初等变换与初等矩阵

2.3 初等变换与初等矩阵授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵授课时数：4课时教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵教学过程：用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。

为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。

一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换 （1）定义定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

（2）记法分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。

或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ↔+， 列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ↔+例1[][]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵（1）初等矩阵的定义定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵ij j i n P j i I =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−行行1101111011],[[])(1111)(,k D i k I i j i n =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−行[])(1111)(k T j i k I ij k itj n =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−行行列i列j[])(1111)(k T j i k j i I ij k itj n =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−行行列列 ij P 、)(k D i 、)(k T ij 分别叫做换法阵、倍法阵、消法阵。

* )(k T ij 是从行的角度来定义，进行列消法变换时，要转化为行来表示。

二．初等变换与初等矩阵的关系1、问题能否用矩阵的乘积的等式把初等变换的过程表示出来？ 如果能够，这对研究矩阵的关系是有很大帮助的。

2、初等变换与初等矩阵的关系定理2.3.1 对一个n m ⨯矩阵A 作一次初等行变换,就相当于在A 的左边乘上相应的m 阶初等矩阵；对A 作一次初等列变换,就相当于在A 的右边乘上相应的n 阶初等矩阵。

（结合分块矩阵，直接相乘，就可证出）证 我们只对初等行变换给出证明，列变换的情况可以同样证明。

设11121n 121222n 2n1n2nn m a a a A a a a A A a a a A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中12m A ,A ,,A 分别代表矩阵A 的第1行，第2行，一直到第m 行。

用m 阶初等矩阵ij P 左乘A 得1j ij i m A A i P A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行j 列 这相当与把A 的第i 行与第j 列交换用m 阶初等矩阵i D (k)左乘A 得1i i A D (k)A kA i A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行这相当用k 乘A 的第i 行、用m 阶初等矩阵ij T (k)左乘A 得1i j ij j m A A kA i T (k)A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行j 列 这相当与把A 的第j 行的k 倍加到第i 行上。

三、矩阵的等价标准形 1、矩阵的等价关系等价是矩阵的一种关系，它具有如下性质： 1）反身性，即A A ≅；2）对称性，即若B A ≅，则A B ≅；3）传递性，即若B A ≅，且C B ≅，则C A ≅。

这些性质对研究矩阵的关系很有用。

2、矩阵的等价标准形定理2.3.2 任意一个n m ⨯矩阵A ,都与形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----))(()()()(000r n r m r r m r n r r r mnI E的矩阵等价。

我们称)(r mn E 为矩阵的等价标准形。

证 设A=0，那么A 已经是标准形了。

以下设A 0≠。

A 至少有一个不为零的元素， 通过行，列的交换总可以把这个元素调到（1，1）位置上去。

不妨设11a 0≠，把A 的其余行减去第一行的111i1a a (i 1,2,,m)-=倍，把A 的其余列减去第一列的1111j a a (j 1,2,,n)-=倍。

再用111a -乘A 的第一行，A 就化成11000A 0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 1A (⨯是（m -1)n-1)矩阵，对1A 重复以上步骤，总可以化成(r)mn E 的形式。

让学生记住定理2.3.2的5种形式：)(1r m n E A → ； )(2r m n E A ≅ ；)(113r m n t s E Q AQ P P =； )(4r m n E PAQ = ； Q PE A r m n )(5=。

例2 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201212012110A 求A 的等价标准形。

解 [1,2]1021A 01122100-⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪⎝⎭[31(2)]102101120140+--⎛⎫⎪−−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭ [31(2)],[41(1)]100001120140+-+⎛⎫ ⎪−−−−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭[32(1)]100001120032+-⎛⎫⎪−−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭ [32(1)],[42(2)]100001000032++-⎛⎫ ⎪−−−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1[3()]3100001000012⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭[43(2)]100001000010+⎛⎫ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭推论1 对两个n m ⨯矩阵A 和B ，A 与B 等价的充分必要条件是存在m 阶初等矩阵P 1，P 2，…，P S 和n 阶初等矩阵Q 1，Q 2，…，Q t ,使得P 1P 2…P S A Q 1Q 2…Q t =B 。

推论2 对每个n m ⨯矩阵A , 总存在m 阶初等矩阵 P 1，P 2，…，P S 和Q 1，Q 2，…，Q t ,使得P 1P 2…P S A Q 1Q 2…Q t =)(r mn E四、阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵1、阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵的定义 定义4 若矩阵A 具有以下特点：1）元素全为零的行（简称零行）在矩阵下方（如果有的话）；2）元素不全为零的行（简称为非零行）的第一个不为零的元素（简称首非零元）的列标随着行标的增加而严格增加，则称矩阵A 为阶梯形矩阵。

定义5 首非零元为1，且首非零元所在列的其余元素全为零的阶梯矩阵称为简化阶梯形矩阵。

2、基本定理定理 2.3.3 任意一个m n ⨯矩阵A (0)≠总可经过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵，进而化为行简化阶梯形矩阵。

证 设ij mn A (a )=中第1列不全为零，总可以交换两行使左上角元素不为零。

不妨设11a 0,i(i 1,2,,m)1≠=i 111a 第行加上第行的-a 倍，A 化成形如1112131n 22232n 132333n m1m2mn a a a a 0b b b A 0b b b 0b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵。

如A 的第1列元素全为零，则考虑第2列，做法相同。

不妨设122222b b 0,i(i 1,2,,m)2b ≠=-1第行加上第行的倍，A 化成形如 1112131n 22232n 2333n m3mn a a a a 0b b b A 00c c 00c c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵。

如此继续下去，总可以将A 经初等变换化为阶梯形矩阵。

进而化成简化阶梯形矩阵。

例3 设02413273513424103A ⎛⎫⎪-⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭，用初等行变换化A 为阶梯形矩阵，进而化成行简化阶梯形矩阵。

[1,2]32730241513424103-⎛⎫ ⎪⎪−−−→ ⎪--- ⎪-⎝⎭A [14(1)]12300241513424103+---⎛⎫⎪⎪−−−−→⎪--- ⎪-⎝⎭[31(5)],[41(2)]123002410918408163++---⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−−−→ ⎪--- ⎪-⎝⎭[32(5)],[42(4)]1230024101210001++---⎛⎫⎪ ⎪−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭[3,2]1230012102410001--⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪⎪⎝⎭[32(2)]1230012100010001+---⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭[4\3(1)]11230012100010000+--⎛⎫⎪ ⎪−−−−→= ⎪- ⎪⎝⎭A 1A A 便是的阶梯形矩阵。

[3(1)]11230012100010000---⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪⎪⎝⎭A [23(1)]1230012000010000+---⎛⎫⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭[12(2)]21010012000010000+⎛⎫ ⎪⎪−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭A 2A 就是A 的行简化阶梯形矩阵。

易知，阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵的非零行数不超过它的行数和列数。