′＝－2(3x －1)－3·(3x －1)′＝错误!.故选C ． 8．(5分)函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x 2x ＋5B 解析：y ′＝x ′·ln(2x ＋5)＋x ·[ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.知识点3 导数运算的应用9．(5分)设f (x )＝x e x ，若f ′(x 0)＝0，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．－1 C ．ln 22D ．ln 2B 解析：∵f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＝e x (x ＋1)， ∴f ′(x 0)＝e x 0(x 0＋1)＝0. ∴x 0＋1＝0.∴x 0＝－1.10．(5分)曲线f (x )＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2A 解析：∵f ′(x )＝错误!＝错误!， ∴k ＝f ′(－1)＝错误!＝2.∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.11．(5分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，则其导函数f ′(x )是 ( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数D 解析：f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝2sin2x ，其最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数. 12.(5分)若f (x )＝ax2－1且f ′(1)＝2，则a ＝________.2 解析：∵f ′(x )＝12ax2－1·(ax 2－1)′＝ax ax2－1，∴f ′(1)＝a a －1＝2.∴a ＝2.能力提升练能力考点 适度提升13.(5分)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5的导数为( )A ．f ′(x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4B ．f ′(x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x C ．f ′(x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x2D ．f ′(x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x C 解析：f ′(x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x2.14．(5分)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2D 解析：∵y ＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－错误!.∴曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12.由题意知直线ax ＋y ＋1＝0的斜率k ′＝－a ＝2， ∴a ＝－2.15．(5分)点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πD ．⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4B 解析：∵y ′＝3x 2－1≥－1，∴tan α≥－1.∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.16.(5分)y ＝sin2x ·cos3x 的导数是________________________．2cos2x cos3x －3sin2x sin3x 解析：y ′＝(sin2x )′·cos3x ＋sin2x ·(cos3x )′ ＝2cos2x ·cos3x －3sin2x ·sin3x .17.(5分)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.2 解析：因为y ′＝α·x α－1， 所以在点(1,2)处的切线斜率k ＝α， 则切线方程为y －2＝α(x －1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.18.(5分)直线y ＝12x ＋b 能作为下列函数y ＝f (x )的切线的有________．(写出所有正确的函数序号) ①f (x )＝1x ；②f (x )＝ln x ； ③f (x )＝sin x ； ④f (x )＝－e x .②③ 解析：①f ′(x )＝－1x2<0，②f ′(x )＝1x ，③f ′(x )＝cos x ，④f ′(x )＝－e x <0.由此可知，y ＝12x ＋b 可作为函数②③的切线.19.(10分)求下列函数的导数．(1)y ＝x －sin x 2·cos x2；(2)y ＝1x ·cos x .解：(1)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1x ·cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′cos x ＋1x(cos x )′＝(x －12)′cos x －1x sin x ＝－12x －32cos x －1x sin x＝－cos x 2x3－1x sin x＝－cos x ＋2xsin x 2x x.20.(10分)求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，ln 2处切线的倾斜角． 解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′x ＝23－1＝1，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为π4.重难强化训练(三) 导数的概念及运算 (60分钟 120分)练易错易错点1| 混淆直线是曲线“在某点”与“过某点”的切线 [防范要诀]曲线“在某点”处的切线是以该点为切点的直线，它只有一条；“过某点”的切线，该点一定在直线上，但不一定在曲线上，作出的切线也不止一条． [对点集训]1．(5分)曲线y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋3 B ．y ＝－3x ＋1 C ．y ＝－3 D ．x ＝2C 解析：因为y ′＝f ′(x )＝3x 2－6x ，则曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y －(－3)＝0×(x －2)，即y ＝－3.2．(5分)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( ) A ．9 B ．6 C ．－9D ．－6D 解析：y ′＝4x 3＋2ax ，由导数的几何意义知在点(－1，a ＋2)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.易错点2| 用错导数公式或运算法则 [防范要诀]1．幂函数y ＝x α与指数函数y ＝a x 的形式相近，导数公式却有很大区别，解题时易混淆导致计算错误．2．导数乘法与除法法则形式较特别，使用时一定记清形式与符号，以免出错． [对点集训]3．(5分)若f ′(x )＝1x2，则函数f (x )可以是( )A ．x －1xB ．1xC ．13x －3D ．ln xA 解析：⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝错误!＝错误!；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x2；⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3′＝－x －4；(ln x )′＝1x . 4．(5分)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2D ．1C 解析：由题意可得y ′＝e x －1＋x e x －1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于y ′|x ＝1＝e 0＋e 0＝2，故选C ．5.(5分)曲线y ＝2x 在(0,1)处的切线方程为________．y ＝x ln 2＋1 解析：∵y ′＝2x ln 2，∴y ′|x ＝0＝20ln 2＝ln 2＝k ， ∴切线方程为y －1＝ln 2(x －0)，即y ＝x ln 2＋1. 易错点3| 对复合函数求导时因层次不清致误 [防范要诀]1．对较复杂函数求导时，先判断该函数是否为复合函数．2．若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清内层函数和外层函数，合理换元． [对点集训]6．(5分)设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．60 C ．－1D ．－60B 解析：∵f ′(x )＝10(1－2x 3)9·(1－2x 3)′＝10(1－2x 3)9·(－6x 2)＝－60x 2(1－2x 3)9， ∴f ′(1)＝－60·12·(1－2×13)9＝60.7．(5分)函数y ＝cos2x ＋sin x 的导数为( ) A ．－2sin2x ＋cos x 2xB ．2sin2x ＋cos x2xC ．－2sin2x ＋sin x2xD ．2sin2x －cos x2xA 解析：y ′＝(cos2x )′＋(sin x )′＝－sin2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′ ＝－2sin2x ＋cos x ·12x .练疑难8．(5分)函数f (x )＝2x 2＋3在下列区间上的平均变化率最大的是( ) A ．[1,1.5] B ．[1,2] C ．[1,3]D ．[1,1.05]C 解析：平均变化率为ΔyΔx＝错误!，把数据代入可知选C ．9．(5分)运动物体的位移s ＝3t 2－2t ＋1，则此物体在t ＝10时的瞬时速度为( ) A ．281 B ．58 C ．85D ．10B 解析：∵s ′＝6t －2，当t ＝10时，s ′＝6×10－2＝58. 10．(5分)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2A 解析：∵y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线方程为y ＝x －1.11．(5分)若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0A 解析：∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，∴k 1＝4. ∵y ′＝4x 3，令4x 3＝4得x ＝1，∴切点为(1,1)， ∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.12．(5分)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( ) A ．2B ．－2C ．94D ．－94D 解析：∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，∴f ′(2)＝－94.13．(5分)函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 020)－f ′(－2 020)＝( ) A ．0 B ．2 014 C ．2 015D ．8D 解析：∵f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2， ∴f ′(－x )＝a cos(－x )＋3b (－x )2＝f ′(x )， ∴f ′(x )是偶函数，∴f ′(2 020)－f ′(－2 020)＝0，f (2 019)＋f (－2 019)＝a sin2 019＋b ·2 0193＋4＋a sin(－2 019)＋b ·(－2 019)3＋4＝8.∴f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 020)－f ′(－2 020)＝8.14．(5分)已知点P 在曲线y ＝4ex ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πD 解析：∵y ′＝错误!＝错误!≥－1. 即－1≤tan α<0，∴3π4≤α<π.15.(5分)若函数f (x )＝－2e x sin x ，则f ′(x )＝________.－2e x (sin x ＋cos x ) 解析：f ′(x )＝－2e x sin x －2e x cos x ＝－2e x (sin x ＋cos x ).16.(5分)已知f (x )＝e πx sin πx ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. πe π2解析：∵f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πx cos πx ＝πe πx (sin πx ＋cos πx )，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe π2. 17.(5分)曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________．⎝⎛⎭⎪⎫32，－94 解析：根据题意可设切点为P (x 0，y 0)，f ′(x )＝2x －3，令f ′(x 0)＝0，即2x 0－3＝0，得x 0＝32，代入曲线方程得y 0＝－94，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94.18.(10分)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，求a的值．解：∵y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2，∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.又∵直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时，曲线变为直线y ＝2x ＋1，与已知直线平行)，由错误!消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，由Δ＝a 2－8a ＝0得a ＝8.19.(12分)求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与过这点的切线垂直的直线方程． 解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x .曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是 y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23.∴所求直线方程为y －12＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.即2x －3y －2π3＋32＝0. 20.(13分)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解：方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x0－3x0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线上点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个
圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：
S＝f (r)＝πr2．
油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函
数为r＝φ(t)＝2t＋1．
思考：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？如何对该
函数求导？
函数解析式建立方程组．
(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜
率，这是求切线方程最重要的条件．
(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线
与曲线的公共点不一定只有一个．
[跟进训练]
3．已知函数f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是f (x)的导函数，且a＝
切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2．因为f (x)＝eax，所以f ′(x)＝
(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2．
[母题探究]
1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x
－y＋m＝0的最小距离为2 5”，求m的值．
B．
1
C．－
2
3
2
D．－
1
2
3
4
3
2
)
A
[法一：f ′(x)＝(sin x)′cos x＋sin x(cos x)′＝cos2x－sin2x＝cos2x，
(3)y＝ 2 − 1；(4)y＝sin 2 +
[思路引导]
π
3
．
先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导
法则进行求导．

课时同步练5.2.3 导数的运算法则与简单复合函数求导公式一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ）A ．()122x x x -'=⋅B ．(sin cos 1)cos2x x x +='C ．1(lg )x x '=D ．()12x x --'= 【答案】B 【解析】对于A ，()22ln 2x x '=，A 错误； 对于B ，22(sin cos 1)(sin )cos sin (cos )cos sin cos2x x x x x x x x x +='='+'=-，B 正确； 对于C ，1(lg )ln10x x '=，C 错误； 对于D ，()12x x --'=-，D 错误． 故选B ．2．函数2()(1)f x x =+的导函数为（ ）A ．()1f x x '=+B ．()21f x x '=+C ．()2f x x '=+D ．()22f x x '=+ 【答案】D【解析】22()(1)21f x x x x =+=++()22f x x ∴'=+，故选D .3．函数1y x x=+的导数是（ ） A ．11x - B ．211x - C ．211x + D ．11x+ 【答案】B 【解析】1y x x =+， 211y x '∴=-. 故选B . 4．函数2(ln 1)y x x =+在1x =处的切线方程为（ ）A ．42y x =+B ．24y x =-C ．42y x =-D ．24y x =+ 【答案】C【解析】由已知12(ln 1)22ln 4y x x x x '=++⋅=+， 则1|4x y ='=，又1x =时，2y =，则切线方程为42y x =-.故选C.5．曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为8，则实数a 的值为（ ）A ．6-B ．6C ．12D ．12- 【答案】A【解析】由421yx ax =++，得342y x ax '=+， 则曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为428a --=，得6a =-.故选A.6．已知函数()()2ln 31f x x x f x '=-+，则()1f =（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-【答案】D【解析】因为()()2ln 31f x x x f x '=-+，则()()1321f x f x x''=-+， 所以()()'1132'1f f =-+，则()12f '=，所以()2ln 32f x x x x =-+，所以()1ln1321f =-+=-. 故选D.7．已知()3sin3f x x x =+，则其导函数()'f x =（ ）A ．233cos x x +B ．33cos x x +C ．33cos3x x +D ．233cos3x x + 【答案】D【解析】22()3cos3(3)33cos3f x x x x x x ''=+⋅=+,故选D.8．已知21()sin 42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】22co 11()si 4s n 42f x x x x x π⎛⎫=++= +⎪⎝⎭， ()1sin 2f x x x '∴=-， ∴函数()f x '为奇函数，排除B 、D. 又1024f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C. 故选A9．对于函数()22ln x e k f x x x x=+-，若()11f '=，则实数k 等于（ ） A ．2e B ．3e C ．e 2- D ．3e - 【答案】A【解析】()22ln x e k f x x x x=+-，()32212()x e x k f x x x x +'-∴=+， 所以()1121f e k =-++='，解得2e k =， 故选A ．10．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()3002tP t P -=，其中0P 为时该放射性同位素的含量.已知15t =时，该放射性同位素的瞬时变化率为210-，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为（ ）A ．20天B ．30天C ．45天D ．60天【答案】D【解析】由()3002t P t P -=得()30012ln 230tP t P -'=-⋅⋅，因为15t =时，该放射性同位素的瞬时变化率为210-，即()022156010P P '=-=-，解得018P =，则()30182tP t -=⋅，当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即() 4.5P t =， 所以30182 4.5t-⋅=，即30124t-=，所以230t-=-，解得60t =.故选D.11．曲线()ax y x a e =+在点()0,a 处的切线与直线230x y ++=垂直，则a =（） A ．1- B ．±1 C ．1 D ．1-或2【答案】B【解析】因为()21'=++ax y ax a e ，所以201x y a ==+'，因为曲线()e =+ax y x a 在点(0,)a 处的切线与直线230x y ++=垂直，所以()21112⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭a ，即21a =，解得1a =±. 故选B12．若曲线21sin 242y x x =+在()11,A x y ，()22,B x y 两点处的切线互相垂直，则12x x -的最小值为（ ）A ．3πB ．2πC ．23πD ．π【答案】B【解析】2111cos 21sin 2cos sin 2sin 242422234x y x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭， ∴cos 23y x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭ ∴曲线的切线斜率在[1,1]-范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在()11,A x y ，()22,B x y 两点处的切线斜率必须一个是1，一个是-1.不妨设在A 点处切线的斜率为1， 则有11122()3x k k Z ππ+=∈，22222()3x k k Z πππ+=+∈，则可得()()121222x x k k k k Z ππππ-=--=-∈，所以12min 2x x π-=.故选B.二、填空题13．函数cos2()xx f x e =的导函数()f x '=_________． 【答案】2sin 2cos 2xx x e +- 【解析】由cos2()xx f x e =， 得22sin 2cos 22sin 2cos 22sin 2cos 2()x x x x x e x e x x x x x f x e e e----==-'+=， 故填2sin 2cos 2xx x e +-. 14．已知函数()f x =，则()f x 在2x =处的导数()2f '=________. 【答案】2【解析】()21f x x=+=-，()()221f x x '∴=-，()22f '∴=. 故填2.15．若曲线()()ln 1f x ax x =-+在点()0,0的切线方程是2y x =，则实数a =__________．【答案】3【解析】()ln 1y ax x =-+，1'1y a x ∴=-+， ()ln 1y ax x =-+在()0,0处的切线方程为2y x =，1201a ∴-=+， 解得3a =，故填3.16．设函数()f x 在()0,∞+内可导，其导函数为()f x '，且()ln 2ln =-x f x x ，则()1f '=______.【答案】21e -【解析】因为()ln 2ln =-x f x x ，令ln t x =，则t x e =，所以()2=-t f t e t ， 即()2=-x f x e x ，所以()21x f x e '=-，因此()112=-f e . 故填21e -17．已知()()()212ln 212f f x x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，则()()11f f '+=______. 【答案】3-【解析】()()()212ln 212f f x x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭ ()()()()()111'2ln 2412ln 24122f f f x x x f x x f x x x ⎛⎫''=+-⋅+=+-+ ⎪⎝∴⎭ ()()()()()112412121f f f f f '''⎧=-+⎪∴⎨⎪=⎩，解得()()1112f f ⎧=-⎪⎨=-'⎪⎩， ()()113f f '=-+故填3-.18．定义：设函数()y f x =在(),a b 上的导函数为()f x '，若()f x '在(),a b 上也存在导函数，则称函数()y f x =在(),a b 上存在二阶导函数，简记为()y f x ''=.若在区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()y f x =在区间(),a b 上为“凸函数”.已知()()2ln 1e x f x mx =+-在区间()1,1-上为“凸函数”，则实数m 的取值范围为______. 【答案】18m > 【解析】()()2ln 1e x f x mx =+-()12121e 1ex x x e f x mx mx '∴=-=--++ ()2e 2(1e )xx f x m ''∴=-+()()2ln 1e x f x mx =+-在区间()1,1-上为“凸函数”()2e 20(1e )xx f x m ''∴=-<+在()1,1-上恒成立 2e 2(1e )xx m ∴>+()1,1-上恒成立 设2e ()()1e xx g x =+，()1,1x ∈-， 则2e 11()e 2e 114e 2e 1e2x x x x x x x g x ++=≤+==++ 当且仅当0x =时取得最大值14，124m ∴> 18m ∴> 故填18m >.三、解答题19．求导：（1）()33cos f x x x x =+；（2）()212x x f x e e e -+=++ 【解析】（1）()323cos ,()9cos sin f x x x x f x x x x x =+∴'=+-；（2）()21221,()2x x x x f x e f x e e e e -+-+∴'=-+++=.20．已知函数ln y x x =+.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程.【解析】（1）因为ln y x x =+，所以11y x'=+ （2）因为ln y x x =+在1x =处的值为1，11y x '=+在1x =处的值为2 所以切线方程为()121y x -=-，即210x y --=21．已知函数()()()2sin 212xy f x x x ππ==+-+，求：（1）求()f x '及()2f '；（2）求函数图象在点()()1,1P f 处的切线方程及切线与坐标轴围成的三角形的面积.【解析】（1）由()()()2sin 212x y f x x x ππ==+-+，则()()()214221co 1s f x x x x x πππ'=-+++⨯⨯2681cos x x x π=-++，()2262821cos210f π'=⨯-⨯++=.（2）()()sin 1313f ππ=⨯-+=-，()16181cos 2f π'=⨯-++=-，所以在点()()1,1P f 处的切线方程为：()()321y x --=--， 整理可得：210x y ++=.令0y =，解得12x =-，则1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 令0x =，解得1y =-，则()0,1B -， 所以1111224OAB S =⨯⨯=.22．记()f x '、()g x '分别为函数()f x 、()g x 的导函数.把同时满足()()00f x g x =和()()00f x g x ''=的0x 叫做()f x 与()g x 的“Q 点”. （1）求()2f x x =与()224g x x x =-+的“Q 点”；（2）若()212f x ax =+与()lng x x =存在“Q 点”，求实数a 的值. 【解析】（1）因为()()2,22f x g x x ''==-，设0x 为函数()f x 与()g x 的一个“Q ”点.由()()00f x g x =且()()00f x g x ''=得20000224222x x x x ⎧=-+⎨=-⎩， 解得02x =.所以函数()f x 与()g x 的“Q ”点是2.（2）因为()()12,f x ax g x x ''==， 设0x 为函数()f x 与()g x 的一个“Q ”点.由()()00f x g x =且()()00f x g x ''=得200001ln 212ax x ax x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②， 由②得2012a x =代入①得0ln 1x =，所以0x e =. 所以2201122a x e ==.。