第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换
初等行变换
()1()i j r r ↔对调两行，记作。
()20()i k r k ≠⨯以数乘以某一行的所有元素，记作。
()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。
矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质
（1）反身性 A~A
2 A ~B , B ~A;（）对称性若则
3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59）
行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。
行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.
标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r
m n
E O
F O O ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。
初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵，那么
(1);r
A B m P PA B ⇔=:存在阶可逆矩阵，使
(2)~;c A B n Q AQ B ⇔=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ⇔=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使
初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。
初等矩阵的性质
设A 是一个m ×n 矩阵，则
（1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r
A B m P PA B ⇔=即存在阶可逆矩阵，使
（2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ⇔=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ⇔=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使
（4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r
A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ）
初等变换的应用
（1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -−−−−→初等行变换或1A E E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即()
1(|)|A B E A B -−−→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
初等列变换. 第二节 矩阵的秩
矩阵的秩 任何矩阵m n A ⨯，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）
矩阵的秩 在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D ，且所有r + 1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式。数r 称为矩阵A 的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩，R(0)=0.
说明
1. 矩阵A m ×n ，则 R (A ) ≤min{m ,n };
2. R (A ) = R (A T );
3. R (A )≥r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零;
4. R (A )≤r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零.
满秩和满秩矩阵 矩阵()ij m n
A a ⨯=，若()R A m =，称A 为行满秩矩阵；若()R A n =，称A 为列满秩矩阵；,(),A n R A n A =若为阶方阵且则称为满秩矩阵。
()n A R A n =若阶方阵满秩，即0A ⇔
≠；1A -⇔必存在；A ⇔为非奇异阵； ,~.n n A E A E ⇔必能化为单位阵即
矩阵秩的求法
定理1 矩阵A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A ～B ，则R (A )=R (B )。 矩阵A m ×n ，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是A 的秩。（证明课本P ？ ）
推论 ()()P Q R PAQ R A =若、可逆，则（课本P ？ ）
矩阵秩的性质总结
(1)0()min{,}m n R A m n ⨯≤≤ (2)()()T R A R A = ()()(3)~, A B R A R B =若则
()()P Q R PAQ R A =(4)若、可逆，则
(5)max{(),()}(,)()()
()(,)() 1.R A R B R A B R A R B B b R A R A R A ≤≤+=≤≤+b 特别当为非零列向量时，有
(6)()()()R A B R A R B +≤+ (7)()min{(),()}.R AB R A R B ≤
(8),()().m n n l A B O R A R B n ⨯⨯=+≤若则
(9)AB=O A B=O 设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。（课本P71）
第三节 线性方程组的解
线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L 如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容 定理2 n 元齐次线性方程组 Ax =0
（1）R(A) = n ⇔Ax=0 有唯一解，零解
（2）R(A) < n ⇔Ax=0 有非零解.
定理3 n 元非齐次线性方程组Ax b =
（1） 无解的充分必要条件是(A)R(A,b)R <
（2） 有唯一解的充分必要条件是(A)R(A,b)n R ==
（3） 有无限多接的充分必要条件是(A)R(A,b)n R =<（证明课本P71）
基础解系 齐次线性方程组0Ax =的通解具有形式1122x c c ξξ=+(c 1, c 2为任意常数)，称通解式()
112212,x c c c c ξξ=+为任意常数中向量12,ξξ构成该齐次线性方程组的基础解系。
线性方程组的解法
齐次线性方程组：将系数矩阵A 化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解. 若有非零解，化成
