第三章 矩阵的初等变换与线性方程组[1]

3 2 0 0
2 1 0 0
R(A) 3
0 7 1 0
由于R ( A) 3，可知A的最高阶的非零子式为 3 3 阶，而 A 的三阶子式共有 C3 C5＝4 10＝40个 , 要 4 从 40 个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的， 但考察 A 的行梯矩阵，记：A (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) 2 1 7 2 3 5 则由矩阵 B (a1 , a2 , a5 ) 知, R ( B ) 3， 3 2 0 1 0 0 故 B中必有三阶非零子式。 中的三阶子式只有4个 B 2 1 7 显然 2 0 14 0 ，所以该子式便是 A 的最高 3 1 0 0 阶的一个非零子式。
x1 x3 x2 x3 4 3 x4 3 00
(1) r3 2r4 1 (2) r4 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
(1) r1 r2 r3 1 (2) r2 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
设 A 经过列的初等变换变这 B，那么， AT 经过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可 知， R(AT)=R(BT) 又因为，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B) 所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
☞上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用
办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变 换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩 阵的秩。
把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的
初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成
“c”）。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩 阵的初等变换。
显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为ri k rj。 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， 称矩阵 A与 B是等价的，记为A～B 。 矩阵的等价关系有如下性质： ☞ 反身性： A～ A 对称性： A～B ，则B ～ A 传递性： A～B， B ～ C，则A ～ C

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定理 2 方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P1 P2 Pl 使AP1P2 Pl
推论1 方阵A可逆的充分必要条件是A ~ E
推论2 mn矩阵A与B等价的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵 P及n阶可逆矩阵Q 使PAQB 若矩阵A可逆 则矩阵(A E)经初等行变换可化为(E A1)
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基本题型
求矩阵的秩和极大无关组
基本方法 : 用初等列（行）变换将矩阵变 为列（行）阶梯阵。讨论矩阵的秩.
与求向量组的秩和极大无关x=0 有非零解 R(A)<n.
Ax 0
线 性 方 程 组
求 解
1.化系数矩阵为最简形. 2.找等价的方程组.
3.写通解. Ax=b 有解 R(A)=R(B).
Ax b
求 解
1.把增广矩阵B化为最简形. 2. 找等价的方程组. 3.写通解.
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定理4 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b) (2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n 定理5 线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b) 定理6 n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是 R(A)n
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初等矩阵
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵都是可逆的 并且 E(i j)1E(i j) E (i ( k )) 1 E (i ( 1 )) E(ij(k))1E(ij(k)) k
• 初等阵与初等变换的关系 • 左乘------行变换 • 右乘------列变换
r
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解矩阵方程：基本方法是初等变换.
E, X ， （2）AX=B 用（A，B）

用n阶初等矩阵En(i, j)右乘A=(aij)mn, 得
a11 a1 j a1i a1n a21 a2 j a2 i a2 n AEn ( i , j ) a a a a mj mi mn m1 第j 列 第i 列 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第 i 列与第j 列对调(cicj).
三、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算, 应用广泛. 定义: 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 对调两行或两列; 以非零数k乘某行或某列; 以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去.
对调两行或两列
对调E中第i, j两行(或列), 得初等矩阵E(i, j): 1 1 0 1 第i 行 1 E(i, j) = 1 1 0 第j 行 1 1
一、消元法解线性方程组
分析: 用消元法解下列方程组的过程. 引例: 求解线性方程组 ① 2 x1 x 2 x 3 x4 2 ② x1 x 2 2 x 3 x4 4 4 x 6 x 2 x 2 x 4 ③ 2 3 4 1 ④ 3 x1 6 x 2 9 x 3 7 x4 9
两个同解线性方程组具有等价关系性质, 因此也 称两个同解线性方程组为等价的. 用矩阵的初等行变换解方程组(1). 1 2 2 1 1 1 1 2 1 4 B 4 6 2 2 4 6 9 7 9 3 1 2 1 4 1 r1 r2 ① ② 2 1 1 1 2 B1 r3 2 2 3 ③2 1 1 2 6 9 7 9 3 1 1 2 1 4 r2–r3 0 ②③ 2 2 2 0 B2 r3–2r1 0 5 ③2① 5 3 6 r4–3r1 0 ④3① 3 3 4 3

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。

为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。

§1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。

一、引例求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(1)(1) )(1B )(2B)(3B ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+-=+-+00304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。

且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换） 30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。

其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？⎝⎛=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97963211322111241211 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------34330635500222041211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----310620000111041211 5000310000111041211B =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：②-③ ③-2① ④-3① ①②③④①↔ ② ③ ÷③↔④ ④-2③ ③↔④ ④-2③ ①②③④②-③ ③-2①④-3① ②÷ 2③+5② ④-3②二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：j i r r ↔）；(ⅱ) 以数k ≠0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ⨯）；(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。