矩阵的初等变换与逆矩阵
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求逆矩阵的四种方法
求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。
但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。
下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。
而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。
伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。
3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。
当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。
假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。
4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。
当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。
综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。
初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。
初等变换法求逆矩阵
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵； （2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点 掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点 一、初等变换法求逆矩 二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵 计算量太大,不易实施.
逆矩阵及初等变换
先假设n阶矩阵A, 满足 A ≠ 0， 即 矩阵A是可逆的
则有下列公式： 则有下列公式：
( A | E ) n×2 n ( E | A ) n×2 n →
行初等变换
1
施行初等行变换， 即对 n × 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
例3
6 4 2 * 得 A = 3 6 5 , 所以 2 2 2
1 3 2 1 * 3 5 1 . A = A = 3 A 2 2 1 1 1
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例2 设
1 2 3 1 3 2 1 A = 2 2 1, B = 5 3, C = 2 0, 3 4 3 3 1
1 1 1
(4).若A可逆 则A 也可逆 且( A ) = ( A ) . , ,
T
T 1
1 T
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例1 解
1 2 3 . 求方阵 A = 2 2 1的逆阵 3 4 3 ≠0， 可逆。 经计算可得： |A| = 2 ≠0，知A可逆。 经计算可得： | 可逆
A11= 2，A21= 6，A31=－4， 2， 6， A12=－3，A22=－6，A32=5， =5， A13= 2，A23= 2，A33=－2， 2， 2，
1 * A = A, A
1
A A . 其中 *为方阵 的伴随阵
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由定理1和定理2可得：矩阵 由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 。 | 称为奇异方阵 否则称为非 奇异方阵， 当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 | 奇异阵。 奇异阵。 推论 ），则 若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。 （ ），
线性代数3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
上两式表明：A 经一系列初等行变换化为 E ，则 E
可经这同一系列初等行变换化为 A1。用分块矩阵形
式，两式可以合并为
Pt Pt1 L P1 ( A, E) (E, A1 )
或
( A, E) 初等行变换(E, A1)
即对矩阵 ( A, E) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，
E 就化成了 A1 ( A 1
初等矩阵。
1
O
Eij
0
0L M 1L
1 M 0
O
0 第i行 第j行
1
1
M
O
Ei
(k
)
0
M
0
1
M
O
0
Eij
(k
)
M
0 L M
0
k O
1 MO kL M 0L
0
0 第i行
1
1 MO 0
0 第i行 第j行
1
这样，初等矩阵共有三类： Eij , Ei (k ), Eij (k )。
1r3r2
0
1
1
3r2 r3
0
1
1
2r3 r1
1r3r2
0
1
0
0 3 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1
E2 (1)E32 (1)E31 (2)E23 (3)E21 (2)E32 (1)E12 (2) AE13 E
A
E 1 12
(2)
E32
1
(1)
E 1 21
(2)
E 1 23
(3)
E 1 31
(2)
E 1 32
(1)
E2
1
可经这同一系列初等行变换化为 A1。用分块矩阵形
式，两式可以合并为
Pt Pt1 L P1 ( A, E) (E, A1 )
或
( A, E) 初等行变换(E, A1)
即对矩阵 ( A, E) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，
E 就化成了 A1 ( A 1
初等矩阵。
1
O
Eij
0
0L M 1L
1 M 0
O
0 第i行 第j行
1
1
M
O
Ei
(k
)
0
M
0
1
M
O
0
Eij
(k
)
M
0 L M
0
k O
1 MO kL M 0L
0
0 第i行
1
1 MO 0
0 第i行 第j行
1
这样，初等矩阵共有三类： Eij , Ei (k ), Eij (k )。
1r3r2
0
1
1
3r2 r3
0
1
1
2r3 r1
1r3r2
0
1
0
0 3 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1
E2 (1)E32 (1)E31 (2)E23 (3)E21 (2)E32 (1)E12 (2) AE13 E
A
E 1 12
(2)
E32
1
(1)
E 1 21
(2)
E 1 23
(3)
E 1 31
(2)
E 1 32
(1)
E2
1
初等变换及其矩阵求逆
《线性代数》 结束
5.3
求逆矩阵的初等变换方法
定理2 若n阶矩阵A可逆，则可以通过初等行变换将A化为单位矩阵.
证： 因为A可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11 ≠ 0.
将A的第一行元素乘以1/a11 ,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行， i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
———
4r2
1 5 - 7
下页
返回
结束
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 用数k乘以第i列记为kci . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
———
r3-3r1
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
下页 结束
返回
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i列的k倍加到第j列记为cj+kci . 例如
a22 a 21 a 23 a 24
a32 a31 a33 a34
定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A
的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
5.3
求逆矩阵的初等变换方法
定理2 若n阶矩阵A可逆，则可以通过初等行变换将A化为单位矩阵.
证： 因为A可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11 ≠ 0.
将A的第一行元素乘以1/a11 ,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行， i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
———
4r2
1 5 - 7
下页
返回
结束
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 用数k乘以第i列记为kci . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
———
r3-3r1
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
下页 结束
返回
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i列的k倍加到第j列记为cj+kci . 例如
a22 a 21 a 23 a 24
a32 a31 a33 a34
定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A
的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
对调I的两行
对调I的两列
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
定义 对换矩阵的两行（或两列）；
记为
2. 以任意数
乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行 （或列）的对应元上去.
记为
矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。
返回
根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。
同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. ※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应
的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。 ※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积 ※定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. ※定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单 位矩阵. ※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示 为有限个初等矩阵的乘积。
1.7（2）（5）
1.10
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
线性方程组的初等变换有三种： 1. 互换两个方程的位置； 2. 把某个方程两边同乘以一个非零常数； 3. 将某个方程加上另一个方程的k倍.
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
对调I的两行
对调I的两列
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
定义 对换矩阵的两行（或两列）；
记为
2. 以任意数
乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行 （或列）的对应元上去.
记为
矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。
返回
根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。
同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. ※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应
的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。 ※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积 ※定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. ※定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单 位矩阵. ※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示 为有限个初等矩阵的乘积。
1.7（2）（5）
1.10
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
线性方程组的初等变换有三种： 1. 互换两个方程的位置； 2. 把某个方程两边同乘以一个非零常数； 3. 将某个方程加上另一个方程的k倍.
3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
1 2
r2
12 r3
1 0
1 1
1 0
0 0 1
1
0
0
r2 r1
1r3 +r1
0
1
0
0 0 1
所以
1 2 A 1 1 2 0
1 0 0
1
0
1
2
2
0
1
1
2 2
1 2
1 2
0
1 2
0
1 2
0
1 2
1 2
1 0
2
0
1 2
1 1
2
2
同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的
即： 初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵 仍是同类的初等矩阵。
二、初等变换法求矩阵的逆矩阵
1．矩阵可逆的两个充分必要条件
在上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的
行列式 A 0 。现再给出两个充分必要条件。 引理 初等变换不改变矩阵的可逆性。
证明 不妨设 n 阶矩阵 A 经过一次初等行变换化成矩阵 B
推论1 m n 阶矩阵 A 与 B等价的充分必要条件是存
n 在m 阶可逆矩阵 P 及 阶可逆矩阵 Q ，使
PAQ B
2．求矩阵逆矩阵的初等变换法
因为 A 可逆，据定理2，有初等矩阵 P1, P2 , , Pt
使 Pt Pt1 P1A E ，即 Pt Pt1 P1E EA1 。于是
Pt Pt1 Pt Pt1
证明：（必要性）因为 A 可逆，则 A 可只通过行（列）
初等变换化为单位矩阵 E。
所以，A E11E21 Et 1。 若记 Ei1 Pi ，则 A P1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
矩阵的转置、乘法(初等变换)、逆
转置矩阵的行和列分别是原矩阵的列和行。
转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，即 det(A^T) = det(A)。
02 矩阵的乘法（初等变换）
矩阵乘法的定义与规则
定义
矩阵的乘法是将两个矩阵按一定的顺序相乘，得到一个新的矩阵。
规则
矩阵乘法需要满足特定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩 阵的行数。
初等列变换及其应用
定义
初等列变换是指对矩阵进行某些列操作，如交换两列、将某一列乘以非零常数或加到另一列等，使得矩阵变为另 一种形式。
应用
初等列变换在矩阵理论中也有着广泛的应用，如求矩阵的逆、求行列式等。
03 矩阵的逆
矩阵逆的定义与条件
定义
如果存在一个矩阵A的逆矩阵A^(-1)，使得 $AA^(-1) = A^(-1)A = I$，其中I为单位矩阵，则称A为可逆 矩阵。
计算方法
按照矩阵乘法的规则，将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元 素相乘，然后按一定的顺序组合起来，得到新的矩阵。
初等行变换及其应用
定义
初等行变换是指对矩阵进行某些行操 作，如交换两行、将某一行乘以非零 常数或加到另一行等，使得矩阵变为 另一种形式。
应用
初等行变换在矩阵理论中有着广泛的 应用，如解线性方程组、求矩阵的秩、 判断矩阵是否可逆等。
THANKS
对于两个矩阵 A 和 B，(A+B)^T = A^T + B^T
对于实数 k，kA^T = (kA)^T
01
03 02
Байду номын сангаас
矩阵转置的性质
转置矩阵的元素满足：a_{ij} = a_{ji}，即矩阵的 对角线元素不变，非对角线元素互换。
初等矩阵与逆矩阵的求法
阵。于是存在优先多个初等矩阵P1 Pr，Q1 Qt
使得 P1 Pr AQ1 Qt =E,从而
A=（ P1
Pr）-1E（Q1
Q
）-1
t
=Pr-1
P1-1 • Qt-1
Q1-1 .
推论1方阵A可逆旳充分必要条件是存在有 限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A P1P2 Pl .
19
推论2 方阵A可逆旳充分必要条件是A可经过有限屡 次初等行变换化为单位阵E.
等 矩阵 P(i(k))
1
P(i(k))
1 k 1
第 i 行
1
6
(3)以数 k 0 乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )
得到初等矩阵 P(i, j(k))
20
5、利用初等行变换求逆阵旳措施：
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有
Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11 P11 A , E Pl1Pl11 P11 A , Pl1Pl11 P11E E , A1
即对 n 2n 矩阵 ( A , E) 施行初等行变换 ,
P(i, j)1 P(i, j)
P(i(k ))1 P(i( 1 )) k
P(i, j(k))1 P(i, j(k))
9
初等矩阵旳应用
定理1 设 A 是一种 m n 矩阵 , 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 旳 左边乘以相应旳 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换 , 相当于在 A 旳 右边乘以相应旳 n 阶初等矩阵.
矩阵的初等变换与逆矩阵的求法汇总
这三种变换都称为初等变换。如上的变换是可逆的。也 就是，如果经过一次变换把方程组 (1.1)变成一个新方 程组，那么，新方程组必可经过一次同类型的变换变为 原方程组(1.1)。
定理1.1 设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个 方程组，则新方程组与原方程组同解。
此性质在矩阵中如何体现呢？
2.1.2 矩阵的初等变换
1
12r2
0
1 1
1 1
2
0
1
2
0 3 3 2
0 3 3 2
1 0
1 2
1
2
r1 r2 r3 3r2
0
0
1 0
1 2
3
1
2
7
2 2
1
23 r3
0
0 1
2x2 x3 1
2x1 x2 x3 2
解 将矩阵的增广矩阵作行初等变换
1 1 1 0
1 1 1 0
0
2
1
1
r3 2r1 0
2
1
1
2 1 1 2
0 3 3 2
1 1 1 0 2 1
0 1
1
O
1
Rijຫໍສະໝຸດ ()Cij
(
)
MO
L 1
O
1
初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一 类型的初等矩阵，容易验证：
Rij-1=Rij （Ri()）-1=Ri(1/) （Rij()）-1= Rij(－)
初等矩阵与初等变换有什么关系呢？
定理1.1 设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个 方程组，则新方程组与原方程组同解。
此性质在矩阵中如何体现呢？
2.1.2 矩阵的初等变换
1
12r2
0
1 1
1 1
2
0
1
2
0 3 3 2
0 3 3 2
1 0
1 2
1
2
r1 r2 r3 3r2
0
0
1 0
1 2
3
1
2
7
2 2
1
23 r3
0
0 1
2x2 x3 1
2x1 x2 x3 2
解 将矩阵的增广矩阵作行初等变换
1 1 1 0
1 1 1 0
0
2
1
1
r3 2r1 0
2
1
1
2 1 1 2
0 3 3 2
1 1 1 0 2 1
0 1
1
O
1
Rijຫໍສະໝຸດ ()Cij
(
)
MO
L 1
O
1
初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一 类型的初等矩阵，容易验证：
Rij-1=Rij （Ri()）-1=Ri(1/) （Rij()）-1= Rij(－)
初等矩阵与初等变换有什么关系呢？
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( AI ) 初等行变换 (I A1)
三、进一步的练习
练习1 [用电度数] 我国某地方为避开高峰期用电，实行分时段计费， 鼓励夜间用电．某地白天(AM8：00—PM11：00) 与夜间(PM11：00—AM8：00)的电费标准为P， 若某宿舍两户人某月的用电情况如下：
白天 夜间
一 二
113220
0.12x2 x2 60
5.6
(1) (2)
(1)、(2)互换
0.07
x1 x1
x2 60 0.12x2
5.6
(1) (2)
100×(2)
7
x1 x2 60 x1 12x2 560
(1) (2)
增广矩阵变换的过程
0.07 0.12 5.6源自1 1 60 第一行与第二行互换
1 1 60
1/5乘以第二行
1 1 60
0 1 28
第二行的-1倍加到第一行
1 0 32
0 1 28
从这个案例的求解过程还可以看出：求解线性方 程组的过程实际上是对方程组接连地进行了以下 三种运算：
(1)将两个方程的位置互换； (2)将一个方程乘以一个非零的常数； (3)将一个方程的k倍加到另一个方程上． 对应的增广矩阵经过了相应的三种变换． (1)互换矩阵的两行； (2)用一个非零数乘矩阵的某一行； (3)将矩阵的某一行乘以数k后加到另一行．
11 90
5 36
1 9
所以
29
P
A1F
180
11 90
5 36
1 9
90.29 101.41
0.4620 0.2323
即白天的电费标准为0.462元/度， 夜间电费标准为0.2323元/度.
练习2 [转动矩阵] 机器人手臂的转动常用矩阵表示．其中的元素为转 动角的三角函数值．求下面转动矩阵R的逆阵．
解 设他在A、B项目上各投资了x1、x2万元，根据 题意，建立如下的线性方程组
0.07
x1 x1
0.12x2 x2 60
5.6
下面用高斯消元法求解此方程组，我们把方程消元 的过程列在下表的左栏，系数及常数项对应的矩阵 (增广矩阵)变换过程列在下表的右栏．
方程组消元的过程
0.07
x1 x1
把定义中的“行”换成“列”(所用记号把“r”换成 “c”，即得矩阵的初等列变换. 矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的 初等变换.
rj kr
6.2.2逆矩阵的概念及 用初等行变换求解逆矩阵
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
一、案例[汽车销售量]
某一汽车销售公司有两个销售部，矩阵S给
设A、B均为n阶可逆矩阵，数 ，0 方阵的逆的运算
满足如下规律：
(1) A1可逆，且 ( A1)1 A
(2)A可逆，且 (A)1 1 A1
(3) AB可逆，且 ( AB)1 B1A1
(4) A 可逆，且 (A)1 (A1)
初等行变换求逆矩阵 在给定的n阶方阵的右边放一个n阶单位矩阵I形成 一个n×2n的矩阵 (AI ) ，然后对矩阵 (AI ) 实施初等行变换，直到将原矩阵A所在部分变成单位 矩阵I，原单位矩阵部分经同样的初等变换后，所得 到的矩阵就是A的逆矩阵 A1，即
150 174
所交电费F=(90.29 101.41)，问如何用矩阵的运算 表示当地的电费？
解
令 A 113220
150 174
，因为 AP ，F
等式两边同时左乘以矩阵 A,1
可以得到当地的电费标准为 下面用初等变换求 A1
P A1F
120 150 132 174
1 0
0
1
1 30
r1
二、 概念和公式的引出
矩阵的初等变换 矩阵的如下三种变换 (1)互换矩阵的两行，常用 ri rj表示第i行与第j行
互换； (2)用一个非零数乘矩阵的某一行，常用 k ri
表示用数k乘以第i行； (3)将矩阵的某一行乘以数k后，加到另一行，常用
rj kr表示第i行的k倍加到第j行． 称为矩阵的初等行变换.
4
132
5 174
1 30 0
0
1
4
5
r2 33r1 0 9
1 30
0
11 10
1
1
4
5
9
r2
0
1
1 30
0
11 90
1 9
4
0
r1 5r2 0 1
即
58 90
5 9
11 90
1 9
1 4
r1
1 0
0 1
58 360
5 36
11 90
1 9
29
A1
180
0.8 0.0 0.6
R 0.0 1.0 0.0
0.6 0.0 0.8
解 因为
0.8 0.0
0.0 1.0
0.6 0.0
1 0
0 1
0
0
5r1
5r3
4 0
0 1
3 0
0.6 0.0 0.8 0 0 1
3 0 4
1
r 1 r3
0
3
1
215r 3
0
0
所以
0 7 5
出了两个汽车销售部的两种汽车的销量
一二
S
18
24
15 大
17
小
月末盘点时统计得到两个销售部的利润，用矩阵表示为
W=(37200 35050) ．设两种车的销售利润为矩阵P=(a,b)
则有 PS=W，问公司如何从PS=W中得到两种车的销售
利润 P?
分析 要解决这一问题，需要引入类似于数的除法的
运算．从矩阵的角度来看，单位矩阵E类似于数1的
作用．一个数 a 0 的倒数 a1可用
来表示．
aa1 a1a 1
二、 概念和公式的引出
逆矩阵 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使
AB BA I 则称方阵A是可逆的（简称A可逆），并称B是A的逆 矩阵，记作 A1 B
即
AA1 A1A I
6.2 矩阵的初等变换与逆矩阵
6.2.1 矩阵的初等变换 6.2.2 逆矩阵的概念及用初等行变换 求解逆矩阵 6.2.3 用逆矩阵求解矩阵方程
6.2.1 矩阵的初等变换
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例 [投资组合]
某人用60万元投资A、B两个项目，其 中项目A的收益率为7％，项目B的收益率为 12％，最终总收益为5.6万元．问他在A、B 项目上各投资了多少万元？
0.07 0.12 5.6
100乘以第二行
1 1 60
7 12 560
(2)-(1)×7
x1 5x2
x2
60 140
(1) (2)
1/5×(2)
x1
x2
x2
60 28
(1) (2)
(1)- (2)
x1 x2
32 28
第一行的-7倍加到第二行
1 1 60
0 5 140
三、进一步的练习
练习1 [用电度数] 我国某地方为避开高峰期用电，实行分时段计费， 鼓励夜间用电．某地白天(AM8：00—PM11：00) 与夜间(PM11：00—AM8：00)的电费标准为P， 若某宿舍两户人某月的用电情况如下：
白天 夜间
一 二
113220
0.12x2 x2 60
5.6
(1) (2)
(1)、(2)互换
0.07
x1 x1
x2 60 0.12x2
5.6
(1) (2)
100×(2)
7
x1 x2 60 x1 12x2 560
(1) (2)
增广矩阵变换的过程
0.07 0.12 5.6源自1 1 60 第一行与第二行互换
1 1 60
1/5乘以第二行
1 1 60
0 1 28
第二行的-1倍加到第一行
1 0 32
0 1 28
从这个案例的求解过程还可以看出：求解线性方 程组的过程实际上是对方程组接连地进行了以下 三种运算：
(1)将两个方程的位置互换； (2)将一个方程乘以一个非零的常数； (3)将一个方程的k倍加到另一个方程上． 对应的增广矩阵经过了相应的三种变换． (1)互换矩阵的两行； (2)用一个非零数乘矩阵的某一行； (3)将矩阵的某一行乘以数k后加到另一行．
11 90
5 36
1 9
所以
29
P
A1F
180
11 90
5 36
1 9
90.29 101.41
0.4620 0.2323
即白天的电费标准为0.462元/度， 夜间电费标准为0.2323元/度.
练习2 [转动矩阵] 机器人手臂的转动常用矩阵表示．其中的元素为转 动角的三角函数值．求下面转动矩阵R的逆阵．
解 设他在A、B项目上各投资了x1、x2万元，根据 题意，建立如下的线性方程组
0.07
x1 x1
0.12x2 x2 60
5.6
下面用高斯消元法求解此方程组，我们把方程消元 的过程列在下表的左栏，系数及常数项对应的矩阵 (增广矩阵)变换过程列在下表的右栏．
方程组消元的过程
0.07
x1 x1
把定义中的“行”换成“列”(所用记号把“r”换成 “c”，即得矩阵的初等列变换. 矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的 初等变换.
rj kr
6.2.2逆矩阵的概念及 用初等行变换求解逆矩阵
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
一、案例[汽车销售量]
某一汽车销售公司有两个销售部，矩阵S给
设A、B均为n阶可逆矩阵，数 ，0 方阵的逆的运算
满足如下规律：
(1) A1可逆，且 ( A1)1 A
(2)A可逆，且 (A)1 1 A1
(3) AB可逆，且 ( AB)1 B1A1
(4) A 可逆，且 (A)1 (A1)
初等行变换求逆矩阵 在给定的n阶方阵的右边放一个n阶单位矩阵I形成 一个n×2n的矩阵 (AI ) ，然后对矩阵 (AI ) 实施初等行变换，直到将原矩阵A所在部分变成单位 矩阵I，原单位矩阵部分经同样的初等变换后，所得 到的矩阵就是A的逆矩阵 A1，即
150 174
所交电费F=(90.29 101.41)，问如何用矩阵的运算 表示当地的电费？
解
令 A 113220
150 174
，因为 AP ，F
等式两边同时左乘以矩阵 A,1
可以得到当地的电费标准为 下面用初等变换求 A1
P A1F
120 150 132 174
1 0
0
1
1 30
r1
二、 概念和公式的引出
矩阵的初等变换 矩阵的如下三种变换 (1)互换矩阵的两行，常用 ri rj表示第i行与第j行
互换； (2)用一个非零数乘矩阵的某一行，常用 k ri
表示用数k乘以第i行； (3)将矩阵的某一行乘以数k后，加到另一行，常用
rj kr表示第i行的k倍加到第j行． 称为矩阵的初等行变换.
4
132
5 174
1 30 0
0
1
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r2 33r1 0 9
1 30
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r2
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r1 5r2 0 1
即
58 90
5 9
11 90
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0 1
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5 36
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0.8 0.0 0.6
R 0.0 1.0 0.0
0.6 0.0 0.8
解 因为
0.8 0.0
0.0 1.0
0.6 0.0
1 0
0 1
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0
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0 1
3 0
0.6 0.0 0.8 0 0 1
3 0 4
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r 1 r3
0
3
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0
所以
0 7 5
出了两个汽车销售部的两种汽车的销量
一二
S
18
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15 大
17
小
月末盘点时统计得到两个销售部的利润，用矩阵表示为
W=(37200 35050) ．设两种车的销售利润为矩阵P=(a,b)
则有 PS=W，问公司如何从PS=W中得到两种车的销售
利润 P?
分析 要解决这一问题，需要引入类似于数的除法的
运算．从矩阵的角度来看，单位矩阵E类似于数1的
作用．一个数 a 0 的倒数 a1可用
来表示．
aa1 a1a 1
二、 概念和公式的引出
逆矩阵 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使
AB BA I 则称方阵A是可逆的（简称A可逆），并称B是A的逆 矩阵，记作 A1 B
即
AA1 A1A I
6.2 矩阵的初等变换与逆矩阵
6.2.1 矩阵的初等变换 6.2.2 逆矩阵的概念及用初等行变换 求解逆矩阵 6.2.3 用逆矩阵求解矩阵方程
6.2.1 矩阵的初等变换
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例 [投资组合]
某人用60万元投资A、B两个项目，其 中项目A的收益率为7％，项目B的收益率为 12％，最终总收益为5.6万元．问他在A、B 项目上各投资了多少万元？
0.07 0.12 5.6
100乘以第二行
1 1 60
7 12 560
(2)-(1)×7
x1 5x2
x2
60 140
(1) (2)
1/5×(2)
x1
x2
x2
60 28
(1) (2)
(1)- (2)
x1 x2
32 28
第一行的-7倍加到第二行
1 1 60
0 5 140