矩阵的初等变换与线性方程组的求解.

用矩阵列初等变换法求解非齐次线性方程组摘要:利用矩阵的初等列变换解非齐次线性方程组,这种方法在许多情况下应用起来比较方便.本文给出了一个命题，对于任意的矩阵C，对其做初等列变换，变成一个两部分的分块矩阵，左边是列满秩的子块，右边是零矩阵，对于一个单位矩阵做同样的初等列变换，右边将是其次线性方程组CX=0的基础解系.在此命题的基础上，可以用初等列变换来求解线性代数的许多计算题，也可以证明一些线性代数的定理.本文还将揭示，在求解非齐次线性方程组的时候，矩阵的列变换方法更加容易学习，更容易理解.关键词: 矩阵; 初等列变换; 线性方程组To solve linear equation using matrix elementary columu vary Abstract :To solve linear equation using mat rix elementary column vary, this method is very convenient under different circumstances. This paper gives and proofs a theorem,for any matrix C, do elementary column operations, chang it to a matrix which is partitioned to two submatrices which left one is column full rank and right one is zero matrix. Then do same elementary column operations to a unit matrix with same column number as C, and do some partition to the result, then right submatrix of it, is just basic solution set of homogeneous linear equation CX=0. On the basic of the theorem, lots of problems of linear algebra can be resolved and lots of theorems can be proofed by elementary column operations. The paper will reveal that them will not easy to learn and to program and to proof something as techniques giving by the paper.Key words : mat rix ; elementary column vary ;linear equation.0 引言非齐次线性方程组的求解是线性代数这门学科中不容忽视的内容，但教材中给出的方法多是用矩阵的初等行变换法求解，这种方法在很多时候显得费力.有没有想过在求解非齐次线性方程组的时候对增广矩阵（A ，b ）做一系列的初等列变换来得到方程组的解.本文将完全用初等列变换求解线性代数中许多计算问题，从理论上看，我们可以在完全不用行变换技术的前提下求解，这种方法是可行的，而且效果更好.1 用矩阵的列变换求解非齐次线性方程组的理论基础定义1 对于一个矩阵A ，我们在它的行和列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干小块，用这种方法分成若干小块的矩阵A 叫做一个分块矩阵. 定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩.定义3 设A 是n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B 使得AB =n I 成立，那么A 称为B 的可逆矩阵.定义4 把n 阶单位矩阵进行初等行（列）变换后得到的矩阵称为初等方阵. 定义5 设1a ，2a ，…，r a 是F 上向量空间V 的r 个向量，只有当1k =2k =……=r k =0时，1k 1a +2k 2a +……+r k r a =0成立，那么就称向量1a ，2a ，……，r a 线性无关. 定理：设给出了一个一般非齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (1) 为了方便,将(1) 式写成矩阵的形式:11m n mn B XA = (2)设分块矩阵C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n m mn E B A ，若系数矩阵mn A 的秩R(A) = r ,则分块矩阵C 经过列的初等变换,要求把系数矩阵mn A 右边的元素尽可能多的化为零，那么矩阵C 等价于如下形式的分块矩阵:C =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10001121121 r n r n nr m r n mr O H a a a W F O O O D (3) 其中r 为系数矩阵mn A 的秩，1+n E 为n + 1 阶单位矩阵,i O (i = 1 ,2, ……,n - r) 均为零向量,i a (i = 1 ,2 , ……,n - r) 为n 维列向量,并且存在n + 1 阶可逆矩阵1+n P ,使得以下两式成立:)()(11111m r n mr n m mn F O O O D P B A -+= (4)=++11)(n n P I ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10001121 r n r n nr O H a a a W (5)证明：事实上, 由于对矩阵C 做一次初等列变换,相当于对矩阵)(1m mn B A 及1+n I 右乘同一个初等方阵,经过有限次的对矩阵C 做列的初等变换,相当于对矩阵C 右乘一系列初等方阵,矩阵1+n P 就是这些初等方阵的乘积,所以(3) 、(4) 、(5) 式成立是必然的,证毕. 由定理易推出:结论一:线性方程组(1) 有解的充要条件是(4) 式中的1m F 为零矩阵. 证明：这和非齐次线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即R(A) = R(A :b) 是一致的.结论二:若(1) 有解,则(3) 式中的1n H 就是(1) 的一个特解,而1a ,2a , ⋯⋯r n a -就是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明：将(5) 式代入(4) 式得:)(1m mn B A *⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10001121 r n r n nr O H a a a W =)(111m r n mr O O O O D - (6)(6) 式两端对照得:i mn a A = i O (i = 1 ,2 ,……n - r) (7)由(7) 式可以看出r n a a a - ,,21均为(1) 对应的齐次线性方程组的解向量,由(5) 式又知r n a a a - 21是线性无关,所以r n a a a - 21是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系.由(6) 式又得:)(1m mn B A 111m n O H =⎪⎪⎭⎫⎝⎛- (8)由(8) 式进一步得:111m m n mn O B H A =-,即11m n mn B H A = (9) 所以1n H 为(1) 的一个特解. 从而线性方程组(1) 的通解为:(12211n r n r n H a k a k a k ++++-- ，i k 为任意给定的常数,i = 1 ,2 , ……,n- r).2 具体求解步骤利用此方法求解非齐次线性方程组的通解可以分三步进行:第一步:设出矩阵C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+11n m mn E B A 第二步:将矩阵C 通过列的初等变换化为(3) 式的形式,并且判断是否有解,若1m F 为零矩阵时(1) 有解,否则无解.第三步:若线性方程组(1) 有解,则(3) 式中的r n a a a - 21就是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系,1n H 就是(1) 的一个特解,则(1) 的通解为:12211n r n r n H a k a k a k ++++-- ,其中i k (i = 1 ,2 ,……,n - r) 为任意常数.3 一些计算例子例1 :求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=+-1521212321321321x x x x x x x x x解:第一步:设矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1000010000100001152********1 第二步：对矩阵作列初等变换C −→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1000010000101211031113120001−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10010*********001110120001−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010003101111001110120001此矩阵已是(3)的形式，但矩阵31F =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000所以，此方程组无解.例2 :求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x解:第一步:设矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10010*********2817534216122第二步：对矩阵作列初等变换C −→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000200001001112872539316002−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100200001031111372509310002−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----102200331012110132500310002 此矩阵已是(3)的形式,因为31F 为零矩阵，所以根据结论二知上述方程组有解。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。

为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。

§1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。

一、引例求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(1)(1) )(1B )(2B)(3B ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+-=+-+00304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。

且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换） 30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。

其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？⎝⎛=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97963211322111241211 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------34330635500222041211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----310620000111041211 5000310000111041211B =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：②-③ ③-2① ④-3① ①②③④①↔ ② ③ ÷③↔④ ④-2③ ③↔④ ④-2③ ①②③④②-③ ③-2①④-3① ②÷ 2③+5② ④-3②二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：j i r r ↔）；(ⅱ) 以数k ≠0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ⨯）；(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。

矩阵初等变换的应用
矩阵初等变换在矩阵运算中有着广泛的应用，其中包括以下几种常见的应用：
1. 线性方程组求解：将系数矩阵经过矩阵初等变换变成一个上三角矩阵或行简化阶梯形矩阵，然后利用高斯-约旦消元法或高斯消元法求解线性方程组。

2. 矩阵求逆：通过利用矩阵初等变换将待求逆的矩阵转换成单位矩阵，然后将初等变换应用到一个单位矩阵上得到该矩阵的逆。

3. 矩阵乘法：矩阵乘法可通过矩阵初等变换实现。

例如，通过在左侧乘一个初等矩阵将矩阵进行行变换、在右侧乘初等矩阵将矩阵进行列变换、以及在左右两侧同时乘同一个初等矩阵进行对称变换等等。

4. 特征值与特征向量求解：通过利用初等变换将待求特征值的矩阵转换成上三角矩阵或者特征分解形式，然后求解特征值与特征向量。

5. 矩阵分解：通过初等变换将一个矩阵分解成一个上三角矩阵和一个正交矩阵的乘积（QR分解）、或者将矩阵分解成一个对称矩阵和一个特殊矩阵的乘积（奇异值分解）等等。

总之，在矩阵运算中，矩阵初等变换是一种非常有用的工具，它可以简化计算过程、提高计算效率、为后续计算提供便利。

知识点1 线性方程组解的判定1.初等变换法求解线性方程组在矩阵的初等行变换的知识点中，我们已经发现，用消元法解线性方程组的过程，相当于对该方程组的系数与右端常数项对应位置构成的矩阵作初等行变换，方程组的求解过程实质上是对方程组的增广矩阵()|A b 作相应变化，化为行最简形进行求解的过程。

2.例1: 解方程组123123132314254226x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩对该方程组的增广矩阵初等行变换：()213142542026-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A b 3221312213121310412011501150412r r r r r r ↔----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3242131011500318r r --⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭12112133100901010016r r r r +⨯⨯⎛⎫ ⎪−−−→-⎪ ⎪-⎝⎭最后的矩阵对应方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-==619321x x x ，即为解。

例2:求解线性方程组： 1212122422136x x x x x x +=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解：()21312332251241242210671360521241240190190520047r r r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A b最后的矩阵第三行，对应的方程为0=47， 矛盾，所以方程组无解。

例3：解齐次线性方程组Ax θ=，其中系数矩阵为121124113620A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭。

解：121124113620A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭121100130013-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭121100130000-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭120200130000-⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应的齐次方程组为1243422030x x x x x +-=⎧⎨-=⎩选择24,x x 作为自由未知量，方程变为12434223x x x x x =-+⎧⎨=⎩令2142x k x k =⎧⎨=⎩得11232223x k k x k =-+⎧⎨=⎩。