巩固练习_直线与圆的方程的应用_提高

【巩固练习】

1．自点A（－1，4）作圆(x－2)2+(y－3)2=1的切线，则切线长为（ ）．

A．5 B．3 C．10 D．5

2．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（ ）．

A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时

3．已知点A（－2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2－2x=0上任意一点，则△ABC面积的最大值是（ ）．

A．6 B．8 C．32 D．32

4．（2015春 辽宁沈阳期中）设圆C：224xy，直线l：y=x+b．若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（ ）

A．[2,2] B．(,2)(2,) C．(2,1)(1,2) D．(2,2)

5．已知圆的方程为x2+y2－6x－8y=0．设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）．

A．106 B．206 C．306 D．406

6．已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（ ）．

A．(x+1)2+(y－1)2=2 B．(x－1)2+(y+1)2=2

C．(x－1)2+(y－1)2=2 D．(x+1)2+(y+1)2=2

7．（2016春 兰州期末）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my－4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y=0对称，则实数k+m=（ ）

A．－1 B．1 C．0 D．2

8．已知三角形的三边长分别为3、4、5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）．

A．3 B．4 C．5 D．6

9．以直线2x+y－4=0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为________．

10．过原点的直线与圆x2+y2－2x－4y+4=0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．

11．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|= ．

12．若不同两点P、Q的坐标分别为（a，b）、（3－b，3－a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________；圆(x－2)2+(y－3)2=1关于直线l对称的圆的方程为________．

13．（2016 河南郑州一模）已知点M（－1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的3倍．

（1）求曲线E的方程；

（2）已知m≠0，设直线l：x－my－1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y－m=0交曲线E于B，D两点，若CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．

14．在沿海城市M的东南方向225 km处，有一气象观测站A，在该站的正东方向450 km的B处有一热带风暴中心，这一热带风暴中心以90 km／h的速度向西北方向匀速移动，且在距中心360 km的范围内均会受到风暴的影响．问：

（1）从现在起多长时间后，气象观测站A就会受到风暴的影响？影响会持续多长时间？

（2）M城是否会受到该热带风暴的影响？若不会，请说明理由；若会受影响，请计算从现在起多长时间后开始受到影响，影响持续多长时间？ （以上两问所求时间都要求精确到0.1 h，且2取1.414，14取3.742）

15．已知点P（x，y）在圆x2+y2－6x－6y+14=0上．

（1）求yx的最大值和最小值；

（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；

（3）求x+y的最大值与最小值．

【答案与解析】

1．【答案】B

【解析】 圆心C（2，3），||10AC，∴切线长1013l．

2．【答案】B

【解析】如图所示，以A地为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，则A（0，0），B（40，0）．设台风的移动方向是射OC，则射线OC的方程是y=x（x≥0），以B为圆心，30为半径长的圆与射线OC交于M和N两点，则当台风中心在线段MN上移动时，B城市处于危险区内．点B到直线OC的距离是202，则有22||230(202)20MN（千米），因此B城市处于危险区内的时间为20120（小时）．故选B．

3．【答案】D

【解析】直线AB的方程是122xy，||22AB，则当△ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值．又圆心M（1，0），半径r=1，点M到直线122xy的距离是322，由圆的几何性质得d的最大值是3212，所以△ABC面积的最大值是1322213222．故选D．

4．【分析】若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案．

【答案】D

【解析】由圆C的方程：224xy，可得

圆C的圆心为原点O（0，0），半径为2

若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，

则O到直线l：y=x+b的距离d小于1

直线l的一般方程为：x－y+b=0

∴||12bd

解得22b

故选D． 【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，其中分析出圆心O到直线l：y=x+b的距离d小于1是解答的关键．

5．【答案】B

【解析】圆心坐标是（3，4），半径是5，圆心到点（3，5）的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为2225146，所以四边形ABCD的面积为12ACBD

110462206．

6．【答案】B

【解析】因为两条切线x―y=0与x―y―4=0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以422R，所以2R．设圆心坐标为P（a，―a），则点P到两条切线的距离都等于半径，所以2||22a，|24|22a，解得a=1，故圆心为（1，―1），所以圆的标准方程为(x―1)2+(y+1)2=2，故选B．

7．【答案】B

【解析】由题意，可得

∵直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my－4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y=0对称，

∴直线x+2y=0是线段MN的中垂线，得1()12k，解之得k=2，

所以圆方程为x2+y2+2x+mh－4=0，圆心坐标为(1,)2m，

将(1,)2m代入x+2y=0，解得m=－1，得k+m=1．

故选：B．

8．【答案】B

【解析】因为三角形的三边长分别为3、4、5，所以该三角形是直角三角形，其图为如图所示的Rt△ABC．

圆O是△ABC的内切圆，可计算得其半径为1，过O点作三条直线EF、GH、MN，分别与△ABC三边平行，此三条直线将△ABC分割成6个部分．记半径为1的圆O1的圆心到三条边AB、BC、CA的距离分别为d1、d2、d3．而圆心O1在这6个区域时，有（Ⅰ）123111ddd（最多4个公共点）；（Ⅱ）123111ddd（最多2个公共点）；（Ⅲ）123111ddd（最多2个公共点）；（Ⅳ）123111ddd（最多4个公共点）．而圆心O1在线段EF、GH、MN上时，最多有4个公共点，故选B． 9．【答案】22(4)20xy或22(2)20xy．

【解析】令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，

∴直线与两轴交点坐标为A（0，4）和B（2，0），

以A为圆心过B的圆的半径为41625，

∴以A为圆心过B的圆的方程为22(4)20xy；

以B为圆心过A的圆的半径为16425，

∴以B为圆心过A的圆方程为22(2)20xy，

故过另一个交点的圆的方程为：

22(4)20xy或22(2)20xy．

故答案为：22(4)20xy或22(2)20xy．

10．【答案】2x―y=0

【解析】设所求直线方程为y=kx，即kx―y=0．由于直线kx―y=0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，由此得圆心到直线距离等于222102，即圆心位于直线kx―y=0上，于是有k―2=0，即k=2，因此所求直线方程为2x―y=0．

11．【答案】8

【解析】依题意，可设圆心坐标为（a，a）、圆半径为r，其中r=a＞0，因此圆方程是(x―a)2+(y―a)2=a2，由圆过点（4，1）得(4―a)2+(1―a)2=a2，即a2―10a+17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，212||2104178CC．

12．【答案】―1 x2+(y―1)2=1

【解析】由题可知313PQabkba，又k1kPQ=―1k1=―1，圆关于直线l对称，找到圆心（2，3）的对称点（0，1），又圆的半径不变，易得x2+(y―1)2=1．

13．【解析】（1）设曲线E上任意一点坐标为（x，y），

由题意，2222(1)3(1)xyxy，

整理得x2+y2－4x+1=0，即(x－2)2+y2=3，

∴曲线E的方程为(x－2)2+y2=3．

（2）由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0），

设曲线E的圆心为E，则E（2，0），线段CD的中点为P，

则直线EP：y=x－2，设直线CD：y=－x+t，

由2yxyxt，解得点22(,)22ttP， 由圆的几何性质，221||||||||2NPCDEDEP，

而22222||(1)()22ttNP，|ED|2=3，22|2|||()2tEP，

解之得t=0，或t=3，

∴直线CD的方程为y=―x，或y=―x+3．

14．【答案】（1）1.7 h后观测站受到影响，影响时间是3.7h (2) M城4.2 h后受到影响, 影响时间是3.7h

【解析】（1）设风暴中心到C处A开始受到影响，到D处A结束影响，由题意有AC=360，AB=450，∠ABC=45°，设BC=x，则2223604504502xx．

即22524514x，故22524514149.76BC．

∴9014CD，故149.76÷90≈1.7，即约1.7 h后观测站受到影响，影响时间是143.7（h）.

（2）而MA∥BC，∴M城比A气象观测站迟2252.590（h）受到影响，故M城4.2 h后受到影响，影响的时间是3.7 h．

15．【答案】（1）最大值为92145 ，最小值为92145（2）最大值为51 ，最小值为11（3）最大值为622，最小值为622

【解析】方程x2+y2―6x―6y+14=0，变形为(x―3)2+(y―3)2=4．

（1）yx表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小．